函数与函数的零点知识点总结

函数及函数的零点有关概念

函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素

1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：

(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。

(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2

x k k Z π

π≠+

∈.

(8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：

复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域；

(3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法：

1、定义法；

2、换元法；

3、待定系数法；

4、函数方程法；

5、参数法；

6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法

1、图像法；

2、层层递进法；

3、分离常数法；

4、换元法；

5、单调性法；

6、判别式法；

7、有界性；

8、奇偶性法；

9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域

(二)分段函数问题

1：已知定义域求值域问题(代入法) 2：已知定义域求值域问题(代入法) 3.分段函数解析式的求法 要点2．函数的性质

(一)函数的单调性(局部性质)： 1).函数单调性的判定

(A) 定义法：定义1：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

定义2．设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

(B)图象法(从图象上看升降) 2.函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

○

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f(x 1)－f(x 2)；○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. (D) 导数法 2)函数的单调区间

3)利用函数单调性解不等式，比较大小，求参数的值或取值范围及最值问题 1. (比较大小) 2.(最值)

3.(参数范围问题)

4.(解不等式) 4)抽象函数的单调性 5).函数单调性的常用结论：

1、若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数

2、若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数

3、若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则[()]y f g x =是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

(二)函数的奇偶性（整体性质）：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用． 1)函数奇偶性的判断 1.1一般函数奇偶性的判断

1.定义:偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

2.性质：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

3.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 1.2分段函数奇偶性的判断 方法：图像法、定义法(注意带人) 2)利用奇偶性求函数的解析式(注意带入)

3)抽象函数奇偶性的证明 4)函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则

)()(a x f a x f +-=+.

6、若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为11

()[()()][()()]22

f x f x f x f x f x =+-+--，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。 (三)函数的周期性

几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；

（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1

)(≠=

+x f x f a x f ，或1()()

f x a f x +=-(()0)f x ≠, 或

[]21

()()(),(()0,1)2

f x f x f x a f x -=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；

(3))0)(()

(1

1)(≠+-

=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；

(4))

()(1)

()()(212121x f x f x f x f x x f -+=

+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；

(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 要点3．函数的图象

1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质，善于利用函数的性质来作图，要合理利用图象的三种变换．

2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究． (一)图像变换问题

(1) 画法 A 、描点法：

B 、图象变换法常用变换方法有三种:1)平移变换;2)伸缩变换;3)对称变换; (二)图像识别问题 要点4．二次函数

(一)闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

b

x 2-

=处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若[]q p a b

x ,2∈-

=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a

=-=； []q p a

b

x ,2?-

=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b

x ,2?-=，则

{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.

(二)二次函数的移轴问题 1)定区间动轴 2)定轴动区间 3)轴动区间动

(三)一元二次方程的实根分布

依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则

（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或240

2

p q p m ?-≥?

?->??；

（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402

f m f n p q p m n >??>??

?-≥?

?<-?或

()0

()0f n af m =??

>?

；

（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402

p q p m ?-≥?

?-

(四).定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式

(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥?.

(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤ (t 为参数)恒成立的充要条件是

(,)0()man f x t x L ≤?.

(3)0)(2

4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0

00a b c ≥??≥??>?

或2040a b ac

(五)二次函数的奇偶性 要点5.基本初等函数 一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *

．

◆

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n

n

=，当n 是偶数时，?

??<≥-==)0()

0(||a a a a a a n

n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)1,,,0(*

>∈>=n N n m a a a

n m n

m

，)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

◆

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质 （1）r

a ·s

r r

a

a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(

),,0(R s r a ∈>； （3）

s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质

a>1

0

6

54321

-1

-4-2

2460

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2

246

1

定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0

在R 上单调递增 在R 上单调递减 非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x

≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x

≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a

— 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；

○

2 x N N a a x

=?=log ； ○

3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． N a log

指数式与对数式的互化

幂值 真数

b a ＝ N ?log a N ＝ b

底数

指数 对数 （二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N

M

a log M a log －N a log ； ○

3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

利用换底公式推导下面的结论 （1）b m

n

b a n a m log log =

；（2）a b b a log 1log =

． （二）对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5

log 5x y = 都不是对

数函数，而只能称其为对数型函数．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2、对数函数的性质：

a>1

0

32.52

1.51

0.5-0.5

-1-1.5-2-2.5

-1

1

23456780

1

1

32.52

1.5

1

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-1

1

2345678

1

1

定义域x ＞0 定义域x ＞0 值域为R 值域为R 在R 上递增

在R 上递减

函数图象都过定点（1，0）

函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如α

x y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 要点6．函数模型的实际应用

解决函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础： 读题文字语言→建模数学语言→求解

数学应用→

反馈

检验作答

收集数据

画散点图 选择函数模型

求函数模型

不符合实际

要点7．函数零点

1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有（1）零点或零点存在区间的确定；（2）零点个数的确定；（3）两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。

2．函数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。

3.用二分法求函数零点近似值，用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；（2）求区间(a,b)的中点1x ；（3）计算f(1x );①当f(1x )=0,则1x 就是函数的零点；②若f(a)·f(1x )<0,则令b=1x (此时零点01(,)x a x ∈)，③若f(1x )·f(b)<0,则令a=1x (此时零点01(,)x x b ∈)。(4)判断是否达到其精确度ε，则得零点近似值，否则重复以上步骤。

检验