第六章-基础-思维总结与递进(讲义及答案)
精讲精练
【板块一】归纳与递推探索
经典例题 1
通项归纳，就是找一找式子中每一项有什么共同规律，找出项数
n 和第 n 项数值之间的关系，然后写出这个关系式，即为“通项
求和公式：和=(首项+末项)×（ ）÷2 通项公式： 递增数列：末项 首项 (项数-1) 公差
an a1 （ ） d
递减数列：末项 首项 (项数-1) 公差
an a1 （ ） d
项数公式：项数 (末项 首项)÷（ ）+1 2. 等比数列常见公式
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同 一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母 q 表示(q≠0)。 3. 平面上 n 条直线最多有：[1 2 3 4 （n 1）] 个不同的交点； n 个图形最多可把平面分成部分数：
公式”。如：第 1 项是 1、第 2 项是 3、第 3 项是 5、……则第 n
项是 2n-1；
（1） ） 第 1 项 是 1、 第 2 项是 4、 第 3 项是 7、…… 则第 n
项是 ；
（2） ） 第 1 项 是 1、 第 2 项是 4、 第 3 项是 9、…… 则第 n
项是 ；
（3） ） 第 1 项 是 2、 第 2 项是 4、 第 3 项是 8、…… 则第 n
则第 5 项是
ห้องสมุดไป่ตู้
；
（3） 第 1 项是 1、第 2 项是 2、第 3 项是 4、第 4 项是 8、……
则第 n 项是
；
（4） 第 1 项是 1、第 2 项是 3、第 3 项是 9、第 4 项是 27、……
则第 n 项是
；
（5）1 2 4 8 16 32 64 128 。
4
知识总结
填一填，检查一下自己学扎实了吗？ 1. 等差数列三大公式
经典例题 2：25、28、11、144 练一练：（1）9 （2）25
【板块二】我们学过的归纳与递推 经典例题 3：（1）22100
（2） 100 51
经典例题 5：（1）16 （2）81
（3） 2n1
（4） 3n1
（5）255
6
n n 1
直线：1
2
圆： 2 n n 1 三角形： 2 3 n n 1 长方形： 2 4 n n 1
5
【参考答案】
【板块一】归纳与递推探索
经典例题 1：（1） 3n 2
（2） n2
（3） 2n
（4）（4）
3n 3n 1
n2 n 4 （5） n
2
练一练：（1）2550 （2）4、47
3
（2）计算：
1 1 1
1
1
1 12 123
1 2 3 49 1 2 3 49 50
经典例题 5
（1） 第 1 项是 1、第 2 项是 2、第 3 项是 4、第 4 项是 8、……则
第 5 项是
；
（2） 第 1 项是 1、第 2 项是 3、第 3 项是 9、第 4 项是 27、……
个正方形组成的。
2
练一练 下图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆 成的。仔细观察后，请回答： （1） 五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？
（2） 整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？
【板块二】我们学过的归纳与递推 经典例题 3 （1）1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 49 50) 。
第六章 思维总结与递进（讲义）
知识点睛
1. 等差数列三大公式 求和公式：和=(首项+末项) 项数÷2 通项公式： 递增数列：末项 首项 (项数-1)×公差
an a1 （n 1） d
递减数列：末项 首项 (项数-1)×公差
an a1 （n 1） d
项数公式：项数 (末项-首项)÷公差+1 2. 等比数列
项是 ；
（4） 第 1 项是 3 、第 2 项是 6 、第 3 项是 9 、……则第 n 项
4
7
10
是
；
（5） 第 1 项是 1×2、第 2 项是 2×3、第 3 项是 3×5、第 4 项是
4×8、第 5 项是 5×12……则第 n 项是
。
1
练一练 （1） 一个队列按照每排 2 人，4 人，6 人，8 人……的顺序可以 一直排到某一排有 100 人，那么这个队列共有多少人？
（2） 已知一个等差数列，它的首项是 7，第 7 项是 31，求它的公 差是多少。求它的第 11 项是多少。
经典例题 2
小正方形的边长是 1 厘米，依次作出下面这些图形，图上第一个
图形的周长是 10 厘米。①第 4 个图形是由
个小正方形组
成的，它的周长是
厘米。②周长是 70 厘米的图形是第
个图形，它是由
第六章 第1讲2015步步高化学复习大一轮讲义及练习(含答案)
1 427.2 kJ ，故热化学方程式为 SiH4(g)＋ 2O2(g)===SiO2(s) ＋ 2H2O(l) ΔH＝－1 427.2 kJ· mol－1。
(2)在25 ℃、101 kPa下，一定质量的无水乙醇完全燃烧时 放出热量Q kJ，其燃烧生成的CO2用过量饱和石灰水吸收 可得 100 g CaCO3 沉淀，则乙醇燃烧的热化学方程式为 C2H5OH(l)＋3O2(g)===2CO2(g)＋3H2O(l) __________________________________________________ －1 Δ H ＝－ 2 Q kJ· mol ______________________。
第1讲 化学能与热能
第六章 化学反应与能量
考纲要求
1.了解化学反应中能量转化的原因，能说出常见的 能量转化形式。 2.了解化学能与热能的相互转化，了解吸热反应、 放热反应、反应热等概念。 3.了解热化学方程式的含义。 4.了解能源是人类生存和社会发展的重要基础，了
解化学在解决能源危机中的重要作用。
(2)符号： ΔH 。 mol－1或 kJ/mol 。 (3)单位： kJ·
3.吸热反应和放热反应 (1) 从反应物和生成物的总能量相对大小的角度分析，如图 所示。
吸
放
(2)从反应热的量化参数——键能的角度分析
(3)记忆常见的放热反应和吸热反应
放热反应：①可燃物的燃烧；②酸碱中和反应；③大多数化 合反应；④金属跟酸的置换反应；⑤物质的缓慢氧化等。 吸热反应：①大多数分解反应；②盐的水解和弱电解质的电 离；③Ba(OH)2· 8H2O与NH4Cl反应；④碳和水蒸气、C和CO2 的反应等。
初中数学第六章 实数(讲义及答案)及答案
8．已知|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，则x+y的值为（ ）
A．1或﹣1B．-5或5C．11或7D．-11或﹣7
9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1D．2 +1
24．定义：若两个有理数a，b满足a＋b＝ab，则称a，b互为特征数．
（1）3与互为特征数；
（2）正整数n(n＞1)的特征数为；（用含n的式子表示）
（3）若m，n互为特征数，且m＋mn＝－2，n＋mn＝3，求m＋n的值．
25．在已有运算的基础上定义一种新运算 ： ， 的运算级别高于加减乘除运算，即 的运算顺序要优先于 运算，试根据条件回答下列问题．
10．若a、b为实数，且满足|a－2|＋ ＝0，则b－a的值为( )
A．2B．0C．－2D．以上都不对
二、填空题
11．[x)表示小于x的最大整数，如[2.3)=2，[ 4)= 5，则下列判断：①[ )= ；②[x) x有最大值是0；③[x) x有最小值是 1；④x [x) x，其中正确的是__________（填编号）．
12．a是 的整数部分，b的立方根为-2，则a+b的值为________．
13．若 ，则mn的值为____.
14．若实数a、b满足 ，则 =_____．
15．对于有理数a，b，规定一种新运算：a※b=ab+b，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a※b=b※a，则a=b；③方程（x﹣4）※3=6的解为x=5；④（a※b）※c=a※（b※c）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．
第六章基础-思维总结与递进(讲义及答案)
第六章思维总结与递进（讲义）知识点睛等差数列三大公式 求和公式：通项公式：递增数列： 5 = £/] +(« — 1)X 〃5 =初]—(« — l)xd项数公式：等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同 一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列 的公比，公比通常用字母q 表示（qHO ）。
和=（首项+末项）X 项数一2末项二首项+（项数_i ）x 公差 递减数列: 末项二首项-（项数7）X 公差项数=（末项-首项）一公差+1精讲精练【板块一】归纳与递推探索经典例题1通项归纳，就是找一找式子中每一项有什么共同规律，找出项数 "和第《项数值之间的关系，然后写出这个关系式，即为“通项 公式”。
如：第1项是1、第2项是3、第3项是5、……则第" 项是2«-1；① ； 项是0 ；项是 0 ； 项是 36 9 ◎ 第I 项是1、第2项是：、第3项是14 7 10 第1项是1、 第1项是1、 第1项是2、 第2项是4、 第2项是4、 第2项是4、 第3项是7、第3项是9、第3项是8、是 _________ ；© 第I项是1X2、第2项是2X3、第3项是3X5、第4项是4X8、第5项是5X12……则第《项是练一练(1) 一个队列按照每排2人，4人，6人，8人……的顺丿芋可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？(2)已知一个等差数列，它的首项是7,第7项是31,求它的公差是多少。
求它的第11项是多少。
经典例题2小正方形的边K是1厘米，依次作出下面这些图形，图上第一个图形的周长是10厘米。
①第4个图形是山 __________ 个小正方形组成的，它的周长是________ 厘米。
②周长是70厘米的图形是第_ 个图形，它是山____________ 个正方形组成的。
练一练下图表示"宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的。
心理学基础练习题答案六
读书破万卷下笔如有神第六章思维一、名词解释1．思维、言语、想象思维：思维是借助语言、表象或动作实现的对客观事物概括的、间接的反映。
言语：一种心理现象，它是个体运用语言规则表达个人思想，从而实现与他人沟通的目标的过程。
想象：想象是对头脑中已有的表象进行加工改造，重新组合成为新形象的过程。
2．概念、博弈性聚焦和保守性聚焦、推理概念：是人脑对客观事物本质特征的认识，是高级认知活动的基本单元。
博弈性聚焦和保守性聚焦：这种策略将首次获得的肯定例证中的部分属性作为初始假设，然后经过验证剔除无关的属性，逐步聚焦到关键属性。
若每次验证仅选一种属性，则称为保守性聚焦；若每次验证选两种或以上属性，则称为博弈性聚焦。
推理：是根据已有的知识推出新结论的过程，它是思维活动的一种重要形式。
3．问题表征、迁移、定势、功能固着、原型启发问题表征：就是对问题信息的搜索、提取和理解、内化的过程，是对觉察到的问题的各种条件和规则的解释。
迁移：是指已有的知识经验对解决问题的影响。
定势：是由先前的活动或经验而造成的一种预先准备状态或活动的倾向性。
功能固着：是指人们在解决问题时往往只看到某种事物的常见功能，而看不到它其他方面可能有的功能上。
原型启发：对解决问题能产生启发作用的事物叫原型启发。
4．手段—目的分析、逆向工作法手段——目的分析法：就是将问题的目标状态分解为若干子目标，通过实现一系列的子目标最终达到目标状态。
逆向工作法：是指从目标状态出发，然后返回起始状态，进而解决问题。
二、填空题1．表象是感性认识向理性认识过渡的桥梁。
2．概括性、间接性是思维的两个基本特征。
3．根据思维过程中凭借助物不同，可以将思维分为直观动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维三类；根据思维时是否具有明确的逻辑规则，思维又分为形式逻辑思维和非形式逻辑思维；根据思维的指向性不同，分为聚合思维和发散思维。
读书破万卷下笔如有神4．根据信息加工的观点，问题解决的四个阶段是问题表征，选择算子，应用算子，评价当前状态。
思维方式与方法全部答案电大本科
题
第
单
电冰箱的问世引起了冰市场的崩溃，人们用冰来保鲜食物，现在电冰箱替代了冰的作
七
选
用。同样道理，由于生... A
章
题
第
单
地球上之所以有生命存在，至少是因为具备了以下两个条件:一是因与热源保持一定
七
选
距离而产生出适当的温... C
章
题
第
单
人类学家断言:文化仅当它是独立的而非依赖的，才能有所发展。也就是说，只有当
多 删除
选
题 编辑题目
第十三章 实践证明头脑风暴法： ABCD
多 删除
选
题 编辑题目
第十三章 默写法的优点是 BC
多 删除
选
题 编辑题目
第十三章 默写法的缺点是 A
单 删除
选
题 编辑题目
第十三章 可以弥补默写法的不足的是日本开发的 CBS 法。 A 第十三章 可以弥补默写法的不足的是日本开发的 NBS 法。 A
题
章
第 判
十迂回思维法是在思维受阻不畅通，或预定目标不能达到的情况下，人们避开正面，调 断
二换一个思考问题的角度... A 题
章
第
多
十
什么是奥斯本智暴法？ ABCD
选
三
题
章
第十三 为鼓励与会者发表见解，奥斯本智暴法规定了四条原则（ ） ABDE
章
多 删除
选
题 编辑题目
第十三章 奥斯本畅谈会规定的会议组成成员和会议程序是: ABCD
章
判断 题
第二 创新思维是思维的一种智力品质，是在解决问题的过程中通过选择、突破和重新建构已有的知 判断
章 识、经验和新... A
(完整版)第六章思维与想象(复习稿、练习与参考答案)
第六章思维与想象教学要求：1、了解思维和创造思维概念、思维的过程及思维的分类；2、掌握问题解决的思维过程、影响解决问题的心理因素、创造性思维的过程、创造性思维在行为上的特征、良好的思维品质、青少年思维与想象的特点及学生创造性思维的培养。
3、了解想象概念、想象的分类。
4、了解概念学习的有关知识。
第一节思维与想象概述一、思维的一般概念（一）什么是思维思维是人脑对客观事物的间接和概括的反映，属于思维的高级阶段。
间接性和概括性是思维的主要特征。
（二）思维的过程（1）分析与综合分析是将反映的对象分解为各个部分。
综合是把对象的各个部分按一定要求、线索组成一个有机的整体。
（2）比较将两个或两个以上的反映对象的特征加以对照，确定其异同的思维操作活动。
（3）抽象与概括抽象是抽取出同类是事物的共同特征的操作活动。
概括是将抽象出来的特征推广到一类事物中去。
对鸟下定义：鸟是有羽毛、有翅膀、会飞的动物。
（下定义的过程体现了思维的抽象与概括）（三）思维的分类1．直观动作思维、形象思维和抽象思维（根据所依据的中阶物分）（1）直观动作思维在思维过程中借助知觉和实际动作操作为媒介的思维。
（2）形象思维凭借事物的具体形象和表象来进行的思维。
（3）抽象思维借助语言为媒介，运用概念，进行判断推理的思维。
2．聚合思维和发散思维（根据思维探索目标的方向分）（1）聚合思维又叫求同思维，指把问题所提供的各种信息聚合起来，朝着同一个方向得出一个正确答案的思维。
（2）发散思维又叫求异思维，是指从一个目标出发，沿着各种不同途径去思考，探求多种答案的思维。
其主要特点是求异与创新。
3．直接思维与分析思维（根据思维的过程特点分）（1）直接思维是一种非逻辑性思维，它是人脑对于突然出现的新问题、新事物和新现象，能迅速理解并作出判断的思维方式。
（2）分析思维也叫做逻辑思维，它严格遵从逻辑规律，逐步进行分析与推导，最后得出合符逻辑的正确答案或作出合理的结论。
4．常规思维和创造思维（根据思维的创新程度分）（1）常规思维指人们运用已获得的知识经验，按现成的方案和程序，用惯常的方法、固定的模式来解决问题的思维方法。
逻辑与思维+知识梳理
《逻辑与思维》基础知识第一单元树立科学思维观念第一课走进思维世界1.思维（P 1-4）含义思维有广义和狭义之分。
广义的思维与意识同义，狭义的思维与理性认识同义。
“逻辑与思维”中所说的“思维”主要是从狭义角度来讲的，指认识的高级阶段，是对事物的本质及其规律的反映。
特征思维具有间接性、概括性、能动性等特征作用思维在实践中产生，在实践中发展，又反作用于实践。
正确的思维能够指导人们在实践中实现预期的目的2.思维形态的分类（P5）从思维的方向看发散思维和思维聚合思维从思维对认识对象的思考角度看综合思维和分析思维从思维反映认识对象的方式看辩证思维和形而上学思维根据思维运行的基本单元的不同抽象思维和形象思维3.思维基本形态的特征（P6）抽象思维含义以概念、判断和推理等反映认识对象、揭示事物本质和规律的思维形态主要特征基本单元的概念性、运行方式的推导性和思维表达的严谨性形象思维含义在感觉、知觉和表象为基础上，运用联想、现象和幻想等反映认识对象、触及事物本质和规律的思维形态主要特征基本单元的形象性、运行方式的想象性和思维表达的情感性第二课把握逻辑要义1.人们把研究思维形式结构及其规律的形式逻辑视为狭义的逻辑学，而把含有狭义的逻辑学和研究辩证思维中的规律、规则与方法的辩证逻辑等视为广义的逻辑学。
(P8)形式逻辑特别关注推理问题，其核心任务是要把握从真前提推导出真结论的规律和规则。
2.逻辑思维的基本要求（形式逻辑的基本规律）同一律矛盾律排中律要求合乎逻辑的思维是具有确定性的思维。
要正确反映客观事物的事实与规律，必须让思维确定下来，该是什么就是什么，不能游移不定。
合乎逻辑的思维是具有一致性的思维。
要避免思维出现不融贯一致的逻辑错误。
合乎逻辑的思维是是具有明确性的思维。
公式“A是A”。
意思是：在同一时间、从同一方面、对同一对象所形成的论断“A”,如果是真的，就是真的；如果是假的，就是假的。
“A不是非A”。
意思是：在同一时间、从同一方面、对同一对象所形成的论断“A”和它的否定论断“非A”不能同真，其中必有一假。
期末复习《逻辑与思维》知识梳理.docx
期末复习《逻辑与思维》知识梳理第一单元树立科学思维观念第一课走进思维世界第一桩思维的含义与特征1、思维的含义（1）广义的思维：意识。
（2）狭义的思维：理性认识。
（“逻辑与思维”中所说的''思维”主要是从狭义角度来讲的，指认识的高级阶段，是对事物的本质及其规律的反映。
）2、★思维的共同特征①思维具有间接性.思维能够凭借获得的感性材料、巳有的经融和知识,透过事物的现象，揭示事物的本质和规律。
②思维具有概括性。
思维能够从多种事物及其各种各样的属性中，把握一类事物的共同本质。
③思维具有能动性。
思维能够提炼加工感性材料，形成有别于客观实际的认识。
第二框思维形态及其特征1、思维形态的分类（P5）①从思维的方向看，有发散思维和聚合思维；②从思维对认识对象的思考角度看，有综合思维和分析思维；③从思维反映认识对象的方式看，有辩证思维和形而上学思维；④根据思维运行的基本单元的不同，可以将思维分为抽象思维和形象思维。
2、★思维基本形态的特征(P6)第二课把握遗辑要义第一框“逻辑”的多种含义U逻辑学的含义(P8)（1）狭义的逻辑学：形式逻辑。
（2）广义的逻辑学：①形式逻辑。
（研究思维形式结构及其规律）②辩证逻辑。
（研究辩证思维中的规律、规则与方法）2、★形式近辑特别关注推理问题（P9）（1）推理结构：推理是由前提和结论构成的，由前提推导结论，前提作为结论的理由。
（2）从形式建辑角度看，从其前提推出宾结论，并不取决于思想的具体内容，而是取决于思想的形式结构。
（3）形式逻辑的核心任务：要把握从真前提推导出真结论的规律和规则。
3、运用推理进行论证和论辩（P9）（1）论证：把推理的理由讲出来作为“论点”的“论据”，就构成了通常所说的“论证”。
（2）论辩：用这样的论证方式去说服人，让他人接受自己的观点，或者用这样的论证方式去反驳别人的观点，就构成了“论辩”。
（3）论证和论辩中使用的推理是否有效，直接影响说服的效果。
2019-2020版语文新教材新导学必修上册讲义：第六单元 单元学习任务 Word版含答案
姓名，年级：时间：单元学习任务关键能力培养——学会辩论【相关知识】辩论是语文教学的有效活动形式之一，也是语文教学的一个难点.依据教材确定辩论主题，以预备卡指导学生学会搜集和整理素材，从而为辩论活动做好准备；而辩论后的整理反思则可进一步提升活动效果。
一、辩论的原则1.正确对待辩论的胜负辩论没有胜负之分，因为辩论的话题本身往往没有一个绝对正确的答案，所以决定辩论胜负的不是双方谁掌握了或者坚持了真理，而是看谁能够在理论上自圆其说,能够表现出高超的辩论技巧、风趣幽默的语言以及令人尊重的个人魅力,比的是谁更有人气。
2.尊重辩论对手的人格当辩论的结果明显不利于自己的时候，辩手会采用种种诡辩的手法进行辩论.但是,如果掌握不好分寸，就可能会演变成双方的谩骂和攻击,甚至对对方进行人格的蔑视乃至否定。
如果你不尊重对方的人格，自然也往往会受到对方对你人格的攻击.要想使自己的人格得到尊重,必须首先尊重他人的人格。
3。
诡辩不等于胡搅蛮缠由于辩论双方是为自己所“信奉”的真理在辩，往往明知道自己的观点不对,也不愿意认输，在辩论中进行某种诡辩是很正常的，但诡辩不等于胡搅蛮缠。
所谓的胡搅蛮缠就是：当对方把问题阐述得清清楚楚时，自己却不看对方的文章，分析对方的观点，而是继续把自己所“理解”的观点强加到对方的身上，对别人进行无目标的攻击。
二、参加辩论要注意知识的积累要取得辩论的胜利，必须要有丰富的知识积累。
这里包括两方面的含意.1。
要认真阅读对方的文章及相关资料。
从理论上分析主题的内容，避免辩词的庸俗化、贫乏化，使辩词在理论上和知识上都更丰富。
绝对避免使用庸俗不堪的实例和趣味低级的噱头进行辩论，或者以感情取代理论,故作姿态煽动性地赢取辩友们的同情或喝彩。
2.要注意日常综合知识的积累。
一个人如果光有辩论的热情，但其知识底蕴很差，可供调动的东西很少，那就会陷入“巧妇难为无米之炊”的窘境，言不达词，词不达意,纵有再高的热情，也无法取得理想的效果。
【精选】2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第6章 章末小结(含解析)
1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．5．直接证明——数学归纳法(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可，由n＝k⇒n＝k＋1时必须使用归纳假设，否则不算是数学归纳法．(2)数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题，但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法．[例1] 给出下面的数表序列：表1 1 表21 34表3 …1 3 54 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．[解] 表4为1 3 5 74 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2] 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .[解析] 分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. [答案]91解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12， 所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1. 答案：37 3n 2－3n ＋12.如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数S 3为28，按其规律再画下去，可得n (n ∈N ＋)层六边形，试写出S n 的表达式．解：设每层除去最上面的一个点的点数为a n ， 则a n 是以5为首项，4为公差的等差数列， 则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1＝n [5＋5＋4(n －1)]2＋1＝2n 2＋3n ＋1(n ∈N ＋).[例3] 在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D . 求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[证明] 如右图所示，由射影定理， AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. ∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中， AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________________.答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝12a 2＋b 2，把上述结论类比到空间，写出相似的结论．解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A -BCD 且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则此四面体的外接球半径为R ＝12a 2＋b 2＋c 2.[例4] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.[证明] 法一：(综合法) ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 法二：(分析法)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8， 只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab ≥2.由基本不等式可知，当a ＞0，b ＞0时，b a ＋ab≥2成立⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以原不等式成立．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．5．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)． (1)证明：函数f (x )的图象在y 轴一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是图象上的两点，证明：直线AB 的斜率大于零． 证明：(1)由a x －1>0，得a x >1.①当a >1时，x >0，函数图象在y 轴右侧； ②当0<a <1时，x <0，函数图象在y 轴左侧． 故函数图象总在y 轴一侧．(2)由于k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，又由x 1<x 2， 故只需证y 2－y 1>0即可．因为y 2－y 1＝log a (a x 2－1)－log a (a x 1－1)＝log a a x 2－1a x 1－1.①当a >1时，由0<x 1<x 2，得 a 0<a x 1< a x 2， 即0<a x 1－1<a x 2－1. 故有a x 2－1a x 1－1>1，log a a x 2－1a x 1－1>0， 即y 2－y 1>0. ②当0<a <1时， 由x 1<x 2<0， 得a 0>a x 1>a x 2>1. 即a x 1－1>a x 2－1>0. 故有0<a x 2－1a x 1－1<1，∴y 2－y 1＝log aa x 2－1a x 1－1>0，即y 2－y 1>0. 综上，直线AB 的斜率总大于零.[例5] 已知a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[证明]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，与a＋b＋c≤0矛盾，故假设不成立．∴a，b，c中至少有一个大于0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．(2)反证法证题的思路是：“假设—归谬—存真”．6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A[例6]已知数列{a n}满足：a1＝1,4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)的结果猜想a n用n表示的表达式；(3)用数学归纳法证明(2)的猜想．[解](1)由a1＝1及a n＋1＝9－2a n4－a n，得a2＝9－2a14－a1＝73，a3＝9－2a24－a2＝9－2×734－73＝135，a 4＝9－2a 34－a 3＝9－2×1354－135＝197.所以a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)观察a 1，a 2，a 3，a 4的值，分母构成正奇数数列2n －1，分子构成首项为1，公差为6的等差数列，故猜想：a n ＝6n －52n －1，n ∈N ＋. (3)用数学归纳法证明上面的猜想．①当n ＝1时，a 1＝6×1－52×1－1＝1，猜想正确．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，猜想正确，即a k ＝6k －52k －1. 所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝9－2a k4－a k ＝9－2·6k －52k －14－6k －52k －1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1.这就是说n ＝k ＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意正整数n 都成立．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．7．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，求a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5， 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时猜想成立， 即a k ＝3k ＋5， 则当n ＝k ＋1时，a k＋1＝3a ka k＋3＝3·3k＋53k＋5＋3＝3(k＋1)＋5，所以当n＝k＋1时猜想也成立．由①②知，对n∈N＋，a n＝3n＋5都成立．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．答案：C2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．答案：D3．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)”时，第一步验证n＝1时，左边应取的项为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n ＝1时，左边的最后一项为4，故为1＋2＋3＋4. 答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A ．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.答案：A6．用数学归纳法证明“1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A.2k (k ＋2)B.1k (k ＋1)C.1(k ＋1)(k ＋2)D.2(k ＋1)(k ＋2)解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).答案：D7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 019的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：∵75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，78＝5 764 801，… ∴7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4， 记7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数为f (n )，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， ∴72 019与73的末两位数相同，均为43. 答案：B8．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①a ·b ＝b ·a ； ②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ④由a ·b ＝a ·c (a ≠0)可得b ＝c .以上通过类比得到的结论正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确， ②错误；由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得a ·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．答案：B9．已知a >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n ＋1，故a ＝n n . 答案：B10．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63， 此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64， 故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 答案：C11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为r ＝2Sa ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为：V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A.1360 B.1504 C.1840D.11 260解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19，18－19，⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110，19－110，⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110，⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110＝1840. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为________．答案：在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→＋AD ―→)14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…， ∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2. 答案：n 216．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②当报出的数为3的倍数时，则报该数的同学需拍手一次． 当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．解析：设报出的第n 个数为a n ，则有a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋.a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，a 7＝13，a 8＝21，…，所以a 4，a 8为3的倍数，a 12＝a 10＋a 11＝2a 10＋a 9＝2a 8＋3a 9也为3的倍数，可得规律a 4m ( m ∈N ＋)为3的倍数．则当第30个数被报出时，报出的数中是3的倍数的有a 4，a 8，a 12，a 16，a 20，a 24，a 28，故五位同学拍手的总次数为7.答案：7三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出图形，可知凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，请归纳猜测凸n (n >3，n ∈N ＋)边形对角线的条数f (n )，并证明所得结论．解：由题意得，当n ＝4时，f (4)＝2＝4×12；当n ＝5时，f (5)＝5＝5×22；当n ＝6时，f (6)＝9＝6×32；…，由此猜测f (n )＝n (n －3)2， 即凸n (n >3，n ∈N ＋)边形有n (n －3)2条不同的对角线． 证明：因为凸n (n >3，n ∈N ＋)边形中从每一个顶点出发的对角线有(n －3)条， 所以从所有的顶点出发的对角线有n (n －3)． 又每条对角线都被数了两次，所以凸n (n >3，n ∈N ＋)边形的对角线的条数为n (n －3)2.18．(本小题满分12分)△ABC 的三条高分别为h a ，h b ，h c ，r 为内切圆半径，且h a ＋h b ＋h c ＝9r ，求证：该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边分别为a ，b ，c ，故只需证a ＝b ＝c . 因为h a ＝2S a ，h b ＝2S b ，h c ＝2Sc ， 其中S 为△ABC 的面积， 所以h a ＋h b ＋h c ＝2S ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c .又因为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，h a ＋h b ＋h c ＝9r ，所以(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝9.所以a 2b ＋a 2c ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2a ＋c 2b －6abc ＝0. 将上式分解因式，得a (b －c )2＋b (c －a )2＋c (a －b )2＝0. 因为a >0，b >0，c >0，所以(b －c )2＝(c －a )2＝(a －b )2＝0. 所以a ＝b ＝c .∴该三角形为等边三角形．19.(本小题满分12分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥SO 的两条母线，O是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：假设AC ⊥平面SOB ， 因为直线SO 在平面SOB 内， 所以SO ⊥AC ，因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB . 所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾， 所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，试利用三段论形式证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)21．(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1(n ≥2)的值． 解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得f (5)＝41. (2)可得f (2)－f (1)＝4×1； f (3)－f (2)＝8＝4×2； f (4)－f (3)＝12＝4×3； f (5)－f (4)＝16＝4×4； ……由上式规律，可得f (n )－f (n －1)＝4(n －1)．由以上各式相加可得f (n )－f (1)＝4[1＋2＋…＋(n －1)]＝4×(1＋n －1)(n －1)2＝2n 2－2n ，又f (1)＝1，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴原式＝11＋121－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， ∵a n >0，∴a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， ∴a 2＝2－1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3. 得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. ∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，n ∈N ＋时，a n ＝n －n －1.。