第八章知识点

第八章　λ唱矩阵 前面几章所讨论的矩阵通常是以数作为矩阵的元素，也有以多项式作矩阵的元素的，例如，特征矩阵（λE－A），其对角线上的元素就是λ－a ii．在许多数学问题及实际问题中，常常会遇到以某个变量λ的多项式做元素的矩阵，这就是本章要讨论的λ唱矩阵．具体讨论下面三个问题：１°与λ唱矩阵等价的充要条件是什么？２°λE－A这类特殊的λ唱矩阵有哪些基本性质？３°在相似的条件下，元素是常数的矩阵有哪些重要的标准形？第一讲　λ唱矩阵及其在初等变换下的标准形不变因子 一、内容要点 （一）λ唱矩阵设P是一个数域，λ是一个文字，作多项式环P［λ］；一个矩阵，如果它的元素是P［λ］的元素，就称为λ唱矩阵．用A（λ），B（λ）等表示λ唱矩阵，而A，B等表示数字矩阵．同样可定义λ唱矩阵的加减法与乘法，它们与数字矩阵有相同的运算规律．λ唱矩阵的行列式是一个λ的多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质，它也有子式等概念．定义１　如果λ唱矩阵A（λ）中有一个r（≥１）级子式不为零，而所有r＋１级子式全为零，则称A（λ）的秩为r，记为R（A（λ））＝r，零矩阵的秩规定为零．定义２　一个n×n的λ唱矩阵A（λ）称为可逆的，如果有一个n×n的λ唱矩阵B（λ），使得A（λ）B（λ）＝B（λ）A（λ）＝E，（１）这里E是n级单位矩阵．适合式（１）的矩阵（它是惟一的）称为A（λ）的逆矩阵，记为A－１（λ）．定理１　一个n×n的λ唱矩阵A（λ）可逆的充要条件为行列式│A（λ）│≠０． （二）λ唱矩阵在初等变换下的标准形定义３　下面的三种变换叫做λ唱矩阵的初等变换：１°矩阵的两行（列）互换位置（换法变换）；２°矩阵的某一行（列）乘以非零常数c（倍法变换）；３°矩阵的某一行（列）加另一行（列）的φ（λ）倍，φ（λ）是一个多项式（消法变换）．相应的初等矩阵依次记为P（i，j），　P（i（c）），　P（i，j（φ））；逆为P（i，j）－１＝P（i，j），　P（i（c））－１＝P（i（c－１）），P（i，j（φ））－１＝P（i，j（－φ））；A（λ）左乘各初等矩阵P是行变换r（i，j）等，右乘则为列变换c（i，j）等．定义４　λ唱矩阵A（λ）称为与B（λ）等价，如果可以经过一系列初等变换将A（λ）化为B（λ）．记为A（λ）→B（λ），或A（λ）～B（λ）．A（λ）～B（λ）骋A（λ）＝P１P２…P l B（λ）Q１Q２…Q t，（２）其中P i（i＝１，２，…，l），Q j（j＝１，２，…，t）都是初等矩阵．定理２　任意一个非零的s×n的λ唱矩阵A（λ）都等价于下列标准形式的矩阵d１（λ）d２（λ）筹d r（λ）０筹０，（３）其中r≥１，d i（λ）（i＝１，２，…，r）是首项系数为１的多项式，且d i（λ）│d i＋１（λ），　i＝１，２，…，r－１． （三）不变因子定义５　设λ唱矩阵A（λ）的秩为r，对于正整数k，１≤k≤r，A（λ）中必有非零·６４３·高等代数辅导与习题解答的k 级子式．A （λ）中全部k 级子式的首项系数为１的最大公因式D k （λ）称为A （λ）的k 级行列式因子．定理３　等价的λ唱矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子．在标准形（３）中，k 级子式的最大公因式是d １（λ）d ２（λ）…d k （λ），　１≤k ≤r ．定理４　λ唱矩阵的标准形是惟一的．定义６　标准形的主对角线上非零元素d １（λ），d ２（λ），…，d r （λ）称为λ唱矩阵A （λ）的不变因子．定理５　两个λ唱矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或有相同的不变因子．由于行列式因子有D k （λ）│D k ＋１（λ），　k ＝１，２，…，r －１，所以在计算行列式因子时，常先计算最高级的行列式因子，由此就可看出低级行列式因子的范围．定理６　矩阵A （λ）可逆的充要条件是它与单位矩阵等价，或说A （λ）可表为一些初等矩阵的乘积：A （λ）＝P １P ２…P l ·Q １Q ２…Q t ．推论　两个s ×n 的λ唱矩阵A （λ）与B （λ）等价的充要条件是，有一个s ×s 可逆矩阵P （λ）与一个n ×n 可逆矩阵Q （λ），使B （λ）＝P （λ）A （λ）Q （λ）．二、答疑辅导１．任何λ唱矩阵为什么一定可表成λ的多项式的形状？答　由于对λ唱矩阵可规定像数字矩阵那样的加法和数乘运算，λ唱矩阵中的元素a i j （λ）（i ＝１，２，…，s ；j ＝１，２，…，n ）又都是多项式，所以我们总可按幂次数写出：A （λ）s ×n ＝A t λt ＋A t －１λt －１＋…＋A ０，即可将A （λ）表成λ的多项式的形状，其中全部a i j （λ）的最高次数是t ，A k （k ＝０，１，２，…，t ）是由A （λ）的各个元素a i j （λ）中λk的系数组成的与A （λ）同级别的s ×n 矩阵．２．在数字矩阵中，两个矩阵等价（即A ～B ）的充分必要条件是等秩·７４３·第八章　λ唱矩阵（即R （A ）＝R （B ））；在λ唱矩阵中又如何呢？答　设A （λ），B （λ）都是s ×n 的λ唱矩阵，如果A （λ）～B （λ），由于它们都等价于相同的标准形，根据上段定理２，它们的秩相等，即有R （A （λ））＝R （B （λ））．但反之不成立．例如，A （λ）＝λ００λ，　B （λ）＝１００λ，它们的秩都等于２，但不等价（因为它们的不变因子不相同）．３．A （λ）的标准形是不是对角矩阵？答　不一定．当A （λ）是n ×n 方阵时，它的标准形当然是对角矩阵；但当A （λ）是s ×n 级矩阵时，它的标准形就不是对角矩阵了．例如，A （λ）～B （λ）＝１０００００λ０００００λ２００，B （λ）是A （λ）的标准形，它不是对角矩阵．４．怎样求n 阶可逆矩阵A （λ）的逆矩阵A －１（λ）？答　与数字矩阵一样，常用两种方法求λ唱矩阵的逆矩阵．下面用例子说明．设A （λ）＝１λλ＋１λ２＋λ＋２，求A －１（λ）．解一　用伴随矩阵法．A－１（λ）＝１│A （λ）│A （λ）倡＝１２λ２＋λ＋２－λ－（λ＋１）１．解二　用初等行变换法：（A （λ）E ）（E A －１（λ））．１λ１０λ＋１λ２＋λ＋２０１１λ１００２－（λ＋１）１ １０λ２＋λ＋２２－λ２０１－λ＋１２１２痴A－１（λ）＝１２λ２＋λ＋２－λ－（λ＋１）１．·８４３·高等代数辅导与习题解答三、例题增补例１　下列λ唱矩阵中，哪些是满秩的？哪些是可逆的？若可逆，试求其逆．１）A （λ）＝λ２λ＋１１１λ＋１λ２＋１λ－１λ－λ２； ２）B （λ）＝１０００λ－１λλ１λ２；３）C （λ）＝１λ０２λ１λ２＋１２λ２＋１．解　这里都是方阵，可通过计算行列式判别是否满秩与可逆．１）│A （λ）│＝０，A （λ）不满秩，且不可逆．２）│B （λ）│＝λ２－２λ，可见R （B （λ））＝３，是满秩的；但│B （λ）│不是非零常数，由第一段定理１的充要条件知，B （λ）不可逆．注　对于数字矩阵，满秩与可逆互为充要条件；但对λ唱矩阵，可逆比满秩的要求更高．３）│C （λ）│＝２≠０，C （λ）满秩，且可逆．C－１（λ）＝－１２C 倡（λ）＝－１２λ２＋λ－２－λ２－λλ－λ２－１λ２＋１－１４－λ－λ３λ２＋λ－２－λ．例２　求λ唱矩阵A （λ）＝１－λλ２λλλ－λ１＋λ２λ２－λ的标准形、不变因子与行列式因子．解　先用初等变换法求标准形．A （λ）１λ２λ０λ－λ１λ２－λ２１λ２λ０λ－λ００－λ２－λ１０００λ－λ００－λ２－λ１０００λ０００λ２＋λ滁B （λ），B （λ）即为A （λ）的标准形．·９４３·第八章　λ唱矩阵由标准形B （λ）可见，A （λ）的不变因子d １（λ）＝１，　d ２（λ）＝λ，　d ３（λ）＝λ（λ＋１）；而行列式因子分别为D １（λ）＝d １（λ）＝１，　D ２（λ）＝d １（λ）d ２（λ）＝λ，D ３（λ）＝d １（λ）d ２（λ）d ３（λ）＝λ２（λ＋１）．例３　求A （λ）＝０λ＋２００λ＋１００００００λ－２００λ－１０的不变因子和标准形．解　先对A （λ）用换法变换化为对角形：A （λ）λ＋１λ＋２λ－１λ－２，可见最高级别的行列式因子D ４（λ）＝（λ＋１）（λ＋２）（λ－１）（λ－２），又D k （λ）│D k ＋１（λ），　k ＝１，２，３，且D k 为k 级子式的最大公因式，所以D １（λ）＝D ２（λ）＝D ３（λ）＝１，于是不变因子d １（λ）＝d ２（λ）＝d ３（λ）＝１，d ４（λ）＝（λ＋１）（λ＋２）（λ－１）（λ－２）滁g （λ）；A （λ）的标准形为１１１g （λ），其中g （λ）＝（λ２－１）（λ２－４）．例４　求A （λ）＝λ－２１０００λ＋１２０００λ１０３４λ２＋１·０５３·高等代数辅导与习题解答的标准形．解　由于右上角的三阶子式１００λ＋１２００λ１＝２，所以行列式因子D ３（λ）＝１，从而d ３（λ）＝d ２（λ）＝d １（λ）＝１，而d ４（λ）＝│A （λ）│＝λ５－λ４－λ３－５λ２＋８λ－４滁φ（λ），所以A （λ）的标准形为１１１φ（λ）．第二讲　矩阵相似的条件　初等因子一、内容要点 （一）矩阵相似的条件引理１　如果有n ×n 数字矩阵P ０，Q ０使λE －A ＝P ０（λE －B ）Q ０，则A ∽B （相似）．引理２　对于任何不为零的n ×n 数字矩阵A 和λ唱矩阵U （λ）与V （λ），一定存在λ唱矩阵Q （λ）与R （λ）及数字矩阵U ０和V ０，使U （λ）＝（λE －A ）Q （λ）＋U ０，V （λ）＝R （λ）（λE －A ）＋V ０．定理７　设A ，B 是数域P 上两个n ×n 矩阵．A ∽B 的充要条件是，它们的特征矩阵λE －A 与λE －B 等价．由定理７，可把讨论A 与B 相似的问题转化为特征矩阵等价的问题．λE －A 的不变因子也称为A 的不变因子，也称为A 对应的线性变换Ａ·１５３·第八章　λ唱矩阵的不变因子．推论　A∽B的充要条件是它们有相同的不变因子（是相似不变量）． （二）初等因子（在复数域P中讨论）定义７　把矩阵A（或线性变换Ａ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按出现次数计算）称为矩阵A（或线性变换Ａ）的初等因子．定理８　两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子（也是相似不变量）．引理　设A（λ）＝f１（λ）g１（λ）００f２（λ）g２（λ），　B（λ）＝f２（λ）g１（λ）００f１（λ）g２（λ），如果多项式f１（λ），f２（λ）都与g１（λ），g２（λ）互素，则A（λ）～B（λ）（等价）．定理９　首先用初等变换化特征矩阵λE－A为对角形，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子．二、答疑辅导１．s行n列的两个λ唱矩阵A（λ），B（λ），A（λ）～B（λ）（等价）有哪些等价条件（充要条件）？答　有下列常用等价命题（充要条件）：A（λ）～B（λ）骋它们的标准形（又叫做法式）相同 骋它们的行列式因子相同骋它们的不变因子相同骋它们的初等因子相同，且秩相同骋存在s级可逆矩阵P（λ）和n级可逆矩阵Q（λ），使B（λ）＝P（λ）A（λ）Q（λ）．２．λ唱矩阵A（λ）的行列式因子、不变因子、初等因子有何区别和联系，它们有什么用处？答　设A（λ）的秩为r，对于正整数k（１≤k≤r），A（λ）中所有k级子式的首项系数为１的最大公因式D k（λ）称为A（λ）的k级行列式因子．A（λ）的标准形主对角线上的非零元素d i（λ）（i＝１，２，…，r）称为A（λ）的·２５３·高等代数辅导与习题解答不变因子．将λE －A （或A ，Ａ）的次数大于零的不变因子在复数域中分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按照出现的次数计算）称为A 的初等因子．比较上述三种定义，就可以发现它们之间的一些区别和联系．另外，还有D i （λ）＝d １（λ）d ２（λ）…d i （λ），　i ＝１，２，…，r ，d １（λ）＝D １（λ），　d i （λ）＝D i （λ）D i －１（λ），　i ＝２，３，…，r ，可见行列式因子与不变因子是可以互相确定的．由上二式还可看出，D １（λ）│D ２（λ）│D ３（λ）│…│D r －１（λ）│D r （λ），d １（λ）│d ２（λ）│d ３（λ）│…│d r －１（λ）│d r （λ）．（１）行列式因子与不变因子是在一般数域P 中对一般λ唱矩阵A （λ）而言的，求出了D i （λ），也就可知d i （λ）（i ＝１，２，…，r ），从而可以写出与A （λ）等价的标准形，便于研究相似矩阵．对一般A （λ）也可以在复数域Ｃ中定义初等因子，之所以要求是复数域，是为了保证不变因子d i （λ）可分解为·一·次因式方幂的乘积．引入初等因子的好处，是可以将A （λ）经初等变换化为对角形（不必是标准形，它们还要求d i （λ）│d i ＋１（λ），即如式（１）所示，逐一地一个整除另一个），而由对角形即可确定A （λ）的全部初等因子．引入初等因子的目的，是为了在下一讲中得到矩阵A 的若尔当标准形，所以只需研究A （或特征矩阵λE －A ）的初等因子就够了．３．在问１中，A （λ）～B （λ）骋它们的初等因子相同，且秩相同．为什么还要加上等秩？答　若A （λ）与B （λ）的不变因子（或行列式因子）相同，则A （λ）与B （λ）有相同的标准形，自然地R （A （λ））＝R （B （λ））；但仅有初等因子相同，还不能保证等秩，即不能保证有相同的标准形和等价，故还要附加上秩相同．例如，A （λ）＝λ００λ＋１，　B （λ）＝λ（λ＋１）０００，这两个λ唱矩阵有相同的初等因子λ与λ＋１，但秩R （A （λ））＝２≠R （B （λ））＝１，可见仅有初等因子相同尚不能保证A （λ）～B （λ）．三、例题增补例１　求·３５３·第八章　λ唱矩阵A （λ）＝λ－ac １λ－a c ２筹筹λ－a c n －１λ－a的不变因子和初等因子．其中a ，c １，c ２，…，c n －１都是常数，且c １c ２…c n －１≠０．解　因为A （λ）是n 级方阵，有行列式因子D n （λ）＝│A （λ）│＝（λ－a ）n ；删去A （λ）的第１列和第n 行所得的n －１级子式Mn －１＝c １c ２…c n －１≠０　（常数），所以D n －１（λ）＝１，从而D １（λ）＝D ２（λ）＝…＝D n －２（λ）＝１．于是A （λ）的不变因子d １（λ）＝d ２（λ）＝…＝d n －１（λ）＝１，而d n （λ）＝（λ－a ）n ．从而初等因子只有一个，为φ（λ）＝（λ－a ）n ．例２　求A （λ）＝λ－１００λ的不变因子．解　【例１是由不变因子求初等因子；显然本例中不变因子不是λ－１和λ，因为不变因子要求d １（λ）│d ２（λ），本例与上例相反，可由初等因子求不变因子．】显然A （λ）的初等因子是λ－１与λ，而│A （λ）│＝λ（λ－１）≠０，　秩R （A （λ））＝２，所以A （λ）的不变因子为d １（λ）＝１，　d ２（λ）＝λ（λ－１）．例３　设A （λ）是一个n 级方阵，秩为４，初等因子是（λ－６）２，（λ－３）４，（λ－３）４，（λ－２）５，（λ－２）５，试求A （λ）的标准形．解　由于秩R （A （λ））＝４，故A （λ）有４个不变因子，考虑到d １（λ）│d ２（λ）│d ３（λ）│d ４（λ），所以d １（λ）＝d ２（λ）＝１，　d ３（λ）＝（λ－３）４（λ－２）５，·４５３·高等代数辅导与习题解答d ４（λ）＝（λ－３）４（λ－２）５（λ－６）２，所以A （λ）的标准形为B （λ）＝１ １ （λ－３）４（λ－２）５ （λ－３）４（λ－２）５（λ－６）２ ０ 筹 ０n ×n．例４　化下列λ唱矩阵为标准形：A （λ）＝０λ（λ－１）０λ０λ＋１００－λ＋２．解一　先用初等变换化A （λ）为对角形，写出初等因子，求出不变因子，便可写出标准形．A （λ）r １吃r ２λ０λ＋１０λ（λ－１）０００－λ＋２c ３－c １c １吃c ３１０λ０λ（λ－１）０－λ＋２００r ３＋（λ－２）r １c ３－λc １１０００λ（λ－１）０００λ（λ－２）滁B （λ），B （λ）已是对角形，可见R （A （λ））＝R （B （λ））＝３，且A （λ）有初等因子：λ，　（λ－１），　λ，　（λ－２），故３个不变因子为１，　λ，　λ（λ－１）（λ－２），A （λ）的标准形为C （λ）＝１０００λ０００λ（λ－１）（λ－２）．解二（提示）　将对角形矩阵B （λ）继续用初等变换化为标准形C （λ），步骤为A（λ）～B（λ）r２＋r３B１（λ）c３－c２c２吃c３B２（λ）r３＋（λ－２）r２c３＋（λ－１）c２r２×（－１）C（λ），具体的运算留给读者验证．显然，解一优于解二．解三（提示）　先求行列式因子，再求不变因子，并写出标准形（略）．例５　判断下列λ唱矩阵是否等价：A（λ）＝λ（λ＋１）０００λ０００（λ＋１）２，　B（λ）＝００λ＋１０２λ０λ（λ＋１）２００．解一　A（λ）已是对角形，它的秩为３，初等因子为λ，　λ＋１，　λ，　（λ＋１）２；将B（λ）也化为对角形：B（λ）r２×１／２c１吃c３λ＋１０００λ０００λ（λ＋１）２，可见B（λ）的秩也为３，且与A（λ）有相同的初等因子组：λ＋１，　λ，　λ，　（λ＋１）２，故A（λ）～B（λ）．解二　因将A（λ），B（λ）用初等变换化成的标准形相同，故等价（略）．例６　下列矩阵哪些相似，哪些不相似？A＝－１１０－４３０１０２，　B＝３０８３－１６－２０－５，　C＝２０００１１１０１．解　【变为考察它们的特征矩阵是否等价．】因为　λE－A＝λ＋１－１０４λ－３０－１０λ－２c１＋（λ＋１）c２r２＋（λ－３）r１０－１０（λ－１）２００－１０λ－２r１×（－１）c１吃c２r２吃r３１０００－１λ－２０（λ－１）２０r３＋（λ－１）２r２c３＋（λ－２）c２r２×（－１）１０００１０００（λ－２）（λ－１）２，所以λE－A有不变因子：１，　１，　（λ－２）（λ－１）２．同理可得，λE－B与λE－C的不变因子依次为１，　λ＋１，　（λ＋１）２；１，　１，　（λ－２）（λ－１）２．可见λE－A～λE－C痴A∽C；而A与B，B与C都不相似．第三讲　矩阵的若尔当标准形与有理标准形一、内容要点 （一）若尔当标准形的理论推导定理１０　每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A惟一决定的，它称为A 的若尔当标准形．定理１１　设Ａ是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必存在一组基，使Ａ在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这若尔当形除去若尔当块的排列次序外是被Ａ惟一决定的．定理１２　复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是，A的初等因子全是一次的．定理１３　复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是，A的不变因子都没有重根． （二）矩阵的有理标准形定义８　对数域P上的一个多项式d（λ）＝λn＋a１λn－１＋…＋a n，称矩阵F＝００…０－a n１０…０－a n－１０１…０－a n－２┆┆┆┆００…１－a１（倡）为多项式d（λ）的伴侣阵（或友阵）．易验证，F的（即λE－F的）不变因子是１，　１，　…，　１，　d（λ）．定义９　下列准对角矩阵F＝F１F２筹F s，其中F i（i＝１，２，…，s）分别是数域P上某多项式d i（λ）的伴侣阵，且满足d１（λ）│d２（λ）│…│d s（λ）│，则称F为P上的一个有理标准形矩阵．定理１４　数域P上n×n方阵A在P上相似于惟一一个有理标准形，称为A的有理标准形．定理１５　设Ａ是数域P上n维线性空间的线性变换，则在V中存在一组基，使Ａ在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形是由Ａ惟一决定的，称为Ａ的有理标准形．二、答疑辅导１．对于矩阵A，常用哪些标准形？答　常用下列三类（共５种）标准形．１）等价标准形．其用处是明显的，如求秩，求逆，λE－A～λE－B痴A∽B，等等．设A是m×n矩阵，则存在m级与n级可逆矩阵P，Q，使A～B＝PA Q＝E r OO O，其中r＝秩R（A）．２）合同标准形．用于求二次型的标准形等．１°设A 为复对称矩阵，则存在复数可逆矩阵P ，使A 与B ＝P ′A P ＝E rO合同，其中r ＝R （A ）．２°设A 为实对称矩阵，则存在实数可逆矩阵P ，使A 与B ＝P ′A P ＝E s－E tO合同，其中s ＋t ＝r ＝R （A ），s ，t 分别为正、负特征值的个数．３）相似标准形．用处见第４问．１°若尔当标准形．设A 为n 阶复方阵，则存在可逆复方阵P ，使A ∽B ＝P －１A P 滁J ＝J １J ２筹J s，J i ＝λi １　筹　筹 筹　１ λi（i ＝１，２，…，s ）J i 为若尔当块，是n i 阶方阵，λi 是A 的特征值，n i 是重数，且n １＋n ２＋…＋n s ＝n ．２°有理标准形（即弗洛扁尼斯（Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ）标准形）．如定理１４、１５所述，任意数域P 上的方阵A 必相似于某一有理标准形，即存在P 上的可逆矩阵Q ，使A ∽F ＝Q－１A Q ＝ｄｉａｇ（F １，F ２，…，F s ），其中F i （i ＝１，２，…，s ）为数域P 上某多项式d i （λ）的伴侣阵，即为有理标准形子块．至于相似标准形中正交矩阵P ，Q 的求法，则要见下章的内容．２．矩阵的等价、合同与相似，这三者之间的关系如何？答　合同与相似比等价要求更高，合同必等价，相似也必等价．但反之不然，因合同与相似都是对特殊的方阵A 而言，要求更高，而等价是对一般m ×n 矩阵而言的；另外，在等价矩阵A ～PA Q 中，左、右乘的矩阵甚至连阶数都可不一样；但在与A 合同的矩阵P ′A P 中，左、右乘的矩阵要求阶数一样，且互为对称阵；在相似矩阵A ∽P －１A P 中，左、右乘的矩阵也是与A 同阶的方阵，且互为逆矩阵．可见，等价未必合同，等价也未必相似，即使对方阵A 也是如此．另外，合同与相似没有必然的联系；仅当可逆矩阵P 为·正·交矩阵（见下一章）时，有P ′A P ＝P －１A P 滁B ，仅在此时，合同与相似是一致的，即A 与B 既合同，又相似．３．为什么称弗洛扁尼斯矩阵为有理标准形？答　这是因为，F 唱矩阵中（及其子块F i 中）的元素有许多０，１和－a i （见上段式（倡）），它们是从原矩阵A 的元素经过·有·理运算（即加、减、乘、除四则运算）用化０（或化１）法变换而来的，故称F 为A 的有理标准形．４．学习若尔当标准形与有理标准形有何用处？答　除了它们自身的理论价值以外，这两种标准形可以把求解微分方程组的手续大为简化（读者可参考有关微分方程的教材，或见下段例５）．究竟用哪一种标准形来简化微分方程组呢？两种标准形各有优缺点，这要根据所给微分方程组的实际情况来决定．用若尔当标准形的优点是求解快，但求高次方程的特征根λ１，λ２，…，λs 决非易事；利用有理标准形可以避开求特征值，但在求中间变量的解时需要积分，也不轻松．所以，当微分方程组ｄxｄt＝A x 中的系数矩阵A ＝（a i j ）n 的特征值易求（比如n 较小）时，用若尔当标准形求解；否则就用有理标准形求解．三、例题增补例１　设矩阵A ＝１０００２０００－１，B ＝１－１０１２０００３，C ＝－２０００１０００１，D ＝０１０１００００２．问B ，C ，D 中，１）哪些与A 等价；２）哪些与A 合同；３）哪些与A 相似？（都要说明理由．）答　１）B ，C ，D 都与A 等价，因为A ，B ，C ，D 的秩都为３．２）B 与A 不合同，因A 虽是对称矩阵，但B 不是对称矩阵；再令X ＝１／２１／２１，　Y ＝１２００１２２０１－１０，易验证C ＝X A X ′，　A ＝YD Y ′，所以C 与D 都与A 合同．３）因为│A │＝－２≠│B │＝９，所以A 与B 不相似；又易知A 与C 的初等因子组不相同，所以A 与C 也不相似；而A 与D 有相同的初等因子组（由读者验证）且等秩，所以A ∽D ．例２　求C ＝１２３４０１２３００１２０００１的若尔当标准形．解　λE －C ＝λ－１－２－３－４λ－１－２－３λ－１－２λ－１，由于右上角的三阶子式为－２－３－４λ－１－２－３０λ－１－２＝－４λ（λ＋１），而顺序主子式M ３＝λ－１－２－３λ－１－２λ－１＝（λ－１）３，它们没有含λ的公因式，所以行列式因子D ３（λ）＝１，从而不变因子d １（λ）＝d ２（λ）＝d ３（λ）＝１，　而　d ４（λ）＝│λE －C │＝（λ－１）４，初等因子为（λ－１）４，故C 的若尔当标准形为J 滁１１１１１１１．例３　设A ＝－５１４－１２３８－６１５，易知它的三个特征值为１，１，１，试将A 表成A ＝PJP －１，其中J 是A 的若尔当标准形，P 是变换矩阵，求J ，P 和P －１．解　由题设知，特征多项式│λE －A │＝（λ－１）３，由文献［１］Ｐ畅３１７引理２和［１］Ｐ畅３１８例２知，A 的最小多项式为（λ－１）３的因式，只能是λ－１，　（λ－１）２　或　（λ－１）３，经验算知A －E ≠O ，　（A －E ）２＝O ，从而A 的最小多项式为（λ－１）２＝d ３（λ）（见本章补充题１畅２）），所以d １（λ）＝１，　d ２（λ）＝λ－１，A 的初等因子为λ－１，　（λ－１）２，所以J ＝１０００１１００１．再求P ．设P ＝（α１，α２，α３），由P －１A P ＝J ，有A P ＝PJ ，即A （α１，α２，α３）＝（α１，α２，α３）１１１１．（１）解特征方程组（λE －A ）X ＝０，代入λ＝１，可先得１个特征向量α１＝（１，６，０）′．再设α２＝（x １，x ２，x ３）′，α３＝（x ４，x ５，x ６）′，由式（１），代入得－５１４－１２３８－６１５１x １x ４６x ２x ５０x ３x ６＝１x １x ４６x ２x ５０x ３x ６１１１１，解得x １＝x ４＝x ６＝１，　x ２＝－１，　x ３＝x ５＝２，所以P ＝１１１６－１２０２１，　从而　P －１＝－５１３－６１４　１２－２－７．例４　设A ＝１－３０３－２６０１３０－３１３－１２０８，求A的有理标准形F与若尔当标准形J．解　可先求出λE－A的（或A的）不变因子．不变因子为１，　１，　λ－１与λ３－１５λ２＋３３λ－１９＝（λ－１）（λ－７＋３０）（λ－７－３０），可见A的若尔当标准形J＝ｄｉａｇ（１，１，７－３０，７＋３０）；而A的有理标准形为F＝F１００F２，其中F１＝１，F２＝００１９１０－３３０１１５，即F＝１００　００００　１９０１０－３３００１　１５．倡例５　解微分方程组ｄxｄt＝A x，（１）其中A＝（a i j）n，x＝（x１，x２，…，x n）′，ｄxｄt＝ｄx１ｄt，ｄx２ｄt，…，ｄx nｄt ′．解　１）设特征值各不相同．由常系数一阶线性齐次方程组的知识，方程组（１）有形如x i＝c iｅλi t　（i＝１，２，…，n）的解，写成矩阵等式，即x＝x１┆x n＝c１┆c nｅλi t滁ξiｅλi t，（２）将方程组（２）代入方程组（１），并消去ｅλi t，就得到（λi E－A）ξi＝０．（３）于是这就将求解微分方程组（１）的问题，转化成了求解代数方程组（即特征方程组）（３）的问题，其中待求的λi是特征值，可由求特征多项式的根得出；而ξi 是对应于λi的特征向量，可由解方程组（３）得到．当λi（i＝１，２，…，n）互不相同时，就得到线性无关的n个解向量ξi，于是可以组成微分方程组（１）的通解x ＝c １ξ１＋c ２ξ２＋…＋c n ξn （c １，c ２，…，c n 是任意常数）．当λi 中有重根时，用上述方法得出的特征向量少于n 个，这时需用若尔当标准形或有理标准形求解方程组（１）．２）用若尔当标准形求解方程组（１）．先把方程组（１）中系数矩阵A 化成J ＝P A P －１，其中P ＝（p i j ）n ，由方程组（１），有P ｄxｄt＝PA x ＝P A P －１·Px ＝J ·Px ，但Pｄxｄt＝（p i j ）n ·ｄx １ｄt ┆ｄx n ｄt ＝p １１ｄx １ｄt ＋…＋p １nｄx nｄt┆p n １ｄx １ｄt ＋…＋p nn ｄx nｄt＝ｄｄt（p １１x １＋…＋p １n x n ）┆ｄｄt（p n １x １＋…＋p nn x n ）＝ｄｄt （Px ），记y ＝y １┆y n滁P x ＝P x １┆x n，　有　ｄyｄt ＝Jy ，即ｄyｄt＝ｄy １ｄt┆ｄy n ｄt＝　λ１０…００１λ１…００┆┆┆┆００…１λ１（k １阶） 筹 （k t 阶）λt １λt 筹筹１λt y １y ２┆y n，（４）于是，就将微分方程组（１）用若尔当标准形变成了简单的微分方程组（４），即ｄy １ｄt ＝λ１y １，ｄy ２ｄt ＝y １＋λ１y ２，…，ｄy k １ｄt＝y k １－１＋λ１y k １， ┆ｄy k １＋…＋k t －１＋１ｄt ＝λt y k １＋…＋k t －１＋１，…，ｄy nｄt＝y n －１＋λt y n ．（４）′。