第41讲 逻辑、推理与证明、复数、框图

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义；
（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
4．框图
（1）流程图
①通过具体实例，进一步认识程序框图；
②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）；
③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用；
用分析法证明不等式的逻辑关系是：
分析法的思维特点是：执果索因；
分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，
从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……
这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。
综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座41—逻辑、推理与证明、复数、框图）
一．课标要求：
1．常用逻辑用语
（1）命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；
（2）简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.
解析：由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整。
（1）p或q：9是144或225的约数；
p且q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；
非p：9不是144的约数.
∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，而“非p”为假.
（4）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想；
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用；
3．数系的扩充与复数的引入
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。
（4）条件
一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
可分为四类：（1）充分不必要条件，即pq,而q p；(2)必要不充分条件，即p q,而qp；(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp；(4)既不充分也不必要条件，即p q，又有q p。
一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：p q.“ ”叫做等价符号。p q表示pq且qp。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
（5）全称命题与特称命题
这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。
首先，你要对所画结构图的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握，从头止尾抓住主要脉络进行分解，然后将每一步分解进行归纳与提炼，形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内。最后，按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，这样就画成了知识结构图。
认识结构图：由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成。
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
2．推理与证明
（1）合情推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理；
（3）全称量词与存在量词
①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2．推理与证明
（1）合情推理与演绎推理
①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；
②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。
类比推理的一般步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。
第二步、画出程序框图表达算法；
第三步、写出计算机相应的程序并上机实现。
四．典例解析
题型1：判断命题的真值
例1．写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。
（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数。
（2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1；
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（2）直接证明与间接证明
①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；
②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点；
（3）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；
（2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；
p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；
非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；
复数的加法法则：（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；复数的加法法则：（a+bi）－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；复数的乘法法则：（a+bi）（c+di）=(ac－bd)+(ad+bc)i；复数的除法法则：(a+bi) (c+di)= = = = + ；
4．框图
（1）结构图
用综合法证明不等式的逻辑关系是：
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
3．数系的扩充与复数的引入
形如a+bi(a,b 的数，我们把它们叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。
鉴于用自然语言描述算法所出现的种种弊端，人们开始用流程图来表示算法，这种描述方法既避免了自然语言描述算法的拖沓冗长，又消除了起义性，且能清晰准确地表述该算法的每一步骤，因而深受欢迎。
设计算法解决问题的主要步骤：
第一步、用自然语言描述算法；
算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。
∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q”均为假，而“非p”为真.
（3）p或q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；
p且q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；
非p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；
∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q”均为假，而“非p”为真.
（2）演绎推理
分析上述推理过程，可以看出，推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题（如“全等三角形”）推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。
（3）证明
反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假Hale Waihona Puke 假假假“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
q
P或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。