第41讲逻辑推理与证明复数框图
推理与证明复数框图介绍(简稿)
回忆遇到过的证明方法， ⑵ 回忆遇到过的证明方法，挖掘 出证明方法的思维过程和特点。 出证明方法的思维过程和特点。
证明过程：从要证的结论出发，反推回去， 证明过程：从要证的结论出发，反推回去， 寻求保证结论成立的条件， 寻求保证结论成立的条件，直到找到一个 明显成立的条件为止． 明显成立的条件为止．
普通高中课程标准实验教科书 数学 · 选修 推理与证明
简
介
人民教育出版社中学数学室
一、内容与要求
1.结合已学过的数学实例和生活实例，了解 1.结合已学过的数学实例和生活实例， 结合已学过的数学实例和生活实例 合情推理的含义， 合情推理的含义，能利用归纳和类比等进 行简单的推理， 行简单的推理，体会并认识合情推理在数 学发现中的作用。 学发现中的作用。 2.结合已学过的数学实例和生活实例， 2.结合已学过的数学实例和生活实例，体会 结合已学过的数学实例和生活实例 演绎推理的重要性， 演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本 方法，并能运用它们进行一些简单推理。 方法，并能运用它们进行一些简单推理。 3.通过具体实例， 3.通过具体实例，了解合情推理和演绎推理 通过具体实例 之间的联系与差别。 之间的联系与差别。
高考数学艺考生总复习课件复数、推理与证明
典例变式
变式训练二
1.(2019·合肥模拟)已知 i 为虚数单位,则(2+i2)(-3i-4i) =( A )
A.5
B.5i
C.-75 − 152i
D.-75 + 152i
【解析】
1.法一:(2+i2)(-3i -4i)
=
10-5i 2-i
=5,故选
A.
法二:(2+i2)(-3i -4i)
=
(2+i)2 (3-4i ) (2+i)(2-i)
7.用反证法证明问题的一般步骤
第一步
分清命题“p⇒q”的条件和结论
第二步
作出命题结论 q 相反的假设������q
第三步
由 p 和������q 出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果
第四步
断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设������q 不真,于是结论 q 成 立,从而间接地证明了命题 p⇒q 为真
典例变式
变式训练三
1.(2019·广州模拟)设z=1+i(i是虚数单位),则复数
2 ������
+z2在复平面内对应的点位于(
A
)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】 因为 z=1+i,所以2������+z2=12+i+(1+i)2=(12+(i1)(-1i)-i)+1+2i+i2=2(12-i)+2i=1+i,
知识梳理
(3)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理,直接证明
内容 综合法
分析法
从要证明的结论出发,逐步寻求
高考数学二轮复习精品资料 专题10推理证明 复数 算法框图(学生版)
高考数学二轮复习精品资料专题10推理证明复数算法框图（学生版）【考纲解读】1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义．2.会进行复数代数形式的四则运算．②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．3.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．4.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．6.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．7.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．(理科)8.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．9.了解算法的含义，了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．10.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．【考点预测】今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面：1.复数与算法框图是历年高考的热点内容，考查方式主要在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主，难度较低。
2.推理证明也是高考的一个重点内容，考查方式多样，在客观题中主要考查合情推理中的归纳与类比，证明题目多以解答题的一个分支出现，常与数列、导数、不等式等知识结合，理科可能考查数学归纳法，难度较高，将继续强调考查逻辑推理、归纳等能力。
【要点梳理】1.合情推理与演绎推理：合情推理包括归纳与类比，明确演绎推理的三个模式（大前提、小前提、结论）.2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、得出矛盾、肯定结论.3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、不等式、整除及几何等问题。
第41讲 逻辑、推理与证明、复数、框图
高三新数学第一轮复习第四十一讲逻辑、推理与证明、复数、框图一．知识整合：1．常用逻辑用语（1）命题命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。
（2）复合命题的真值“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：“p且q“p且q注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
（3）四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。
（4）条件一般地，如果已知p⇒q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
可分为四类：（1）充分不必要条件，即p⇒q,而q⇒p；(2)必要不充分条件，即p⇒q,而q⇒p；(3)既充分又必要条件，即p⇒q，又有q⇒p；(4)既不充分也不必要条件，即p⇒q，又有q⇒p。
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q.“⇔”叫做等价符号。
p⇔q表示p⇒q且q⇒p。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
高考数学北师大理一轮复习 第章 推理与证明算法复数 算法与算法框图 文档
1．算法的含义算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．2．算法框图在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤，算法框图的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．其结构形式为(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．其结构形式为(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．其基本模式为4．基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．5．赋值语句(1)一般形式：变量＝表达式(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．6．条件语句(1)If—Then—Else语句的一般格式为：(2)If—Then语句的一般格式是：7．循环语句(1)For语句的一般格式：(2)DoLoop语句的一般格式：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．(×)(2)算法框图中的图形符号可以由个人来确定．(×)(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．(×)(4)选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．(√)(5)5＝x是赋值语句．(×)(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．(√)1．已知一个算法：(1)m＝a.(2)如果b<m，则m＝b，输出m；否则执行第(3)步．(3)如果c<m，则m＝c，输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A．3 B．6C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2，故选C.2．(2015·陕西)根据如图所示的框图，当输入x为6时，输出的y等于()A．1B．2 C．5D．10答案 D解析输入x＝6，程序运行情况如下：x ＝6－3＝3＞0，x ＝3－3＝0≥0，x ＝0－3＝－3＜0， 退出循环，执行y ＝x 2＋1＝(－3)2＋1＝10， 输出y ＝10.故选D.3．如图是一个算法框图，则输出的S 的值是________．答案 0解析 该算法框图运行2016次，所以输出的S ＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋…＋cos 2015π3＋cos2016π3＝336(cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋…＋cos 6π3)＝0.4．如图，是求实数x 的绝对值的算法框图，则判断框①中可填________________．答案 x >0(或x ≥0)解析 由于|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≥0，－x ，x <0或|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x ≤0，故根据所给的算法框图，易知可填“x>0”或“x≥0”．5．如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的算法框图，则正整数n＝________.答案100解析第一次判断执行后，i＝2，s＝12；第二次判断执行后，i＝3，s＝12＋22，而题目要求计算12＋22＋…＋1002，故n＝100.题型一顺序结构与选择结构命题点1顺序结构例1已知f(x)＝x2－2x－3，求f(3)、f(－5)、f(5)，并计算f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出算法框图．解算法如下：第一步，令x＝3.第二步，把x＝3代入y1＝x2－2x－3.第三步，令x＝－5.第四步，把x＝－5代入y2＝x2－2x－3.第五步，令x＝5.第六步，把x＝5代入y3＝x2－2x－3.第七步，把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3.第八步，输出y1，y2，y3，y的值．该算法对应的算法框图如图所示：命题点2 选择结构例2 执行如图所示的算法框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]答案 A解析 根据算法框图可以得到分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，进而在函数的定义域[－1,3]内分段求出函数的值域．所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上可知，函数的值域为[－3,4]，即输出的s 属于[－3,4]． 引申探究若将本例中判断框的条件改为“t ≥1”，则输出的s 的范围是什么？解 根据算法框图可以得到，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，此时－5≤s <3；当1≤t≤3时，s＝3t∈[3,9]．综上可知，函数的值域为[－5,9]，即输出的s属于[－5,9]．思维升华应用顺序结构与选择结构的注意点(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)选择结构①选择结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；②对选择结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．(2014·四川)执行如图所示的算法框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时输出S的值为1；当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤1表示的平面区域如图中阴影部分，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.题型二循环结构命题点1由算法框图求输出结果例3(2015·安徽)执行如图所示的算法框图，输出的n为________．答案 4解析结合算法框图逐一验证求解．执行第一次判断：|a－1.414|＝0.414>0.005，a＝32，n＝2；执行第二次判断：|a－1.414|＝0.086>0.005，a＝75，n＝3；执行第三次判断：|a－1.414|＝0.014>0.005，a＝1712，n＝4；执行第四次判断：|a－1.414|<0.005，输出n＝4.命题点2完善算法框图例4(2014·重庆)执行如图所示的算法框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是()A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45答案 C解析 第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，正是输出的结果，故这时程序不再满足条件，结束循环，而选项A 和B 都满足条件，故排除A 和B ，故选C.命题点3 辨析算法框图的功能例5 (2014·陕西)根据下面框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1答案 C解析 由算法框图可知第一次运行：i ＝1，a 1＝2，S ＝2； 第二次运行：i ＝2，a 2＝4，S ＝4； 第三次运行：i ＝3，a 3＝8，S ＝8； 第四次运行：i ＝4，a 4＝16，S ＝16. 故选C.思维升华 与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知算法框图，求输出的结果，可按算法框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善算法框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析算法框图功能问题，可将算法执行几次，即可根据结果作出判断．(1)(2015·课标全国Ⅰ)执行如图所示的算法框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(2014·课标全国Ⅱ)执行如图所示的算法框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 (1)C (2)D解析 (1)逐次运行程序，直至输出n .运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.0625，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.0625＝0.0625，m ＝0.03125，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.03125，m ＝0.015625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015625，m ＝0.0078125，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.0078125，m ＝0.00390625，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C.(2)x ＝2，t ＝2，M ＝1，S ＝3，k ＝1. k ≤t ，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2；k ≤t ，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3；3>2，不满足条件，输出S ＝7. 题型三 基本算法语句例6 (1)以下程序运行结果为( )A ．80B ．120C ．100D ．95 (2)下面的程序：该程序运行的结果为________． 答案 (1)B (2)6解析 (1)运行结果为t ＝1×2×3×4×5＝120. (2)∵a ＝33，b ＝39，∴a <b ，∴t ＝33，a ＝39，b ＝33，a －b ＝39－33＝6.思维升华 解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )A ．25B ．30C ．31D ．61 答案 C解析 由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6(x －50)，x >50.当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.所以输出y的值为31.21．变量的含义理解不准致误典例执行如图所示的算法框图，输出的S值为()A．2B．4C．8D．16易错分析(1)读不懂算法框图，把执行循环体的次数n误认为是变量k的值，没有注意到k 的初始值为0.(2)对循环结构：①判断条件把握不准；②循环次数搞不清楚；③初始条件容易代错．解析当k＝0时，满足k<3，因此S＝1×20＝1；当k＝1时，满足k<3，则S＝1×21＝2；当k＝2时，满足k<3，则S＝2×22＝8；当k＝3时，不满足k<3，输出S＝8.答案 C温馨提醒(1)要分清两种循环结构；要理解循环结构中各变量的具体含义以及变化规律．(2)在处理含有循环结构的算法问题时，关键是确定循环的次数，循环中有哪些变量，且每一次循环之后的变量S、k值都要被新的S、k值所替换．[方法与技巧]1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性．2．在画算法框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．[失误与防范]1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．2．注意选择结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，选择结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个选择结构，用于确定何时终止循环体．3．循环语句有“For语句”与“DoLoop语句”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序．4．关于赋值语句，有以下几点需要注意：(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“＝”．A组专项基础训练(时间：25分钟)1．(2015·北京)执行如图所示的算法框图，输出的k值为()A．3B．4C．5D．6 答案 B解析第一次循环：a＝3×12＝32，k＝1；第二次循环：a＝32×12＝34，k＝2；第三次循环：a＝34×12＝38，k＝3；第四次循环：a＝38×12＝316<14，k＝4.故输出k＝4.2．(2015·课标全国Ⅱ)下边算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于()A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析由题知，若输入a＝14，b＝18，则第一次执行循环结构时，由a＜b知，a＝14，b＝b－a＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝14－4＝10，b＝4；第三次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝10－4＝6，b＝4；第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束． 故选B.3．执行如图所示的算法框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 由题意，得k ＝1时，s ＝1；k ＝2时，s ＝1＋1＝2；k ＝3时，s ＝2＋4＝6；k ＝4时，s ＝6＋9＝15；k ＝5时，s ＝15＋16＝31>15，此时输出k 值为5.4．(2015·重庆)执行如图所示的算法框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524答案 C解析 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填“s≤1112”． 5．(2015·天津)阅读右边的算法框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．－10B ．6C ．14D ．18答案 B解析 运行相应的程序，第一次循环：i ＝2，S ＝20－2＝18；第二次循环：i ＝4，S ＝18－4＝14；第三次循环：i ＝8，S ＝14－8＝6；8＞5，终止循环，输出S ＝6，故选B.6．定义某种运算，a b 的运算原理如图所示．设S ＝1x ，x ∈[－2,2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为( )A ．2B ．－1C ．4D ．3 答案 A解析 由题意可得，S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，－2≤x ≤1，1，1<x ≤2，∴S (x )max ＝2，S (x )min ＝0， ∴S (x )max －S (x )min ＝2.7．下面是一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为________．答案 i ≤208．如图是一个算法框图，则输出的n 的值是________．答案 5解析 该算法框图共运行5次，各次2n 的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n 的值是5. 9．(2015·山东)执行下边的算法框图，输出的T 的值为________.答案116解析 当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋⎪⎪12x 210＝1＋12＝32； 当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋⎪⎪13x 310＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.10．关于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的算法框图如图所示，现输入区间[a ，b]，则输出的区间是________．答案 [0,1]解析 由算法框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x)＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．如图是一个算法框图，若输入m 的值为2，则输出i 的值是________．答案 4解析 当输入m 的值为2时，执行题中的算法框图，i ＝1，A ＝2，B ＝1，A>B ；进入循环，i＝2，A ＝4，B ＝2，A>B ；进入循环，i ＝3，A ＝8，B ＝6，A>B ；进入循环，i ＝4，A ＝16，B ＝24，A<B ，此时结束循环，输出i ＝4.12．执行如图所示的算法框图，则输出的S 的值为________．答案1114解析 由算法框图得运行的结果依次为S ＝1＋02＋0＝12，i ＝1；S ＝12＋11＋1＝34，i ＝2；S ＝34＋232＋2＝1114，i ＝3，此时满足i ≥3，跳出循环，故输出S ＝1114.13．若某算法框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．答案 95解析 当k ＝5时，输出S.此时，S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝2－15＝95.14．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 a i4041434344464748在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．答案 7解析 本题计算的是这8个数的方差， 因为a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44，所以S ＝(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋22＋32＋428＝7.15．如图(1)(2)所示，它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的算法框图，那么应分别补充的条件为：(1)____________；(2)______________．答案(1)n3<1000(2)n3≥1000解析第一个图中，n不能取10，否则会把立方等于1000的正整数也输出了，所以应该填写n3<1000；第二个图中当n≥10时，循环应该结束，所以填写n3≥1000.16．(2014·湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.答案495解析取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.。
第41讲 逻辑、推理与证明、复数、框图
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]讲座41—逻辑、推理与证明、复数、框图一．课标要求：1．常用逻辑用语（1）命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；（2）简单的逻辑联结词通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
（3）全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2．推理与证明（1）合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（2）直接证明与间接证明①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；（4）数学文化①通过对实例的介绍（如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想；②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用；3．数系的扩充与复数的引入（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；（3）了解复数的代数表示法及其几何意义；（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
2020届一轮复习人教A版 推理与证明 算法 复数 课件(45张)
层 导
可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．
题 演
学
练
(1)验证是基础：第一个步骤是要找一个数 n0，这个数 n0 就是要 集
训
题 证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”；
型
重
(2)递推是关键：从“k”到“k＋1”的过程中，必须把归纳假设“n 课
点
时
研 讨
＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题成立，在推导过程中，
[跟踪训练]
基
础 分
[2018·陕西西安模拟]试证：当 n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9 能 真
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基
[证明] (1)当 n＝1 时，42×1＋1＋31＋2＝91 能被 13 整除．
础 分
(2)假设当 n＝k 时，42k＋1＋3k＋2 能被 13 整除，
真
层
题
导
则当 n＝k＋1 时，
演
学
练
42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋ 集
跟 踪
检
成立．
测
必考部分 第十二章 §12.3 第6页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
考点 2 数学归纳法的框图表示
基
础
分
真
层
题
导
演
学
练
集
训
题
型
重
课
点
时
研
跟
讨
踪
检
测
必考部分 第十二章 §12.3 第7页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
推理与证明复数算法优秀课件
易错警示
找准失分点 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的 偏差而致错．
正解 顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有
本 讲
S：0＋12＝12，12＋212＝34，34＋213＝0.875，
栏
目 开
n:
2,
3,
4.
关
“0.875<0.8”判断为“否”，输出 n＝4.
答案 4
推理与证明复数算 法
要点回扣 [问题 1] 图 1 有面积关系：SS△P△AP′ABB′＝PAP′A··PPBB′，则图 2 有 体积关系：________.
本 讲 栏 目 开 关
答案 VPV－PA－′ABB′CC′＝PA′PA·P·PBB′·P·PCC′
要点回扣
(2)演绎推理
演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个
本
讲 条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不
栏
目 满足条件时结束．
开
关 (2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行 的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔 细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值 不要漏掉也不要重复了端点值．
要点回扣
[问题 5] 执行如图所示的程序框图，如果输出 a＝341，那么
对于复数 a＋bi(a，b∈R)，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且
本
仅当 b＝0 时，复数 a＋bi(a，b∈R)是实数 a；当 b≠0 时，
讲 栏
复数 a＋bi 叫做虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，复数 a＋bi 叫做
目 纯虚数．
开
关 [问题 3] 若复数 z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实
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第41讲逻辑推理与证明复数框图高三新数学第一轮复习教案〔讲座41—逻辑、推理与证明、复数、框图〕一．课标要求：1．常用逻辑用语〔1〕命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②明白得必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；〔2〕简单的逻辑联结词通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
〔3〕全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例，明白得全称量词与存在量词的意义；②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2．推理与证明〔1〕合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发觉中的作用；②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，把握演绎推理的差不多模式，并能运用它们进行一些简单推理；③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
〔2〕直截了当证明与间接证明①结合差不多学过的数学实例，了解直截了当证明的两种差不多方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的摸索过程、特点；②结合差不多学过的数学实例，了解间接证明的一种差不多方法--反证法；了解反证法的摸索过程、特点；〔3〕数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；〔4〕数学文化①通过对实例的介绍〔如欧几里德«几何原本»、马克思«资本论»、杰弗逊«独立宣言»、牛顿三定律〕，体会公理化思想；②介绍运算机在自动推理领域和数学证明中的作用；3．数系的扩充与复数的引入〔1〕在咨询题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾〔数的运算规那么、方程理论〕在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；〔2〕明白得复数的差不多概念以及复数相等的充要条件；〔3〕了解复数的代数表示法及其几何意义；〔4〕能进行复数代数形式的四那么运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
4．框图〔1〕流程图①通过具体实例，进一步认识程序框图；②通过具体实例，了解工序流程图〔即统筹图〕；③能绘制简单实际咨询题的流程图，体会流程图在解决实际咨询题中的作用；〔2〕结构图①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息；②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。
二．命题走向常用逻辑用语本部分内容要紧是常用的逻辑用语，包括命题与量词，差不多逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。
推测07年高考对本部分内容的考查形式如下：考查的形式以选择、填空题为主，考察的重点是条件和复合命题真值的判定。
推理证明本部分内容要紧包括：合情推理和演绎推理、直截了当证明与间接证明、数学归纳法〔理科〕等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的进展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向要紧会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；估量2007年高考将会有较多题目用到推理证明的方法。
复数复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一样是选择题、填空题，难度不大，估量今后的高考还会保持那个趋势。
推测2007年高考对本讲的试题难度可不能太大，重视对差不多咨询题诸如：复数的四那么运算的考查，题目多以选择、填空为主。
框图本部分是新课标新增内容，历年高考中涉及内容专门少，估量2007年高考中可能在选择题、填空题中以考察流程图和结构图的定义和特点的形式显现；也可能以画某种知识的结构图或解决某类咨询题的流程图为形式的解答题显现，但不论哪种形式，所占份量都可不能专门大。
三．要点精讲1．常用逻辑用语〔1〕命题命题：能够判定真假的语句叫命题；逻辑联结词：〝或〞〝且〞〝非〞这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。
〔2〕复合命题的真值〝非p〞形式复合命题的真假能够用下表表示：〝p且q〝p且q〞形式复合命题的真假能够用下表表示：注：1〝非p〞形式复合命题的真假与p的真假相反；〝p且q〞形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情形为假；〝p或q〞形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情形为真；3°真值表是依照简单命题的真假，判定由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
〔3〕四种命题假如第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；假如一个命题的条件和结论分不是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，那个命题叫做原命题的否命题；假如一个命题的条件和结论分不是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，那个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.假设判定一个命题的真假较困难时，可转化为判定其逆否命题的真假。
〔4〕条件一样地，假如p⇒q，那么就讲：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
可分为四类：〔1〕充分不必要条件，即p⇒q,而q⇒p；(2)必要不充分条件，即p⇒q,而q⇒p；(3)既充分又必要条件，即p⇒q，又有q⇒p；(4)既不充分也不必要条件，即p⇒q，又有q⇒p。
一样地，假如既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q.〝⇔〞叫做等价符号。
p⇔q表示p⇒q且q⇒p。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么p是q的充分必要条件，简称充要条件。
〔5〕全称命题与特称命题那个地点，短语〝所有〞在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示。
含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语〝有一个〞或〝有些〞或〝至少有一个〞在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
2．推理与证明〔1〕合情推理依照一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理〔简称归纳〕。
归纳是从专门到一样的过程，它属于合情推理；依照两类不同事物之间具有某些类似〔或一致〕性，估量其中一类事物具有与另一类事物类似〔或相同〕的性质的推理，叫做类比推理〔简称类比〕。
类比推理的一样步骤：〔1〕找出两类事物之间的相似性或一致性；〔2〕用一类事物的性质去估量另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜想〕；〔3〕一样地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。
假如两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是确实；〔4〕在一样情形下，假如类比的相似性越多，相似的性质与估量的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。
〔2〕演绎推理分析上述推理过程，能够看出，推理的灭每一个步骤差不多上依照一样性命题〔如〝全等三角形〞〕推出专门性命题的过程，这类依照一样性的真命题〔或逻辑规那么〕导出专门性命题为确实推理，叫做演绎推理。
演绎推理的特点是：当前提为真时，结论必定为真。
〔3〕证明反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直截了当证明，而是先去证明A的反面〔非A〕是错误的，从而确信A是正确的即反证法确实是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到确信命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从那个假设动身，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而确信命题的结论正确。
注意：可能显现矛盾四种情形：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
分析法：证明不等式时，有时能够从求证的不等式动身，分析使那个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的咨询题，假如能够确信这些条件都已具备，那么就能够确信原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。
用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而A为真，故命题B必为真。
综合法：利用某些差不多证明过的不等式〔例如算术平均数与几何平均数定理〕和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由条件动身，利用的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
3．数系的扩充与复数的引入的数，我们把它们叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，形如a+bi(a,b)R一样用字母C表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。
复数的加法法那么：〔a+bi〕+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；复数的加法法那么：〔a+bi〕－(c+di)=(a －c)+(b －d)i ；复数的乘法法那么：〔a+bi 〕〔c+di 〕=(ac －bd)+(ad+bc)i ；复数的除法法那么：(a+bi)÷(c+di)=di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+=22)()(dc i ad bc bd ac +-++ =22d c bd ac +++i dc ad bc 22+-； 4．框图〔1〕结构图第一，你要对所画结构图的每一部分有一个深刻的明白得和透彻的把握，从头止尾抓住要紧脉络进行分解，然后将每一步分解进行归纳与提炼，形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内。
最后，按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，如此就画成了知识结构图。
认识结构图：由构成系统的假设干要素和表达各要素之间关系的连线构成。
绘制结构图的步骤：1〕先确定组成系统的差不多要素，以及这些要素之间的关系；2〕处理好〝上位〞与〝下位〞的关系；〝下位〞要素比〝上位〞要素更为具体， 〝上位〞要素比〝下位〞要素更为抽象。
3〕再逐步细化各层要素；4〕画出结构图，表示整个系统。
〔2〕流程图绘制流程图的一样过程：第一，用自然语言描述流程步骤；其次，分析每一步骤是否能够直截了当表达，或需要借助于逻辑结构来表达；再次，分析各步骤之间的关系；最后，画出流程图表示整个流程。
鉴于用自然语言描述算法所显现的种种弊端，人们开始用流程图来表示算法，这种描述方法既幸免了自然语言描述算法的拖沓冗长，又排除了起义性，且能清晰准确地表述该算法的每一步骤，因而深受欢迎。