《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》第一章：数据的描述1.1 数据的概念与分类理解数据的概念掌握数据的分类：定量数据、定性数据1.2 数据的收集与整理学习数据收集的方法理解数据整理的意义掌握数据整理的基本技巧第二章：平均数2.1 平均数的定义与计算理解平均数的概念学会计算简单数据的平均数2.2 平均数的作用与局限性理解平均数在数据分析中的作用认识平均数的局限性第三章：中位数3.1 中位数的定义与计算理解中位数的概念学会计算简单数据的中位数3.2 中位数的作用与局限性理解中位数在数据分析中的作用认识中位数的局限性第四章：众数4.1 众数的定义与计算理解众数的概念学会计算简单数据的众数4.2 众数的作用与局限性理解众数在数据分析中的作用认识众数的局限性第五章：方差5.1 方差的定义与计算理解方差的概念学会计算简单数据的方差5.2 方差的作用与局限性理解方差在数据分析中的作用认识方差的局限性第六章：标准差6.1 标准差的定义与计算理解标准差的概念学会计算简单数据的标准差6.2 标准差的作用与局限性理解标准差在数据分析中的作用认识标准差的局限性第七章：离散系数7.1 离散系数的定义与计算理解离散系数的概念学会计算简单数据的离散系数7.2 离散系数的作用与局限性理解离散系数在数据分析中的作用认识离散系数的局限性第八章：数据的关系与趋势8.1 数据的关系：相关系数理解相关系数的概念学会计算简单数据的相关系数8.2 数据的趋势：趋势线理解趋势线的作用学会绘制简单数据的趋势线第九章：数据的分布9.1 数据的正态分布理解正态分布的概念学会识别正态分布的数据9.2 数据的偏态分布理解偏态分布的概念学会识别偏态分布的数据回顾本章所学的内容理解各种数字特征在数据分析中的应用10.2 数据的数字特征应用实例通过实例分析，运用所学知识解决实际问题重点和难点解析重点一：数据的分类数据的分类是理解后续数字特征的基础。
定量数据和定性数据的区别需要学生深刻理解，这将直接影响到对平均数、中位数、众数等概念的理解。
5.1.2 高中必修二数学教案《数据的数字特征》
高中必修二数学教案《数据的数字特征》教材分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。
（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。
）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地领悟它们各自的特点，在详尽的问题中依照情况有针对性地选择一些合适的数字特点。
学情分析在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。
在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，学生经历分析数据、作出推断的过程，可以进一步体会统计对决策的作用。
教学目标1、通过实例，理解数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数，理解不同数字特征的优势与不足。
2、会用求和符号表示平均数，掌握求和符号的性质。
3、能根据现实问题的需要选择适当的数字特征来表达数据信息，体会数字特征在分析数据时的重要作用，培养数学抽象能力、数学运算能力、数据分析素养。
教学重点平均数、中位数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。
教学难点根据问题的需要，选择适当的数字特征来表达数据的信息。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比。
在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值。
例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较。
二、学习新知1、最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。
一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。
日常生活中，有时我们只关心数据的最值。
比如，高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等。
《数据的数字特征》 讲义
《数据的数字特征》讲义在当今这个数字化的时代，数据无处不在。
无论是科学研究、商业决策，还是日常生活中的各种活动，我们都在不断地产生和处理着大量的数据。
而要理解和分析这些数据，就需要了解数据的数字特征。
这些数字特征能够为我们提供有关数据的重要信息，帮助我们做出更明智的决策。
一、平均数平均数是最常见的数据特征之一。
它表示一组数据的平均水平。
计算平均数的方法很简单，就是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
例如，有一组数据：10，20，30，40，50。
那么这组数据的平均数就是：（10 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 40 ＋ 50）÷ 5 ＝ 30平均数在很多情况下都非常有用。
比如，在评估学生的考试成绩时，我们可以计算班级的平均分数来了解整体的学习水平；在计算工人的平均工资时，可以了解员工的收入状况。
然而，平均数也有其局限性。
如果数据中存在极端值（极大值或极小值），那么平均数可能会被扭曲。
例如，一个班级里大多数学生的成绩都在 70 分到 90 分之间，但有一个学生考了 20 分，这会拉低班级的平均成绩，导致平均数不能准确反映大多数学生的真实水平。
二、中位数中位数是将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列后，位于中间位置的数值。
如果数据个数是奇数，那么中位数就是中间的那个数；如果数据个数是偶数，中位数则是中间两个数的平均值。
还是以上面那组数据为例：10，20，30，40，50。
将其从小到大排列为：10，20，30，40，50。
因为数据个数是 5，为奇数，所以中位数就是 30。
如果数据变为：10，20，30，40，50，60。
那么从小到大排列为：10，20，30，40，50，60。
数据个数是 6，为偶数，中位数就是（30＋ 40）÷ 2 ＝ 35中位数的优点在于它不受极端值的影响。
在前面提到的班级成绩例子中，如果存在极端低分，中位数可能更能反映班级成绩的中等水平。
三、众数众数是一组数据中出现次数最多的数值。
高中教育数学必修第二册人教B版《5.1.2 数据的数字特征》教学课件
度越小．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，
数据没有离散性．
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程
度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，
5．1.2 数据的数字特征
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
(1)结合实例，理解最值、平均值、众数、极差、方差、标准差的含
义．
(2)结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值．
状元随笔 最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用
值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．
跟踪训练3 在例3中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，
那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？
解析：甲的数据为99＋10，100＋10，98＋10，100＋10，100＋10，103＋10，平均数为100＋10＝110，
1
7
方差仍为6[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝3.
知识点四 极差、方差与标准差
1．一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
2．如果x1，x2，…，xn的平均数为തx，则方差可用求和符号表示为s2
1
＝ σ=1 − ҧ 2 .
3．方差的算术平方根称为标准差．
数据的数字特征
数据的数字特征
4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2 标准差
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的 特点．
2．要重视数据的计算，体会统计思想．
【核心扫描】
1．各种数字特征的意义以及计算．(重点)
2．学习标准差的概念，通过实例理解样本标准差的意义 和作用，会由方差求标准差．(重点、难点)
课前探究学习 课堂讲练互动
1 s乙＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋ 6 (100－100)2＋(100－100)2]＝1(cm2)． (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2 >s2 ，所 甲 乙 以乙机床加工零件的质量更稳定．
用标准差．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
求一组数据的平均数、中位数和众数
【例1】在一次乒乓球单打比赛中，甲选手在1比3落后的情况 下连扳三局，4比3击败乙选手成功卫冕，这七局的比分 是：4∶18，8∶11，11∶5，4∶11，11∶9，11∶8，
11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中
【题后反思】 用样本估计总体时，样本的平均数、标准 差只是总体的平均数、标准差的近似值．实际应用中，当 所得数据平均数不同时，须先分析平均水平，再计算标准 差(方差)分析稳定情况．
课前探究学习 课堂讲练互动
【训练3】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了 检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为： 甲：99 100 98 100 100 103
1 [错解] (1)该单位员工的月工资的平均数为 ×(5×800＋ 50 10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 500)＝ 1 320(元)，中位数为 1 200 元，众数为 1 200 元．
北师大版数学必修三课件.4数据的数字特征4
[特别提示] 中位数不一定在这组数据中，而众数必定在该组数据中，有时一组数中有 好几个众数. 2．极差、方差、标准差 刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差． 极差：把一组数据中最大值与最小值的__差___ 叫作这组数据的极差．极差对 极值非常敏锐，一定程度上表明了该组数据的分散程度．
[解析] (1)平均数 x ＝115×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋ 120×2)＝320(件)，中位数为 210 件，众数为 210 件．
(2)不合理．因为 15 人中就有 13 人的销售额达不到 320 件，也就是说 320 虽 是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为 210 件要合理些，这是由于 210 既是中位数又是众数，是绝大部分人都能达到的销售 额．
1．下列刻画一组数据离散程度的是( B )
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
[解析] 方差能够刻画一组数据的离散程度，故选B．
2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：
件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( A )
A．3,5
B．5,5
C．3,7
『规律总结』 (1)平均数与每一个样本数据有关，任何一个样本数据的改 变都会引起平均数的改变，而中位数、众数都不具有该性质．
(2)众数考查各数据出现的次数，大小只与这组数据中的部分数据有关，当 一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反应问题.
(3) 中 位 数 仅 与 数 据 的 排 列 位 置 有 关 ， 某 些 数 据 的 变 动 对 中 位 数 没 有 影 响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在该组数据中．
数据的数字特征高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
,中位数是 46
,25%分位数是 42.5 .
解析 将所给数据按从小到大的顺序排列是40,42,43,45,47,47,48,58.这组数
据的最大值是58.
因为这组数据共8个,处于中间位置的是第4个数和第5个数,故这组数据的
45+47
中位数是
=46.
2
42+43
因为8×25%=2,所以这组数据的25%分位数是
际问题时,一般采用标准差.
过关自诊
某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则:(1)命中环数的平均数为
;Hale Waihona Puke 7+8+7+9+5+4+9+10+7+4
=7.
10
解析 =
(2)命中环数的标准差为
解析∵s
7
2
.
1
=10×[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2
人教B版 数学 必修第二册
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.会求样本的最值、平均数、中位数、百分位数及众数.
课程标准 2.会求样本的极差、方差与标准差.
3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数学建模能力.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 最值
2
+(7-7)2+(4-7)2]=4,∴s=2.
重难探究·能力素养全提升
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》一、教学目标：1. 理解数据的数字特征的概念和意义。
2. 学会计算数据的众数、平均数、中位数、方差等数字特征。
3. 能够运用数字特征对数据进行分析和解释。
二、教学内容：1. 数据的数字特征的定义和意义。
2. 众数的计算方法和应用。
3. 平均数的计算方法和应用。
4. 中位数的计算方法和应用。
5. 方差的计算方法和应用。
三、教学过程：1. 导入：通过实例引入数据的数字特征的概念，激发学生的兴趣。
2. 众数：讲解众数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握众数的计算和应用。
3. 平均数：讲解平均数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握平均数的计算和应用。
4. 中位数：讲解中位数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握中位数的计算和应用。
5. 方差：讲解方差的定义和计算方法，通过例题让学生掌握方差的计算和应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解数据的数字特征的概念和计算方法。
2. 例题解析法：通过例题让学生理解和掌握数据的数字特征的计算和应用。
3. 练习法：通过练习题让学生巩固和加深对数据的数字特征的理解和应用。
五、教学评价：1. 课堂问答：通过提问了解学生对数据的数字特征的概念和计算方法的掌握情况。
2. 练习题：通过练习题的完成情况了解学生对数据的数字特征的计算和应用的能力。
3. 课后作业：通过课后作业的完成情况了解学生对数据的数字特征的理解和应用的情况。
六、教学资源：1. 教学PPT：用于展示数据的数字特征的概念和计算方法。
2. 练习题库：用于巩固学生的学习和检测学生的掌握情况。
3. 数据分析软件：用于展示数据的数字特征在实际应用中的效果。
七、教学环境：1. 教室：提供宽敞的学习空间和舒适的学习环境。
2. 计算机：用于展示PPT和数据分析软件。
3. 投影仪：用于展示PPT和数据分析软件。
八、教学拓展：1. 数据的数字特征在实际应用中的案例分析。
2. 数据的数字特征在其他学科中的应用。
3. 数据的数字特征的进一步研究和发展。
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中位数：将一组数据从小到大排列或从大到小 排列，处在中间位置上一个数据（或中间两个 数据的平均数）。中位数将观测数据分成相同 数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另 一部分都比这个数据大，对于非对称的数据 集，中位数更能实际地描述数据的中心。某些 数据的变动对它的中位数影响不大。当一组数 据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其 集中趋势。
探求新知
众数：一组数据中出现次数最多的数据。 众数着眼于对各数据出现的次数的考察, 是一组数据中的原数据，其大小只与这组 数据中的部分数据有关,当一组数据中有 不少数据多次重复出现时,其众数往往是 我们关心的一种统计量；
探求新知
注意： （1）一组数据中的众数有时不只一个，如数
据 2、3、-1、2、l、3 中，2 和 3 都出 现了 2 次，它们都是这组数据的众数． （2）如果出现个数一样的数据，或者每个数 据都只有一次，那么众数可以不止一个 或者没有。
知识应用
8 6 7 7
解：（1） x甲
10
7 （环），
6 7 7 5
x乙
10
7 （环）
（2）s
2 甲
1 [(8 10
7)2
(6
7)2
(7
Hale Waihona Puke 7）2]3.0（环
2）
s
2 乙
1 [(6 10
7)2
(7
7)2
(5
7)2 ]
1.2（环
2）
知识应用
解：（3）因为 x甲 x乙，所以说明甲、乙两
名战士的平均水平相当．
探求新知
方法 3、 甲： ( 40 40 39.8 40
39.8 40 10 0.14mm
乙： ( 40 40 40 40
39.9 40 ) 10 0.06mm ；
探求新知
方法 4、 甲： ( 40 40 3 39.8 40 3
39.8 40 3 ) 10 0.005mm
探求新知
计算公式：设在一组数据
x1
,
x2
,
…,xn
中，x
是
它们的平均数，则方差为：
S2
1 n [( x1
x)2
( x2
x)2
… ( xn
x)2 ]
探求新知
（3）标准差：定义为方差的算术平方根， 反映组内个体间的离散程度。 即：
探求新知
标准差的意义：标准差越高,表示实验 数据越离散,也就是说越不精确；反之, 标准差越低,代表实验的数据越精确。
数据的数字特征
高二（文）数学
主讲教师：罗靓
课题引入
数据的信息除了通过前面介绍的各 种统计图表来加以整理和表达之外，还可 以通过一些统计量来表述，也就是将多个 数据“加工”为一个数值，使这个数值能 够反映这组数据的某些重要的整体特征。
探求新知
请大家思考，初中时我们学习了几个统 计量？它们在刻画数据时，各有什么样 的优点和缺点？
x1 x2 xN
我们把
N 叫做这 N 个数的算术
平均数，简称平均数。平均数是数据的重
心，它是反映数据集中趋势的一项指标。
探求新知
它的优点在于：对变量的每一个观察值都 加以利用，比起众数与中位数，它会获得 更多的信息；但是平均数对个别的极端值 敏感，当数据有极端值时，最好不要用均 值刻画数据。
探求新知 1、平均数、中位数、众数
某公司的41名职工的月工资（单位：元） 如下：
董事 副董
总经
管理
职务
董事
经理
职员
长 事长
理
员
人数 1 2 2 3 6 7 20
工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
探求新知
（1） 求该公司职工月工资的平均数、中位 数、众数；
那么，我们可以用哪些数据来刻画数据的离 散情况呢？
探求新知
方法 1、极差 甲：40.2-39.8=0.4（mm）， 乙：40.1-39.9=0.2（mm）；
探求新知
方法 2、方差
甲：s12
1 10
10 i 1
xi 40 2 0.026 ，
乙：s22
1 10
10 i 1
xi 40 2 0.006 ；
又因为
s
2 甲
s
2 乙
，所以说明甲战士射击
情况波动大．
故乙战士比甲战士射击情况稳定．
课堂练习
1、一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋 20 双，其中各种尺码的鞋的销量如表所示：
鞋的尺码（cm） 30 28 20 23 21 25
销售量（双） 5 1 2 3 5 4 指出这组数据的众数、中位数、平均数。
2、极差、方差
甲、乙两台机床同时生产直径是 40mm 的零 件。为了检验产品的质量，从两台机床生产的 零件中各抽取 10 件进行测量，结果如下：
甲 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8 乙 40.0 40.0 39.9 40.0 39.9 40.1 40.1 40.1 40.0 39.9
知识应用
例 甲、乙两名战士在相同条件下各射击靶 10 次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．
（1）分别计算以上两组数据的平均数； （2）分别求出这两组数据的方差； （3）请根据这两名射击手的成绩画出折线统计
图，并估计这两名战士的射击情况。
2、下表是某班 40 名学生参加“环保知识竞 赛”的得分统计表： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 x 8 y
请参照这个表解答下列问题：
（1）用含 x，y 的式子表示该班参加 “环保知识竞赛”的班平均分 f；
（2）若该班这次竞赛的平均分为 2.5 分， 求 x，y 的值。
（2）假设副董事长的工资从 5000 元提升 到 20000 元，董事长的工资从 5500 元提升到 30000 元，那么新的平均 数、中位数、众数又是什么？
探求新知
（3）公司经理会选取上面哪个数据来代表 该公司员工的月工资情况？税务官 呢？工会领导呢？
探求新知
平均数：一般地，对于 N 个数 x1, x2,, xN ，
乙： ( 40 40 3 40 40 3
39.9 40 3 10 0.0006mm
探求新知
（1） 极差是指一组数据内的最大值和最小 值之间的差。 即：极差=最大值—最小值
探求新知
（2）方差，是一组数据据内，每个数与平 均数的差数的平方和。
方差是表现数据的离散程度的（波动情况）， 方差越小，数据的离散程度越小，也就越接 近平均值,当要求某问题的稳定程度就用它.