几乎必然收敛或依概率收敛都不能确保均方收敛概率与随机变量
概率论四种收敛性
x
x
r r
-
dF ( x )
r
1
r
x dF ( x )
=
E X
r
r
引理的特殊情况： 取r=2，并以X-E(X)代替X得车贝晓夫不等式
P( X )
E X
r
r
2
【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X有2阶中心矩，E X-E(X) , 则对任意 0有
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X
9400) = P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)|
P(5200 X
9400)
2100}
由车贝晓夫不等式
D( X ) P{ |X-E(X)| 2100} 1 (2100)2 1 8 700 2 1 ( ) 1 9 9 2100
主要内容
车贝晓夫不等式-阶收敛
一、车贝晓夫不等式
【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有r阶绝对矩， E X ,
则对任意 0有
r
P( X )
E X
r
r
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有：
P( X )
x
dF ( x )
1 n 1 n K X i E ( X i ) lim lim P （ 1 ) 1 2 n n i 1 n n i 1 n
又由概率性质P 1
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
P Yn Y ; P Yn Y ;
几种收敛函数的介绍
概率论中的收敛-正文概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。
设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。
强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。
以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。
依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。
它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。
概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。
依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。
r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。
特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。
弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X。
由平均收敛可以推出弱收敛。
从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。
分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。
分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数ƒ(x)，img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。
分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。
中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。
大数定律的四种证法
对于一般人来说，大数定律的非严格表述是这样的：X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u，S_n=X_1+...+X_n，则S_n/n收敛到u.如果说“弱大数定律”，上述收敛是指依概率收敛(in probability)，如果说“强大数定律”，上述收敛是指几乎必然收敛(almost surely/with probability one)。
大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。
这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石之一，重要性在本人看来甚至不弱于微积分。
（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。
而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。
例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。
）最早的大数定律的表述可以追朔到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。
1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。
不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现，因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。
后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。
直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolgomorov才真正证明了最后的强大数定律。
下面均假设X, X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u。
独立同分布随机变量和的大数定律常有的表现形式有以下几种。
初等概率论(1). 带方差的弱大数定律：若E(X^2)小于无穷，则S_n/n-u依概率收敛到0。
证明方法：Chebyshev不等式即可得到。
深入理解概率与统计的收敛性判定存在问题
深入理解概率与统计的收敛性判定存在问题概率与统计是数学中重要的分支领域，它们在各个学科和实际应用中发挥着重要作用。
然而，我们需要认识到，概率与统计的收敛性判定在实践中存在着一些问题。
本文将深入探讨概率与统计的收敛性判定问题，并讨论其影响和可能的解决方案。
一、概率与统计的收敛性在概率论和数理统计中，收敛性是一个关键概念。
它指的是随机变量序列在某种意义下逐渐接近一个固定的随机变量。
概率论中的收敛性理论有多种形式，比如依概率收敛、几乎必然收敛和分布收敛等。
统计学中的收敛性则包含极限定理和一致收敛性等概念。
这些收敛性概念对于推断和估计都起着至关重要的作用。
二、收敛性判定存在问题然而，我们在深入研究概率与统计的收敛性判定时，不难发现存在着一些问题。
首先，收敛性判定常常依赖于对样本空间和概率分布的假设。
当样本空间和概率分布具有一定的特殊性时，收敛性判定才能成立。
但在实际问题中，我们往往无法准确地确定样本空间和概率分布的具体形式，这就给收敛性判定带来了困难。
其次，收敛性判定需要对大样本进行推断，但在实际应用中，我们常常只能获得有限的样本。
这就导致了收敛性判定的结果可能不够准确和可靠。
特别是在极端情况下，如样本量较小或者数据存在较大的噪声时，收敛性判定往往会出现较大的误差。
此外，由于实际问题的复杂性，概率与统计的收敛性判定往往需要考虑多个变量之间的关系。
这就给收敛性判定带来了更高的难度。
当变量之间存在复杂的非线性关系时，我们很难准确地判断其收敛性。
这种情况下，常规的收敛性判定方法可能不再适用。
三、可能的解决方案虽然概率与统计的收敛性判定存在问题，但我们仍然可以通过一些方法来提高判定的准确性和可靠性。
首先，我们可以采用更加灵活和有弹性的收敛性判定方法，以适应复杂问题的需求。
例如，可以结合现代机器学习方法和数据挖掘技术，利用大数据的力量来推断和估计。
其次，我们可以加强对样本空间和概率分布的研究，以提高收敛性判定的基础。
概率论与数理统计课程教学大纲
概率论与数理统计课程教学大纲编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（概率论与数理统计课程教学大纲）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为概率论与数理统计课程教学大纲的全部内容。
《概率论与数理统计》课程教学大纲（2002年制定 2004年修订）课程编号：英文名:Probability Theory and Mathematical Statistics课程类别：学科基础课前置课:高等数学后置课：计量经济学、抽样调查、试验设计、贝叶斯统计、非参数估计、统计分析软件、时间序列分析、统计预测与决策、多元统计分析、风险理论学分：5学分课时：85课时修读对象：统计学专业学生主讲教师：杨益民等选定教材：盛骤等，概率论与数理统计,北京：高等教育出版社，2001年(第三版）课程概述：本课程是统计学专业的学科基础课,是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支、相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学学科、社会与经济科学学科、管理学科重要的理论工具。
由于其具有很强的应用性,特别是随着统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域。
本课程是统计专业学生打开统计之门的一把金钥匙,也是经济类各专业研究生招生考试的重要专业基础课。
本课程由概率论与数理统计两部分组成。
概率论部分侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。
其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容；数理统计部分则是以概率论作为理论基础，研究如何对试验结果进行统计推断。
概率论中几种收敛及其联系1
概率论中几种收敛及其联系 西北师范大学数学与应用数学专业 甘肃兰州 730070摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系.关键词：示性函数 概率 随机变量 收敛 分布函数Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the averageconvergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred betweenKey words : indicator function probability random variable convergence distribution function首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。
所以首先需要建立必要的概率不等式。
我们以I(A)表示事件A 的示性函数，即有⎩⎨⎧∉∈=.,0;,1)(A A A I ωω那么，显然当B A ⊂时，有).()(B I A I ≤，并且有).()(A EI A P =定理 1 （Chebyshev 不等式）设)(x g 是定义在 [)∞,0 上的非降的非负值函数，如果对随机变量η，有∞<)(ηEg ，那么对任何使得0)(>a g 的0>a ，我们都有.)()()(a g Eg a P ηη≤≥证明：首先，由)(x g 的非降性知 ()()()().a g g a ≥⊂≥ηη 因此()()()()()()()()().a g g I a g g a g g I a I ≥≤≥≤≥ηηηη其中)(A I 是事件A 的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件()()()a g g ≥η上面有()()1≥a g g η由上述不等式立得()()()()()()()()()()()().a g Eg a g g I a g g E a g g EI a EI a P ηηηηηη≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≥≤≥=≥Chebyshev 不等式在以后的证明中有非常重要的作用,所以我们在这里先将其提出. 下面让我们先从较简单的依概率收敛谈起.定义 1 已知随机变量序列{n ξ,N n ∈}与随机变量ξ.如果对0>∀ε，都有.0)|(|lim =≥-∞→εξξn n P那么我们就称随机变量序列{N n n ∈,ξ}依概率收敛到随机变量ξ，记为ξξ−→−Pn其实,依概率收敛的本质是n ξ对ξ的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着n 增大而减小.或者说,绝对偏差小于任一给定量的可能性将随着增大而接近1,即上式等价于1)(lim =<-∞→εξξn n P .特别当ξ为退化分布时,即()1==c P ξ,则称序列{}n ξ依概率收敛于c ,即c Pn −→−ξ.下面, 我们来引入随机变量序列的另外一种收敛:平均收敛.定义 2 如果{}0;,>n n ξξ是r L 中的随机变量, 其中,0>r {}∞<=rr E L ξξ,并且0→-ξξn E , ()∞→n .则称随机变量序列{}N n n ∈,ξ依r 阶平均收敛到随机变量,ξ记作ξξ−→−rLn 当1=r 时简称为依平均收敛，并记为.ξξ−→−Ln在依概率收敛和平均收敛之间存在如下关系:定理 2 r 阶平均收敛蕴含依概率收敛. 证明:因为0lim =-∞→rn n E ξξ,故对,,0N ∃>∀ε当N n >时,有εξξrrn a E <- .又由Chebyshev 不等式知对任何0>a ，有()rrn n aE a P ξξξξ-≤≥-，故()εξξ<≥-a P n ，因此()0lim =≥-∞→a P n n ξξ.但是,反之不真.反例如下:例1 设概率空间为区间上的几何型概率空间,即有 ()1,0=Ω , () 1.0B F = , L P =. 令()0=ωξ, ()1,0∈∀ω, 而易知,对任何0>ε,当∞→n 时,都有 ()()020→=>≤>-nP P n n ξεξξ,所以ξξ−→−Pn ;但是1≡=-n n E E ξξξ, 所以n ξ不依平均收敛到ξ.在概率极限理论中,研究随机变量序列收敛性的同时当然也要研究相应的分布函数序列的收敛性,下面就让我们来谈一谈依分布收敛.定义3 设{}N n x F n ∈),(是一列定义在R 上的有界非降的左连续函数，如果存在一个定义在上的有界非降的左连续函数).(x F 使得),(),()(lim F C x x F x F n n ∈∀=∞→则称{})(x F n 弱收敛到)(x F 记为),()(x F x F n −→−ω并称)(x F 是{})(x F n 的弱极限。
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x （集合元素x ）|x 应该有的性质}·元素与集合的关系：x A ，x ∉A∈·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A ，x B 则A 包含于B （证明就用这个方法），A 是B 的子集（A B ∈∈≠则为B 的真子集）包含的特殊情况相等：A=B 就是A 包含于B 同时B 包含于A真子集：A 包含于B 但A B≠·集合的运算①单个元素的幂集2X 对于一个集合X ，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素2X 的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B={x| x A 且x B}∩∈∈ 并：A B={x| x A 或x B}∪∈∈ 差：A\B （或写成A-B ）={x| x A 且x ∉B}∈ 补：=U\A （U 是问题要研究的全集）A C 于是有等式A\B=A ∩BC 积：（直积）A ×B={(x,y)| x A 且y B }（把A 、B 中元素构成有序对）∈∈ ③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ， 称为指标集。
⋃λ∈I A λ∈I 类似有多个并注：可以是无穷个【例】 x| x> ，A={x| x>0}，则A=A n 1n ⋃∞n =1A n·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{}，定义上限集为。
类似于数列的上极限。
A n ⋂∞n =1⋃∞k =n A k ②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
A n ⋃∞n =1⋂∞k =n A k ③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。
④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，A n A n +1若始终有 ，则为递减列。
依概率收敛和殆必收敛
依概率收敛和殆必收敛什么是依概率收敛和几乎必然收敛？在概率论和数学分析中，依概率收敛和几乎必然收敛是两个重要的概念。
它们描述的是随机变量序列的收敛性质。
在本文中，我们将逐步介绍这两个概念，并讨论它们的性质和应用。
首先，我们来定义依概率收敛。
考虑一个序列{X₁, X₂, X₃, ...}，其中Xₙ是一个随机变量。
我们说这个序列依概率收敛到一个随机变量X，如果对于任意的ε>0，有lim Pr( Xₙ-X >ε) = 0，即当n趋向于无穷大时，Xₙ以概率1趋向于X。
依概率收敛的定义可以理解为随着样本量的增加，随机变量序列逐渐“接近”某个固定的随机变量。
这个“接近”的程度由ε来衡量，并且可以任意小。
换句话说，依概率收敛是一种弱收敛性质，它只要求随机变量序列以很高的概率趋近于某个随机变量X。
接下来，我们引入几乎必然收敛的概念。
与依概率收敛类似，我们仍考虑一个随机变量序列{X₁, X₂, X₃, ...}，其中Xₙ是一个随机变量。
我们说这个序列几乎必然收敛到一个随机变量X，如果对于任意的ε>0，有Pr( Xₙ-X >ε，无穷大的n) = 0，即当n趋向于无穷大时，Xₙ以概率1趋向于X。
几乎必然收敛与依概率收敛的不同之处在于，几乎必然收敛要求随机变量序列在几乎所有情况下都趋近于X。
换句话说，只有在一个概率为0的事件集合之外的情况下，随机变量序列才会与X有差距。
因此，几乎必然收敛可以看作是一种强收敛性质，它要求随机变量序列在几乎所有情况下都收敛于某个随机变量X。
接下来，我们来讨论依概率收敛和几乎必然收敛的一些性质和应用。
首先，依概率收敛和几乎必然收敛是收敛的两种不同方式。
依概率收敛只要求序列以高概率趋近于某个随机变量，而几乎必然收敛要求序列在几乎所有情况下都趋近于某个随机变量。
因此，几乎必然收敛是依概率收敛的一种特殊情况，即几乎必然收敛蕴含依概率收敛。
其次，依概率收敛和几乎必然收敛在实际问题中具有广泛的应用。
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N x1x N
FX (x)
p X ( x) g 1 (y) pX (x) de t y y • 若 Y g(X) ， pY (y ) g de t x x
E{X} mX • 均值向量： • 协方差矩阵：C E{(X - mX )(X - mX )T } E{XXT } mXmXT
• 如果 XY 0 ，则不相关 • 相关系数为
XY
XY X
Y
• 相互独立 不相关（注意：相关与相互独立的区别！）
概率与随机变量
X1 •随机向量 X X N
• 联合分布函数
• 联合概率密度函数
FX (x) PX1 ,, X N ( x1,, xN ) P( X1 x1,, X N xN )
limn P{| X n X | } 0
– 表示为 limn X n X p. 或者
p. Xn X
也有可能 | X n X | 的数值极大
概率与随机变量
• 均方收敛(mean square convergence) – 随机变量序列 { X n } 以及 X 满足E{X 2} ,同时
概率与随机变量
• 特征函数
X (t) E{e
jtT X
}
• 不相关随机向量 • 正交随机向量
Cij 0,i j
E{XY T } 0
• 协方差矩阵 C CT aT Ca 0
概率与随机变量
概率空间 • 几乎必然收敛(almost sure convergence) – 随机变量序列 { X n } 收敛到 X ，同时
概率与随机变量
• 两个随机变量的相关为
RXY E{ XY}
Schwarz不等式 E{ XY } E{ X 2 }E{Y 2 } •协方差为
xyp( x, y)dxdy
XY E{( X E{X })(Y E{Y })} E{XY} E{X }E{Y } | XY | X Y
limn FX n ( x) FX ( x)
– 表示为 limn X n X d. 或者 • 依据特征函数判断收敛 d. – Xn X – E{ f ( X n )} E{ f ( X )} – (t ) (t )
Xn X d. Xn X
P{limn X n X } 1
a.s. – 表示为 limn X n X a.s. 或者 X n X
{ : limn X n ( ) X ( )}
概率与随机变量
• 依概率收敛(convergence in probability) – 随机变量序列 { X n } 以及 X 满足对任意
2
n
– 表示为 limn X n X m.s. 或者X n m.s. X
• 若 X n X ，则 E{X }
m.s.
2
几乎必然收敛或依概率收敛都不能确保均方收敛
概率与随机变量
• 以概率分布收敛(convergence in distribution) – 随机变量序列 { X n } 以及 X 满足在任意连续的x
limn E{( X n X ) } 0
2
n
– 表示为 limn X n X m.s. 或者X n m.s. X
概率与随机变量
• 均方收敛(mean square convergence) – 随机变量序列 { X n } 以及 X 满足E{X 2} ,同时
limn E{( X n X ) } 0