概率论与数理统计随机变量序列的收敛性
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 大数定律与中心极限定理)【圣才出品】
是直线上的连续函数，试证：
证：若 g（x）是 m 次多项式函数，即 下证一般情况，对任意的 又选取 N1 充分大，使当
，则由上一题知有
，取 M 充分大，使有
时，有
，于是有
对取定的 M，因为 g（x）是连续函数，所以可以用多项式函数去逼近 g（x），并且在任意
有限区间上还可以是一致的，因而存在 m 次多项式
，于是有
，因为
，故存在充分
由 的任意性知，当
时，有
结论得证．
6．设 D（x）为退化分布： 试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中 n＝1，2，…）
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为此时的极限函数为
性质： lim F x=0 ，所以不是分布函数． x－
，不满足分布函数的基本
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有
故当
时，
即
成立，进一步由
可得
，所以又有
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成立．
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（2）先证明
对任意的
，取 M 足够大（譬如
），使有
成立，对取定的 M，存在 N，当 n＞N 时，有
这时有
从而有
由 的任意性知
，同理可证
由上面（1）得
即
成立．
3．如果
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证：先证充分性，令
，则
，
故 f（x）是 x 的严格单调增函数，因而对任意的
，有
于是对任意的
，当
时，有参见 2.3 第 12 题．
充分性得证．
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
东北林业大学2023自命题科目考研复试大纲：概率论与数理统计及常微分方程
东北林业大学2023自命题科目考研复试大纲：概率论与数理统计及常微分方程东北林业大学2023自命题科目考研复试大纲：概率论与数理统计及常微分方程由考研大纲频道为大家提供，更多考研资讯请____网站的更新!东北林业大学2023自命题科目考研复试大纲：概率论与数理统计及常微分方程考试科目名称：概率论与数理统计及常微分方程(一、)概率论与数理统计局部考试内容与范围：一、事件与概率1、随机事件和样本空间;2、概率与频率;3、古典概率;4、概率的公理化定义及概率的性质;5、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式;6、独立性;7、贝努利概型。
二、离散型随机变量1、一维随机变量及分布列;2、多维随机变量、结合分布列和边际分布列;3、随机变量函数的分布列;4、数学期望的定义及性质;5、方差的定义及性质、6、条件分布与条件数学期望。
三、连续型随机变量1、随机变量及分布函数;2、连续型随机变量;3、多维随机变量及其分布;4、随机变量函数的分布;5、随机变量的数字特征、切贝雪夫不等式;6、条件分布与条件期望;7、特征函数。
四、大数定律与中心极限定理1、大数定律;2、随机变量序列的两种收敛性;3、中心极限定理。
五、数理统计的根本概念1、母体与子样、经历分布函数;2、统计量及其分布。
六、点估计1、矩法估计;2、极大似然估计;3、估计的有效性。
参考资料：魏宗舒等编，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社(二、)常微分方程局部考试内容与范围：一，初等积分法1，纯熟掌握初等积分法中的变量可别离方程解法、常数变易法、全微分方程解法(含积分因子的解法)及参数法和降阶法。
2，掌握证明一阶线性微分方程解的性质的根本方法。
3，掌握把实际问题抽象为常微分方程的根本方法。
二，根本定理1，理解常微分方程解的几何解释，理解解的存在唯一性及延展定理的证明;2，掌握奇解的求法。
3，掌握利用解的存在唯一性及延展定理证明有关方程解的某些性质的方法。
三，一阶线性微分方程组1，理解线性微分方程组解的构造，通解根本定理，掌握常数变易法和刘维尔公式;2，纯熟掌握常系数线性微分方程组的解法。
深入理解概率与统计的收敛性判定存在问题
深入理解概率与统计的收敛性判定存在问题概率与统计是数学中重要的分支领域，它们在各个学科和实际应用中发挥着重要作用。
然而，我们需要认识到，概率与统计的收敛性判定在实践中存在着一些问题。
本文将深入探讨概率与统计的收敛性判定问题，并讨论其影响和可能的解决方案。
一、概率与统计的收敛性在概率论和数理统计中，收敛性是一个关键概念。
它指的是随机变量序列在某种意义下逐渐接近一个固定的随机变量。
概率论中的收敛性理论有多种形式，比如依概率收敛、几乎必然收敛和分布收敛等。
统计学中的收敛性则包含极限定理和一致收敛性等概念。
这些收敛性概念对于推断和估计都起着至关重要的作用。
二、收敛性判定存在问题然而，我们在深入研究概率与统计的收敛性判定时，不难发现存在着一些问题。
首先，收敛性判定常常依赖于对样本空间和概率分布的假设。
当样本空间和概率分布具有一定的特殊性时，收敛性判定才能成立。
但在实际问题中，我们往往无法准确地确定样本空间和概率分布的具体形式，这就给收敛性判定带来了困难。
其次，收敛性判定需要对大样本进行推断，但在实际应用中，我们常常只能获得有限的样本。
这就导致了收敛性判定的结果可能不够准确和可靠。
特别是在极端情况下，如样本量较小或者数据存在较大的噪声时，收敛性判定往往会出现较大的误差。
此外，由于实际问题的复杂性，概率与统计的收敛性判定往往需要考虑多个变量之间的关系。
这就给收敛性判定带来了更高的难度。
当变量之间存在复杂的非线性关系时，我们很难准确地判断其收敛性。
这种情况下，常规的收敛性判定方法可能不再适用。
三、可能的解决方案虽然概率与统计的收敛性判定存在问题，但我们仍然可以通过一些方法来提高判定的准确性和可靠性。
首先，我们可以采用更加灵活和有弹性的收敛性判定方法，以适应复杂问题的需求。
例如，可以结合现代机器学习方法和数据挖掘技术，利用大数据的力量来推断和估计。
其次，我们可以加强对样本空间和概率分布的研究，以提高收敛性判定的基础。
§4.3随机变量序列的两种收敛性
n
再令x ' x F ( x 0) lim Fn ( x )
n
8
同理可证： 当 x " x时，F ( x ") limFn ( x ),
n
再令x " x， F ( x 0) limFn ( x ) .
n
即有 F ( x 0) lim Fn ( x ) lim Fn ( x ) F ( x 0) . n
0, x c; 有 Fn (c / 2) F (c / 2) 1， F ( x ) 1 , x c . Fn (c ) F (c ) = 0 .
从而 P ( X n c ) （n ) 0
且 Fn ( x ) F ( x ) ， 所以当 n 时，
n
若x是F ( x )的连续点，
则 Fn ( x ) F ( x ), 即X n X .
W L
TH2表明：依概率收敛是弱收敛的充分不必要条件，
由弱收敛不能得出依概率收敛。见下面的例子。
9
例2 设X
X P
1 1 2
1 1 2
令 Xn X ,
L
当然有 X n X . 则 X n 与X 同分布，
P P P X n a ,Yn b X n Yn a b； P P X n Yn a b , X n Yn a b(b 0). 证明： ( X n Yn ) (a b ) X n a Yn b ( X n Yn ) (a b ) X n a Yn b 2 2
0 P X Y
大数定律与中心极限定理知识点整理
大数定律与中心极限定理知识点整理大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的概念，它们在统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。
下面将对它们的主要知识点进行整理。
一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是关于随机变量序列均值的收敛性的一个法则。
它表明，当独立同分布的随机变量不断增加时，其均值将会趋近于理论期望。
具体来说，大数定律包含以下几个重要概念：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers）弱大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值以概率1收敛于理论期望。
这个定律要求序列中的随机变量具有有限的方差和独立同分布的性质。
2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers）强大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值几乎处处收敛于理论期望。
与弱大数定律相比，强大数定律要求序列中的随机变量只需要具有独立性，而不需要具有方差的有限性。
二、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是关于随机变量和其样本均值之间关系的一个重要定理。
它表明，当样本量增加时，随机变量的分布将趋近于正态分布。
中心极限定理包含以下几个关键点：1. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。
2. 标准化后的样本均值的分布趋近于标准正态分布。
3. 样本量越大，越接近正态分布。
总结：大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中非常重要的概念。
大数定律研究随机变量序列均值的收敛性，而中心极限定理研究随机变量和其样本均值的分布趋近于正态分布的关系。
它们的应用广泛，对于统计学、经济学等领域的研究与实践具有重要意义。
随机变量序列的几种收敛性注记
科教论坛科技风2020年10月DOC10.19392/ki.1671-7341.202028033随机变量序列的几种收敛性注记杨元启三峡大学理学院湖北宜昌443002摘要：随机变量序列的收敛性理论主要源自测度论中可测函数序列的收敛性理论，但由于概率测度的特殊性，使得随机变量序列的敛散性有自己的特点。
这些理论既是概率论的重点，也是难点。
本文准备详细介绍随机变量序列的各种收敛性概念,讨论他们之间的联系，并以适当的例题来说明收敛的性质。
关键词:几乎必然收敛;依概率收敛；完全收敛;一致可积性本科教材中关于随机变量序列的收敛概念一般只有两种:依概率收敛和依分布收敛,分别关联大数定律和中心极限定理。
但根据序列收敛的强弱,有多种强弱不同的收敛概念,它们的侧重点不一样，相互之间也有联系，讨论如下。
设79,9，”=1,2,3｝是概率空间(*,,p)上的随机变量序列，随机变量9的分布函数记作F(0=p(X<x+,x(R,X n 的分布函数记作F(0#以下是几种常用的收敛性：(1)若对F(0)的每个连续点0,有0)=F(0)，则称随机变量序列｛X”｝依分布收敛于X,记作X”厶X；(2)若对任意&>0,li rn P(X…-X|'&)=0,则称随机变P量序列｛X”｝依概率收敛于随机变量X,记作X”一X；(3)设r>0,=X”存在，且”X”-X|'=0,则称随机变量序列｛X”｝r阶收敛于随机变量X,记作X”二X,这时易知=X>也存在；(4)若P(”im X…=X)=1,则称随机变量序列｛X”｝几乎必然收敛于随机变量X,记作X”上$X；(5)若对任意的&>0,都有lim-P(|X»-X|'&)=0称随”$"7=”c机变量序列｛X”｝完全收敛于随机变量X,记作X”一X#下面几个概念与随机变量序列的收敛性关系密切：(1)对任给的&>0,存在(使得对任一"(F,当P(")d 时，便有spf j X”|$p<&,则称随机变量列｛X”｝是一致绝对连续的；(2)若epJj X”|$P<",则称随机变量列｛X”｝积分一致 有界；(3)若sp|X”|$P=0,则称随机变量列｛X”｝是一致可积的；由测度论的理论,有下列结论:(1)｛X”｝是一致可积的充要条件是｛X”｝是一致绝对连续的且积分一致有界；(2)X”上$X当且仅当对于任意的&>0,^｛*”7X”-X丨'&｝｝=0以及X”上$x当且仅当对于任意的&>0,P(/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”P(3)X…-$X当且仅当对｛X”｝的任一子序列｛X”？，均存在子序列7X”》｝0｛X”？,使得X”7上$x；“、a・s.,、，P(4)X”一X时必有X”一X；r P(5)X”---------$X时必有X”----------$X；P<(6)X”---------$X时必有X”----------$X；C., a.s.(7)X”---------$X时必有X”----------$X；(8)”F"IX-XI=0的充要条件是｛X”｝是一致可积且PX”$X上述部分结论的证明可以从本文所列文献中找到，这里就不赘述了#我们只证(2)和(7)#先介绍一个引理#"8888弓【理如果-P("”)<8,则P(/U"”)=0,P(*/"”.)=1,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为0,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为1;如果P("”)=8,而｛"”｝是两两独立的事件序列，则P8888(/*"”)=1,P(*/"”.)=0,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为1,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为0#这是著名的波雷尔-康特立引理#(2)的证明:若X”上$X,即*中除了某个概率测度为零的集合8以外的所有点)对于任何&>0,当”>”0(&,)时就有t”_X I<&,也就是说，满足对任意的”,总存在>'”，使得X”-X的点)必属于零测度集8,亦即/*7X”-X'”一1>—”&｝08,因此P(/*7|X>-X|'&｝)=0；”=1>=”所以说X”上$X当且仅当对于任意的&>0,P (/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”66科技风2020年10月另外，根据概率的连续性，显然有P(/*i19-91>&!)=+=17=+0i U/P{U7丨9”-9|'&}=0,反之,若对于任意的&>0, >=+有U m：{U79”-9|'&}=0,则由于/U79”-9|'&8 +$">=++=1>=+"880U7X m-9|'&,有0!：(/U7X m-9|)!Um：>=++=1>=++$8 {U+7.|9>-9|}=0综上有：as889—」9%对于任意的&>0,P(/U7丨9”-9|)=0+=1>—+%对于任意的&>0,fm P{U7丨9”-9|}=0#+—8>—+C8(7)的证明：因为9―$9,即任意的&>0,Um-：+$87=+ (9,,-9'&)—0,因此Um：{U7丨9”-9|}<Um-：+$8>=++$8>=+ (9m-9|'&)=0,即|=9#以下通过几个例子进一步讨论随机变量序列的性质#例1设{9”}为相互独立的随机变量序列，若9…上$证明:设9…上$0,则对任意的&>0,有：(/U79-0)=0”=17=+即：(limyp7I9t1>&)=0,由｛9…｝相互独立及波雷尔-康特立引理，知-:(9>'&)<8,因此Um-：>=1”$8>=+ (9”|'&)=0,此即9 0注：(1)显然，此结论可改为：若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于9…亠0'或者，若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于2&>0,-：7(191>&)!<8#+=1(2)若｛9｝独立，｛,”｝为常数列，则9上$0等价于2&>0,-：7(19<8#”—1例2设｛9”｝为以概率1单调的随机变量序列，且9…: a.s.—9,则9”一9#:证明:不妨设2)(*,｛9”｝为单调递增，由于9…-$9,因此对｛9”｝的任一子序列｛9”？,均存在子序列｛9”？0 79…7!,使得9”7上$9,而｛9”｝为单调递增，故2)(*,9”$ 9,因此9”9#例3设随机变量序列｛9+｝依分布收敛于常数，，则9”:-----，#「1久',证明：常数，的分布函数；(0)=匸，｛9”｝依分布0x<<收敛于，,对任意的&>0,：(丨9”-|'&)=：(9”<,-&+：(9”'a+&)<;”(a-&)+—：(9”«+£&二；”(Q-&)+—;”(a+&:-0)=0+1-1二0,所以9”---a#例4设｛9”｝是独立同分布的随机变量序列，二阶矩有2”：界,则十*-@@―”(”+1)@12”证明:记=91=#,A91=*2,则*2<8,=(,2八-忑)—”(”1)@=1 )”乔17=( -9心A含9)=心-2”2”川-弘予，A(»-9)=4*2亍-==232”+11*2$0,(”$8)2=13”(”+1)2”由契贝雪夫不等式有2&>0,P(I十丁--=91I'&)”(”1)=12”<”(”&)@——$0,(+$»)，亦即尸石-9厶=91# &”(”+1)=1例5设｛9”｝为独立同分布的随机变量序列，密度函数「2-0a)兀'a</(0=L，记B”=m/791，…9”!，则B”—a# 050<af1-2"(0"a)兀'a 证明：容易算得公共分布函数;(0)-,0050<a'a时,：(B”>0)=：(m/791，…9”!>0)=：(/{9=>0)=1=(1-F(0))”=2一0-)2&>0,P(I”-a l'&)=：(B”'a+&)+P(B”<a-&)=2兀+：(*79=<a-&!)=1=2^+-：(9=<a-&)=1—e-&+0$0,”$8:<所以B”$a，因此,B”$a#例6设{9”}为独立同分布的随机变量序列,P(9”=1)1”9»=：(9”=0)=*,B”=-出”=1,2,3,则B”的分布收敛于27=12［0,1］上的均匀分布#证明：9»的特征函数为/()=*(1+e")—as寺2“,；的特征函数为+()-寺(1+e")=cos2)71“,7=1,2,3,由于97独立同分布,7=1,2,3,故B”的特征函数为,”(-=3(cos7=1tsin命抽')=丁-----------eM-,由于”/0”(-=〒Cn寺=Sm2”+丄(2“-1)，而［0,1］上的均匀分布的特征函数恰为丄*2“-1), It It由逆极限定理知B”的分布收敛于［0,1］上的均匀分布#参考文献：［1］王寿仁.概率论基础与随机过程［M&.北京：科学出版社，1997.［2］严家安.测度论讲义.北京:科学出版社,2000.［3］周民强.实变函数论.北京：北京大学出版社,2003.［4］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础.北京：科技出版社,$982.67。
收敛发散知识点总结
收敛发散知识点总结本文将从收敛和发散的定义、性质、判别方法、在数学分析和其他数学领域的应用等多个角度系统地进行分析和总结。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解这些重要的数学概念，并掌握它们在不同数学问题中的运用方法。
一、收敛和发散的定义在数学中，收敛和发散是描述数列、级数、函数序列等数学对象的性质的重要概念。
下面分别对数列、级数、函数序列三个方面的收敛和发散进行定义。
1. 数列的收敛和发散对于一个数列{an}来说，当存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，|an-L|<ε成立，那么就称数列{an}是收敛的，而L就是该数列的极限，用符号「an→L(n→∞)」表示。
反之，如果对于任意实数L，总存在正数ε，使得对任意的自然数N，总存在n>N，使得|an-L|≥ε成立，那么就称该数列是发散的。
2. 级数的收敛和发散对于一个级数{an}来说，如果其部分和数列{Sn}收敛，则称级数{an}是收敛的，否则称为发散的。
3. 函数序列的收敛和发散对于函数序列{fn(x)}来说，如果对于任意给定的实数x0，函数序列{fn(x0)}收敛，则称函数序列{fn(x)}在点x0处收敛。
反之，如果存在实数x0，使得函数序列{fn(x0)}发散，则称函数序列{fn(x)}在点x0处发散。
以上是收敛和发散的基本定义，它们在数学分析、微积分、级数等分支的理论体系中都扮演着至关重要的角色。
二、收敛和发散的性质1. 收敛数列的性质若数列{an}与数列{bn}收敛，且lim(n→∞)(an)=a、lim(n→∞)(bn)=b，则有lim(n→∞)(an+bn)=a+b。
此外，收敛数列具有唯一极限的性质，即若数列{an}同时收敛于a和b，则a=b。
2. 收敛级数的性质若级数{an}与级数{bn}均收敛，则有级数{an+bn}也收敛，并且有lim(n→∞)(∑n=1∞(an+bn))=lim(n→∞)(∑n=1∞(an))+lim(n→∞)(∑n=1∞(bn))。
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P
L
定理 4.3.2 如果 X n X ，则必有 X n X ．
11
证明：
设随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ， n 1, 2, 3, ；
L
随机变量 X 的分布函数为 Fx．为证 Xn X ，只须证明：
对所有的 x ，有
F
x
0
lim
n
Fn
x
lnimFn
x
F
x
0．
因为如果上式成立，则当 x 是分布函数 Fx 的连续点时，有
对于任意的 0 ，有
lim P
n
Xn X 1，
则称随机变量序列 X n依概率收敛于随机变量 X ．
2
我们知道任何一个随机变量都有分布函数，而且分布函数全 面地描述了随机变量的统计规律．因此讨论一个分布函数序列
Fn x收敛到一个极限分布函数 Fx 是有实际意义的．现在的 问题是，如何定义分布函数序列 Fn x的收敛性？很自然，由 于 Fn x是实变量函数序列，我们的一个猜想是：对所有的 x ， 要求 Fn x F x, n ．这就是数学分析中的点点收敛．然
如下定义：
7
定义 4.3.2 设 X n是一个随机变量序列， X 是一个随机变
量， Fn x是 X n 的分布函数， Fx 是 X 的分布函数，如果对于
Fx任意连续点 x ，有
nli m Fn x Fx，
（4.3.2）
则称分布函数序列 Fn x弱收敛于分布函数 Fx，记作
W
Fn x Fx n ．
P
不能推出 X n X ．见下例．
16
例 4.3.2 设随机变量 X 的分布列为
PX 1 1 , X 1 1 ．
2
2
再令 X n X ，n 1, 2, 3, ．则随机变量 X n 与
L
随机变量 X 有相同的分布函数，因此 X n X ．
17
但是对于任意的 0 2 ，由于
P Xn X P2 X 1，
Fx 0 Fx 0．因此有
W
Fn x Fx ．
12
首先令 x x ，则由
X x X x, X n x X x, X n x
Xn x Xn X x x 得 Fx PX x PXn x P Xn X x x
Fn x P Xn X x x
13
P
由于 X n X ，所以当 n 时，有
（4.3.3）
此时也称随机变量序列 X n依分布收敛于随机变量 X ，记作
L
Xn X ，
n ．
（4.3.4）8
注：以上定义的“弱收敛”是自然的，因为它
比在每一点上都收敛的要求的确“弱”了些．如
果 Fx 是 连 续 函 数 ， 则 对 于 任 意 的 x ， 有
lim
n
Fn
x
F
x
，此时分布函数序列
P Xn X x x 0，
（因为 x x 0）．所以有
再令 x x ，得
Fx lim Fn x． n
Fx 0 lim Fn x n
14
同理可证，当 x x 时，有
lnimFn x Fx． 再令 x x ，得 lnimFn x Fx 0 ．
因此定理得证．
15
L
注：本定理的逆命题不成立，即如果 X n X ，
g x
0 1
x0 ． x0
但是 gx 并不是分布函数．本例告诉我们，要求分布函
数序列 Fn x点点收敛于一个分布函数 Fx 是有些太
苛刻了．
6
再仔细分析本例，我们发现 x 0 恰好是分
布函数 Fx的间断点，而除了这个间断点外， 分 布 函 数 序 列 Fn x 都 是 收 敛 于 分 布 函 数 Fx 的 ． 因 此 我 们 可 以 将 分 布 函 数 序 列 Fn x收敛于分布函数 Fx 的定义修改成为
Fn
x
点点
收敛于分布函数 Fx．
9
在上述定义中，对分布函数序列 Fn x称为弱收敛，而 对其随机变量序列 X n。则称为按分布收敛，这是在两
种不同的场合给出的两个不同的名称，但是本质含义是一
样的，都要求在 Fx的连续点上有（4.3.2）式．
下面的定理说明了依概率收敛是一种比按分布收敛更 强的收敛性．
L
要条件是 X n C ．
20
证明：
必要性已由定理 4.3.2 给出，下证充分性．
记随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ．而常数 X C
（退化分布）的分布函数为
F
x
0 1
xC ． xC
21
所以对于任意的 0 ，有
P Xn C P Xn C P Xn C
P
Xn
C
2
P
即
lim P
n
Xn X 0 ，这表明 X n 并不依
概率收敛于 X ．
18
以上的例子说明，一般按分布收敛与依概 率收敛是不等价的．而下面的定理则说明： 当极限随机变量为常数（服从退化分布）时， 按分布收敛与依概率收敛是等价的．
19
P
定理 4.3.3 若 C 为常数，则 X n C 的充
而遗憾的是，这样的要求有些太严格了．
3
例 4.3.1 设 X n 服从如下的退化分布：
P
X
n
1
n
1，
n 1, 2, ．
这样的 X n n 1, 2, 3, 组成了一个随机变量序列
X n．记 Fn x为随机变量 X n 的分布函数，则有
Fn
x
0
1
x 1 n．
x 1
n
4
由于
xn
1 n
定义 4.3.1 设X n是一个随机变量序列，X 是一个随机
变量，如果对于任意的 0 ，有
lim P
n
Xn X
0，
（4.3.1）
则称随机变量序列 X n依概率收敛于随机变量 X ，记作
P
Xn X ，
n ．
1
注：依概率收敛的等价命题：
设 X n是一个随机变量序列， X 是一个随机变量，如果
Xn
C
1
FnHale Waihona Puke C2Fn C
．
由于 x C 与 x C 都是分布函数 Fx的连续点，并且由
2
W
于 Fn x Fx ，
22
所以，
lim
n
Fn
C
2
F
C
2
1
，
lim
n
Fn
C
F
C
0
．
因此，
0 lim P n
Xn C
lim 1 n
Fn
C
2
Fn
C
1
1
0
0
，
P
即
lim P
是函数
Fn x的跳跃型间断点，所以当 n
时，间断点
xn
1 n
0
x0
．那么，分布函数序列 Fn x是否会收敛于分布函
数
F
x
0 1
x0 ． x0
但是我们看到，对于任意的
n
，
Fn
0
0
，所以
lim
n
Fn
0
0
，然而
F0 1，所以，
lim
n
Fn
0
0
1
F
0
．
5
这表明，分布函数序列Fn x并不点点收敛于分布函数 Fx．事实上，分布函数序列Fn x点点收敛于 gx ：