【2019年整理】概率论四种收敛性
第五章 大数定律和中心极限定理
第三节 中心极限定理
所谓中心极限定理，就是关于大量微小的随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布的定理. 定义 1 设 { X n } 为一随机变量序列， DX n ， n 1,2, ，若
2
83
n a n lim P(a X i b) P n i 1 n
X
i 1
n
i
n
n
b n b n a n ) ( ). ( n n n
例 1 一加法器同时收到 50 个噪声电压 Vi (i 1,2, ,50 ) ， 设 V i (单位： 微伏)相互独立且均在 [0,10] 上 服从均匀分布，求该加法器上总电压 V
i 1
n
1 n2
c n 0(n ) ，
i 1
n
c
推论 2 (贝努里大数定律) 设 S n 为 n 重贝努里试验中事件 A 出现的次数， p 为 A 在每次 n
证 明 ：令 Xi
1 在第i 次试验中A出现 ， 则 X i ~ B(1, p ) ， i 1,2,, n 且 相 互 独 立 ， 0 在第 i 次试验中 A 不出现
c 0 ，使得 DX n c ， n 1,2, ，则
P 1 n ( X i EX i ) 0 . n i 1
证明：只须验证马尔可夫条件成立即可.由于 { X n } 两两互不相关，故
0
因此马尔可夫条件成立.
n 1 1 D ( Xi) 2 2 n n i 1
DX i
概率论四种收敛性25页PPT
E(X)np7000, D (X)npq2100.
由车贝晓夫不等式可得:
P {6800X7200} P {|X7000|200}12 21 00 00 20.95．
例2：已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细 胞数平均是7300，标准差是700 . 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概 率.
1( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
例3：在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利 用车贝晓夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400) P(5200X 9400)
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}
由车贝晓夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
1
D( X ) (2100)2
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
在车贝晓夫不等式中取 0.01n，则
P(0.74X0.76)= P{ |X-E(X)| <0.01n} n
1
D(X) (0.01n)2
1
0.187n5 0.000n12
1 1875 n
依题意，取 118750.9 n
解得
n 187518750
10.9
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 .
概率论中几乎处处收敛和依测度收敛的关系
概率论中几乎处处收敛和依测度收敛的关系概率论中几乎处处收敛和依测度收敛是两个不同的概念，但它们之间存在一定的关系。
几乎处处收敛是指在某个概率空间中，随机变量序列在几乎所有样本点处收敛于一个确定的随机变量，而依测度收敛则是指随着样本容量的增大，随机变量序列趋向于某个随机变量的分布，这种趋向是在概率测度的意义下进行的。
在一些情况下，几乎处处收敛和依测度收敛可能同时出现，比如对于一些收敛速度比较快的随机变量序列，在满足一定的条件下，几乎处处收敛和依测度收敛都会发生。
但是，对于一些收敛速度比较慢的随机变量序列，可能只存在几乎处处收敛或者只存在依测度收敛。
总的来说，在概率论中，几乎处处收敛和依测度收敛都是非常重要的概念，它们的性质和应用都是十分广泛的。
对于随机变量序列的研究和应用，需要综合考虑这两种收敛方式的特点和优缺点，才能做出正确的判断和应用。
- 1 -。
《概率论与数理统计课件》随机变量序列的收敛性
P
定理 4.3.3 若 C 为常数，则 X n C 的充
L
要条件是 X n C ．
21
证明：
必要性已由定理 4.3.2 给出，下证充分性．
记随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ．而常数 X C
（退化分布）的分布函数为
F
x
0 1
xC ． xC
22
所以对于任意的 0 ，有
Fn x收敛到一个极限分布函数 Fx 是有实际意义的．现在的 问题是，如何定义分布函数序列 Fn x的收敛性？很自然，由 于 Fn x是实变量函数序列，我们的一个猜想是：对所有的 x ， 要求 Fn x F x, n ．这就是数学分析中的点点收敛．然
下面的定理说明了依概率收敛是一种比按分布收敛更 强的收敛性．
11
P
L
定理 4.3.2 如果 X n X ，则必有 X n X ．
12
证明：
设随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ， n 1, 2, 3, ；
随机变量
X
的分布函数为
F x ．为证
Xn
L
X
，只须证明：
对所有的 x ，有
写出随机变量 Yn
n k 1
Xk 2k
的特征函数n t ；⑶
证
明：当 n 时，随机变量序列Yn依分布收敛于随机变量Y ．
33Leabharlann 解：⑴ 由于随机变量Y 服从区间 1, 1 上的均匀分布，因
此 Y 的特征函数为
t eit eit cost i sin t cost i sin t sin t ．
（因为 x x 0）．所以有
再令 x x ，得
概率论中几种收敛及其联系1
概率论中几种收敛及其联系 西北师范大学数学与应用数学专业 甘肃兰州 730070摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系.关键词：示性函数 概率 随机变量 收敛 分布函数Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the averageconvergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred betweenKey words : indicator function probability random variable convergence distribution function首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。
所以首先需要建立必要的概率不等式。
我们以I(A)表示事件A 的示性函数，即有⎩⎨⎧∉∈=.,0;,1)(A A A I ωω那么，显然当B A ⊂时，有).()(B I A I ≤，并且有).()(A EI A P =定理 1 （Chebyshev 不等式）设)(x g 是定义在 [)∞,0 上的非降的非负值函数，如果对随机变量η，有∞<)(ηEg ，那么对任何使得0)(>a g 的0>a ，我们都有.)()()(a g Eg a P ηη≤≥证明：首先，由)(x g 的非降性知 ()()()().a g g a ≥⊂≥ηη 因此()()()()()()()()().a g g I a g g a g g I a I ≥≤≥≤≥ηηηη其中)(A I 是事件A 的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件()()()a g g ≥η上面有()()1≥a g g η由上述不等式立得()()()()()()()()()()()().a g Eg a g g I a g g E a g g EI a EI a P ηηηηηη≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≥≤≥=≥Chebyshev 不等式在以后的证明中有非常重要的作用,所以我们在这里先将其提出. 下面让我们先从较简单的依概率收敛谈起.定义 1 已知随机变量序列{n ξ,N n ∈}与随机变量ξ.如果对0>∀ε，都有.0)|(|lim =≥-∞→εξξn n P那么我们就称随机变量序列{N n n ∈,ξ}依概率收敛到随机变量ξ，记为ξξ−→−Pn其实,依概率收敛的本质是n ξ对ξ的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着n 增大而减小.或者说,绝对偏差小于任一给定量的可能性将随着增大而接近1,即上式等价于1)(lim =<-∞→εξξn n P .特别当ξ为退化分布时,即()1==c P ξ,则称序列{}n ξ依概率收敛于c ,即c Pn −→−ξ.下面, 我们来引入随机变量序列的另外一种收敛:平均收敛.定义 2 如果{}0;,>n n ξξ是r L 中的随机变量, 其中,0>r {}∞<=rr E L ξξ,并且0→-ξξn E , ()∞→n .则称随机变量序列{}N n n ∈,ξ依r 阶平均收敛到随机变量,ξ记作ξξ−→−rLn 当1=r 时简称为依平均收敛，并记为.ξξ−→−Ln在依概率收敛和平均收敛之间存在如下关系:定理 2 r 阶平均收敛蕴含依概率收敛. 证明:因为0lim =-∞→rn n E ξξ,故对,,0N ∃>∀ε当N n >时,有εξξrrn a E <- .又由Chebyshev 不等式知对任何0>a ，有()rrn n aE a P ξξξξ-≤≥-，故()εξξ<≥-a P n ，因此()0lim =≥-∞→a P n n ξξ.但是,反之不真.反例如下:例1 设概率空间为区间上的几何型概率空间,即有 ()1,0=Ω , () 1.0B F = , L P =. 令()0=ωξ, ()1,0∈∀ω, 而易知,对任何0>ε,当∞→n 时,都有 ()()020→=>≤>-nP P n n ξεξξ,所以ξξ−→−Pn ;但是1≡=-n n E E ξξξ, 所以n ξ不依平均收敛到ξ.在概率极限理论中,研究随机变量序列收敛性的同时当然也要研究相应的分布函数序列的收敛性,下面就让我们来谈一谈依分布收敛.定义3 设{}N n x F n ∈),(是一列定义在R 上的有界非降的左连续函数，如果存在一个定义在上的有界非降的左连续函数).(x F 使得),(),()(lim F C x x F x F n n ∈∀=∞→则称{})(x F n 弱收敛到)(x F 记为),()(x F x F n −→−ω并称)(x F 是{})(x F n 的弱极限。
高等教育：概率论四种收敛性
第三章3・1四种收敛性车贝晓夫不等式2几乎处处收敛3依概率收敛4依分布收敛5r■阶收敛【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有I•阶绝对矩，EX 「<00,则对任意£ > 0有P(\X\>s)<^4-【证明】设X的分布函数为F(x)，则有:P(\X\>£)= f dF(x) < f x-\rdF(x)1 r00 ir< —-f x dF(x) 』J・8引理的特殊情况： P(|X|> £)<纟甲取一2,并以X ・E(X)代替X 得车贝晓夫不等式 * 【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X 有2阶中心矩，E[X-E(X)] 则对任意£ > 0有P (|X -E (X )|>^)<^2【证明】设X 的分布函数为尸(兀)，则有：DX = f (X -E(X))2JF(X )>f (x-E(X))2dF(x)\x-E(X)\^> J£2dF(x)= e 2P{\X-E(X)\>e}从而尸(|X - E(X)\ >e)< 代耳 <=^> P(\X 一 E(X)\ <^)>1-2^8 82 <00,P(\X-E(X)\<s)>l-^^ 8由车贝晓夫不等式可以看出，若b?越小，贝!I 事件［\X-E(X)\<£］的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.特别地，若D(X)=O,则对任意£>0,恒<P{|X-EX|>g}|0- 因此P{X HE¥} = 0,即P{X = EX} = 1,所以方差为0的随机鑼是常数菱P{\X-E(X)\>当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了/X与它的期望的偏差不小于8的概率的估计式・如取£ = 3b2P{IX-E(X)I> 3<r} <— ".1119(7 屋可见，对任给的分布，只要期望和方差亍存蠹则r.v X取值偏离超过3a的概率小于0.1117二车贝晓夫不等式的用途:车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。
随机变量序列的几种收敛性及其关系000
本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：***指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 1 2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。
依概率收敛和殆必收敛
依概率收敛和殆必收敛什么是依概率收敛和几乎必然收敛？在概率论和数学分析中，依概率收敛和几乎必然收敛是两个重要的概念。
它们描述的是随机变量序列的收敛性质。
在本文中，我们将逐步介绍这两个概念，并讨论它们的性质和应用。
首先，我们来定义依概率收敛。
考虑一个序列{X₁, X₂, X₃, ...}，其中Xₙ是一个随机变量。
我们说这个序列依概率收敛到一个随机变量X，如果对于任意的ε>0，有lim Pr( Xₙ-X >ε) = 0，即当n趋向于无穷大时，Xₙ以概率1趋向于X。
依概率收敛的定义可以理解为随着样本量的增加，随机变量序列逐渐“接近”某个固定的随机变量。
这个“接近”的程度由ε来衡量，并且可以任意小。
换句话说，依概率收敛是一种弱收敛性质，它只要求随机变量序列以很高的概率趋近于某个随机变量X。
接下来，我们引入几乎必然收敛的概念。
与依概率收敛类似，我们仍考虑一个随机变量序列{X₁, X₂, X₃, ...}，其中Xₙ是一个随机变量。
我们说这个序列几乎必然收敛到一个随机变量X，如果对于任意的ε>0，有Pr( Xₙ-X >ε，无穷大的n) = 0，即当n趋向于无穷大时，Xₙ以概率1趋向于X。
几乎必然收敛与依概率收敛的不同之处在于，几乎必然收敛要求随机变量序列在几乎所有情况下都趋近于X。
换句话说，只有在一个概率为0的事件集合之外的情况下，随机变量序列才会与X有差距。
因此，几乎必然收敛可以看作是一种强收敛性质，它要求随机变量序列在几乎所有情况下都收敛于某个随机变量X。
接下来，我们来讨论依概率收敛和几乎必然收敛的一些性质和应用。
首先，依概率收敛和几乎必然收敛是收敛的两种不同方式。
依概率收敛只要求序列以高概率趋近于某个随机变量，而几乎必然收敛要求序列在几乎所有情况下都趋近于某个随机变量。
因此，几乎必然收敛是依概率收敛的一种特殊情况，即几乎必然收敛蕴含依概率收敛。
其次，依概率收敛和几乎必然收敛在实际问题中具有广泛的应用。
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E(X)=0.75n, 所求为满足 的最小的n .
D(X)=0.75×0.25n=0.1875n
X P (0.74 0.76) 0.90 n
X P (0.74 0.76) 可改写为 n P(0.74n< X<0.76n )
=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n) = P{ |X-E(X)| <0.01n}
P( X E( X ) ) D( X )
2
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有： DX ( x E ( X ))2dF ( x )
x E ( X )
( x E ( X ))2dF ( x )
x E ( X )
2 dF ( x )
n n n
则称随机变量序列 {Yn } 依概率收敛于随机变量Y，
P Y 简记为 Yn
Yn与 Y 的绝对误差小于任意小的正数 依概率收敛表示：
的概率将随着n增大而愈来愈大，直至趋于1
五、r-阶收敛
设对随机变量Yn及Y 有E Yn , E Y 定义4：
r r
其中r 0为常数，如果
n
或简记为
P { lim Yn Y } 1
n
则称随机变量序列 {Yn }以概率1（或几乎处处）
a.s. 简记为： Y Y 收敛于随机变量Y ， n
下面定理揭示了四种收敛之间的关系。 定理 4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量 Y
a.s. Y Y ，则 (1)若 n
2 P X E( X )
从而P ( X E ( X ) ) D( X )
2
P( X E( X ) ) 1
D( X )
2
P( X E( X ) )
D( X )
2
D( X )
P( X E( X ) ) 1
W 记为Fn ( x ) F ( x)
三、依分布收敛
设随机变量 Yn ( n 1, 2, ) 和随机变量Y 定义2：
的分布函数分别为Fn ( x )( n 1,2,)和F ( x ), 若在 的所有连续点 x 上都有
n
lim Fn ( x ) F ( x )
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y， 简记为
r
P Yn Y ;
【证明】 由马尔可夫引理有，对任意 0, 有
P ( Yn Y ) E Yn Y
r
r
r 又因为Yn Y , 则由定义有：
lim E | Yn Y |r 0
n
所以
n
lim P{| Yn Y | } 0
P 即： Y Y n
P{| X E ( X ) | }
D( X )
2
P{| X E ( X ) | } 1
D( X )
2
例1： 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开 灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，使 用车贝晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到 7200盏之间的概率。 解 令X表示在夜晚同时开着的灯数目，
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
例3：在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利 用车贝晓夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， 则 X~B(n, 0.75)
则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时
E ( X ) np 7000, D( X ) npq 2100.
由车贝晓夫不等式可得:
P{6800 X 7200} 2100 P{| X 7000 | 200} 1 0.95． 2 200
例2：已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细 胞数平均是7300，标准差是700 . 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概 率.
D( X
i 1
n
i
)
P( Z E( Z ) ) 1 P
D( Z )
2
1 n , 代入Z X X i ,即： n i 1
1 n 1 n 1 1 n X i E ( X i ) 1 2 2 D( X i ) n i 1 n i 1 n i 1
1 n 1 n K X i E ( X i ) lim lim P （ 1 ) 1 2 n n i 1 n n i 1 n
又由概率性质P 1
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
因为D( Xi ) K ,所以上式： 1 n 1 n 1 1 n P X i E ( X i ) 1 2 2 D( X i ) n i 1 n i 1 n i 1 1 nK K 1 2 2 1 . 2 n n
P Yn Y ; P Yn Y ;
L Yn Y .
(2) 若 Yn Y ，则
r
。
P Y Y ，则 (3) 若 n
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛 r —阶收敛 依概率收敛 依分布收敛 几乎处处收敛和r-阶收敛之间不存在推导关系
(2) 若 Yn Y ，则
在车贝晓夫不等式中取
0.01 n，则
X P (0.74 0.76) = P{ |X-E(X)| <0.01n} n 0.1875n 1875 D( X ) 1 1 1 2 2 0.0001n n (0.01n)
1875 依题意，取 1 0.9 n
解得
1875 n 18750 1 0.9
lim E | Yn Y | 0
r n
r 则称{Yn } r阶收敛于Y，并记为Yn Y
特别的有
1-阶收敛又称为平均收敛， 2-阶收敛又称为均方收敛。 均方收敛一定平均收敛
六、以概率1收敛（几乎处处收敛）
定义5：设有随机变量序列{Yn ( )}和随机变量
Y ( ) ，若
P{ : lim Yn ( ) Y ( )} 1
, n)相互独立，且方差有限
1 n 1 n 证明 lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
1 n 证明：设随机变量Z X X i , n i 1
n 1 n 1 1 n E (Z) E ( X ) E ( X i ) E ( X i )= E(X i ) n i 1 n n i 1 i 1 n 1 n 1 1 D(Z) D( X ) D( X i ) 2 D( X i ) 2 n i 1 n n i 1 由车贝晓夫不等式，
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,
事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 .
二、分布函数弱收敛
定义1：对于分布函数列{Fn (x)},如果存在一个非降函数
F ( x )使
n
lim Fn ( x ) F ( x )
在F ( x )的每一个连续点都成立，则称Fn ( x )弱收敛于F ( x )
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X
9400) = P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)|
P(5200 X
9式
D( X ) P{ |X-E(X)| 2100} 1 (2100)2 1 8 700 2 1 ( ) 1 9 9 2100
例题11-2-1(2001，数一）
1、设变量X的方差为2，根据切比雪夫不等式估计 P ( X E (X) 2) ______
解；在车贝晓夫不等式中，令 2，由已知D(X) 2 D(X) 2 1 所以P ( X E (X) 2) 2 2 2 2
证明： 已知Xi ( i 1, 2,
第三章
3.1四种收敛性
主要内容 车贝晓夫不等式
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛
r-阶收敛
一、车贝晓夫不等式
【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有r阶绝对矩， E X ,
则对任意 0有
r
P( X )
E X
r
r
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有：
P( X )
2
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
中在期望附近的可能性越大.
由车贝晓夫不等式可以看出，若 2 越小，则
特别地，若D(X)=0，则对任意 0, 恒有P{ X EX } 0 因此P{ X EX } 0,即P{ X EX } 1, 所以方差为0的随机变量 是常数
P{| X E ( X ) | }
D( X )
2
当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了r.v X与它 的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 如取
P{| X E ( X ) | 3 } 0.111 2 9 可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
2
L Yn Y
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn ( x ) 收敛于Y 的分布函数 F ( x ), 它是概率论中
较弱的一种收敛性.
四、依概率收敛