5.2随机变量序列的两种收敛
随机变量序列的两种收敛
概率论与数理统计
2）、设 n ,n 是两个随机变量序列， a，b为常数，
若 n P a,n Pb 且在g(x,y)在点（a,b）处连续， 则 g(n ,n ) P g(a,b), (n ). 证明略，方法类似于1） 3）、若 n P ,n P,
则n n P , (n )
nn P , (n )
1）、若 n P ,n P, 则P ( ) 1
证： n n
0
，由
则 n
2
与
n
2
中至
少有一个成立，即
n
2
n
2
于是
P(
) P(n
2
)
P(
n
) 0(n )
2
即 0,有P（ ） 1，从而P（ ） 1
这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作 相等时，依概率收敛的极限是唯一的。
概率论与数理统计
定理5.6 随机变量序列 n P c(c为常数）
的充要条件为 Fn (x) W F (x)
这里 F(x)是 c 的分布函数，也就是退化分布
1, x c F(x) 0, x c
即
n P c
Fn (x) W F (x)
在F(x)的连续点．
当n P, (n ) 时，它们的分布函数之间就有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
成立．
1.定义
定义5.3
概率论与数理统计
设 Fx, F1(x), F2 (x), 是一列分布函数，如果对
F(x)的每一个连续点x，
都有
lim
n
Fn (x)
F ( x)
成立，
则称分布函数列 Fn (x) 弱收敛于分布函数F（x），
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 大数定律与中心极限定理)【圣才出品】
是直线上的连续函数，试证：
证：若 g（x）是 m 次多项式函数，即 下证一般情况，对任意的 又选取 N1 充分大，使当
，则由上一题知有
，取 M 充分大，使有
时，有
，于是有
对取定的 M，因为 g（x）是连续函数，所以可以用多项式函数去逼近 g（x），并且在任意
有限区间上还可以是一致的，因而存在 m 次多项式
，于是有
，因为
，故存在充分
由 的任意性知，当
时，有
结论得证．
6．设 D（x）为退化分布： 试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中 n＝1，2，…）
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为此时的极限函数为
性质： lim F x=0 ，所以不是分布函数． x－
，不满足分布函数的基本
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有
故当
时，
即
成立，进一步由
可得
，所以又有
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成立．
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（2）先证明
对任意的
，取 M 足够大（譬如
），使有
成立，对取定的 M，存在 N，当 n＞N 时，有
这时有
从而有
由 的任意性知
，同理可证
由上面（1）得
即
成立．
3．如果
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证：先证充分性，令
，则
，
故 f（x）是 x 的严格单调增函数，因而对任意的
，有
于是对任意的
，当
时，有参见 2.3 第 12 题．
充分性得证．
随机变量序列的两种收敛性
§4.2随机变量序列的两种收敛性在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了n η=∑=n i i n 11ξ−→−p a （n ∞→） 即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。
我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。
定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη<-n （4.6）则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作lim ∞→n r η−→−p η 或n η−→−p η （n ∞→） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。
我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。
例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,P （n η=-n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0所以n η−→−p η （n ∞→） 成立。
又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则F （x ）=⎩⎨⎧≤>0,20,1x xF （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，lim ∞→n n F （x ）= F （x ）成立，当x=0时，lim ∞→n n F （0）=lim ∞→n 1=1≠0= F （0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。
随机变量序列的几种收敛性及其关系000
本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：***指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 1 2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。
随机变量的几种收敛及其相互关系
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is asequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： 41 几种收敛性定义 42 依概率收敛与依分布收敛的关系 53 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 114 依概率收敛与r阶收敛的关系 135 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 17总结 19四种收敛性 19四种收敛蕴涵关系 19致谢 21参考文献 22引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
5.2随机变量序列的两种收敛
(n )
i 1
根据定义即证 例1、设 n 是独立同分布的随机变量序列，且 2 lim P ( k a ) 0 2 E a , D n ( n 1 ) 1 1
n n
n 2 P (n ) k a 试证： n k ( n 1 ) k 1 n 2 n 2 n 2 k E a k a kk 证： E k ( n 1 ) n ( n 1 ) ) k1 n k 1 k 1 n(n1
随机变量序列依概率收敛与函数序列收敛也不一样．
P 0 , lim P ( ) 1 n n n n
i列 n 服从大 n n 1 1 数定律就可以表达为 0 , lim P ( E ) 1 i i n n n
0，有 如果
n
lim P ( ) 0 或 lim P ( ) 1 n n
n
P
则称随机变量序列 n 依概率收敛于 ，记作
lim n
n
，或
P , ( n ) n
由定义可知，
P n
0 , ( n )
W
证明 ：略。
３.依概率收敛与按分布收敛间的关系
（１）
( n ) n
P
( n ) n
L
（２）
P c n n
L n
c n
分布函数列的弱收敛是一个很有用的概念，但要判 断一个分布函数序列是否弱收敛，有时很麻烦，而判 定相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易。
第三节 两种收敛性ppt
L
这两个定义的实质一样，要求F(x)的连续点收敛。对分布函数 列称弱收敛；对随机变量序列称按分布收敛。
下面对依概率收敛和按分布收敛进行比较：
定 理 4 .3 .2
n Fn ( x ) F ( x )
n
则称
Yn依 概 率 收 敛 于 Y .
记为
Yn Y
p
例 如 ： Y 1 t (1)
则有
Y 2 t ( 2 ) ...........Y n t ( n ) ...... ， Y N ( 0 , 1)
Yn Y
p
提 问 ： Y 1， F1 ( x ) ,
Y 2， . . . . Y F 2 ( x )......... F ( x )
P
3、 若 X
若 X
n
a
P
,则 X
2 n
a
P P
2
n
a
P 2
X n a 0，
n 2
( X n a ) 0 ， 2 a( X ( X n a ) 2 a( X n a )= X
2 2 n
P（ 由 １ ）
a) 0 0
n n
而
0 Fn ( x ) 1
n
x x
1 n 1 n 0 F (x) 1 x 0 x 0
当
x 0 时 ， lim F n ( x ) F ( x )
F (0 ) 1
n
当 x 0 时 ， lim F n ( 0 ) 0
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这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作 相等时，依概率收敛的极限是唯一的。
概率论与数理统计
2）、设 n ,n 是两个随机变量序列， a，b为常数，
若 n P a,n Pb 且在g(x,y)在点（a,b）处连续， 则 g(n ,n ) P g(a,b), (n ). 证明略，方法类似于1） 3）、若 n P ,n P,
这个猜测对不对？
概率论与数理统计
例2、设 ,n 都是服从退化分布的随机变量，且 P 0 1
于是对
Pn
0,当n
1 1,
1
n
时有
n
1,2,
P(n ) Pn 0
所以
n P, (n )
成立。
概率论与数理统计
又设 ,n 的分布函数分别为F (x), Fn (x),
则
F ( x)
式中以随机变量 代替 a 以便得到新的收敛概念。本
节假定所得到的随机变量都是定义在同一概率空间
（ , F ，P）上的。
定义5.2
概率论与数理统计
设 1,2 , ,n 为一列随机变量， 为一随机变量，
如果 0 ，有
lim
n
P(
n
)
0或
lim
n
P(
n
)
1
则称随机变量序列n 依概率收敛于 ，记作
E1 a, D1 2
lim
n
P(
2 n(n 1)
n k 1
k k
a
)
0
试证：
2 n(n 1)
n
k k
k 1
P a
(n )
证：Q
E
2
n(n
1)
n k 1
kk
2 n(n 1)
n
kEk
k 1
2 a n(n 1)
n
k
k 1
a
0 ，由切比雪夫不等式 2 n
P( E
)
D 2
1, x c F(x) 0, x c
P
lni mn ，或 n P, (n )
由定义可知，
n P n P 0, (n )
概率论与数理统计
随机变量序列 n 依概率收敛和数学分析中的序列
收敛有很大的不同．
当我们说随机变量序列 n 依概率收敛于 ,
是指对 0， 如下事件
n
发生的概率，当n无限增大时，它无限接近于０．
1
而当我们说序列
1 n
趋于0，是指当n无限增大时，
n 无限接近于０．
随机变量序列依概率收敛与函数序列收敛也不一样．
0,
lim
n
P(n
)
1 概n率论P与数理n统计
有了依概率收敛的概念，随机变量序列n 服从大
数定律就可以表达为
0,lim P( n
1 n
n i1
i
1 n
n i1
Ei
)
1
1
n
n
i
i1
证明 ：略。
注意：这个定理的逆命题不一定成立，即不能从分布 函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛， 但在特殊情况下，它却是成立的。
概率论与数理统计
定理5.6 随机变量序列 n P c(c为常数）
的充要条件为 Fn (x) W F (x)
这里 F(x)是 c 的分布函数，也就是退化分布
P 1 n
n i1
Ei (n )
特别地，
0,lim P( n
n p ) 1
n
伯努利大数定律可以描述为
n P p
n
(n )
0, lim P( n
1 n
n
i
i1
a)
1
辛钦大数定律描述为
1
n
n
i
i 1
P a
(n )
概率论与数理统计
例1、设 n
是独立同分布的随机变量序根列据定，义即且证
概率论与数理统计
第 五章
§5.2随机变量序列的两种收敛性
概率论与数理统计
主要内容
一、依概率收敛 二、依分布收敛
一、依概率收敛
概率论与数理统计
1、定义
在上一节上，我们从频率的稳定性出发，得出下面
的极限关系式：
lim
n
P(
n
a
)
0
其中
n
1 n
n
k
k 1
或等价于
lim
n
P(n
a
)
1
这与数学分析中通常的函数收敛的意义不同。在上
n L, (n ).
概率论与数理统计
2.依概率收敛与弱收敛之间的关系
定理4.若随机变量列1 ,2 ,依概率收敛于随机变量
，即 n P(n ) 则相对应的分布函数列
F1 (x), F2 (x) 弱收敛于分布函数F（x）即
Fn (x) W F (x)(n )
即 n P(n )
Fn (x) W F (x)(n )
1, 0,
x0 x0
1, Fn (x) Байду номын сангаас
0,
x1 n
x1 n
显然，当
x0
时，有
lim
n
Fn
(x)
F
(x)
而当 x 0 时，有
成立。
lim
n
Fn
(0)
lim
n
0
0
1
F
(0)
概率论与数理统计
这个简单的例子表明,一个随机变量序列依概率 收敛于某个随机变量,相应的分布函数不一定在每一 点上都收敛于这个随机变量的分布函数的.
0
P(
2 n(n 1)
n
kk
k 1
a
)
D(n(n 1)
2
kk )
k 1
14
2 n2 (n 1)2
n
k 2Dk
k 1
4
2
1 n2 (n 1)2
n(n 1)(2n 1) 2
6
2 2 3 2
2n 1 n(n 1)
0(n )
故
lim P(
n
2 n(n 1)
n
k k
k 1
a
)
0
即
2
n(n 1)
n k 1
k k
P a(n
)
概率论与数理统计
2、性质
1）、若 n P ,n P, 则P ( ) 1
证： n n
0
，由
则 n
2
与
n
2
中至
少有一个成立，即
n
2
n
2
于是
P(
) P(n
2
)
P(
n
) 0(n )
2
即 0,有P（ ） 1，从而P（ ） 1
则n n P , (n )
nn P , (n )
二、依分布收敛
概率论与数理统计
上面我们讨论了随机序列依概率收敛的概念及有 关性质，现在我们要问：
如果已知 n P(n ), 那么它们相应的分布
函数 Fn (x)与F(x) 之间有什么关系呢？
是否对 x R 都有
Fn (x) F (x)(n ) 成立。
但是，如果再仔细观察一下这个例子，就可以 发现收敛关系不成立的点：x=0，恰好是F(x)的不连 续点．
在F(x)的连续点．
当n P, (n ) 时，它们的分布函数之间就有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
成立．
1.定义
定义5.3
概率论与数理统计
设 Fx, F1(x), F2 (x), 是一列分布函数，如果对
F(x)的每一个连续点x，
都有
lim
n
Fn (x)
F ( x)
成立，
则称分布函数列 Fn (x) 弱收敛于分布函数F（x），
并记作 Fn (x) w F (x), (n ).
若随机变量序列n (n 1,2 ) 的分布函数 Fn (x)
弱收敛于随机变量 的分布函数F（x）, 也称 n
按分布收敛于 ，并记作