变化率与导数教案
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(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度
时的瞬时速度
求瞬时速度的步骤：
1•先求时间改变量t和位置改变量s s(t0t) s(t0)
2•再求平均速度V
无限趋近于常数 V为瞬时速度
t
(4)速度的平均变化率:
V（t
t
(5)瞬时加速度：当t无限趋近于0时，——：V(to)无限趋近于一个常数，这个常数称为
x
2.函数y= f(x)的导函数
如果函数在开区间(a, b)内每点处都有导数，对于每一个xo€ (a,b),都对应着一
个确定的导数f (Xo).从而构成一个新的函数f (x).称这个函数为函数y= f(x)在开区间内的导
函数.简称导数.也可记作y.
y .. f (x x) f (x)即f'(x) y' limlim
x oxx ox
3.导数的几何意义
函数y= f(x)在点xo处的导数的几何意义，就是曲线y= f(x)在点P(xo, f(xo))处的切线的斜
x2
⑵已知y 3x2x,求曲线上点A(1,2)处的斜率k
导函数的定义
从求函数f(x)在x x0处求导数的过程可以看 到f'(x)是一个确定的数，那么 当x变 化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数，记作f'(x)或y'.
即f'(x) y'limf(Xx)f(x)
x 0x
(1)函数在某一点处的导数f(X)是一个定值，是函数在 该点的函数该变量与自变量该变量
⑵求t=3s时的瞬时速度
(3)求t=3s时的瞬时加速度 点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬
导数的几何意义(
教学目的：
1.了解平均变化率与割线之间的关系
2.理解曲线的切线的概率
3.通过函数的图像理解导数的几何意义
教学重点
函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义
教学难点
理解导数的几何意义
教学过程
探究曲线的切线及切线的斜率
方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.
所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的 内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景
一、复习引入
1、什么叫做平均变化率；
2、 曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间［XA, XB］上的平均变化率
t=to时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
三、数学应用
例1、已知f(x)=x2,求曲线在x=2处的切线的斜率。
1
变式：1.求f(x)—过点(1,1)的切线方程
x
2•曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为
3•已知曲线f(x)3x上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在
当点Pn(Xn，f(Xn))( n 1,2,3,4)沿着曲线f(X)趋近于点P(X。，f(X。))时割线PPn变化趋势 是什么？
割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率无限接近
(3)切线的斜率一函数在该点的导数•练习
1.函数y2x3x在区间［1,3］上的平均变化率为
2.若函数f(x) 2x21的图像上一点(1,1)及附近一点(1x,1f)，则丄
3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢
下面我们来看一个动画。 从这个动画可以看出， 随着点P沿曲线向点Q运动，随着点P无限 逼近点Q时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q处的切线的斜率。
所以我们可以用Q点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q处的变化趋势
二、新课讲解
1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设P(X1，f(x1))，Q(xo，f(xo))，则割线PQ的斜率为kPQ
x
3.一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系 是s 3t t2.
(1)求此物体的初速度；
⑵求t0到t2时的平均速度.
4.已知函数yf(x)在x x0处的导数为11则lim丄凶一X) f(x°)
x0x
导数的几何意义：
函数y f (x)在x x0处的切线的斜率就是函 数在该点时的导数.
曲线在某点的切线
的比值的极限，不是变量.
(2)函数的导数：是指某 一区间内任一点x而言的.
(3)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f'(x)在x x0处的函数值.
例2求函数y x2x1的导数，及在(2,7］处的斜率.
.
教学目标：理解导数概念•掌握函数在一点处的导数定义及求法•掌握函数的导数的求法.
教学重点：导数的概念及其求法•及几何意义。
教学难点：对导数概念的理解.
教学过程：
复习引入
1•函数的导数值
函数y= f(x)，如果自变量x在xo处有增量x，则函数y相应地有增量y=f(xo+ x)—f(xo).
比值一y就叫做函数y= f(x)在xoຫໍສະໝຸດ Baiduxo+x之间的平均变化率，即
x
y f(XoX)f(Xo)
xx
—有极限，我们就说函数y = f(x)在点xo处可导，并把这个极限叫做f(x)
第二章
2
教学目标：
(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念
⑵会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度
⑶理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义 及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想
教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动
(1)与该点的位置有关.
(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线且唯一；若无极限， 则不存在切线.
(3)曲线的切线与切线并不一定只有一个交点，可以有多个甚至无数个.
例1求曲线y f (x) x21在点P(1,2)处的切线方程.
练习
(1)函数y1在点(丄,2)处的切线方程为
例2•一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么为()
t
A.从时间t到tt时，物体的平均速度；E.在t时刻时该物体的瞬时速度；
C.当时间为t时物体的速度；D.从时间t到tt时物体的平均速度
一
例3•自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=gt2
2
(1)求t=t0S时的瞬时速度
设X1—Xo=^ X，贝y X1=△ x+ Xo,
.’
…kpQ
x
当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△
2、曲线上任一点(xo, f(xo))切线斜率的求法：
k——X)―，当△ x无限趋近于o时，k值即为(xo, f(xo))处切线的斜率。
X
3、瞬时速度与瞬时加速度
时的瞬时速度
求瞬时速度的步骤：
1•先求时间改变量t和位置改变量s s(t0t) s(t0)
2•再求平均速度V
无限趋近于常数 V为瞬时速度
t
(4)速度的平均变化率:
V（t
t
(5)瞬时加速度：当t无限趋近于0时，——：V(to)无限趋近于一个常数，这个常数称为
x
2.函数y= f(x)的导函数
如果函数在开区间(a, b)内每点处都有导数，对于每一个xo€ (a,b),都对应着一
个确定的导数f (Xo).从而构成一个新的函数f (x).称这个函数为函数y= f(x)在开区间内的导
函数.简称导数.也可记作y.
y .. f (x x) f (x)即f'(x) y' limlim
x oxx ox
3.导数的几何意义
函数y= f(x)在点xo处的导数的几何意义，就是曲线y= f(x)在点P(xo, f(xo))处的切线的斜
x2
⑵已知y 3x2x,求曲线上点A(1,2)处的斜率k
导函数的定义
从求函数f(x)在x x0处求导数的过程可以看 到f'(x)是一个确定的数，那么 当x变 化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数，记作f'(x)或y'.
即f'(x) y'limf(Xx)f(x)
x 0x
(1)函数在某一点处的导数f(X)是一个定值，是函数在 该点的函数该变量与自变量该变量
⑵求t=3s时的瞬时速度
(3)求t=3s时的瞬时加速度 点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬
导数的几何意义(
教学目的：
1.了解平均变化率与割线之间的关系
2.理解曲线的切线的概率
3.通过函数的图像理解导数的几何意义
教学重点
函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义
教学难点
理解导数的几何意义
教学过程
探究曲线的切线及切线的斜率
方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.
所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的 内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景
一、复习引入
1、什么叫做平均变化率；
2、 曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间［XA, XB］上的平均变化率
t=to时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
三、数学应用
例1、已知f(x)=x2,求曲线在x=2处的切线的斜率。
1
变式：1.求f(x)—过点(1,1)的切线方程
x
2•曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为
3•已知曲线f(x)3x上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在
当点Pn(Xn，f(Xn))( n 1,2,3,4)沿着曲线f(X)趋近于点P(X。，f(X。))时割线PPn变化趋势 是什么？
割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率无限接近
(3)切线的斜率一函数在该点的导数•练习
1.函数y2x3x在区间［1,3］上的平均变化率为
2.若函数f(x) 2x21的图像上一点(1,1)及附近一点(1x,1f)，则丄
3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢
下面我们来看一个动画。 从这个动画可以看出， 随着点P沿曲线向点Q运动，随着点P无限 逼近点Q时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q处的切线的斜率。
所以我们可以用Q点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q处的变化趋势
二、新课讲解
1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设P(X1，f(x1))，Q(xo，f(xo))，则割线PQ的斜率为kPQ
x
3.一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系 是s 3t t2.
(1)求此物体的初速度；
⑵求t0到t2时的平均速度.
4.已知函数yf(x)在x x0处的导数为11则lim丄凶一X) f(x°)
x0x
导数的几何意义：
函数y f (x)在x x0处的切线的斜率就是函 数在该点时的导数.
曲线在某点的切线
的比值的极限，不是变量.
(2)函数的导数：是指某 一区间内任一点x而言的.
(3)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f'(x)在x x0处的函数值.
例2求函数y x2x1的导数，及在(2,7］处的斜率.
.
教学目标：理解导数概念•掌握函数在一点处的导数定义及求法•掌握函数的导数的求法.
教学重点：导数的概念及其求法•及几何意义。
教学难点：对导数概念的理解.
教学过程：
复习引入
1•函数的导数值
函数y= f(x)，如果自变量x在xo处有增量x，则函数y相应地有增量y=f(xo+ x)—f(xo).
比值一y就叫做函数y= f(x)在xoຫໍສະໝຸດ Baiduxo+x之间的平均变化率，即
x
y f(XoX)f(Xo)
xx
—有极限，我们就说函数y = f(x)在点xo处可导，并把这个极限叫做f(x)
第二章
2
教学目标：
(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念
⑵会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度
⑶理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义 及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想
教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动
(1)与该点的位置有关.
(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线且唯一；若无极限， 则不存在切线.
(3)曲线的切线与切线并不一定只有一个交点，可以有多个甚至无数个.
例1求曲线y f (x) x21在点P(1,2)处的切线方程.
练习
(1)函数y1在点(丄,2)处的切线方程为
例2•一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么为()
t
A.从时间t到tt时，物体的平均速度；E.在t时刻时该物体的瞬时速度；
C.当时间为t时物体的速度；D.从时间t到tt时物体的平均速度
一
例3•自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=gt2
2
(1)求t=t0S时的瞬时速度
设X1—Xo=^ X，贝y X1=△ x+ Xo,
.’
…kpQ
x
当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△
2、曲线上任一点(xo, f(xo))切线斜率的求法：
k——X)―，当△ x无限趋近于o时，k值即为(xo, f(xo))处切线的斜率。
X
3、瞬时速度与瞬时加速度