傅里叶变换及其性质课件
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第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
傅里叶变换的性质课件
c n
1 T0
T0
2 T0
2
f ( t ) e j d0 t t d
c n
1 2
f ( t ) e j td td
F ( ) f ( t ) e j t d t
cn
1 2
F ( )d
(4―22) (4―23) (4―24) (4―25)
现将信号f(t)的傅里叶级数展开式重写如下
1sin2ft]
n
n1,3,5,
4.2 信号的频谱
4.2.1 信号频谱 上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号
可由系列复数指数函数加权之和构成。一般我们称这 里的复数指数函数ejnΩt为n次谐波,在该函数上所加的权 为谐波的振幅,nΩ为谐波的角频率,可以说所有的信号均 是由系列角频率不同的谐波叠加而成的(角频率可简称 为频率）。
0
t
(a)
F()
2
1
－ 0
(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解 幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的 一个特例,即
1limetu(t), 0 0
[1]
[limet 0
u(t)]
lim[et
4.2.4 常见信号的频谱分析举例 例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式（4―28）有
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)
信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
方波信号的傅里叶变换课件
通过计算信号与三角函数系中各个函数的内积，得到傅里叶系数，从而确定各 个分量的幅值和相位。
奇偶函数展开特点
奇函数展开
奇函数展开后只包含正弦项，不包含余弦项和直流分量。
偶函数展开
偶函数展开后只包含余弦项和直流分量，不包含正弦项。
04
方波信号的傅里叶级数展开
奇偶方波信号展开过程
奇偶性判断
首先要判断方波信号是奇函数还是偶函数，或者是非奇非偶函数。奇函数和偶函数具有不 同的傅里叶级数展开形式。
周期
方波信号的周期是指信号重复出现的最小时间间隔，用T 表示，单位为秒（s）。
频率
方波信号的频率是指单位时间内信号重复出现的次数，用 f表示，单位为赫兹（Hz），与周期互为倒数关系，即 f=1/T。
占空比
方波信号的占空比是指在一个周期内高电平持续时间与周 期之比，通常用百分比表示。占空比越大，高电平持续时 间越长，反之则越短。
方波信号分类
单极性方波
单极性方波信号的高电平为正值，低 电平为零。这种信号通常用于数字电 路中，表示二进制数的“0”和 “1”。
双极性方波
双极性方波信号的高电平和低电平分 别为正负两个值，且绝对值相等。这 种信号通常用于模拟电路中，可以表 示交流信号的正负变化。
03
傅里叶级数展开原理
三角函数系正交性
号在各个频率上的分量。
线性性质
若信号在时域中满足线性叠加 原理，则其傅里叶变换在频域
中也满足线性叠加原理。
时移性质
信号在时域中的时移对应于其 傅里叶变换在频域中的相移。
频移性质
信号在时域中的频率变化对应 于其傅里叶变换在频域中的位
置变化。
常见函数傅里叶变换对
正弦函数与余弦函数
奇偶函数展开特点
奇函数展开
奇函数展开后只包含正弦项，不包含余弦项和直流分量。
偶函数展开
偶函数展开后只包含余弦项和直流分量，不包含正弦项。
04
方波信号的傅里叶级数展开
奇偶方波信号展开过程
奇偶性判断
首先要判断方波信号是奇函数还是偶函数，或者是非奇非偶函数。奇函数和偶函数具有不 同的傅里叶级数展开形式。
周期
方波信号的周期是指信号重复出现的最小时间间隔，用T 表示，单位为秒（s）。
频率
方波信号的频率是指单位时间内信号重复出现的次数，用 f表示，单位为赫兹（Hz），与周期互为倒数关系，即 f=1/T。
占空比
方波信号的占空比是指在一个周期内高电平持续时间与周 期之比，通常用百分比表示。占空比越大，高电平持续时 间越长，反之则越短。
方波信号分类
单极性方波
单极性方波信号的高电平为正值，低 电平为零。这种信号通常用于数字电 路中，表示二进制数的“0”和 “1”。
双极性方波
双极性方波信号的高电平和低电平分 别为正负两个值，且绝对值相等。这 种信号通常用于模拟电路中，可以表 示交流信号的正负变化。
03
傅里叶级数展开原理
三角函数系正交性
号在各个频率上的分量。
线性性质
若信号在时域中满足线性叠加 原理，则其傅里叶变换在频域
中也满足线性叠加原理。
时移性质
信号在时域中的时移对应于其 傅里叶变换在频域中的相移。
频移性质
信号在时域中的频率变化对应 于其傅里叶变换在频域中的位
置变化。
常见函数傅里叶变换对
正弦函数与余弦函数
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
傅里叶变换课件
快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单 的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算 分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复 压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压 缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将 低频信号转换为高频信号，以便在信 道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器 对图像进行滤波操作，以减少噪 声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以 突出图像的边缘信息，使图像更加 清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以 改变图像的对比度，使图像更加鲜 明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频 率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域 信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行 去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失
真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能
将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基
本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
内， 因而，常常将ω=0~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信
号的频带宽度。记为
B
2(rad/s)或
Bf
1 (Hz)
学习交流PPT
14
2.3.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而 周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上 消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号 f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为
P 1
T
T 2 T 2
Fn趋于无穷小量，但
Fn
T
可2望Fn趋
于
有
限
值
，
且
为
一
个连续函数，通常记为F(jω)，即
学习交流PPT
18
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
可积， 即要求
f (t)dt 学习交流PPT
学习交流PPT
22
在f(t) (1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数 F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
F( j) f (t)ejtdt
f (t)costdt j f (t)sintdt
式中：
R() jX()
R()
f (t)costdt
X ()
f
(t)sintdt
F (j) F ()e j( ) R () j( X )
学习交流PPT
21
与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列关系：
的关系也可以用一个图绘出。
学习交流PPT
7
取样函数定义为
Sa(x) sinx x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
E
T
San
2
学习交流PPT
8
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
图 2.2-3 Sa(x)函数的波形
第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ
的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。
当nΩ→∞时，|Fn|→0。
学习交流PPT
11
f(t) E
－τ 2 o
τ 2
f(t) E
o τ
Fn
E 5
＝2T
2
T
t
o
4
(a)
Fn
E 10
T
t
o
2
τ
(b)
图 2.3-5 不同τ (a) τ学=习T交/流5P;PT(b) τ=T/10
学习交流PPT
6
2.2.3 周期信号的频谱
周期信号的复振幅 F n 一般为nΩ的复函数，因而描述其
特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称 为相位频谱。振幅频谱以ω为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱 线图；相位频谱以ω为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。
若信号的复振幅 为FnnΩ的实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)
学习交流PPT
2
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
2.2.1 指数形式的傅里叶级数
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的
傅里叶级数:
f (t) Fnejnt n
FnT 1Tf(t)ejn td,tnz
学习交流PPT
3
f
(t)
E
0
当t
2
当 T t , t T
学习交流PPT
x
9
Fn
E
T 2 4
o 3
图 2.3-4 周期矩形脉冲信号的频谱
学习交流PPT
10
由图 2.3-4 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：
第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非 Ω的谐波分量。
2
22 2
f (t)
E
－T
－T2 －τ2o
τ 2
T 2
T
2T t
图 2.2-1 周学习期交流矩PPT形脉冲信号
4
2.2.2
f
(t)
E
0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
E
－T
－T2 －τ2o
τ 2
T 2
T
2T t
图 2.2-2 周学习期交流矩PPT形脉冲信号
5
为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
12
f(t) E
－τ2 o
τ 2f(Biblioteka ) E－τ2oτ 2
Fn
E 5
＝2T
2
T
2T
t
o
(a)
T
t
Fn
E 10
o
＝2 T
2
(b)
图 2.2-6 不同T
(a)学T习=交5流τP;PT(b) T=10 τ
4
4
13
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期
矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传
第2章 连续时间傅里叶变换
2.1 引言 2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 2.3 周期信号的频谱 2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 2.5 傅里叶变换的性质 2.6 周期信号的傅里叶变换 2.7 连续信号的抽样定理 2.8 连续系统的频域分析
学习交流PPT
1
2.1 引 言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过 对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。
19
2.4.2
由非周期信号的傅里叶变换可知:
f(t)21 F(j)ejtd
频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为
F(j)F()ej()
习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F(ω) 并不是幅度!)，而将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的 连续函数。
学习交流PPT
20
f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:
f 2(t)dt
f (t) Fnejnt
n 学习交流PPT
15
因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(2.1-16))，有
学习交流PPT
16
2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换
2.4.1 傅里叶变换
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对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷
小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，