立体几何文科体积问题归类总结
立体几何大题（文科）---体积问题
学前了解：
立体几何体积问题，几乎是作为文科大题第二问的必考选项。
里面考查思想中，重点考察了等体积、等面积的转化思想。
其中，有两个难点。
一是寻找垂线转移顶点，二是计算边长。
那么，针对转化的模型不同，我对其进行以下分类。
针对求体积、和求点到面的距离问题，通常采用等体积法。
（三棱锥）
一、简单等体积法。
1、如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB＝2，BC＝2，PC＝6，E，H分别为PA、AB中点。
（I）求证：PH⊥平面ABCD；
（II）求三棱锥P－EHD的体积。
2、如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB、AC、AA1三条棱两两互相垂直，且AB=AC= AA1=2，E、F分别是BC、BB1的中点．
（Ⅰ）求证：C1E⊥平面AEF；
（Ⅱ）求F到平面AEC1的距离．
3、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC =CB ，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点。
（1）证明：//1BC 平面CD A 1；
（2）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；
（3）设1
2,22AA AC CB AB ＝＝＝＝，求E 到截面DC A 1的距离d.
4、111C C AB -A B 中，底面C ∆AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB =，4AB =，16AA =，点M 是1BB 中点．
（I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ；
（II ）求点A 到平面1C A M 的距离．
二、平行线转移顶点法（找好顶点后，看有没有过顶点平行底面的直线）
1、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝AD＝2，CD＝4，四边菜ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中点。
（1）证明：BM∥平面ADE1F1；
（2）求三棱锥D－BME1的体积。
2、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．
（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；
（2）求点P到平面ADM的距离．
3、在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，
∠CAD＝90°，EF // BC，EF ＝1
2
BC，AC 2，AE＝EC＝1．
（1）求证：CE ⊥AF ；
（2）若三棱锥F －ACD 的体积为1
3
，求点D 到平面ACF 的距离．
三、斜三棱柱（或多边锥体）变三棱锥法（等高等低的柱体和锥体是3倍关系）
1、（全国卷2014文科）如图1-4，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
图1-4
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC -A1B1C1的高．
2、如图4,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C ⊥侧面11ABB A ,12AC AA AB ==,
1160AAC ∠=︒,1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的中点.
(Ⅰ) 求证:1A D ⊥平面1AB H ；
(Ⅱ) 若2AB =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.
3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点.
（Ⅰ）证明：11A D A BC ⊥平面；
（Ⅱ）求四棱锥111A BB C C -的体积.
A B C A 1B 1C 1D H 图4
4、如图所示的多面体ABCDE 中，已知ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB=90°，AE=BE.
（Ⅰ）若M 是DE 的中点，试在AC 上找一点N ，使得MN//平面ABE ，并给出证明； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积。
四、已知体积求边长算表面积
1、（全国卷2015文科）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，
BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的
体积为
63
，求该三棱锥的侧面积.
2、（全国卷2017文科）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90
BAP CDP
∠=∠=（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC,90
APD
∠=,且四棱锥P-ABCD的体
积为8
3
，求该四棱锥的侧面积.
3、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝1，AD＝2, AC＝3，E 是AD的中点，
BE与AC 交于点F ，GF⊥平面ABCD .
(1)求证：AB ⊥面AFG ；
(2)若四棱锥G－ABCD 的体积为
3
6
，求E到
平面ABG 的距离.。
高三高考数学总复习《立体几何》题型归纳与汇总
（3）当 PA// 平面 BDE 时， PA 平面 PAC ,且平面 PAC 平面 BDE DE ,可得 PA//DE .由 D 是 AC 边的中 点知， E 为 PC 边的中点.故而 ED 1 PA 1， ED∥PA ，因为 PA 平面 ABC ，所以 ED 平面 BDC .
2
由 AB BC 2 ，AB BC ，D 为 AC 边中点知，BD CD 2. 又 BD AC ，有 BD DC ，即 BDC 90.
3 【解析】（1）∵ PA PD, N 为 AD 的中点,∴ PN AD, ∵底面 ABCD为菱形, BAD 60 ,∴ BN AD, ∵ PN BN N ,∴ AD 平面 PNB . （2）∵ PN PD AD 2 , ∴ PN NB 3 , ∵平面 PAD 平面 ABCD,平面 PAD 平面 ABCD AD , PN AD, ∴ PN 平面 ABCD, ∴ PN NB ,
【易错点】 外接球球心位置不好找 【思维点拨】 应用补形法找外接球球心的位置
题型四 立体几何的计算
例 1 如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角 边边长分别为 3 和 4 ,过直角顶点的侧棱长为 4 ,且 垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( )
【答案】 B 【解析】显然由空间直角坐标系可知,该几何体在 xoy 面内的点保持不动,在 y 轴上的点在 xoy 面内的射影为坐标原 点,所以该几何体的主视图就是其在面 xoy 面的表面图形,即主视图应为高为 4 ,底面边长为 3 的直角三角形．故选 B.
以 PA BD . （2）因为 AB BC ， AB BC ， D 为线段 AC 的中点，所以在等腰 Rt△ABC 中， BD AC .又 由（1）可知， PA BD，PA AC A，所以 BD 平面 PAC .由 E 为线段 PC 上一点，则 DE 平面 PAC ，
专题10：立体几何中的体积问题(解析版)
专题10：立体几何中的体积问题（解析版）⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31锥体()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上 球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.（1）求证：1AC BC ⊥；（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）利用勾股定理，可得AC BC ⊥，结合1AC CC ⊥，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.（2）计算∆BCD S ，1BB ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.【详解】（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，∵AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，∴222AC BC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵1CC ⊂平面11CC B B ，CB ⊂平面11CC B B ，1CC CB C =，∴AC ⊥平面11CC B B ，∵1BC ⊂平面11CC B B ，∴1AC BC ⊥.（2）∵D 是AB 中点， ∴111343222BCD ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=， ∵1BB ⊥平面ABC ，114BB AA ==，∴111134433B BCD BCD V S BB -∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.2．如图所示：在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点.（1）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；（2）求三棱锥V ABC -的体积.【答案】（1）详见解答；（23. 【分析】（1）由已知可得OC AB ⊥，再由面面垂直定理可得OC ⊥平面VAB ，即可证明结论； （2）OC ⊥平面VAB ，用等体积法求三棱锥V ABC -的体积.【详解】（1）,AC BC O =为AB 中点，OC AB ∴⊥，平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB 平面ABC AB =，OC ⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面,VAB OC ∴⊂平面MOC ，平面MOC ⊥平面VAB ；（2）AC BC ⊥且2AC BC ==，O 分别为AB 的中点，11,2,2332VAB OC AB S ∆∴===⨯⨯=， OC ⊥平面VAB ，133V ABC C VAB VAB V V OC S --∆==⨯⨯=， 3V ABC V -∴=. 【点睛】本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.3．如图所示，四棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是四棱锥的高.若4VM cm =，4cm AB =，5VC cm =，求四棱锥的体积.【答案】35(cm )3. 【分析】在Rt VMC ∆中求出3(cm),MC =在Rt ABC ∆中求出25(cm)BC =，再根据棱锥的体积公式可得结果.【详解】 VM 是棱锥的高，VM MC ∴⊥.在Rt VMC ∆中，2222543(cm),MC VC VM =-=-=.26cm AC MC ∴==，在Rt ABC ∆中，22226425(cm)BC AC AB =-=-=.242585(cm )S AB BC ∴=⨯=⨯=底，3 11325854(cm )333V S VM ∴=⋅=⨯⨯=四棱锥底. 【点睛】本题考查了求三棱锥的体积，属于基础题.4．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（243 【分析】 （1）通过AC ⊥BD 与PD ⊥AC 可得AC ⊥平面PBD ；（2）由题先得出∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBD =45°，则可先求出菱形ABCD 的面积，进而可得四棱锥P - ABCD 的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2，所以菱形ABCD 的面积为sin 6023S AB AD ︒=⋅⋅=，故四棱锥P - ABCD 的体积1433V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.5．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置．（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，由线面垂直的判定定理即可证出.（2）由体积相等转化为P ABC ΔPOB 1V AC S 3-=⋅即可求出. 【详解】（1）如图所示，取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，易得AC PO AC OB ⊥⊥，，PO OB O = AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆ 面POB AC PB ∴⊥（2）由（1）知AC POB 260? AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===平面，且在边长为的菱形中，，所以，3 ，P ABC A POB C POB V V V ---=+体积转化为 ΔPOB 1AC S 3=⋅ =11233sin sin 32POB POB ⨯⨯⨯⨯∠=∠ ,当POB 90∠=︒时，P ABC V -的最大值为1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，1PA PD ==，E 为AD 的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据等腰三角形证明PE AD ⊥，得到答案. （2）计算得到2AD =，22PE =，再利用体积公式计算得到答案. 【详解】（1）1PA PD ==，E 为AD 的中点，故PE AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD =，故PE ⊥平面ABCD .（2）PA PD ⊥，1PA PD ==，故2AD =，22PE =. 故122223P ABCD V -=⨯⨯⨯=. 【点睛】 本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 7．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，求棱锥D A CD ''-的体积与长方体的体积之比.【答案】1:6【解析】【分析】棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，然后结合棱锥与棱柱的体积公式求解即可.【详解】解：已知的长方体可以看成直四棱柱ADD A BCC B '''-，设它的底面ADD A ''面积为S ，高为h ，则长方体的体积为ADD A BCC B V Sh '''-=.因为棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，且A DD ''的面积为12S ，棱锥C A DD ''-的高是h ，所以111326D A CD C A DD V V Sh Sh ''''--==⨯=. 因此所求体积之比为1:6.【点睛】本题考查了棱锥及棱柱的体积公式，重点考查了转换顶点求棱锥的体积，属基础题 8．如图，过圆柱的两条母线1AA 和1BB 的截面11A ABB 的面积为S ，母线1AA 的长为l ，11190AO B ︒∠=，求此圆柱的体积.【答案】22S l π. 【分析】 根据已知易得AOB 是等腰直角三角形，根据截面11A ABB 的面积为S 求出AB 长，进而求得底面圆面积再求体积即可。
立体几何体积表面积题型总结
立体几何体积表面积题型总结全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：立体几何体积和表面积是几何学中非常重要的概念，它们广泛应用于日常生活和各种工程领域。
在考试中，经常会出现与立体几何体积和表面积相关的题型，考查学生的综合能力和解题技巧。
本文将对关于立体几何体积表面积题型进行总结，希望能帮助读者更好地掌握相关知识。
在解立体几何体积表面积题型时，首先需要了解各种常见几何体的体积和表面积公式。
下面是一些常见几何体的体积和表面积公式：1. 立方体：- 体积公式：V = a³ （a为边长）- 表面积公式：S = 6a²了解以上公式是解立体几何体积表面积题目的基础，接下来需要根据具体题目的要求灵活运用这些公式。
在解题过程中，可以遵循以下一般步骤：1. 画图：根据题目绘制准确的图形，有助于理清思路和分析问题。
2. 确定参数：明确各个参数的含义，包括边长、半径、高等。
3. 应用公式：根据具体题目要求，选择合适的体积和表面积公式进行计算。
4. 计算验证：将得到的具体数值代入公式进行计算，并进行验证。
5. 总结解法：总结解题过程，确保计算结果正确且符合题目要求。
在解题过程中，有一些常见的考点和技巧也是需要注意的，下面列举一些常见的题型及解题技巧：1. 混合体积问题：有时题目会涉及到多种几何体的组合，需要将各个部分的体积分别计算，然后相加得到总体积。
2. 变换题型：有些题目需要根据给定条件进行变换，例如将一个正方体切割成若干小正方体，需要注意每个小正方体的边长与体积的关系。
3. 边长、半径的关系：根据题目给定的条件，需灵活利用边长、半径之间的关系来求解问题。
4. 知己知彼：要根据具体题目的特点选择合适的解题方法，不要死记硬背，要有灵活应对的能力。
5. 多维度思考：对于复杂的题目，可以通过多种角度进行思考，可以更快地找到解题思路。
第二篇示例：立体几何体积和表面积是几何学中非常重要的概念，它们广泛应用于工程、建筑、物理学和计算机图形学等领域。
立体几何形的体积计算知识点总结
立体几何形的体积计算知识点总结体积是立体几何形的一个重要属性，它用来描述一个物体所占的空间大小。
在几何学中，我们经常需要计算不同形状的物体的体积。
为了更好地理解和掌握立体几何形的体积计算，我们需要掌握一些基本的知识点。
本文将根据不同的几何形状，总结一些常用的体积计算公式和方法。
一、正方体的体积计算正方体是最简单的立体几何形之一，它的六个面都是正方形。
计算正方体的体积非常简单，只需要将正方体的边长乘以自身再乘以自身即可。
即体积=边长×边长×边长。
例如，一个边长为5厘米的正方体的体积为5×5×5=125立方厘米。
二、长方体的体积计算长方体是更常见的一种立体几何形，它的六个面中，相对的两个面是相等的长方形。
计算长方体的体积也非常简单，只需要将长方体的长、宽和高相乘即可。
即体积=长×宽×高。
例如，一个长10厘米，宽6厘米，高8厘米的长方体的体积为10×6×8=480立方厘米。
三、圆柱体的体积计算圆柱体是一个底面为圆形的立体几何形。
要计算圆柱体的体积，需要知道底面的半径和高。
计算公式为体积=底面积×高=π×半径的平方×高。
例如，一个底面半径为3厘米，高为6厘米的圆柱体的体积为3.14×3×3×6=169.56立方厘米。
四、球体的体积计算球体是一个所有点到球心的距离都相等的立体几何形。
计算球体的体积需要知道球的半径。
计算公式为体积=4/3×π×半径的立方。
例如，一个半径为4厘米的球体的体积为4/3×3.14×4×4×4=268.08立方厘米。
五、锥体的体积计算锥体是一个底面为圆形，顶点与底面圆心相连的立体几何形。
计算锥体的体积需要知道底面的半径和高。
计算公式为体积=1/3×底面积×高=1/3×π×半径的平方×高。
体积总结归纳
体积总结归纳体积是物体所占据的空间大小的物理量，用以描述物体的三维程度。
在我们日常生活和学习中，我们经常遇到与体积相关的问题，因此对于体积的总结和归纳非常重要。
本文将从几个方面对体积的计算方法以及与体积相关的内容进行总结和归纳。
一、体积的概念与计算方法体积是物体所占据的空间大小，通常用“立方”来表示，例如立方米（m³），立方厘米（cm³）等。
计算体积的方法取决于物体的形状。
对于常见的几何体，我们可以使用相应的公式进行计算。
1. 直方体的体积计算：直方体的体积公式为 V = l × w × h，其中 l、w、h 分别代表直方体的长度、宽度和高度。
2. 圆柱体的体积计算：圆柱体的体积公式为V = πr²h，其中 r 代表底面半径，h 代表高度。
3. 球体的体积计算：球体的体积公式为V = (4/3)πr³，其中 r 代表球体的半径。
4. 锥体的体积计算：锥体的体积公式为V = (1/3)πr²h，其中 r 代表底面半径，h 代表高度。
二、体积的应用领域1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，需要对建筑物的体积进行计算，以便合理安排空间、材料以及装修等。
2. 地质勘探：地质学家常常需要计算地下岩层或矿藏的体积，以评估资源储量或者分析地层构造。
3. 塑料制品生产：塑料制品的生产过程需要对塑料原料进行计量，计算塑料原料的体积可以帮助准确配比和控制生产成本。
4. 液体储存与运输：在油罐、储罐或液体运输过程中，需要计算液体的体积以确定容器的容量或者装载量。
三、体积的相关概念在学习体积的过程中，还有一些与体积相关的概念需要了解和区分。
1. 表面积：表面积描述了物体外部所占据的空间大小，与体积不同，它是一个二维量而非三维量。
常见的表面积计算公式包括长方体的 A = 2lw + 2lh + 2wh，圆柱体的A = 2πrh + 2πr²等。
高中数学的归纳立体几何中的常见体积和表面积公式总结
高中数学的归纳立体几何中的常见体积和表面积公式总结立体几何是高中数学中的一个重要的部分，它主要研究各种几何体的性质和计算相关的参数，如体积和表面积等。
在归纳立体几何的学习过程中，了解和掌握常见的体积和表面积公式是非常关键的。
本文将总结和归纳高中数学中常见的立体几何体的体积和表面积公式，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、三角柱和三棱柱：三角柱和三棱柱是最简单的几何体之一，它们的体积和表面积计算公式如下：三角柱的体积公式为：V = 底面积 ×高三角柱的表面积公式为：S = 2 ×底面积 + 三个侧面的面积之和三棱柱的体积公式为：V = 底面积 ×高三棱柱的表面积公式为：S = 2 ×底面积 + 三个侧面的面积之和其中，底面积可以根据给定的形状进行计算，高是指底面到上底的垂直距离。
二、长方体和正方体：长方体和正方体是具有六个面的立体体，它们的体积和表面积计算公式如下：长方体的体积公式为：V = 长 ×宽 ×高长方体的表面积公式为：S = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)正方体的体积公式为：V = 边长^3 (边长的三次方)正方体的表面积公式为：S = 6 ×边长^2 (边长的二次方)其中，长、宽、高、边长分别表示长方体和正方体的相关参数。
三、圆柱体和圆锥体：圆柱体和圆锥体是由圆形底面和侧面组成的立体体，它们的体积和表面积计算公式如下：圆柱体的体积公式为：V = 圆底面积 ×高圆柱体的表面积公式为：S = 2 ×圆底面积 + 侧面积圆锥体的体积公式为：V = 1/3 ×圆底面积 ×高圆锥体的表面积公式为：S = 圆底面积 + 侧面积其中，圆底面积可以根据给定的半径计算，高是指底面到上底的垂直距离，侧面积是指侧面的曲面积分。
四、球体：球体是由曲面构成的立体体，它的体积和表面积计算公式如下：球体的体积公式为：V = 4/3 × π × 半径^3 (半径的三次方)球体的表面积公式为：S = 4π × 半径^2 (半径的二次方)其中，π是一个常数，约等于3.14159，半径是指从球心到球面上的任意一点的距离。
研究立体几何中的体积问题
研究立体几何中的体积问题立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究的是空间中的各种立体图形，其中体积问题是立体几何中的基本内容之一。
本文将围绕研究立体几何中的体积问题展开详细的讨论。
一、立体几何中的体积概念在立体几何中，体积是指一个立体图形所占据的物理空间大小。
常见的立体图形包括球体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
计算这些图形的体积，需要根据其不同的性质和特点使用相应的公式和方法。
二、球体的体积计算球体是一种所有点到某一固定点的距离都相等的几何图形。
球体的体积计算可以通过以下公式得到：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 表示球体的半径长度。
利用这个公式，我们可以便捷地计算出球体的体积。
三、长方体的体积计算长方体是一种具有矩形底面的立体图形，其体积计算公式如下：V = lwh其中，V表示长方体的体积，l表示长方体的长度，w表示长方体的宽度，h表示长方体的高度。
通过这个公式，我们可以直接求解出长方体的体积。
四、圆柱体的体积计算圆柱体是由两个平行圆面和一个连接两个底面的侧面组成的立体图形。
计算圆柱体的体积需要使用下面的公式：V = πr²h其中，V表示圆柱体的体积，π是一个常数，r表示圆柱体底面的半径，h表示圆柱体的高度。
五、圆锥体的体积计算圆锥体是由一个圆锥面和一个底面为圆的侧面组成的立体图形。
计算圆锥体的体积需要使用下面的公式：V = (1/3)πr²h其中，V表示圆锥体的体积，π是一个常数，r表示圆锥体底面的半径，h表示圆锥体的高度。
六、其他立体图形的体积计算除了上述常见的立体图形，还存在其他复杂形状的立体图形，如棱柱、棱锥、正多面体等。
对于这些立体图形，体积的计算需要根据具体的特点使用相应的公式和方法。
七、应用实例立体几何中的体积问题常常涉及到实际生活和工程中的应用。
例如，我们可以根据房屋的长、宽、高计算出房屋的体积，以评估其空间大小。
立体几何文科体积问题归类总结
立体几何文科体积问题归类总结一是寻找垂线转移顶点，二是计算边长。
那么，针对转化的模型不同，我对其进行以下分类。
针对求体积、和求点到面的距离问题，通常采用等体积法。
（三棱锥）一、简单等体积法。
1、如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝，E，H分别为PA、AB中点。
（I）求证：PH⊥平面ABCD；（II）求三棱锥P－EHD的体积。
2、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB、AC、AA1三条棱两两互相垂直，且AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC、BB1的中点．（Ⅰ）求证：C1E⊥平面AEF；（Ⅱ）求F到平面AEC1的距离．3、如图，直三棱柱中，AC=CB，D，E分别是AB，的中点。
（1）证明：平面；（2）求证：CD⊥平面ABB1A1；（3）设，求E 到截面的距离d、4、中，底面为等腰直角三角形，，，，点是中点．（I）求证：平面平面；（II）求点到平面的距离．二、平行线转移顶点法（找好顶点后，看有没有过顶点平行底面的直线）1、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝AD＝2，CD＝4，四边菜ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中点。
（1）证明：BM∥平面ADE1F1；（2）求三棱锥D－BME1的体积。
2、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离．3、在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，∠CAD＝90，EF // BC， EF ＝BC，AC ＝，AE＝EC＝1．（1）求证：C E ⊥AF ；（2）若三棱锥F －ACD 的体积为，求点D 到平面ACF 的距离．三、斜三棱柱（或多边锥体）变三棱锥法（等高等低的柱体和锥体是3倍关系）1、（全国卷xx文科）如图14，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C、图14(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60，BC＝1，求三棱柱ABC A1B1C1的高．2、如图4,三棱柱中,侧面侧面,,,,为棱的中点,为的中点、图4(Ⅰ)求证:平面；(Ⅱ)若,求三棱柱的体积、3、如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点、（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四棱锥的体积、4、如图所示的多面体ABCDE中，已知ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90，AE=BE、（Ⅰ）若M是DE 的中点，试在AC上找一点N，使得MN//平面ABE，并给出证明；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积。
文科立体几何大题---变换顶点求体积学生版(答案在卷尾)
文科立体几何大题-------求体积 题型一：变换顶点求体积 例题1如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，2AB =，3CD =，M 为PC 上一点，且2PM MC =.（1）求证：BM ∥平面PAD ； （2）若2AD =，3PD =，3BAD π∠=，求三棱锥P -ADM 的体积.典型题练习1.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.（Ⅰ）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积.练习2在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AA 1⊥平面ABCD ．AB ＝2AD ＝4，3DAB π∠=． （1）证明：平面D 1BC ⊥平面D 1BD ；（2）若直线D 1B 与底面ABCD 所成角为6π，M ，N ，Q 分别为BD ，CD ，D 1D 的中点，求三棱锥C —MNQ 的体积．巩固练习1.如图示，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，PD AD =，E 、F 分别CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PAB ； （Ⅲ）设33==BC AB , 求三棱锥P -AEF 的体积.练习2如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，60BAD ∠=︒．（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；（2）若PA AB =，M 为线段PC 的中点，求三棱锥C -MBD 的体积。
文科立体几何大题-------求体积题型一：变换顶点求体积例题1.解析：1.（1）法一：过作交于点，连接.∵，∴.又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.法二：过点作于点，为垂足，连接.由题意，，则，又∵，，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴.又，∴.又∵平面，平面；∵平面，平面，；∴平面平面.∵平面，∴平面.（2）过作的垂线，垂足为.∵平面，平面，∴.又∵平面，平面，；∴平面由（1）知，平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，即.在中，，，∴.M //MN CD PD N AN 2PM MC =23MN CD=23ABCD =//AB CD //AB MN ABMN//BM AN BM ⊄PAD AN ⊂PAD //BM PAD M MN CD ⊥N N BN 2PM MC =2DN NC =3DC =2DN =//AB DN ABND //BN AD PD ⊥ABCD DC ⊂ABCD PD DC ⊥MN DC ⊥//PD MN BN ⊂MBN MN ⊂,MBN BN MN N =AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=//MBN PAD BM ⊂MBN //BM PAD B AD E PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD BE ⊥AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=BE ⊥PAD //BM PAD M PAD B PAD BE ABC ∆2AB AD ==3BAD π∠=BE =13P ADM M PAD PAD V V S --∆==⨯133BE ⋅=⨯典型题练习1.解析：（Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求. 证明：取中点，连结，∵为腰长为的等腰三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面，平面，∴平面.又，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又，平面，平面，∴平面平面，又平面，∴平面.（Ⅱ）连结，取中点，连结，则，由（Ⅰ）可知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又是边长为的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴平面，∴为中点，∴，又，，∴∴.DC N BD M MN MN BC H AH ABC ∆3H BC AH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =AH ⊂ABCAH ⊥BCD EN ⊥BCD //EN AH EN ⊄ABCAH ⊂ABC //EN ABC M N BD DC //MN BC MN ⊄ABC BC ⊂ABC //MN ABC MN EN N =MN ⊂EMN EN ⊂EMN //EMN ABC EF ⊂EMN //EF ABC DH CH G NG //NG DH //EN ABC E ABC N ABC BCD ∆2DH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =DH ⊂BCD DH ⊥ABC NG ⊥ABC DH =N CD NG =3AC AB ==2BC =12ABC S BC AC ∆=⋅⋅=V V =1S NG =⋅⋅=练习2解析：（1）证明：∵D 1D ⊥平面ABCD ，， ∴D 1D ⊥BC ．又AB ＝4，AD ＝2，，∴∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD ．又∵AD ∥BC ，∴BC ⊥BD ．又∵D 1D∩BD ＝D ，，，∴BC ⊥平面D 1BD ，而，∴平面D 1BC⊥平面D 1BD ； （2）解：∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角，即，而，∴DD 1＝2．，∴BC ABCD ⊂平面3DAB π∠=BD ==1BD D BD ⊂平面11D D D BD ⊂平面1BC D BC ⊂平面16D BD π∠=BD =14C MNQ Q CMN Q BDC V V V ---==11121432C MNQ V -=⨯⨯⨯⨯=巩固练习1.解析：（Ⅰ）取PA 的中点G ，连FG ，由题可知：BF=FP ,则FG //AB FG = AB ,又CE= ED ，可得：DE//AB 且DE = AB ，∴ FG //DE 且FG = DE ,∴四边形DEFG 为平行四边形，则EF //DG且EF =DG ,DG ⊂平面PAD ；EF ⊄平面PAD ，∴ EF//平面PAD ⋯⋯⋯4分 （Ⅱ）由PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，又底面ABCD 是矩形，∴ BA ⊥ AD ，∴BA ⊥ 平面PAD ，∴平面PAB ⊥平面PAD,其交线为PA ，又PD=AD ，G 为PA 的中点，∴DG ⊥ PA ，∴ DG ⊥平面PAB ，由（Ⅰ）知：EF // DG , ∴ EF ⊥平面PAB ⋯⋯⋯8分 （Ⅲ）由BC =1, AB =F 为PB 的中点，∴ = = = == = ⋯⋯⋯⋯12分练习2解析：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴. 又∵平面ABCD ，平面ABCD ，∴．又，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （Ⅱ）解：1212AEF P V -AEF B V -ABE F V-ABE P V -21PD S ABE ⋅⋅⋅∆3121112213121⋅⋅⋅⋅⋅122AC BD ⊥PA ⊥BD ⊂≠PA BD ⊥PA AC A =PA ⊂≠PAC AC ⊂≠PAC BD ⊥PAC BD ⊂≠PBD PBD ⊥PAC BCD 11=2232C BDM M V V --=⨯⨯⨯。
空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结
空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结知识点精讲一、构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体.（1）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体.2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.简单凸多面体的分类及其之间的关系如图8-1 所示.三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.四、组合体由柱体、椎体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.五、表面积与体积计算公式（见表8-1 和8-2 ）表8-18-2台体 1V 台(S SS S)h 3球V 4R 33题型归纳及思路提示题型 1 几何体的表面积与体积思路提示 熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角 .例 8-1 三棱锥 P ABC 的侧棱 PA ， PB ， PC 两两垂直，侧面积分别是 6 ， 4 ， 3 ，则三棱锥的表面积 是 ，体积是 .由余弦定理可得解析 如图 8-2 所示，设 PA a ， PBb ， PC c(a ， b ，c 0) ，ab 2 则 bc 2 ca,得 ab bc ca128 , 三式相乘得222a 2b 2c 212 8所以 abc 24 ,ABBCCAa 2b 2 b 2c 2133a 两两垂直 , 所以cos BCA2 2 2 2 2BC2 CA2 AB2 BC2 CA2 AB2 2BCgCA 2BC gCA225213 AB222 2 P5 13 65所以S表6 4 3 61 13 61 ,体积V11abc 24 4 .66评注: 若三棱锥P ABC 的侧棱PA, PB, PC 两两垂直, 则类比直角三角形中的勾股定理有, S VABC S VPABSVPBC S VPCA（本题S ABC 6 4 3 61 ）, V P ABC PA gPB gPC .6变式 1 如图8-3 所示,在VABC 中, ABC 45o, BAC 90o, AD 是BC 边上的高, 沿AD 把VABD 折起, 使BDC 90o. 若BD 1 , 求三棱锥D ABC 的表面积.变式 2 如图8-4(a) 所示, ACB 45o,BC 3 , 过动点A 作AD BC , 垂足D 在线段BC 上且异于点B , 连接AB , 沿AD 将VABD 折起, 使BDC 90o( 如图8-4(b) 所示). 当BD 的长为多少时, 三棱锥A BCD 的体积最大.变式 3 已知正四棱锥S ABCD 中, SA 2 3 , 那么当该棱锥的体积最大时它的高为( ).例 8.2 如图 8-5 所示 , 在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中 , AB AD 3cm , AA 1 2cm , 则四棱锥BB 1D 1D .半径为 R 的球 O , 表面积 S 4 R 2 , 体积 V 4 R 3 ; 球面上 A,B 两点的球面距离为3其中 AOB （ 弧度制 ）. 这里可知球的表面积、体积计算实质是求半径 .例 8.3 已知三个球的半径 R 1,R 2,R 3 满足 R 1 2R 2 3R 3 , 则他们的表面积 S 1, S 2 , S 3 满足的等量关系S 1 2 S 2 3 S 3 .cm交 BD形 , 即 AOBD ,且 AO32 cm ,2又显然平面 BB 1D 1D平 面 ABCD , 故 AO平面所以 V A BB 1D 1 D 13BDBB 1 AO 13 232 3 2 6 cm 32变式 1 (2012山东理 14） 如图 8-7 所示 , 正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为 1, E,F 分别为线段是 .2解 析 S 1 4 R 12即 R 1S 1,2 ,R 3S 3 2 ,由 R 1 2R 2 3R 3 得A BB 1D 1D 的体积为33cm , 故底面 ABCD 为正方EDF 的体积为同理 得 R 2变式 1 若球O 1,O 2 的表面积之比S1S 24 , 则他们的半径之比R1R 2变式 2 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1: 3 B. 1:3 C. 1:3 3 D. 1:9 题型 2 思路提示 几何体的外接球与内切球 (1) 半径为 R 的球 O , 表面积 S 2 4 R 2, 体积 V R 3.(2) 设 小 圆 O 1 半 径 为 r,OO 1 R 2若 A,B 是 O 1 上 两 点 , 则AO 1B AOB 2Rsin2 AB 2rsin 2 (3) 作出关键的轴截面 , 在此轴截面内寻找集合体的棱长或母线长与球之间关系32 例 8.4 已知正方体外接球的体积是 , 那么正方形的棱长等于 ( A. 2 2 B. 23 3 C. 42 3 D. 43 3 分析 正方体外接球的直径为正方体的体对角线 R 3 解析 设正方体的棱长为 a , 外接球半径为 R , 3 2R 3a32 3 2 43 .3 故选 D.变式 1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 面积为 ., 且一个顶点上的三条棱额长分别为1,2,3, 则此球的表变式 2 正四面体的棱长为 2 , 则该正四面体的外接球的表面积为 例 8.5 正三棱柱 ABC A 1B 1C 1 内接于半径为 2 的球 , 若 A,B 两点的球面距离为, 则正三棱柱的体积为 2 O 为球心 , 由题意知 AB AOB 2 2sin AOB 2 AOB 2 AB 2 2底面圆的半径为:AB 2sin3 2 2 2 6, 则正三棱柱的高为 2 22 2 6 3 3 3 所以正三棱柱的体积为32 22 43 8 . 43 变式 1 直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 的各顶点都在同一球面上 , 若 AB AC AA 1 2, BAC 120o , 则此 球的表面积等棱柱ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球O 的球面上, 若AB 3,AC 4,AB AC, AA1 12 , 则球O 的半径为( ).A. 3 17B.2 2 10 C. 132 D.3 10例8.6 一个正三棱锥的正三棱锥的体积是(4个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的3个顶点在该球的一个大圆上, 则该A. 3 34 B. C. D.3 12解析设正三棱锥的底面边长为高为h ,sin3 由题意知h 1变式 1 已知S,A,B,C 是球O表面上的点,SA 球O 的表面积等于变式 2 已知三棱锥S ABC 为O 的直径, 且SC 2 ,的所有顶点都在球O则此棱锥的体积为( ).V 132h33. 故选 C.4平面ABC , AB BC,SA AB 1,BC 2 , 则的球面上, VABC 是边长为1的正三角形, SCA. 2B. 366 C. 23 D.变式 3 高为2的四棱锥4 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 点S,A,B,C,D均在半径为 1 的同一球面上, 则底面ABCD的中心与顶点S 之间的距离为( )A. B. C. 1 D.最有效训练题1. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120o, 半径为l 的扇形, 则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( ).A. 3:2B. 2:1C. 4:3D. 5:32. 一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是2, 3, 6 , 这个长方体的体对角线长为A. 2 3B. 32C. 6D. 63. 如图8-8 所示, 在等腰梯形ABCD 中, AB 2DC 2, DAB 60o, E为AB 的中点, 将VADE 与VBEC 分别沿ED 和EC 向上折起,使A,B 重合于点P , 则三棱锥P DCE 的外接球的体积为( ).A. 4 327 B. D.4. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面11 D.12 8, 则此截面面积是球表面积的( ).5.6.A.116侧棱长为A. 76B.16C.4, 底面边长为B. 68已知在四棱锥P积V 的取值范围是7.8.C.的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的表面积为( ).20 D.ABCD , AB 1,PAgAC 1, ABC ,0 2, 则四棱锥p ABCD 的体).A. 62,13B.2,112,C. D.2,112,62 的半圆面,则该圆锥的体积为若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 将圆心角为, 面积为3 的扇形作为圆锥的侧面, 则圆锥的表面积等于.3 正四棱锥底面边长为4, 侧棱长为3, 则其体积为., 截得圆台上下底面的半径的比是1:4, 截去的圆锥的母线长9.10. 用一平行于圆锥底面的平面截这个圆锥是3cm, 则圆台的母线长为cm.11. 如图8-9 所示, 长方体ABCD - A1B1C1D1 中, AB a,BC b,BB1 c , 并且a b c 0 . 求A 到C1 的最短线的长沿着长方体的表面自12. 底面半径为1, 高为3 的圆锥, 其内接圆柱的底面半径为R , 当R 为何值时, 内接圆柱的体积最大?。