2019-2020学年九年级上期末测试数学试卷及答案

启用前★秘密2019-2020学年九年级上期末测试数学试卷一、选择题(本题共32分，每小题4分)在下列各题的四个各选答案中，只有一个是正确的．1．一元二次方程x 2－9＝0的根为( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x 1＝3，x 2＝－3 D ．x 1＝0，x 2＝32．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD ＝4，DB＝2，则ECAE的值为( )A ．21B ．2C ．32D ．23 3．已知正六边形的外接圆半径为R ，那么这个正六边形的边长为( ) A ．RB ．R 2C ．2RD ．R 34．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2和5，圆心距O 1O 2＝7，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是( ) A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．相离5．盒中装有4只白球5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是( )A ．205 B ．95 C ．204 D ．94 6．若将抛物线y ＝3x 2平移，得到抛物线y ＝3(x －2)2－1可采用的办法是( ) A ．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移2个单位，再向下平移1个单位7．为迎接2020年冬季奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加69％，则这两年平均每年绿地面积的增长率是( ) A ．29％ B ．30％ C ．31％ D ．35％8．如果一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的边长为4cm ，那么圆锥的全面积是( ) A ．8πcm 2 B ．10πcm 2 C ．12πcm 2 D ．9πcm 2二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．学校招收书法班学生，从每5个报名的人中录取3人，如果有200人报名，那么估计有______人被录取．10．关于x 的方程0122=++x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为______．11．大矩形的周长是与它相似的小矩形周长的2倍，小矩形的面积为5cm 2，大矩形的面积为______cm 2． 12．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值是______．三、解答题(本题共30分，每小题5分)13．解方程：.020522=-+x x14．从地面竖直向上抛出一个小球．小球的上升高度h (单位：m)与小球运动时间t (单位：s )的关系式是h ＝20t －5t 2．小球运动的时间是多少时，小球最高?小球运动中的最大高度是多少?15．已知：如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，∠C ＝∠B ，求证：CF ＝BE ．16．已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：⋅=ECEFAE AD17．如图，有一表面凸凹不平的圆盘和一把L 型且带有刻度的直角三角尺，尺的两直角边的长度大于圆盘的半径，但小于圆盘的直径，请你设计能计算出圆盘直径的测量方案(请画出图形，并说明测量步骤)．18．小明有红、黄、白、黑四件衬衫，又有米色、蓝色、灰色三条长裤．如果他喜欢穿白色衬衫和米色长裤，那么他在黑暗中随机摸出一套衣裤正是他喜欢的搭配，这种巧合发生的概率是多少，并用列表或树图说明理由．四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P ，且四边形OEPF 是正方形，连接OP ．若⊙O 的半径为5cm ，cm 23 OP ，求AB 的长．20．已知二次函数图象的顶点坐标为M (3，－2)，且与y 轴交于N (0，25)．(1)求该二次函数的解析式，并用列表、描点画出它的图象；(2)若该图象与x 轴交于A 、B 两点，在对称轴上侧的图象上存在点C ，使得△ABC 的面积等于12，求出C 点的坐标．21．如图，在△ABC中，若AB＝5，AC＝2，∠BAC＝120°．以BC为边作等边三角形BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置．(1)求∠BAD的度数；(2)求AE的长．22．某商店销售一批小家电，平均每天可售出20个，每个盈利50元，为扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采用适当降价的措施．经调查发现，如果每个小家电每降价1元，商店平均每天可多售出2个，若商场平均每天要盈利1600元，每个小家电应降价多少元商店可达到减少库存的目的．五、解答题(本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分)23．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上的一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上的一点．(1)当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，用给出的条件证明结论；(2)当点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，请加以证明．24．如图，直角坐标系内的梯形AOBC(O为原点)中AC∥OB，AO⊥OB，AC＝1，OA ＝2，OB＝5．(1)求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；(2)延长AC交抛物线于点D，求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，动点P、Q分别从O、D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O向B运动，点Q沿DC由D由C运动(其中一个点运动到终点后，另一个点运动也随之停止)，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM．设动点运动的时间为t秒，请你探索：当时间t为何值时，△PMB中有一个角是直角．25．如图1，在等腰梯形ABCD中AB∥DC，已知AB＝12，,2BC∠DAB＝45°，4以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形AB－CD绕A 点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG(O、E、F、G分别是A、B、C、D 旋转后的对应点)．图1 图2(1)写出C、F两点的坐标；(2)将等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA的长度是x，如图2，等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重合部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)在直线CD上是否存在点P，使△EFP为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBAADDBC二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．120． 10．k >1． 11．20． 12．.2 三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13．解：.20,52,1-===c b a0100)20(14)52(422>=-⨯⨯-=-ac b,1210052⨯±-=x.55,5521--=+-=x x14．解：h ＝－5t 2＋20t ＝－5(t 2－4t ＋4)＋20＝－5(t －2)2＋20所以，t ＝2时，h ＝20．答：当t ＝2s 时，小球最高，最大高度是20m ． 另解：h ＝－5t 2＋20t ，a ＝－5，b ＝20，c ＝0．所以，abt 2-=时，h 运动到最大高度，即.2)5(220=-⨯-=t.20)5(4200)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-=a b ac h答：当t ＝2s 时，小球最高，最大高度是20m ．15．证明：连结AE ，FD ．∵AB ，CD 是⊙O 的直径．∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°，AB ＝CD ． ∵∠C ＝∠B ．∴△ABE ≌△DCF ． ∴FC ＝BE ．另证：连结FO ，OE ∵∠B ＝∠C ，∴∠FOD ＝∠EOA 有＝．∵AB ，CD 是⊙O 的直径， ∴=．∴＝．∴FC ＝BE ．16．解：∵在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠ADE ＝∠B ＝∠EFC ． ∵DE ∥BC ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△EFC ．⋅=∴ECEFAE AD17．方案：(1)L 型直角尺两直角边紧靠圆盘，如图所示，图中点A 、B 表示圆盘与直角尺两直角边的切点．(2)量出MA 的长度，再乘以2就是圆盘的直径．18．⋅121 裤子衬衫米 蓝 灰 红 红、米 红、蓝 红、灰 黄 黄、米 黄、蓝 黄、灰 白 白、米 白、蓝 白、灰 黑黑、米黑、蓝黑、灰四、解答题(本题共20分，每小题5分) 19．解：连结OA ．∵四边形OEPF 是正方形，∴OE ⊥AB 且平分AB 有AE ＝EB ．,cm 23=OP Θ∴OE 2＋PE 2＝OP 2有OE ＝3cm ，∵OA ＝5cm ，∴AE 2＝OA 2－OE 2有AE ＝4cm ．∵AB ＝2AE ，∴AB ＝8cm ．20．(1)由于二次函数图象的顶点是(3，－2)，设所求的二次函数解析式是y ＝a (x －3)2－2．由于所求图象过),25,0(N可得.2)30(252--=a 解得⋅=21a 所以⋅+-=253212x x y 列表： x… 1 2 3 4 5 … y … 0 23- －2 23- 0 … (2)当0253212=+-x x 时，x 1＝1，x 2＝5． ∴点A (1，0)，点B (5，0)，则 AB ＝4．∵△ABC 的面积为12．,12||21=⋅∴h AB ∴|h ｜＝6．∴抛物线顶点是(3，－2)．h 1＝6，h 2＝－6(舍去)．⋅+-=2532162x x Θ 解出，x 1＝7，x 2＝－1．由于抛物线对称轴是x ＝3，所以x 2＝－1(舍去)．有点c (7，6)．21．解：(1)∵把△ABD 绕D 点按顺时针方向旋转60°，到△ECD 位置，∴∠ADE ＝60°，AD ＝DE ，AB ＝CE ．.60260180οοο=-=∠=∠∴DEA DAE ∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝120°－60°＝60°．(2)由(1)知CE ＝AB ＝5，AC ＝2，∠BAD ＝60°，有∠DCE ＋∠BCD ＋∠BAC ＝180°， ∴AE ＝7．22．解：设每个小家电应降价x 元，根据题意，得(50－x )(20＋2x )＝1600．即x 2－40x ＋300＝0．得，x 1＝30，x 2＝10．因为要尽量减少库存，所以x ＝30．答：每个小家电应降价30元．五、解答题(本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分)23．解：(1)当PC ＝PF (或∠PCF ＝∠PFC ，或△PCF 为等边三角形)时，PC 与⊙O 相切，下面对满足条件PC ＝PF ，进行证明连结OC ，则∠OCA ＝∠F AO ．∵DE ⊥AB 于H ，PC ＝PF ，∴∠AHF ＝90°，∠PCF ＝∠PFC ．∵∠AFH ＝∠PFC ．∴∠OCA ＋∠PCF ＝∠F AH ＋∠AFH ＝90°．即OC ⊥PC ，∴PC 与⊙O 相切．(2)当点D 是劣弧的中点，AD 2＝DE ·DF ．连结AE ，∵D 点是劣弧的中点， ∴＝ ∴∠DAF ＝∠DEA ．∵∠ADF ＝∠ADE ，∴△ADF ∽△EDA ．ADDF DE AD =∴，即AD 2＝DE ·DF ． 24．解：(1)由题意知，O (0，0)，C (1，2)，B (5，0)．设过O 、C 、B 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ， 将C 、B 点坐标代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎨⎧=+=+.0525,2b a b a 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.25,21b a .25212x x y +-=∴ (2)当y ＝2时，则,225212=+-x x 解得，x 1＝1，x 2＝4．∴CD ＝4－1＝3．(3)延长QM 交x 轴于点N ，有MN ⊥OB ．①当点P 与点N 重合时，有MP ⊥OB ，则四边形AOPQ 是矩形．∴AQ ＝OP 即4－t ＝t∴t ＝2．②若MP ⊥BM ，则△PNM ∽△MNB ．∴MN 2＝PN ·BN ．∵CQ ∥NB ，∴△CQM ∽△BNM ．,CQ BN MQ MN =∴即⋅----=-tt MN MN 14)4(52 则⋅+=21t MN ∵BN ＝1＋t ，PN ＝5－(1＋t )－t ＝4－2t ，).1)(24()21(2+-=+∴t t t 解得，t 1＝－1(舍去)，,352=t 综合①，②知，当t ＝2或35=t 时，△PMB 中有一个角是直角．25．解：(1)过C 作CH ⊥x 轴于点H ． ,24=BC Θ∠CBA ＝∠DAB ＝45°． ∴CH ＝HB ＝4．∴C 点坐标为(8，4)．同理可求得F 点坐标为(－4，8)．(2)设AD 、CD 分别与OG 、OE 交于点M 、N ． ∵∠DAB ＝∠GOA ＝45°，.4,2222====∴ON x OA AB OM 连结OD ，则S 四边形MOND ＝S △DMO ＋S △DNO ， 即ON DN MO DM y ⋅+⋅=2121 4)4(2122)2224(21⋅-+⋅-=x x x ).84(84412<<-+-=x x x(3)设P 点坐标为(a ，4)．①若PE ＝PF ，在Rt △PNE 和Rt △PGF 中，由PE 2＝PN 2＋NE 2＝PG 2＋FG 2＝PF 2， 得a 2＋(12－4)2＝(a ＋4)2＋42解得a ＝4．②若PF ＝EF ．则由PF 2＝PG 2＋FG 2＝EF 2， 得.)24(4)4(222=++a解得a 1＝0，a 2＝－8(舍去)．③若PE ＝EF ，则由PE 2＝PN 2＋NE 2＝EF 2，得.)24()412(222=-+a化简得a 2＋32＝0，方程无解，此时P 点不存在． 综合①、②、③知，所求P 点坐标为P 1(4，4)，P 2(0，4)．。