求极限的常用方法
极限计算的13种方法示例
极限计算的13种方法示例极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在计算极限时，我们可以利用一些常见的方法来求解。
下面将介绍13种常见的极限计算方法。
一、代入法代入法是极限计算中最简单的方法之一。
当我们需要计算一个函数在某一点的极限时，只需要将该点的横坐标代入函数中，求得纵坐标即可。
二、夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它适用于那些难以直接计算的函数。
夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，它们在极限点附近夹住我们要求的函数，从而求得该函数的极限值。
三、无穷小量法无穷小量法是极限计算中常用的方法之一。
它利用了无穷小量的性质，将函数中的高阶无穷小量忽略不计，只考虑最高阶的无穷小量来计算极限。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的极限计算方法，它适用于求解0/0型和∞/∞型的极限。
该法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的导数的极限，然后通过求导计算得到极限值。
五、泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的近似计算极限的方法。
它利用了泰勒级数展开的性质，将函数在某一点附近进行泰勒展开，然后通过截断级数来计算函数的极限。
六、换元法换元法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些存在复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
七、分子有理化分子有理化是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有根式的函数。
通过将根式的分子有理化，可以将原函数转化为一个分式，从而更容易计算极限。
八、分部积分法分部积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有积分的函数。
通过将原函数进行分部积分，可以将原函数转化为一个更简单的函数，从而更容易计算极限。
九、换元积分法换元积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
十、二重极限法二重极限法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有多个变量的函数。
求极限的常用方法
e e lim x0
1ex xex
2
故，原式 e1.
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六、利用罗比达法则求极限
例18
lim( e x
e2x
e3x
1
)x.
x0
3
lim 1 ln( ex e2 x e3 x )
e 解：原式 x0 x
3
而
1 ex e2 x e3x
lim
x0
x
ln(
3
)
ln(ex e2 x e3 x )ln 3
例14 lim x ln x
x0
解：原式
lim x0
ln x x1
lim x0
x1 x 2
lim (x) x0
0
注(1) 0 型不定式极限可经
过把一项旳倒数放到分母上变
为 0， 之一． 0
(2) lim xx 1. x0
例15 lim xxx 1
x0
解：原式 lim e(xx 1)ln x
x0
lim e(exln x 1)ln x
x0
lim (ex ln x 1) ln x
x0
e lim xln2 x e e x0
lim
x0
ln2 x x1
e e lim x0
2ln x x1
2 lim x ln x
x0
e0 1
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六、利用罗比达法则求极限
1
例16 lim (cot x)ln x . x0 lim 1 ln cot x
x0 x sin x
解：原式
lim esin x (exsin x 1) x0 x sin x
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-limlimlim)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(limx f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）洛必达法则（定理）设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ⑴x→a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;⑵在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ⑶x→a 时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大 则 x→a 时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))注： 它的使用有严格的使用前提。
求极限的常用方法(精髓版)考试必备
求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim323+-∞→x xx x 解3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→11lim解 2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。
求极限的几种常用方法
求极限的几种常用方法极限是数学中一个非常重要的概念，在计算和分析各种数学模型或问题时经常会遇到。
求极限的方法有很多种，我们来看一下其中几种常用的方法。
1.代入法代入法是求解极限的最基本方法。
当直接代入极限的值会导致不确定形式（比如0/0或无穷大/无穷大）时，可以尝试将这个函数做一些化简或变形，然后再进行代入。
2.夹逼准则夹逼准则也叫夹逼定理，是一种常用的求解极限的方法。
当我们要求解f(x)在x=a处的极限时，如果能够找到两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)，且当x趋近于a时，g(x)和h(x)的极限都等于L，那么根据夹逼准则，f(x)的极限也等于L。
3.分别极限法当一个函数可以拆解为多个子函数的和、积或商时，可以使用分别极限法进行求解。
即求出每个子函数的极限，然后再根据所涉及的运算性质来得到整个函数的极限。
4.换元法换元法也是求解极限的一种常用方法。
当求解一个复杂函数的极限时，我们可以进行变量的替换，将原函数转化为一个更加简单的函数，从而更容易求解极限。
5.泰勒展开泰勒展开是一种利用泰勒公式来近似表示函数的方法。
通过将一个函数近似展开为多项式的形式，可以用这个多项式来计算函数在其中一点的极限。
当需要计算给定点附近的极限时，泰勒展开是一种常用的方法。
6.渐近线性当极限存在且无穷大或无穷小时，可以利用函数的渐近线性来求解极限。
根据函数在无穷远处的性质和斜率，可以通过观察渐近线的特征来判断极限的结果。
7.收敛性对于数列来说，如果数列的极限存在，那么我们可以通过观察数列的性质和规律来判断极限的结果。
一般可以利用单调有界原理、数列的递推关系、数列的特征和规律等方法来判断极限的收敛性。
8. L'Hopital法则L'Hopital法则是一种用于求解0/0或无穷大/无穷大形式的极限的方法。
根据这个法则，如果一个函数的极限形式为0/0或无穷大/无穷大，可以通过对分子和分母同时求导再次进行极限计算，直到得到极限的结果。
几种求极限方法的总结
几种求极限方法的总结求极限是数学中常见的一种运算方法，通过确定变量趋近于一些特定值时的极限值，可以得到一些重要的数学结论和性质。
在数学中，常用的求极限方法主要包括代入法、夹逼定理、换元法、洛必达法则和级数展开法等。
下面对这些方法进行总结。
1.代入法：代入法是求极限的最基本也是最常用的方法之一、该方法的基本思想是将待求极限的表达式中的变量用一些特定的值替代，然后计算得到的函数值，以此来确定极限值。
代入法特别适用于求一些基本极限，如常数的极限、指数函数的极限和三角函数的极限等。
2.夹逼定理：夹逼定理也称为两边夹定理，是一种常用的求极限方法。
它的基本思想是通过找到两个函数，使得它们的极限值分别接近于待求极限值，而且夹逼在它们之间。
这两个函数的极限值可以比较容易地求得，从而通过夹逼定理求出待求极限的值。
夹逼定理常用于求一些复杂函数的极限，如无理函数和乘积、商函数等。
3.换元法：换元法又称为代换法，是一种常用的求极限方法。
该方法的基本思想是通过对待求极限的表达式进行变量替换，将其转化为一个可以比较容易计算的形式。
通过选取合适的变量替换方式，可以使得原表达式中的一些难以计算的部分简化，从而更容易求得极限的值。
换元法特别适用于一些复杂的函数、无穷级数或指数函数等。
4.洛必达法则：洛必达法则是一种求极限的重要方法，尤其适用于求函数之商的极限。
该方法的基本思想是将待求极限转化为求两个函数的导数的极限，然后利用导数的性质来确定极限值。
通过使用洛必达法则，可以简化一些分数形式的极限，使得求解过程更加简单明了。
但需要注意的是，使用洛必达法则时，必须保证函数和导数满足一些特定的条件，如充分可导、分子分母都趋于零或无穷等。
5.级数展开法：级数展开法是一种求极限的常用方法，尤其适用于求函数的幂级数展开形式。
该方法的基本思想是将函数在一些点附近进行泰勒级数展开，然后将其转化为级数的形式。
通过截取级数中的有限项或考虑级数的收敛性，可以确定原函数的极限值。
求极限lim的常用公式
求极限lim的常用公式1、lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）；2、lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）；3、lim（f（x）×g（x））=limf（x）×limg（x）；4、lim（f（x）/g（x））=limf（x）/limg（x）limg（x）不等于0；5、lim（f（x））^n=（limf（x））^n。
注意：limf（x）limg（x）都存在时才成立。
lim是极限，是微积分中的基础概念，指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
极限可分为数列极限和函数极限。
lim的基本计算公式：话务量公式为:a=c x t.a是话务量,单位为erl(爱尔兰),c是呼叫次数,单位是个,t是每次呼叫平均占用时长,单位是小时.一般话务量又称小时呼,统计的时间范围是1个小时.求极限的常见公式； (x^3+3x^2)^(1\3)-(x^4-2x^3)^(1\4)=x[(1+3\x)^(1\3)-(1-2\x)^(1\4)] 1\x→0 在0处泰勒公式有(1+x)^(1\m)=1+x\m+o(x) ∴原式为x[(1+3\3x+o(1\x))-(1-2\4x+o(1\x))]=3\2+xo(1\x) ∴极限为3\2求极限的4个重要公式；这个应该不难吧.是不是这个.lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x) lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x) lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n极限有哪些运算公式；lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) limg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n 注意条件:以上limf(x) limg(x)都存在时才成立高等数学极限的几个重要公式；两个重要极限:来设{xn}为一源个无穷实数数列2113的集合.如果存在5261实数a,对于任意正4102数ε (不论其多1653么小),都N>0,使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立,那么就称常数a是数列{xn} 的极限,或称数列{xn} 收敛于a.如...“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
最新求极限常用方法及常见题型攻略
求极限常用方法及常见题型攻略以心同学整理求极限原则：(1)先判断类型,再用相应的方法；(2)能用等价无穷小代换的先用等价无穷小代换；(3)有些极限可能需要几种方法才能求出。
1.分子分母的极限均为0，含有根号方法：含有根号的零因子有理化例1求极限xx x x 1lim 21。
分析：1 x 时，分子02 x x ，且含根号，故有理化时分子分母需同时乘2x x 同理1 x 时，分母01x ，且含根号，故有理化时分子分母需同时乘x 1。
解：x x x x 1lim 21))(1)(1()1)()((lim2221x x x x x x x x x x ))(1()1)((lim241x x x x x x x ))(1()1)(1(lim231x x x x x x x ))(1()1)(1)(1(lim 221x x x x x x x x x 221)1)(1(lim xx x x x x x 3 。
2.无穷小乘以有界量还是无穷小例101sinlim 0xx x 。
3.无穷的过程( x x x ,,)，分子分母均为x 的多项式。
方法：看分子分母最高次幂，套公式00 b an m n m nm b a a x a x b x b a x a x a x a n n n n m m m mx ,,0,/lim 0011101110 。
注：上面公式对数列极限同样成立。
例1求极限1495)85()37()32(lim x x x x 。
分析：分子分母用二项式定理打开，再乘开后均为多项式，且是无穷的过程。
分子分母最高次幂均为14。
解：1495)85()37()32(lim x x x x 14955)3(2 1495532 。
★另外，有些题分子分母不一定都是多项式，但也可以化为这一类来求，如nn n n 2lim 2 224lim n n n n 224lim n nn n 2141 。
4.1未定式极限的求法方法：利用第二个重要极限：e1)1(lim ，其中0lim 。
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求极限的常用方法
摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。
同时，极限的计算本身也是一个重要内容。
关键词 极限；计算方法
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限
例1 求极限1lim(21)
x x →-
解
1
lim(21)2111
x x →-=⋅-=
2．约去不能代入的零因子求极限
例2 求极限11
lim
41--→x x x
解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4
11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限
例3 求极限13lim 3
2
3+-∞→x x x x
解
3131lim 13lim 3
11323=+-=+-∞→∞→x x
x x x x x
注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n
n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1
4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)
13(lim 22+-++∞
→x x x
解
1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2222222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
1
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例5
求极限
x →解
01)2x x x →→→===
5．应用两个重要极限的公式求极限
两个重要极限是1sin lim
0=→x x
x 和1lim(1)x x e
x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限
x
x x x ⎪⎭⎫
⎝⎛-++∞→11lim 解 22
212
12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x
x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→
6．用等价无穷小量的代换求极限
这可以称之为求极限最简便的方法。
常见的等价无穷小有：
当0→x 时, sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ,
2
11cos ~
2x x -,
ln(1)~x x +,1~x e x -
, 1~
x n
例7 求极限0
ln(1)lim
1cos x x x x →+-
解
02
ln(1)lim
lim 211cos 2x x x x x x
x x →→+⋅==-.
7．用洛必达法则求极限
00或∞∞
型的极限,可通过洛必达法则来求。
例8 求极限220)sin 1ln(2cos ln lim
x x x x +-→
解 22
0)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x x x
x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim
20+--=→
3sin 112cos 222sin lim
20-=⎪⎭⎫
⎝⎛+--=→x x x x x
8．用换底公式ln b b a
a e =求极限
例9 极限0
lim(sin )x
x x +
→
解
22002
00cos ln sin sin lim lim
cos cos 1
1lim
lim
ln sin sin 0
lim(sin )lim 1
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x e e e e
e
++
→→++→→++
---→→======
以上这些求极限的方法是最基本的方法，而计算中经常会遇到需要两种甚至更多种方法
的综合运用（上面的例子中就有不少这种情况），所以掌握这些方法是求极限的关键。
参考文献
[1]同济大学数学系.《高等数学》（上册）·第六版[M].高等数学出版社,2010年. [2]华东师大数学系.《数学分析》（上、下册）[M].高等教育出版社,2001年.
[3]张再云,陈湘栋,丁卫平,涂建斌.极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学 报(自然科学版), 2009年6月第22卷第2期.
[4]李国华.函数极限的几种求法[J].高师理科学刊,第31卷.。