高三数学多面体与球
[单选]女性劳动者（）与男性劳动者平等的获取劳动报酬的权利。A、享有B、不一定要享有C、看情况而定是否享有D、无权享有 [单选]晚间护理的内容包括()A.经常巡视病房，了解患者睡眠情况B.协助患者排便，收集标本C.整理病室，开窗通风D.协助患者进食E.发放口服药物 [单选,A1型题]早产儿使用铁剂预防贫血最初的月龄是（）A.1个月B.2个月C.3个月D.4个月E.5个月 [单选,A2型题,A1/A2型题]鉴别周围性和中枢性面神经麻痹，主要依据是（）。A.上半部分面肌有无瘫痪B.鼻唇沟是否变浅C.口角偏斜的方向D.下半部分面肌有无瘫痪E.面肌瘫痪的程度 [问答题,简答题]简述汽油机和柴油机的着火和燃烧方式。 [单选]尼龙柱销联轴器，允许两轴中心线偏斜（）。A、40’B、30’C、20’D、10’ [填空题]人类学家从非洲、亚洲、欧洲发现古人类化石，得出人类起源于人猿，从猿到人的科学结论，并以三大洲的人型体质特征将人类化分为：（）、（）、（）。 [填空题]（）年，在纽约成立了第一个普拉提训练工作室。 [填空题]高层结构平面布置时，应使其平面的（）和（）尽可能靠近，以减少（）。 [单选]原油中碳的质量分数一般为（）。A、53.0%～57.0%B、63.0%～67.0%C、73.0%～77.0%D、83.0%～87.0% [单选,A2型题,A1/A2型题]患者，女，30岁。神志不宁，虚烦不得眠，并见五心烦热，盗汗，舌红，脉细数。其病机是（）A.心气不足B.心血不足C.心阴不足D.心血瘀阻E.心神不足 [单选,A2型题,A1/A2型题]遗传性出血性毛细血管扩张症的治疗宜采用（）。A.局部注射硬化剂B.鼻中隔黏膜划痕C.面部转移全层皮瓣鼻中隔植皮成形术D.血管栓塞法E.血管结扎法 [单选]串励直流电动机若空载运行则会发生（）现象。A.飞车B.停车C.因电流极大冒烟D.因转矩极小而拖不动负载 [单选]受精卵着床必须具备的条件，下列哪项是错误的（）.A.透明带须消失B.囊胚细胞滋养细胞必须分化出合体滋养细胞C.囊胚和子宫内膜必须同步发育，且相互配合D.母体体内必须有足够的雌激素E.母体体内必须有足够的孕酮 [单选]由婴儿到成人，上颌骨宽度增长约为（）A.1.0倍B.1.6倍C.3.2倍D.0.8倍E.2.0倍 [问答题,简答题]区间线路发生故障时首先应做哪些工作？ [单选]（）决定着矿粒按密度分层的效果。A..水B.风C.大气压D.床层运动状态 [配伍题]属病因诊断的是（）</br>属病理生理诊断的是（）</br>属病理解剖诊断的是（）A.心房颤动B.心慌气短C.下肢浮肿D.二尖瓣狭窄E.风湿性心脏病 [单选,A1型题]尿道损伤后，有排尿困难，导尿管能插入膀胱，应将导尿管留置多久（）A.10～14天B.1天C.3～4周D.5天E.5～6周 [填空题]地基是指（）的土体。 [单选]花坛指绿地中应用花卉布置最精细的一种形式，用来点缀庭园、绿地以供人们欣赏。下列（）特征不符合花坛的特征。A.其外形以规则的几何形体为主B.植物材料多见用一二年生花卉（部分球根花卉）C.布置要求所用花卉的花期、花色、株型尤其是株高错落有致D.具有规则的、群体的、讲 [填空题]旅客如不能按（）的日期车次乘车时，在列车有能力的前提下可以办理一次（）乘车签证手续。 [单选]直流母线的正、负极色漆规定为（）。A.蓝、白B.红、白C.红、蓝D.黑、白 [单选,A2型题,A1/A2型题]儿童鼻咽部触诊时，要用左手食指紧压患儿颊部是为了（）。A.让口张的更大，以便于检查B.帮助固定患儿头部C.减轻患儿的咽部反射D.防止被患儿咬伤E.保护患儿的口角 [单选]根据《招标投标法实施条例》规定，招标文件要求中标人提交履约保证金的，中标人应当按照招标文件的要求提交。履约保证金不得超过中标合同金额的（）。A.5%B.10%C.15%D.20% [单选]茶叶加工道德根源于（）A.先天的人性B.阶级斗争C.经济关系D.生存需要工 [单选]建设单位最迟应当自领取施工许可证之日起（）内申请延期。A．1个月B．3个月C．6个月D．9个月 [填空题]塞尺是用来测量（）的一种工具. [单选]下列对保安押运的主要任务描述错误的是（）。A.为金融单位等提供武装押运安全服务B.金库守护是保安押运公司的本职任务和基本形式C.武装押运是保安押运公司的本职任务和基本形式D.为金融单位等提供武装安全守护服务 [填空题]在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到（）、（）和（）三个方面的因素。 [单选]设立商业银行的注册资本最低限额为（）元人民币。A.1亿B.5亿C.10亿D.20亿 [问答题,简答题]什么是萃取精馏？ [单选]冰区航行，应尽可能避免在冰区内抛锚，如必须抛锚，则链长应该（）。A．以2～3节为宜B．以3～5节为宜C．不超过水深的2倍D．不超过水深的4倍 [单选]绩效工资占总体工资的比例在（）以上，浮动部分比较大。A.40%B.50%C.60%D.65% [多选]引起性病性淋巴肉芽肿的沙眼衣原体亚型是()A．L-1型B．L-2型C．L-3型D．L-4型 [填空题]分馏塔气液负荷大是指通过塔的单径截面上气体和液体的流量（）。 [多选,X型题]以下关于粉末直接压片的描述，正确的是（）A.简单、方便B.适用于湿、热不稳定的药物C.要求粉末的流动性和可压性好D.不经制粒直接把药物和辅料的混合物进行压片的方法E.微晶纤维素、可压性淀粉可作为粉末直接压片的辅料 [单选]平版胶印印刷纸类彩印品时，一般合格品的套印规定误差为（）。A.小于1mmB.小于2mmC.小于0.2mmD.小于0.1mm [单选]ISO105-C10：2006耐洗色牢度测试规定的洗涤程序有（）A.4种B.5种C.10种D.15种 [单选]违反海上航行警告和航行通告规定，造成海上交通事故，构成犯罪的，依法追究（）责任。A.民事B.行政C.刑事D.玩忽
高三数学多面体与球(新编201912)
2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r 有如下关系：
3.球面距离 径.)
为A、B对球心的张角，R为球半
4.表面积与体积
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课前热身
1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面 上，则此球的表面积为( A )
(A)
(B)
(C)
(D)Leabharlann 2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶 点数V与面数F满足的关系式是( A )
(A)2F+V=4
(B)2F-V=4
(C)2F+V=2
(D)2F-V=2
3.一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30.则它的各面 多边形的内角总和为( A )
(A)2160° (B)5400° (C)6480° (D)7200°
4.将棱长为3的正四面体的各棱长三等分，经过靠近顶 点的各分点，将原正四面体各顶点均截去一个棱长为1 的小正四面体，剩下的多面体的棱数为( A )
(A)16
(B)17
(C)18
(D)19
5.地球表面上从A地(北纬45°，东经120°)到B地(北纬 45°，东经30°)的最短距离为(地球半径为R)( A )
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每 个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面 体，叫正多面体.
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文字有三句话，各有一处语病，请选择两句加以修改。(4分) ①在甲型H1N1流感防控工作的关键时刻，在我省一套信息化应急指挥系统正式启动。②通过这套指挥系统，使省疾病预防控制中心工作人员可随时向省领导汇报全省甲型HlNl流感的防控情况，省领导也可以通过该系统对防控工作发出 指令。③采取信息化应急指
多面体和球
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数E mV 2
或E nF 2
【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发
现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有E nF 2
和E mV 2
2.在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上
的弧长等于 πR(R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离. 2
【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点 的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关
第11课时 多面体与球
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有 其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体 叫凸多面体.
二、球
1. 概念
(1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫球面，球面围成的几何体叫球体.
(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长 (半径)的所有点的集合.
2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r
有如下关系：r R2 d 2
3.球面距离
AB θ Rθ为A、B对球心的张角，R为球半
径.)
4.表面积与体积
S 4πR2，V 4 πR3 3
高考数学总复习 9.11简单多面体和球精品课件 文 新人教B版
6.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，
就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 我们把这个弧长叫做两点的球面距离，l＝Rφ(φ为球心 角的弧度数). 7.球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝ πR3.
1.球面距离是弧长，而非两点间的直线距离；求A、
B两点的球面距离的步骤是：⑴求弦长|AB| ，⑵求球心
6．(2004年北京，理11)某地球仪上北纬30°纬线 的长度为12π cm，该地球仪的半径是________cm，表 面积是________cm2.
例1
已知球的两个平行截面的面积分别为49π、
400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积． [分析] 先画出过球心且垂直于已知截面的球的大 圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的
3.球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的
集合，叫做球体，简称球，定点叫球心，定长叫球的 半径，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面．一 个球或球面用它的球心的字母表示，例如球O. 4.球的截面：
(1)球的截面是一个圆；
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半 径r满足r＝ . 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不
一、选择题 1．下列四个命题中错误的个数是 ( )
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一
个球的大圆；②球的表面积是它大圆面积的四倍； ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上 以这两点为端点的劣弧的长． A．0 C．2 [解析] ①③错误． [答案] C B．1 D．3
2．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到
经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
5.经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆． 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小 圆． 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确 定的半平面与0°经线及轴确定的半平面所成的二面角 的度数． 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道 平面所成角的度数．
高三数学一轮复习讲义 专题47 多面体与球
专题47 多面体与球考纲导读：考纲要求: 了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念. 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.考纲解读: 多面体、凸多面体的命题属于立体几何中不常见的题型,此类命题也往往依附于正棱锥或正锥柱. 高考中立体几何球类试题主要考查的是考生的球体建模能力及空间想像能力、而在内容上，作为选择题或填空题求球面上距离与角度的计算试题是多年来较为稳定的考查内容．考点精析： 考点1、 多面体此类题型以正多面体为截体，考查求线面关系、求角或求距离，近几年高考中经常出现此类问题.【考例1】 (·江苏)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一 个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体 体积的可能值有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 无穷多个解题思路：几何问题的策略.该题渗透了新课标中三视图的解法,应引起足够的重视.正确答案：解法一:八面体上下两项点间距离即两正四棱锥高之和为定值1,则本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.其面积变化体积显然变化.应选D.解法二:如图所示,在正方体的俯视图中,可得正 八面体中截面四边形正方形ABCD 的内接于另一个 正方形,此正方形ABCD 的面积的范围为1[,1)2S ∈ ∴八面体的体积1111[,363V S =⨯∈, 即其体积的 可能值有穷多个.故应选D.回顾与反思：由正多面体的定义可以推知正多面体有两个特点；正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段.知识链接：对于多面体而言，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.【考例2】 (·南通中学模拟6)一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示． （1）求A A 1与平面ABCD 所成角的大小及面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小； （2）求此多面体的表面积和体积.解题思路：通过几个图形可以找出面面垂直与棱长间的关系, 可以用面积法求二面角的平面角的大小,用分割法求几何体的体积.正确答案：（1）由已知图可得，平面⊥AB A 1平面ABCD ， 取AB 中点H ，连接H A 1．在等腰AB A 1∆中有AB H A ⊥1，则⊥H A 1平面ABCD ，AB A 1∠是A A 1与平面ABCD 所成角，AH B A 21=，∴AB A 1∠2arctan =取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即A HK ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影，在11D AA ∆中，a D A a AD AA22,251111===，28311a S D AA =∆又281a S AHK =∆，设面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为α，则31c os 11==∆∆D AA AHK S S α ∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为31arccos． （2）此多面体的表面积22222522214834a a a a a S =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅+= 此多面体的体积33652221314a a a a a V =⋅⋅⋅⋅⋅-=回顾与反思：该多面体仍是一类重要的很规范的多面体，特别是通过几个视图的观察与分析可以较为迅速地掌握它们的性质和特征.知识链接：表面能经过连续变形变为球面的多面体叫作简单多面体, 凸多面体都是简单多面体，但不是凸多面体的多面体也可能是简单多面体.考点2、球面距离问题本题型主要考查球面距离的概念及求法，同时还涉及到经度和纬度问题，这是球的一个主要内容，它在实际中有广泛的应用，高考中多为选择或填空题.【考例1】 (·西城区抽样)过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =3，则球的半径是 .解题思路：作出球面示意图,根据截面圆的性质可以作一直角三角形求其球的半径的长.正确答案：如图所示,由3AB BC CA ===,取ABC ∆的中心PABC DO 1M O 连接A 1O ,O1O , 则A 1O = 233=, 又由112OO R =,及22211OO AO R +=可得 22134R R +=,解之得2R =. 回顾与反思：本题考查了球的概念及其截面的性质.空间球体的建模与化归思想的掌握. 球的直观图及球体的模型建构是考生空间想象中的一个难点,牢记球体模型是一个捷径.知识链接：球的截面的性质.①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：r =22d R -.【考例2】 (·山东)设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为( )B.6R πC.56R π D.23R π解题思路：本题考查球面距离的运算.求两点间的球面距离,由经度与纬度可以计算得球心与球面上两点的圆心角的大小,再求其球面距离.正确答案：先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠A O B =120°，∴ A 、B 两点间的球面距离为31×2πR =23R π.故应选D. 回顾与反思：在解决球的问题时，经常遇到与地球的经线、纬线、经度、纬度有关的问题.纬线：是与地轴垂直的截面截地球表面所得到的圆.纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆. 经线：是地球表面上从北极到南极的半个大圆.经线圈是过地轴的截面截地球表面所得到的圆，它们都是大圆.纬度：某地点的纬度，就是经过这点的球的半径与赤道所在平面所成角的度数.纬度角是一个线面角.经度：某地点的经度，就是经过这点的经线及地轴确定的半平面与0°经线及地轴确定的半平面所成的二面角的度数.经度角是一个二面角.0°经线也叫做本初子午线.东经180°经线和西经180°经线是同一条经线，即180°经线.0°经线和180°经线合成一个通过南北两极的大圆.知识链接：球面距离.在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.考点3、球的表面积与体积本题型主要通过利用球的截面性质确定球的半径，再利用球的表面积和体积公式进行计算, 高考中多为选择或填空题.【考例1】(·连云港市一模) 正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该四棱锥的底面边长为4,侧棱长为62,则这个球的表面积为____________.解题思路：球心必在正四棱锥的高线上,解该球心所在的正四棱锥的特征直角三角形可得球半径,由此可得球的表面积.正确答案：如图所示,取下底面正方形ABCD 的中心O1, 设球心为O ,球半径为R, 则PD =4AB =,1O D =∴14PO ==.∵22211OO O D OD +=, ∴22(4)8R R -+=, 解之得3R =,∴2436S R ππ==球.回顾与反思：本题考查了球的概念及其截面的性质.空间球体的建模与化归思想的掌握. 球的直观图及球体的模型建构是考生空间想象中的一个难点,牢记球体模型是一个捷径.知识链接：球的体积定理 半径是R 的球的体积V =34πR 3. 球的表面积定理.半径是R 的球的表面积S =4πR 2.【考例2】 (·山东文)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9解题思路：正方体的对角线为其外接球的直径,正方体的棱长的一半为其内切球的半径.正确答案：设正方体的边长为a ,则内切球的半径2a r =, V 1,63433a r ππ==外接球的半径R=a 23, =2V 334,3r a π=则21:V V 63a π=:323a π33:1=,故选C. 回顾与反思：本题考查了球体的建模与球的截面的性质. 求解的关键在于找出正主体的棱长与内切球及外接球的半径间的关系式.知识链接：推导球的体积、表面积公式的方法，是“分割，求近似和，再由近似和转化为准确和”的方法.推导球的体积公式时，是将球分割为许多“小圆片”；推导球表面积公式时，是将球分割为许多“小锥体”.由于前面已经推出了球体积公式，所以在推导球表面积公式时，借助于球体积公式进行了变形.对于这一推导，同样要了解其所运用的基本思想方法.创新探究：【探究1】如图所示,一个倒置的正四面体A-BCD 容器中放置了一个半径为1的小球,小球与相邻的三个侧面均 相切,则小球球心O 到容器底,即到正四面体顶点A 的距离 OA= ( )A. 4B. 3创新思路：本题考查球内切于几何体问题是一个常见的考点,本题将球内切问题转换一种说法,使问题情境变得较为新颖,考查了考生建立立几模型解决实际问题的能力.解析: 如图所示,正四面体的斜高h '、斜高在底面上的射影r 、 高h 构成了一个直角三角形,其中斜高与高所成角θ的正弦值1sin 3r h θ==', 由内切球的半径为R=1, 可得球心到四面体顶点的距离3sin ROA θ==,故应选B. 【探究2】一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形,这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数mn,那么积m n ⋅是( ) A. 6 B. 3 C. 54 D. 24创新思路：本题考查建立了等体积模型,将几何体分割成若干个等高的几何体,从而求解出球的半径 .引类问题涉及几何体的切割问题,也是一个高考的热点问题.解析: 设六面体与八面体的内切球半径分别为1r 与2r ,再设六面体中的正三棱锥A-BCD 的高为1h ,八面体中的正四棱锥M-NPQR 的高为2h ,如图所示,则1h a =,22h a = . ∵V 正六面体=11112633BCD ABC h S r S ⋅⋅=⋅⋅ ,∴1113r h == . 又∵V 正八面体=22112833MNP h S r S ⋅⋅=⋅⋅ 正方形MPQR ,322a =, 2r =,于是1223r r ==,23是既约分数,即m n ∴ 6m n ⋅= .故应选A. 方法归纳：1.对球的考察一般不会出现在大题目中，而往往以应用题为背景做简单的考察，考生要牢记表面积和体积公式（不管试卷是否提供）、熟悉一些地理术语,要求考生具有一定的空间想象能力、抽象能力以及分析问题的能力和处理问题的一定技巧;2.球和正方体,长方体,三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方体或内接长方体问题.过关必练：MP NRO 22h2rFQABC DO 11h1r EB 一、选择题:1. (·安徽理9文6)表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A B ．13π C ．23π D 2. (·四川文)如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶 点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是() A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π3. (·四川理)已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C OA --的大小是( )A.4πB. 3πC. 2πD. 23π4. (·南通中学模拟6)如图是一个由三根细铁杆,,PA PB PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60，一个半径为1则球心O 到点P 的距离是( )A B C 、2 D 、3 5. (·浙江理)如图，O 是半径为1的球的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是( )A ．4π B ．3π C ．2π D ．4二、填空题:6. (·西城区抽样)若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积为9π，则球的面积是__________.7. (·湖北八校二联)设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ,0=⋅AB AD ，用321S S S 、、分别表示△ABC 、△ABD 、△ACD 的面积，则321S S S ++的最大值是 _______ ____.8. (·宿迁模)球面上有A ，B ，C 三点，AB =BC =CA =6，若球心到平面1A BCPEFABC 的距离为4，则球的表面积是 .9. (·陕西理15文16)水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为R 的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .10. (·海淀4月期中)若球O 的半径长为13，圆O 1为它的一个截面，且OO 1=12，则圆O 1的半径长为_____;点A 、B 为圆O 1上的两定点，AB=10，若C 为圆O 1上的动点，则△ABC 的最大面积为 .三、 解答题:11. (·天津)如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，侧面11B BCC 与底面ABC所成的二面角为120︒，E 、F 分别是棱1CB 、1AA 的中点.（Ⅰ）求1AA 与底面ABC 所成的角；（Ⅱ）证明E 1A ∥平面1B FC ；（Ⅲ）求经过1A 、A 、B 、C 四点的球的体积．12. (·辽宁)已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、 AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB. （Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上， 求△ABC 的边长.13. (·天津理19文19)如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//1 2EF BC=．（Ⅰ）证明FO//平面CDE；（Ⅱ）设BC=，证明EO⊥平面CDF．14. (·成都市摸底)A BDROR过关必练参考答案：1. A 解析:如图所示,正八面休中外接球的球心为O, 则直径AB=2R , OA=OB=R , 可求得正八面体的棱长AD =,∵正八面体的表面积228)S ===∴R =, 于是得球的体积为343V π==球, 故应选A. 2. D 解析:设球半径为R,, 高为R , ∴231216)333V R R =⨯⨯==正四棱锥, 解这得2R =, ∴2416S R ππ==球, 故应选D.3. C 解析:如图所示,由A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π， B 、C 两点的球面距离是3π,可得4AOB AOC π∠=∠=,3BOC π∠=, ∴1BC OC OB ===.过点C 作CM OA ⊥,垂足为M, 连接BM, 则BM OA ⊥,即得 BMC ∠就是二面角B C OA --的平面角. ∵sin 4MC MB OC π===∴BMC ∠=2π,即得二面角B C OA --的大小为2π, 故应选C. 4. A 解析: 连PO 并延长交球于点O 1, 作CO 1⊥PO, 连接OT(T 为切点) ,设PC= a ,由OT=1可得113sin O C OTCPO PC PO a PO∠===== PO =.故应选A.5. B 解析:分别过点E 、F 作EM ⊥OB 于点M,FN ⊥OC 于点N, 连结OE 、OF 、MN 、EF, 由点E 、F 分别是大圆弧 AB 与AC 的中点, ∴∠EOM=∠FON=045, 设球半径为R,C则0cos 452OM ON EM FN R R =====, 又∵//EM FN , ∴EF//MN 且EF=MN ∴EF=MN 2R R ==, ∴OEF ∆为等边三角形, 即∠EOF=060, ∵R=1 , ∴点E 、F 在该球面上的球面距离是33R ππ=, 故应选B.6. 100π 解析: 如图所示,由14OO =,截面圆1O 的面积为9π得其半径13O A =, 连接A 1O ,由22211OO AO R +=可得2222435R =+=, ∴24100S R ππ==球.7. 8解析: 如图正方体中，AB ，AC ，AD 满足互相垂直 且A ，B ，C ，D 可在同一个球面上，设边长为a ， 则43=a ，,34=a当AB=AC=AD 时S 1，S 2，S 3可取最大值, 即S 1+S 2+S 3的最大值为8316213=⨯⨯. 8. 100π解析:如图所示,由AB =BC =CA =6， 可得BCA ∆是以CA为斜边的直角三角形,取AC 中点为O 1,则5AO ==,故球的表面积24100S AO ππ==.9. 3R 解析:如图所示,将五个小球的球心相连可得一底面边长为4侧棱长OD=3R 的正四棱锥O-ABCD,其项点到底面的距离OM 加上下面与桌面相切的球半径MN=2R 即为小球球心到水平桌面的距离∵OM R ===, ∴小球的球心到水平桌面α的距离为23R R R +=. 10. 5,25解析: 如图,由题意得:在B OO Rt 1∆中,OB=13,OO 1=12, 则圆O 1的半径长为5; 又AB=10,即为圆O 1的直径, 则当O 1C ⊥AB 时,∆ABC 的面积最大,且最大值为2551021=⨯⨯. 11. 解析:（I ）解：过1A 作平面1A H ⊥平面ABC ，垂足为H .连接AH ，并延长与BC 交于G ，连接EG ，于是1A AH ∠为1A A 与底面ABC 所成的角．因为11A AB A AC ∠=∠，所以AG 为的BAC ∠平分线． 又因为AB AC =，所以AG BC ⊥，G 且为BC 的中点因此，由三垂线定理1A A BC ⊥,因为11//A A B B ，且1//EG B B ，所以EG BC ⊥，于是AGE∠ACD为二面角A BC E --的平面角，即120AGE ∠=︒,由于四边形1A AGE 为平行四边形，得160A AG ∠=︒,所以，1A A 与底面ABC 所成的角度为60︒（II ） 证明：设EG 与1B C 的交点为P ，则点P 为EG 的中点，连结PF. 在平行四边形1AGEA 中，因为F 是1A A 的中点，所以1//A E FP而ＦP ⊂平面1B FC ，AE ⊄平面1B FC ，所以1//A E 平面1B FC（III ）解：连接1A C ．在△1A AC 和△1A AB 中，1111AC AB A AC A AB A A A A =⎫⎪∠=∠⇒⎬⎪=⎭△1A AC ≅△111A AB AC A B ⇒= 又因为1A H ⊥平面ABC ，所以H 是△ABC 的外心设球心为O ，则O 必在1A H 上，且1OF A A ⊥在Rt △1A FO中，11112cos cos30a A F AO AA H ==∠︒球的体积334433V R ππ⎫===⎪⎪⎝⎭. 12. 解析:（Ⅰ）证明： 连结CF. .,2121PC AP AC BC EF PE ⊥∴=== .,,PCF AB AB PF AB CF 平面⊥∴⊥⊥..,PAB PC AB PC PCF PC 平面平面⊥∴⊥∴⊂（Ⅱ）解法一：,,CF AB PF AB ⊥⊥PFC ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则AB=a ，则a CF a EF PF 23,2=== .33232cos ==∠∴a a PFC 解法二：设P 在平面ABC 内的射影为O. PAF ∆ ≌PAB PAE ∆∴∆,≌.PAC ∆ 得PA=PB=PC. 于是O 是△ABC 的中心. PFO ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则.2331,2a OF a PF ⋅==.33c o s ==∠∴PF OF PFO （Ⅲ）解法一：设PA=x ，球半径为R. ,,PB PA PAB PC ⊥⊥平面 ππ124.232==∴R R x ，ABC x R ∆∴==∴.2.3得的边长为22. 解法二：延长PO 交球面于D ，那么PD 是球的直径.连结OA 、AD ，可知△PAD 为直角三角形. 设AB=x ，球半径为R.,2332,66tan .32,1242x OA x PFO OF PO PD R ⋅==∠==∴= ππ 22.22).6632(66)33(2的边长为于是ABC x x x x ∆∴=-=∴. 13. 解析:（Ⅰ）证明：取CD 中点M ，连结OM. A B C P E F O D在矩形ABCD中1//2OM BC，又1//2EF BC，则//OMEF，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.//FO EM∴又FO⊄平面CDE，切EM⊂平面CDE，∵F O∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，,CM DM EM CD=⊥且12EM BC EF ===.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而FM CD M⋂=，所以EO⊥平面CDF.14.。
高三数学多面体和球
高三数学多面体和球9．6棱柱、棱锥和球一、明确复习目标1.理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算；2.会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算.3．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球内接、外切几何问题的解法．二．建构知识网络一、棱柱(1) 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：--侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，...，n棱柱.②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→ 平行六面体→ 直平行六面体→长方体→ 正四棱柱→ 正方体.请在"→"上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质--侧棱、侧面的性质和一些RtΔ(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质--定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高.三、球1.定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
高考数学复习全套课件 第九章 第七节 多面体、球
6．三棱锥A－BCD的两条棱AB＝CD＝6，其余各棱长均为 5，求三棱锥的内切球半径． 解：如图，设E为CD中点，连结BE、AE.
设球心O到各面的距离为R.
4× S△BCD×R＝VA－BCD， ×6×4＝12， ， ，
∵S△BCD＝ ∴4×
VA－BCD＝2VC－ABE＝6 ×12R＝6
∴R＝
球面距离的求法，很少出现经纬度问题．但09年辽 宁高考考查了纬线长与赤道长的比值，是一个新的 考查方向．
[考题印证] (2009· 辽宁高考)如果把地球看成一个球体，则地球上 北纬60°纬线长和赤道线长的比值为 A．0.8 C．0.5 B．0.75 D．0.25 ( )
【解析】作出截面图．由图可知2πr：2πR＝sin30°＝
1.了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体 的概念． 2．了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表 面积公式、体积公式．
1．多面体和正多面体
2．球 (1)球面和球的概念 半圆以它的 直径 为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面， 球面所围成的几何体叫做 球体 ，简称球．
球也可以看作是与定点(球心)的距离 等于定长(半径)的所
2．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该 截面所成的角是60°，则该截面的面积是 A．π C．3π B．2π D．2 π ( )
解析：如图，设截面的圆心为O1，O1A＝2· cos60°＝1， ∴截面的面积为π.
答案：A
3．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相 切，若这个球的体积是 ，则这个三棱柱的体积是 ( A. 96 3 C. 24 3 B. 16 3 D .48 3 )
，侧棱长为
的正六棱柱的所
有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为_____．
高考数学复习-第1讲-多面体与球课件
解析:如图所示, 设 AB=a,则 CD= 2 ,其余各棱为 1,则易知△ACD 为直角三角形, △BCD 为直角三角形,取 CD 的中 点 M,则 AM⊥CD,BM⊥CD,
AM= 2 ,BM= 2 ,故 a 的最小值应大于 0,而 a 的最大值
2
2
应小于 BM+MA= 2 ,即小于 2 .
考向二 几何体的表面积与体积
1.分析几何体的构成是简单几何体或是简单几何体 的组合体. 2.确定基本量:底面边长、高、母线、半径等及其之 间的相互关系(必要时借助于模型或构造直角三角形 利用勾股定理来求解). 3.求解所求的表面积或体积时,注意等体积法、割补 法的应用.
【例 2】 (2012 年高考江苏卷)如图,在长方体
第 1 讲 多面体与球
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体验高考
1.(2012 年高考新课标全国卷,文 8)平面α截球 O 的球 面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α的距离为 2 ,则 此球的体积为( B )
(A) 6 π (B)4 3 π
(C)4 6 π (D)6 3 π
所以∠KMO 为圆 O 与圆 K 所在平面所成的一个二面角的 平面角, 则∠KMO=60°.
在 Rt△KMO 中,OK= 3 ,所以 OM= OK = 3 .
2
sin 60
在 Rt△OAM 中,因为 OA2=OM2+AM2,所以 R2=3+ 1 R2, 4
解得 R2=4, 所以球 O 的表面积为 4πR2=16π. 答案:16π
热点考向突破—讲策略 促迁移
考向一 空间几何体的结构特征
1.热点内容 依据柱、锥、台、球的结构特征及相关性质解题. 2.问题引领 (1)有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱 锥吗? (2)有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的几何体 是棱柱吗? 答案:(1)不一定,其余各面有一个公共顶点时,才是棱锥. (2)不一定.
高中数学知识要点重温之(20)多面体与球
多面体与球江苏 郑邦锁1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心⇔三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心⇔三侧面与底面所成的二面角相等；垂心⇔相对的棱垂直。
正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直⇒顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心⇒三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。
[举例1] 已知三棱锥S －ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，SA=a ，则此三棱锥体积最大值是 解析：∵点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，∴点S 在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的垂心；又△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心，即三棱锥S －ABC 为正三棱锥。
记SO=h （h< a ），则AO=22h a -，于是有：AB=)(322h a -,记三棱锥S －ABC 体积为f(h)，则f(h)=h h a )(4322-， f /(h)=)3(4322h a -，∴f max (h)=)33(a f =63a .[举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S －ABC 中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O 到底面三边的距离相等，但这不意味着O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。
高三数学一轮复习 9.9 多面体、球课件 文 大纲人教版
球面上两点间的距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．求两点 间的球面距离的关键是求出球心角．求球心角时，往往转化到三角形中来解决．求 球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧 度数；③用弧长公式计算劣弧 的长．
此小圆的半径为Rcos α，而两地的经度差为90°，故有 Rcos α＝R，
cos α＝ ，则α＝ .
答案：B
变式3: (2009·河南六市第一次联考)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球 面上，且cos A＝ ，BC＝1，AC＝3. 若球的表面积为16π，则A、B两点的球面距离是________．
离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝
.
(3)大圆与小圆：球面被经过 球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平
面截得的圆叫做小圆．
(4)球面距离：在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的
大圆在这两点间的一段劣弧 的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
(5)球的体积公式：半径是R的球的体积V＝πR3.球的表面积公式：半径是R的球
(1)作出过球心的截面图形，降维处理，利用球体的对称性，化归为平面 几何中圆的内接或外切多边形求解． (2)以球心为顶点构造特殊的几何体，利用几何体的性质求解． (3)分析题目的本质特征，化归为简单组合体性质的研究.
如图所示，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两 垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离 是( )
的表面积S＝ 4πR2 .
提示：注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧 长三者之间的区别与联系．特别是注意球面距离，其关键是求出球面上 两点与球心的张角的大小，常常是应用直观图结合三角知识求解．
高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件 第9课时 多面体与球
• 棱柱、正多面体及凸多面体都是简单多面体。
知识整合
• 2、正多面体
• 每个面都是相同边数的正多边形，且以每 个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多 面体，叫做正多面体。正多面体只有五种： 正四面体、正六面体、正八面体、正十二 面体和正二十面体，其中正四面体、正八 面体、正二十面体的面是正三角形；正六 面体的面是正方形，正十二面体的面是正 五边形。
知识整合
• 3、欧拉公式
• 如果简单多面体的顶点数为V，面数 为F，棱数为E，那么V+F-E=2，这个 公式叫做欧拉公式。
• 注：(1)欧拉公式的适用范围为简单多 面体。
• (2)弄清楚五种正多面体的顶点数，棱 数和面数。
FV
E
过顶点 各面边 面的特
数的 数
征
棱数
正四面体 4 4
6
3
3
正三角
形
正六面体 6 8
• 评注：本题利用了棱数E，一方面满足欧拉公式， 另一方面棱数E等于各顶点引出的棱数和的一半， 也等于各面的边数之和的一半，列出了两个含有 未知数的方程，体现了方程的思想。
例题精析
• 例2、(1)已知球的两个平行截面的面积分别 是5和8，且在球心同侧相距为1，求这个球 的表面积和体积。
• 分析：由于球的表面积和体积都是关于球 半径R的函数，所以应利用已知条件列出关 于球半径R的方程。
例题精析
• 例3、如图在北纬45°的纬度圈上有A、B 两点，它们分别在东径70°与东径160°的 经度圈上，设地球的半径为R，求A、B两 点的球面距离。