初中数学二次函数的应用基础练习题(附答案详解)

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初中数学二次函数综合基础训练题3(附答案详解)

初中数学二次函数综合基础训练题3（附答案详解）1．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2+bx 与y ＝b x的图象大致为（） A ． B ． C ． D ． 2．已知 23M x x =-， 5N x =-(x 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为( ) A ．M N < B ．M N > C ．M N D ．不能确定 3．课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C ：y ＝x 2﹣6x +5在x 轴下方的图象沿x 轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C 在x 轴上方的图象记为G ，已知直线l ：y ＝x +m 与图象G 有两个公共点，求m 的取值范围甲同学的结果是﹣5＜m ＜﹣1，乙同学的结果是m ＞54．下列说法正确的是（）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确4．如图，抛物线y=-x 2+2x+m+1交x 轴于点A （a ，0）和B （B ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ．下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P （x 1,y 1）和Q （x 2,y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+ x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m=2时，四边形EDFG 周长的最小值为，其中正确判断的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2经过A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 在抛物线上，线段MA 绕点M 顺时针旋转90°得MD ，当点D 在抛物线的对称轴上时，求点M 的坐标；（3）P 在对称轴上，Q 在抛物线上，以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．6．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ．（1）求A ，B ，C ，D 的坐标；（2）求四边形ABCD 的面积．7．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交下点C ，请仅用无刻度直尺按要求作图：（1）在图1中，直线l 为对称轴，请画出点C 关于直线l 的对称点；（2）在图2中，若CD x 轴，请画出抛物线的对称轴.8．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A (1，b )．(1)求a ，b 的值；(2)求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)；(3)求△OBC 的面积．9．抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1，（1）抛物线与x 轴的另一个交点坐标为；m ＝，n ＝．（2）画出此二次函数的图象；（3）利用图象回答：当x 取何值时，y ≤0？10．二次函数2642y x x =--(1)写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.(2)判断点()3, 4-是否在该函数图象上，并说明理由.(3)求出以该抛物线与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.11．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.(2)已知关于x 的二次函数y 1=2x 2﹣4mx+2m 2+1，和y 2=x 2+bx+c ，其中y 1的图象经过点A(1，1)，若y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x≤3时，y 2的取值范围.12．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．13．已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象的对称轴是直线x＝2，且经过点P（3，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若y≤0，请直接写出x的取值范围；（3）若抛物线y＝ax2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，求出t的取值范围．14．如图，抛物线y=﹣12x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，点B的坐标；（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．15．一个抛物线形状与二次函数y ＝x 2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同．（1）求抛物线解析式．（2）如果该抛物线与一次函数y ＝kx ﹣2相交于A 、B 两点，已知A 点的纵坐标为﹣1，求△OAB 的面积．16．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若点E 与点C 关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE 的面积.17．已知抛物线y ＝ax 2+bx+3过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，交y 轴于点C ,(1)求该抛物线的表达式．(2)设P 是该抛物线上的动点，当△PAB 的面积等于△ABC 的面积时，求P 点的坐标． 18．已知函数y 1＝－13x 2 和反比例函数y 2的图象有一个交点是 A a 1）．（1）求函数y 2的解析式；（2）在同一直角坐标系中，画出函数y 1和y 2的图象草图；（3）借助图象回答：当自变量x 在什么范围内取值时，对于x 的同一个值，都有y 1＜y 2？ 19．已知：抛物线2y x bx c =-++，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B′与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′B B′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于63时，求点N 的坐标.20．如图，抛物线223y x mx m =-+与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点()0,3C -.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为线段OC 上一动点，试求22AE EC +的最小值；（3）点D 是y 轴左侧的抛物线上一动点，连接AC ，当DAB ACO =∠∠时，求点D 的坐标.21．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EF ∥AB 交AD 于点F ，连接BF ．（1）如图1，若AB ＝4，DE 2，求BF 的长；（2）如图2．连接AE ，交BF 于点H ，若DF ＝HF ＝2，求线段AB 的长；（3）如图3，连接BF ，AB ＝2，设EF ＝x ，△BEF 的面积为S ，请用x 的表达式表示S ，并求出S 的最大值；当S 取得最大值时，连接CE ，线段DB 绕点D 顺时针旋转30°得到线段DJ，DJ与CE交于点K，连接CJ，求证：CJ⊥CE．22．已知抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，顶点为D.（1）如图1，请求出A、B两点的坐标；（2）点E为x轴下方抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)上一动点.①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求MO+NH的值；②如图3，若k=2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足∠FBA=∠EBA，当线段EF运动时，∠FGO的度数大小发生变化吗？若不变，请求出tan∠FGO的值；若变化，请说明理由.23．在Rr△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点O为AB的中点，点D、E分别为AC、AB边上的动点，且保持DO⊥EO，连接CO、DE交于点P．（1）求证：OD＝OE；（2）在运动的过程中，DP•EP是否存在最大值？若存在，请求出DP•EP的最大值；若不存在，请说明理由．（3）若CD＝2CE，求DP的长度．24．如图，A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，D为直线BC上方抛物线上一动点，E在CB上，∠DEC＝90°（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，F 为AB 的中点，连接CF ，CD ，当△CDE 中有一个角与∠CFO 相等时，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，抛物线21y x 6x 42=-+的顶点M 在直线L ：y kx 2=-上． ()1求直线L 的函数表达式；()2现将抛物线沿该直线L 方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为N ，与x 轴的右交点为C ，连接NC ，当tan NCO 2∠=时，求平移后的抛物线的解析式．26．二次函数 223y x x =++ 图像的对称轴是直线____.27．已知抛物线y ＝x 2﹣4x +h 的顶点A 在直线y ＝﹣4x ﹣1上，则抛物线的顶点坐标为_____．28．二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，A 1，A 2，A 3，…，A 2009在y 轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…，B 2009在二次函数223y x =第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2008B 2009A 2009都为等边三角形，计算出△A 2008B 2009A 2009的边长为_____．29．（在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是__．30．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3…如此进行下去，则C2019的顶点坐标是_____．参考答案1．D【解析】试题解析：A、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＞0，b＜0，所以b的范围不同，故本选项错误；B、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＜0，所以b的范围不同，故本选项错误；C、根据反比例函数得出b＜0，根据二次函数得出a＞0，b＞0，所以b的范围不同，故本选项错误；D、根据反比例函数得出b＞0，根据二次函数得出a＜0，b＞0，所以b的范围相同，故本选项正确；故选D．2．B【解析】【分析】首先根据题意分别画出两个函数图像，然后根据图像即可比较大小.【详解】根据题意，分别画出函数图像，如图所示根据图像即可判定M N故答案为B.【点睛】此题主要考查利用函数图像进行比较大小，熟练掌握，即可解题. 3．C【解析】【分析】当直线过抛物线与x轴右侧的交点时，恰有一个交点；直线y＝x+m向上移，经过g左侧交点之前均为两个交点；继续向上平移，直到经过G中间的顶点（3，4）之前均为三个交点；最终向上平移，均有两个交点.【详解】解：令y＝x2﹣6x+5＝0，解得（1，0），（5，0）将点（1，0），（5，0）分别代入直线y＝x+m，得m＝﹣1，﹣5；∴﹣5＜m＜﹣1由题可知，图象C关于x轴对称的抛物线的顶点为（3，4），a=-1则解析式为y=-x2+6x-5联立265y x m y x x =+⎧⎨=-+-⎩25(5)0x x m -++=254200m ∆=--≤∴m ＞54综上所述，m ＞54或﹣5＜m ＜﹣1 故选C ．【点睛】本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.4．C【解析】【分析】【详解】试题解析：①当x ＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x ＜b 时，y ＞0；当x ＞b 时，y ＜0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x=-22(1)⨯-=1，当a=-1时有12b -+=1，解得b=3，故本选项错误； ③∵x 1+x 2＞2， ∴122x x +＞1，又∵x 1-1＜1＜x 2-1，∴Q 点距离对称轴较远，∴y 1＞y 2，故本选项正确；④如图，作D 关于y 轴的对称点D′，E 关于x 轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE 的和即为四边形EDFG 周长的最小值．当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；则22(21)(34)2-+-=22(12)(34)58--+--=；∴四边形EDFG258故选C．考点：抛物线与x轴的交点．5．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点M（1021012-）或（102-，1102--）或（1+102，13310+1﹣10213310-）；（3）点P（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【解析】【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解；（2）设点M（m，﹣m2+m+2）顺时针旋转90°此时点M即为点D（﹣m2+m+2，﹣m﹣1），即可求解；（3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）设点M（m，﹣m2+m+2），过点M作y轴的平行线HN，交过点A与x轴的平行线于点H，交x轴于点N，∵∠DMH+∠HDM＝90°，∠DMH+∠AMN＝90°，∴∠DHM＝∠AMN，又∵∠MHD＝∠ANM＝90°，AM＝MD，∴△MDH≌△AMN（ASA），∴DH＝MN，即：﹣m2+m+2＝|12﹣m|，解得：m＝10±或110，故点M 10101-）或（10110--）或（1013310+11013310-）；（3）设点Q（m，n），n＝﹣m2+m+2，点P（12，s），点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），①当BC是平行四边形的边时，点C向右平移2个单位向上平移2个单位得到B，同样点Q（P）向右平移2个单位向上平移2个单位得到点P（Q），则m+2＝12，n﹣2＝s或m﹣2＝12，n+2＝s，解得：s＝14或﹣154，故点P（12，14）或（12，﹣34）；②当BC是平行四边形的对角线时，m+12＝2，n+s＝2，解得：s＝34，故点P（12，34），综上，故点P的坐标为：（12，14）或（12，﹣154）或（12，34）．【点睛】本题考查了二次函数的综合性问题，能够正确求出函数解析式以及读懂题干意思，画出具体图形，求出点的坐标是解题的关键6．（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣4），D（0，﹣3）；（2）9．【解析】【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC，如图所示，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝313134++=9 222⨯⨯⨯．【点睛】本题考查了二次函数中点的特征以及四边形的面积，掌握二次函数的性质是解题的关键7．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用画对称轴的作图技巧，连接CB交于对称轴一点，再连接A点与此点，与函数图像的交点即对称点，（2）用无刻度直尺连接CB,AD交于一点，连接AC,BD并延长交于一点，再连接这两点，此线即直线m.【详解】解：（1）如图1，点E即为所求（画法不唯一）；（2）如图2，直线m即为所求.【点睛】本题考查轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键.8．（1）a= -1 b= -1 (2) B(2,-2) 2,-2) （3）面积是2,【解析】试题分析：()1将点A 代入23y x =-求出b ，再把点A 代入抛物线2y ax =求出a 即可． ()2解方程组2{2,y x y =-=-即可求出交点坐标． ()3利用三角形面积公式即可计算．试题解析：()1∵点()1,A b 在直线23y x =-上，1b ∴=-，∴点A 坐标()1,1-，把点()1,1A -代入2y ax =得到1a =-， ()1 1.a b ∴==-()2由2{2,y x y =-=-解得2{2x y ==-2{ 2.x y =-=-∴点C 坐标()2,2,--点B 坐标)2,2.- ()3 12222 2.2BOC S =⨯=9．（1）（3，0），m ＝2，n ＝3；（2）图象见解析；（3）当x ≤﹣1或x ≥3时y ≤0．【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性求得另一个交点，然后根据待定系数法即可求得m 、n 的值；（2）求得顶点，画出图象即可；（3）观察图形可直接得出y ≤0时，x 的取值范围；【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（3，0），把（﹣1，0），（3，0）代入y ＝﹣x 2+mx +n 得-1-0930m n m n +=⎧⎨-++=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，故答案为（3，0），m ＝2，n ＝3；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点为（1，4）；画出此图象如图：（3）由图象可知：当x ≤﹣1或x ≥3时y ≤0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.10．（1）开口向下，对称轴为直线1x =-,顶点为(1,8)-；（2）不在函数图象上，理由详见解析；（3） 12.【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式配成顶点式得到22(1)8y x =-++，然后根据二次函数的性质写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；（2）将3x =代入函数解析式求出对应的y 即可判断；（3）确定抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)，然后根据三角形面积公式求解．【详解】解：（1）解：（1）226422(1)8y x x x =--=-++20a =-<，∴抛物线开口向下；22(1)8y x =+-，∴抛物线对称轴方程为1x =-，顶点坐标(1,8)--；开口向下，对称轴为直线1x =-,顶点为1,8-（）（2）不在函数图象上.理由：当3x =时，29436244y =-⨯-⨯+=-≠-所以点4-（3，）不在函数图象上. （3）令0y =，得26420x x --=，解得13x =-，21x =，所以抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)-，(1,0)，当x=0时，y=6.抛物线与y 轴交于点0,6A （），()1136122ABC S ∆=⨯+⨯= 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象为抛物线；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为(0,)c . 11．(1) y=（x －1）2+3和y=2（x －1）2+3（答案不唯一）；(2)y 2 =x 2 -2x+1，02y 4≤≤.【解析】【分析】（1）根据“同簇二次函数”的定义写出两个即可；（2）将A 代入y 1=2x 2−4mx+2m 2+1中，可求出y 1与x 的函数关系式，并求出此抛物线的顶点坐标，从而求出y 1+y 2与x 的函数关系式，再根据“同簇二次函数”的定义即可求出b 、c ，从而求出函数y 2的表达式，最后根据二次函数的性质自变量的取值范围和对称轴的位置关系求最值即可.【详解】(1)根据“同簇二次函数”的定义：两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，故这两个二次函数可以为：y=（x －1）2+3和y=2（x －1）2+3；(2)把A(1,1)代入y 1=2x 2−4mx+2m 2+1得2−4m+2m 2+1=1，解得m=1，则y 1=2x 2−4x+3=2（x －1）2+1,∴y 1=2x 2−4x+3顶点坐标为（1,1），且y 1+y 2=3x 2+（b−4）x+c+3∵y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数” ∴()()241234334143b c b -⎧-=⎪⨯⎪⎨⨯+--⎪=⎪⨯⎩解得：b=-2，c=1y 2 =x 2 -2x+1 此抛物线的开口向上，对称轴为：21221b x a -=-=-=⨯ ∴0≤x≤3包含对称轴∴当1x =时，y 2取最小值，此时y 2=0，当x=3时，y 2取最大值，此时y 2=4∴02y 4≤≤【点睛】此题考查的是新定义问题，掌握二次函数的图像及性质和“同簇二次函数”的定义是解决此题的关键.12．（1）如y ＝x 2，y ＝x 2﹣x +1，y ＝x 2+2x +4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y ＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【解析】【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；（2）将ac＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；【详解】（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；（2）依题意得b2＝ac，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）①抛物线y＝2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，②存在．如图：若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），此时，△AOB≌△BQP；若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x2﹣2x﹣1＝12，解得：x＝﹣12或x＝32，∴P点的坐标为：（﹣12，12），（32，12）．此时，△AOB≌△PQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【点睛】此题主要考查新定义下抛物线的性质，熟练掌握，即可解题.13．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）1≤x≤3；（3）﹣1≤t＜3．【解析】【分析】（1）利用对称性得到抛物线经过点（1，0）．然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；（3）对于抛物线y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0时，满足条件，此时t＝﹣1，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，满足条件，此时﹣1＜t＜3，然后综合两种情况即可．【详解】（1）∵对称轴为x＝2，点B（3，0），∴抛物线经过点（1，0）．将（1，0）、（3，0）代入得：9a+3b+3＝0且a+b+3＝0解得a＝1，b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）由（1）得知抛物线过点（1，0）和（3，0），且a＝1，可判定开口向上，故当1≤x≤3时，y≤0；（3）由（1）可知y＝ax2+bx+3﹣t的解析式为y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0时，解得t＝﹣1，抛物线与x轴的交点为（2，0）；当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，解得t＞﹣1，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，抛物线y＝ax2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，即t＜3，∴t的范围为﹣1≤t＜3．【点睛】此题主要考查抛物线的对称性、待定系数法求解析式以及根的判别式的运用，熟练掌握，即可解题.14．(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.【解析】【分析】（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣12x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结果；（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣12t2﹣t+4），可表示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S△ACP=12PD×OA=12PD×4=2PD，可得S△ACP关于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．【详解】(1)解：设y=0，则0=﹣12x2﹣x+4∴x1=﹣4，x2=2∴A（﹣4，0），B（2，0）(2)作PD⊥AO交AC于D设AC解析式y=kx+b∴404bk b=⎧⎨=-+⎩解得：14 kb=⎧⎨=⎩∴AC解析式为y=x+4.设P（t，﹣12t2﹣t+4）则D（t，t+4）∴PD=（﹣12t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣12t2﹣2t=﹣12（t+2）2+2∴S△ACP=12PD×4=﹣（t+2）2+4∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法进行求解.15．（1）y＝﹣x2；（2）3．【解析】【分析】（1）由图象形状和顶点相同，但开口方向不同可知二次项系数a互为相反数即可得出函数解析式.（2）利用抛物线解析式和点A的纵坐标求出A的坐标，把A的坐标代入y=kx-2，根据待定系数法求得解析式，然后解析式联立求得B的坐标，利用S△OAB=S△AOG+S△BOG求解即可．【详解】解：（1）形状与二次函数y＝x2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同，此抛物线解析式为y＝﹣x2．（2）∵A点的纵坐标为﹣1，把y＝﹣1代入y＝﹣x2，解得x＝±1，∴A（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）把A（1，﹣1）代入y＝kx﹣2得，﹣1＝k﹣2，解得k＝1，把A（﹣1，﹣1）代入y＝kx﹣2得﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝x﹣2或y＝-x﹣2，∴令x ＝0，得y ＝﹣2，∴G （0，﹣2），I .当一次函数表达式为y ＝﹣x ﹣2时，由一次函数与二次函数联立可得22y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=-⎩， ∴B （2，﹣4）， ∴S △OAB ＝S △AOG +S △BOG ＝()122+12⨯⨯＝3， II .同理证得当一次函数表达式为y ＝x ﹣2时，S △OAB ＝3，故△OAB 的面积为3．【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分两种情况正确的求出点B 的坐标．16．（1）A （-4,0），B （2,0），C,0,4）；（2）12【解析】【分析】（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C 的坐标，令y=0可以求出A 、B 点的坐标；（2）先求出E 点坐标，然后求出OA ，OC ，CE 的长计算面积即可.【详解】解：（1）当y=0时，212x --x+4=0，解得x 1=－4，x 2=2， ∴A （－4，0），B （2，0），当x=0时，y=4，∴C （0，4）；（2）y=212x -﹣x+4=12-（x+1）2+92，∴抛物线y=212x -﹣x+4的对称轴是直线x=－1， ∴E 的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，S 梯形AOCE =(24)4122+⨯= 【点睛】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x 轴，y 轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.17．(1)y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)P 点坐标为(﹣，﹣3)或(﹣1，﹣3)．【解析】【分析】（1）把A 与B 坐标代入求出a 与b 的值，即可确定出表达式；（2）先求出点C 的坐标，从而确定△ABC 的面积，再根据△PAB 的面积等于△ABC 的面积求出P 的坐标即可．【详解】解：(1)把A 与B 坐标代入得：933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，则该抛物线的表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)由抛物线解析式得：C(0，3)，∴△ABC 面积为12×3×4＝6， ∴△PAB 面积为6，即12×|y P 纵坐标|×4＝6，即y P 纵坐标＝3或﹣3，当y P 纵坐标＝3时，可得3＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x ＝﹣2或x ＝0(舍去)，此时P 坐标为(﹣2，3)；当y P 纵坐标＝﹣3时，可得﹣3＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x ＝﹣，此时P 坐标为(﹣，﹣3)或(﹣1，﹣3)．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18．（1）23y x =-；（2）作图见解析；（3）x ＜0，或x ＞3. 【解析】分析：（1）利用A 点在二次函数的图象上，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）根据二次函数的性质以及反比例函数的性质画出草图即可；（3）利用函数图象以及交点坐标即可得出x 的取值范围．详解：（1）把点A （a ，-1）代入y 1=−13x 2，得-1=−13a ， ∴a=3．设y 2=k x，把点A （3，-1）代入，得 k=−3，∴y 2=−3．（2）画图；（3）由图象知：当x ＜0，或x 3时，y 1＜y 2．点睛：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及二次函数的性质和比较函数的大小关系，利用数形结合得出是解题关键．19．（1）221y x x =-++，顶点坐标()12P ，；（2）①120P BB ''∠=，②当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【分析】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)即可求出m ，得出顶点坐标 ()P '，连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H '=，P’B=2求出tan P H P BH BH∠='='得60P BH ∠=',故可得P BB ∠''的度数②根据题意作出图形，根据旋转的性质与MNB S '∆=，解得三角形的高6h =；故设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++即可求出N 的坐标.【详解】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++得2=11b c c ---+⎧⎨=⎩解得=21b c ⎧⎨=⎩∴抛物线的关系式为：221y x x =-++，得y=-(x-1)2+2； ∴顶点坐标为()12P ，. （2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得11m =，21m =（舍去）；∴(212y x =-++，得顶点()P ' 连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H '=，=2∵tan P H P BH BH∠='=' ∴60P BH ∠=',∴18060120P BB ∠=-=''.②∵2BB '=,2P B '=即BB P B '=',∴30BP B P B B ''''∠=∠=;∵线段P B ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120，点P '落在点M 处; ∴90OB M ∠=',B M B P '=''∴//MB x '轴，23B M B P ''='=;设MNB ∆'在B M '边上的高为h ，得：632MNB B M h S '∆⋅'==，解得6h =； ∴设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++得 2721a a -=-++解得：4a =或2a =-∴()47N -，或()27N --，， 2521a a =-++方程无实数根舍去，∴综上所述：当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，并根据题意作出图形进行求解.20．（1）223y x x =+-；（2）22AE EC +=（3）D 的坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或811,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）把点()0,3C 代入抛物线表达式即可求出m ，即可得到抛物线的解析式；（2）连接BC ,过点A 作AF BC ⊥于点F ，交y 轴于点E ，当A E F 、、三点共线时，22AE EC +最小值为AF ，再根据由三角形面积公式得：11•·22BC AF AB OC =，即可求出22AF = ；（3）过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点H ，设点D 的坐标为()2,23m m m +- ，利用tan tan DAB ACO ∠=∠即BH AOAH CO=，代入即可求出m 的值，再求出D 点坐标【详解】解：（1）把点()0,3C 代入抛物线表达式得：9630m m ++= ，解得：1m =-故该抛物线的解析式为：223y x x =+-（2）连接BC ,过点A 作AF BC ⊥于点F ，交y 轴于点E由223y x x =+-，得：()3,0B - ，()0,3C -OB OC ∴= ,即45ABC ∠=，4,32AB BC ∴==由三角形面积公式得：11•·22BC AF AB OC = 即：11324322AF ⨯=⨯⨯ ，解得：22AF =在Rt CEF ∆中，2EF =，2AE AE EF AF ∴=+=∴当A E F 、、三点共线时，2AE EC +最小值为22AF =2222AE EC ∴+= （3）过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点H ，设点D 的坐标为()2,23m m m +-DAB ACO ∠=∠ tan tan DAB ACO ∴∠=∠，即BH AOAH CO=223113m m m +-∴=-或223113m m m --+=-解得：103m =-或1（舍去1m =），或1m =或83- （舍去1m =）过点D 的坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或811,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知三角函数的定义与性质及最值的求法. 21．（1）5；（2）8；（3）21329S (x 224=--+，92，见解析. 【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∠BDA ＝45°＝∠DBA ，由平行线性质可得∠DFE ＝∠A ＝90°，∠DEF ＝∠DBA ＝∠EDF ＝45°，可得DF ＝1，AF ＝3，由勾股定理可求BF 的长；（2）由题意可得DF ＝EF ＝FH ＝2，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAE ＝∠FHE ＝∠BHA ，可得AB ＝BH ，由勾股定理可求AB 的长；（3）由三角形面积公式可求S △BEF ＝12EF×AF ＝12x （﹣x ）＝219224x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭由二次函数性质可得x ＝2时，S 取得最大值，即点E 是BD 中点，由旋转的性质和直角三角形的性质可证四边形JCEN 是矩形，可证CJ ⊥CE ．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∠BDA ＝45°＝∠DBA ， ∵EF ∥AB∴∠DFE ＝∠A ＝90°，∠DEF ＝∠DBA ＝∠EDF ＝45° ∴DF ＝EF∴DE DF ∴DF ＝1∴AF ＝AD ﹣DF ＝3∴BF 5（2）∵DF ＝EF ，DF ＝HF ＝2， ∴EF ＝2＝FH ∴∠FEH ＝∠FHE ∵EF ∥AB∴∠FEH ＝∠BAE ， ∴∠BAE ＝∠FHE ＝∠BHA ∴AB ＝BH∵在Rt △ABE 中，BF 2＝AF 2+AB 2， ∴（AB+2）2＝（AB ﹣2）2+AB 2， ∴AB ＝8，AB ＝0（不合题意舍去） ∴AB ＝8（3）如图，过点J 作JN ⊥BD 于，∵S△BEF＝12EF×AF＝12x（2x）＝2132924x⎛-+⎝⎭∴当x＝322时，S△BEF最大值为94，∵x＝322，∴EF＝32 2∵EF∥AB∴12 EF DE DFAB BD AD===∴BD＝2DE，AD＝2DF∵CB＝CD，BD＝2DE，∴CE⊥BD，BD＝2CE，∵旋转∴JD＝BD，∠JDB＝30°，又∵JN⊥BD∴JD＝2JN，∴BD＝2JN，∴JN＝CE，∵JN⊥BD，CE⊥BD∴JN∥CE，且CE＝JN∴四边形JCEN是平行四边形，∵JN⊥BD∴四边形JCEN是矩形∴CJ⊥CE【点睛】本题是四边形综合题，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．22．（1）A (1,0)、B (3,0)；（2）①2MO NH +=，②不会变化，tan FGO ∠=4. 【解析】【分析】（1）令y =kx 2-4kx +3k=0，求得x 1=1,x 2=3,故A （1,0）B （3,0）（2）①过点 E 作 EK ⊥ x 轴于点k ，设 E (m , m 2-4m +3)，易证∆BKE ∽ ∆BHN , ∆AKE∽ ∆AOM ，则K KB KE KE A HB HN MO AO ，==，故23431m m m HN --+-=,24311m m m MO -+--=，求出NH = m -1, MO = -m + 3得()132MO NH m m +=-+-+=；②过点 E 作 EN ⊥ x 轴于点N ，作FH ⊥ x 轴于点H 过点 E作 EM ⊥ FH , 交 FH 的延长线于点 M ，设 F (n ,2n 2 - 8n + 6), E (a ,2a 2 - 8a + 6)当n > 3 时，不能满足∠FBA = ∠EBA ,当 n < 1，由∆FHB ∽ ∆ENB ，则N FH HBE NB=，故2228632863n n w n a a a-+-=-+--，得：n + a = 2()22286286tan tan n n a a FM FGO FEM EM a n-+--+∠=∠==- ， = 8 - 2(n + a) = 4为定值，即tan ∠FGO 的值不变. 【详解】解：（1）令y =kx 2-4kx +3k=0，求得x 1=1,x 2=3,故A （1,0）B （3,0）（2）① y = x 2-4x +3 ，如图 1 过点 E 作 EK ⊥ x 轴于点k ，∵KE ∥HN ∥x 轴，∴∆BKE ∽ ∆BHN , ∆AKE ∽ ∆AOM ，设 E (m , m 2-4m +3)K KB KE KE A HB HN MO AO ，==，即：23431m m m HN --+-=,24311m m m MO -+--= 得： NH = m -1, MO = -m + 3()132MO NH m m ∴+=-+-+=②不会变化。

初中数学二次函数的图象与性质基础练习题A1(附答案详解)

初中数学二次函数的图象与性质基础练习题1（附答案详解）1．将二次函数2y x 的图像向上平移1个单位，则所得的二次函数表达式为（） A ．2(1)y x =- B ．21y x =+ C ．2(1)y x =+ D ．21y x =-2．如图，二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则ABC的面积为（）A ．6B ．4C ．3D ．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（）A ．（1，3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3） 4．将二次函数y=x 2-4x+2化为顶点式，正确的是（）A ．2y (x 2)2=--B ．2y (x 2)3=-+C ．2y (x 2)2=+-D ．2y (x 2)2=-+5．二次函数2y 3x 4=-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点()3,4C ．抛物线的对称轴是直线x 1=D ．抛物线与x 轴有两个交点6．抛物线y ＝－2x 2经过平移后得到抛物线y ＝－2x 2－4x －5，平移方法是（）A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x的大致图象是( ) A ． B ． C ． D ．8．若点()111,P y -，()222,P y -，()331,P y ，都在函数223y x x =-+的图象上，则（）A ．213y y y << B ．123y y y << C ．213y y y >>D ．123y y y >>9．已知二次函数y=x 2﹣bx+2（﹣2≤b≤2），当b 从﹣2逐渐增加到2的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动10．如图，抛物线与x 轴交于点()1,0-和()3,0，与y 轴交于点()0,3-则此抛物线对此函数的表达式为（）A ．223y x x =++B ．223y x x =--C ．223y x x =-+D ．223y x x =+- 11．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x 2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是__________。

人教版九年级数学上册《第22章二次函数实际应用》测试题(附答案)

人教版九年级数学上册《第22章二次函数实际应用》测试题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________主题分类：主题一：拱桥问题主题二：折叠立体图形问题主题三：围墙问题主题四:投球问题主题五：销售利润问题主题一：拱桥问题1. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时单个小孔的水面宽度为4米若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）3米 2米 13 D．7米主题二：折叠立体图形问题2. 在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时请直接写出此时点M 的坐标．主题三：围墙问题3. 如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．4. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中3m AB =，4m BC =取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E 若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED 的顶点()0,4E ，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR 若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为BK ，求BK 的长．主题四:投球问题5. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m 的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时球达到最高点，此时球离地面3m ．已知球门高OB 为2.44m ，现以O 为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O 正上方2.25m 处？ 6. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点(6,1)A 处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线21:(3)2C y a x =-+的一部分，淇淇恰在点(0)B c ，处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线221:188n C y x x c =-+++的一部分．(1)写出1C 的最高点坐标，并求a ，c 的值；(2)若嘉嘉在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n 的整数值．7. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m OA =，2m CA =击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+；若选择吊球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．(1)求点P 的坐标和a 的值．(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．8. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA 为28.75cm 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(),x y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是__________cm；①求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图①．乒乓球台长OB 为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．专题五：销售利润问题9.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．10. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 11. 某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．12. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 13. 某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次 A 型水杯（个） B 型水杯（个）总费用（元）一100 200 8000 二 200 300 13000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？A B A B A B 100kg A 2kg B 4kg x x w w x a a（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？14.红星公司销售一种成本为40元/件的产品若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．参考答案1.【答案】B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=3 2设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+3 2∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32，∴a=-350∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x 2+32，设点A（b，0），则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2 ∵EF=14，∴点E 的横坐标为-7，∴点E 坐标为（-7，-3625）， ∴-3625=m（x﹣b）2 ∴x 1615m 2615m -615m -615m-925 ∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2 ∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时y=-92，∴-92=-925（x﹣b）2，∴x 15222=-522+b 5225222（米），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2.【答案】(1)223y x x =--+；(2)点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；PD DB 的最大值为916；(3)点M 的坐标为：()32,2--- ()32,2-+ 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）过点P 作PQ x ∥轴，交AC 于点Q ，求出直线AC 的解析式为3y x ，设点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点()222,23Q t t t t ----+得出2223PQ t t t t t =---=--根据PQ x ∥轴得出PD PQ BD AB =根据21394216PD t BD ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，求出点P 的坐标和最大值即可；（3）证明MPC PCM ∠=∠得出PM CM =，设(),3M m m +，()2,23P m m m --+得出()2222332CM m m m =++-=，()()()222222223333PM m m m m m m m =--+--=--=+根据22PM CM =得出()22223m m m =+，求出0m =或32m =--或32m =-+根据当0m =时点P 、M 、C 、M '四点重合，不存在PCM △舍去，求出点M 的坐标为()32,2--- ()32,2-+．【详解】（1）解：把()()3,0,1,0A B -，()0,3C 代入2y ax bx c =++得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为223y x x =--+．（2）解：过点P 作PQ x ∥轴，交AC 于点Q ，如图所示：设直线AC 的解析式为y kx b =+，把()30A -,，()0,3C 代入得： 303k b b -+=⎧⎨=⎩解得：13k b =⎧⎨=⎩①直线AC 的解析式为3y x设点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点()222,23Q t t t t ----+ ①点P 在直线AC 上方的抛物线上①2223PQ t t t t t =---=--①PQ x ∥轴①~PQD BAD①PD PQ BD AB= ①()134AB =--=①234PD t t BD --=()2134t t =-+ 21394216t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ①当32t =-时PD BD有最大值916 此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）解：根据折叠可知PM PM '= CM CM '= PCM PCM '∠=∠ ①PM x ⊥轴①PM CM '∥①MPC PCM '∠=∠①MPC PCM ∠=∠①PM CM =设(),3M m m + ()2,23P m m m --+ ()2222332CM m m m =++-=()()()222222223333PM m m m m m m m =--+--=--=+ ①PM CM =①22PM CM =①()22223m m m =+整理得：()22320m m ⎡⎤+-=⎣⎦ ①20m =或()2320m +-=解得：0m =或32m =--或32m =-+①当0m =时点P 、M 、C 、M '四点重合，不存在PCM △ ①0m ≠①点M 的坐标为()32,2--- ()32,2-+．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 3.【答案】（1）见解析；（2），见解析．【分析】（1）由题意易得AM ＝2ME，故可直接得证；（2）由（1）及题意得2AB +GH +3BC ＝100，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2即可得出函数关系式．【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN 与矩形EBCF 面积相等，∴ME ＝BE ，AM ＝GH ． ∵四块矩形花圃的面积相等，即S 矩形AMDND ＝2S 矩形MEFN ，∴AM ＝2ME ，∴AE ＝3BE ；（2）∵篱笆总长为100m ，∴2AB +GH +3BC ＝100，即，∴ 设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，则 ∵，∴解得 ∴．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可．4.【答案】(1)2144y x =-+；(2)0.5m ；(3)97m 12【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为24y ax =+，求出A 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出 3.75y =时对应的自变量的值，得到FN 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）求出直线AC 的解析式，进而设出过点K 的光线解析式为34y x m =-+，利用光线与抛物线相切，求出2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x x 1231002AB AB BC ++=6405AB BC =-266404055y BC AB x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+ ⎪⎝⎭6405AB BC =-402035EB x =-＞1003x ＜2610040053⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭y x x xm 的值，进而求出K 点坐标，即可得出BK 的长．【详解】（1）解：①抛物线AED 的顶点()0,4E 设抛物线的解析式为24y ax =+①四边形ABCD 为矩形，OE 为BC 的中垂线 ①4m AD BC == 2m OB = ①3m AB =①点()2,3A -，代入24y ax =+，得：344a =+①14a =-①抛物线的解析式为2144y x =-+；（2）①四边形LFGT ，四边形SMNR 均为正方形0.75m FL NR == ①0.75m MG FN FL NR ====延长LF 交BC 于点H ，延长RN 交BC 于点J ，则四边形FHJN ，四边形ABFH 均为矩形①3m,FH AB FN HJ === ① 3.75m HL HF FL =+=①2144y x =-+，当 3.75y =时213.7544x =-+解得：1x =±①()1,0H - ()1,0J ①2m FN HJ ==①0.5m GM FN FG MN =--=；（3）①4m BC =，OE 垂直平分BC ①2m OB OC == ①()()2,0,2,0B C -设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则：2023k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①3342y x =-+①太阳光为平行光设过点K 平行于AC 的光线的解析式为34y x m =-+ 由题意，得：34y x m =-+与抛物线相切联立214434y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得：234160x x m -+-=则：()()2344160m ∆=---=解得：7316m =； ①373416y x =-+，当0y =时7312x =①73,012K ⎛⎫ ⎪⎝⎭①()2,0B - ①73972m 1212BK =+=．【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 5.【答案】(1)()212312y x =--+，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A 点坐标求出a 的值即可得到函数表达式，再把0x =代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点()0,2.25代入即可求解．【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为()2,3 设抛物线解析式为()223y a x =-+ 把点()8,0A 代入，得3630a +=12①抛物线的函数表达式为()212312y x =--+ 当0x =时82.443y => ①球不能射进球门；（2）设小明带球向正后方移动m 米，则移动后的抛物线为()212312y x m =---+ 把点()0,2.25代入得()212.252312m =---+ 解得15m =-（舍去），21m =①当时他应该带球向正后方移动1米射门．【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．6.【答案】(1)1C 的最高点坐标为()32，，19a =-和1c =；(2)符合条件的n 的整数值为4和5 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点(6,1)A 在抛物线上，利用待定系数法即可求得a 的值；令0x =即可求得c 的值；（2）求得点A 的坐标范围为()()5171，，，求得n 的取值范围，即可求解．【详解】（1）解：①抛物线21:(3)2C y a x =-+①1C 的最高点坐标为()32，①点(6,1)A 在抛物线21:(3)2C y a x =-+上①21(63)2a =-+解得：19a =-①抛物线1C 的解析式为21(3)29y x =--+，令0x =，则21(03)219c =--+=；（2）解：①到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包①点A 的坐标范围为()()5171，，当经过()51，时211551188n=-⨯+⨯++ 解得175n =；当经过()71，时211771188n=-⨯+⨯++7①174157n ≤≤ ①符合条件的n 的整数值为4和5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．7.【答案】(1)()0,2.8P 0.4a =-；(2)选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近【分析】（1）在一次函数上0.4 2.8y x =-+，令0x =，可求得()0,2.8P ，再代入()21 3.2y a x =-+即可求得a 的值；（2）由题意可知5m OC =，令0y =，分别求得0.4 2.80x -+=，()20.41 3.20x --+=即可求得落地点到O 点的距离，即可判断谁更近．【详解】（1）解：在一次函数0.4 2.8y x =-+ 令0x =时 2.8y = ①()0,2.8P将()0,2.8P 代入()21 3.2y a x =-+中，可得： 3.2 2.8a +=解得：0.4a =-；（2）①3m OA = 2m CA = ①5m OC =选择扣球，则令0y =，即：0.4 2.80x -+=解得：7x = 即：落地点距离点O 距离为7m ①落地点到C 点的距离为752m -=选择吊球，则令0y =，即：()20.41 3.20x --+=解得：221x =±+（负值舍去）即：落地点距离点O 距离为()221m +①落地点到C 点的距离为()()5221422m --=- ①4222-<①选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．8.【答案】(1)见解析；(2)①49 230；①()20.00259049y x =--+；(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为64.39cm【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点根据表格数据，可得当0y =时230=x ； ①待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-根据题意当274x =时0y =，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示（2）①观察表格数据，可知当50x =和130x =时函数值相等，则对称轴为直线90x =，顶点坐标为()90,49又抛物线开口向下，可得最高点时与球台之间的距离是49cm 当0y =时230=x①乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是230cm ；故答案为：49；230．①设抛物线解析式为()29049y a x =-+，将()230,0代入得()202309049a =-+解得：0.0025a =-①抛物线解析式为()20.00259049y x =--+；（3）①当28.75OA =时抛物线的解析式为()20.00259049y x =--+设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为h ，则平移距离为28.75h -()cm ①平移后的抛物线的解析式为()20.0025904928.75y x h =--++-依题意，当274x =时0y =即()20.0025274904928.750h --++-= 解得：64.39h =．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值为64.39cm ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 9.【答案】1264【分析】根据题意，总利润=A 快餐的总利润＋B 快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设A 种快餐的总利润为1W ，B 种快餐的总利润为2W ，两种快餐的总利润为W ，设A 快餐的份数为x 份，则B 种快餐的份数为()120x -份．据题意：2140112122032222x x W x x x x -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-+⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22801201=812072240022x W x x x --⎡⎤+-=-+-⎢⎥⎣⎦∴()22121042400=521264W W W x x x =+=-+---+∵10-< ∴当52x =的时候，W 取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．10.【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时每天的最大利润为16000元；当时每天的最大利润为元．【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元．依题意，得．解得，，．经检验，是原方程的根． 210140033000=-+-w x x 70a ≥6070a <<()210140033000a a -+-B m A 1.5m A B 100kg 210140033000=-+-w x x B m A 1.5m 9009001001.5m m-=3m = 1.5 4.5m =3m =∴每盒产品的成本为：（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）；（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下∴当时a =70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；当时每天的最大利润为元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．11.【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤ 【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解；（2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2144k b =-⎧⎨=⎩，∴2144m x =-+；（2）当120x ≤≤时销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+ 当16x =时销售利润最大为1568元；当2040x <≤时销售利润20302160W my m x =-=-+当21x =时销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-∵120x ≤≤时'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 12.【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43 【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．4.5243930⨯+⨯+=()()305001060w x x =---⎡⎤⎣⎦210140033000x x =-+-210140033000=-+-w x x w 70a ≥6070a <<()210140033000a a -+-【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++ 当2x =时2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元；（2）()225040090005049800W x x x =-++=--+ ∵500-<，∴当4x =时W 取得最大值，最大值为9800 ∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+解得：15=x 23x = ∵要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．13.【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：2030x y =⎧⎨=⎩∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w 根据题意可得：()()4430205w z z =--+化简得：2550280w z z =-++，当()505225b z a =-=-=⨯-时255505280405max w =-⨯+⨯+= ∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①②将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+ 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变则40b -=，得4b =，当4b =时3000W =∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用． 14.【答案】（1）5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当月销售单价是70元/件时月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【分析】（1）分4050x ≤≤和50x >两种情况根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件”即可得函数关系式，再根据0y >求出x 的取值范围；（2）在（1）的基础上根据“月利润=（月销售单价-成本价）⨯月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为Q 万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得5070x <≤，再根据“月利润=（月销售单价-成本价a -）⨯月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）由题意，当4050x ≤≤时5y = 当50x >时50.1(50)0.110y x x =--=-+0y ≥，0.1100x ∴-+≥解得100x ≤，综上，5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）设该产品的月销售利润为w 万元 ①当4050x ≤≤时5(40)5200w x x =-=-第 21 页共 21页由一次函数的性质可知，在4050x ≤≤内，w 随x 的增大而增大则当50x =时w 取得最大值，最大值为55020050⨯-=；②当50100x <≤时2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+由二次函数的性质可知，当70x =时w 取得最大值，最大值为90因为9050>所以当月销售单价是70元/件时月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元） 5070x ∴<≤，设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元由题意得：，整理得：，在内，随的增大而增大则当时取得最大值，最大值为因此有解得．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键． (40)(0.110)Q x a x =---+221400.1()390240a a Q x a +=--+-+140702a +>∴5070x <≤Q x 70x =Q (7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-90378a -=4a =。

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题6(附答案)

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题6（附答案）1．发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y=ax 2+bx ，若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？( ) A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒2．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y (单位：m )与水平距离x (单位：m )近似满足函数关系2y ax bx c =++(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（） x (单位：m) 024y (单位：m) 2.253.453.05 A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m3．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为2(0)y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（） A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒4．在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高()ym 与水平距离()x m 之间的函数关系式为20.2 1.6 1.8y x x =-++，则此运动员的成绩是（） A ．10mB ．4mC ．5mD ．9m5．一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( ) A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米6．如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A ．h=﹣316t 2B ．y=﹣316t 2+t C ．h=﹣18t 2+t+1 D ．h=-13t 2+2t+1 7．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-112(x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（）A ．3mB ．4mC ．8mD ．10m8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y(米)与小球运动的时间x(秒)之间的关系式为()2y ax bx c a 0.=++≠若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是( ) A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒9．如图所示的是跳水运动员10m 跳台跳水的运动轨迹，运动员从10m 高A 处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点M 离墙1m ，离水面403m ，则运动员落水点B 离墙的距离OB 是（）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m10．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h ＝﹣5t 2+v 0t 表示，其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间，v 0（m /s ）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（） A ．5m /sB ．10m /sC ．20m /sD ．40m /s11．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为__________s ． 12．小明推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为y=﹣21(4)12x -+3，则小明推铅球的成绩是 m ．13．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的距离是______．此时铅球行进高度是______．14．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有这样的关系式：h ＝vt ﹣12gt 2，其中h 是上升高度，v 是初速，g 是重力加速度（为方便起见，本题目中g 取10m /s 2），t 是抛出后所经历的时间．如果将物体以v ＝25m /s 的速度向上抛，当t ＝_____s 时，物体上升到距离最高点11.25m 处？15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式是()230506h t tt =-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同.16．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4，3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为_____．17．足球从地面踢出后，在空中飞行时离地面的高度()h m 与运动时间()t s 的关系可近似地表示为29.8h t t =-+，则该足球在空中飞行的时间为__________s ．18．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）的关系式是h ＝30t ﹣5t 2，小球运动中的最大高度是_____米． 19．校运会上，一名男生推铅球，出手点A 距地面53m ，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m 时，达到最大高度3m ，那么该名男生推铅球的成绩是_____m ．20．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________.21．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式．（2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）．22．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间近似满足函数关系20)y ax x c a =++≠（（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．23．在某场足球比赛中，球员甲在球门正前方点O 处起脚射门，在不受阻挡的情况下，足球沿如图所示的抛物线飞向球门中心线，当足球飞行的水平距离为2 m 时，高度为5m 3，落地点A 距O 点12 m ．已知点O 距球门9 m ，球门的横梁高为2.44 m ．（1）飞行的足球能否射入球门？通过计算说明理由；（2）若守门员乙站在球门正前方2 m 处，他跳起时能摸到的最大高度为2.52 m ，他能阻止此次射门吗？并写明理由．24．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球的运动时间t (单位：s )之间的关系式是2305h t t =-(06t ≤≤)．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？25．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m 处跳起投篮，球运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足解析式2y ax x c =++，当球运行的水平距离为1．5m 时，球离地面高度为3．3m ，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为3．05m ．（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1．8m ，这次跳投时，球在他头顶上方0．25m 处出手，问球出手时，他跳离地面多高？26．如图所示，以40/m s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系式.2205h t t =-(0)t ≥解答以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ?如能，需要飞行多少时间？（2）球飞行到最高点时的高度是多少m ？27．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图．当球离抛出地的水平距离为30m 时，达到最大高度10m ．（1）问：球被抛出多远？并求出该抛物线的解析式．（2）当球的高度为509m 时，球离抛出地的水平距离是多少？28．某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图中所建坐标系，求出抛物线的表达式．29．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y(m)与它的飞行时间x(s)满足二次函数关系，y 与x 的几组对应值如下表所示：x(s) 0 0.5 1 1.5 2 …y(m) 0 8.75 15 18.75 20 …(Ⅰ)求y关于x的函数解析式(不要求写x的取值范围)；(Ⅱ)问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由.30．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）0 0.5 1 1.5 2 …h（m）0 8.75 15 18.75 20 …（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．参考答案1．B 【解析】【分析】根据题意，x=7时与x=14时y 值相等，因此得出关于a 与b 的关系式，最后代入到2bx a=-中求出x 的值进一步判断即可. 【详解】由题意得：当x=7时，y=49a +7b ，当x=14时，y=196a +14b ， ∵高度相等， ∴49a +7b=196a +14b ， ∴b=-21a ，∵抛物线对称轴为：2b x a=-，即：10.5x =，根据抛物线的对称性以及开口方向， ∴当10.5x =时，y 最大， ∵10与10.5相差最小， ∴四个选项中，第10秒最高，故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．C 【解析】【分析】用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案. 【详解】将(0,2.25),(2,3.45),(4,3.05)代入2y ax bx c =++中得2.25423.45164 3.05c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 2.250.21c a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴220.2 2.250.25( 2.5) 3.5y xx x =-++=--+∵0.250-< ∴当 2.5x =时，max 3.5y =故选C 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 3．C 【解析】【分析】根据二次函数图像的对称性，求出对称轴，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴为：61711.52x +==秒， ∵第12秒距离对称轴最近，∴上述时间中，第12秒时炮弹高度最高；故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的对称性进行解题. 4．D 【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y ＝0，把实际问题可理解为当y ＝0时，即20.2 1.6 1.80y x x =-++=，求x 的值即可．在实际问题中，注意负值舍去．【详解】解：由题意知，当y ＝0时，20.2 1.6 1.80x x -++=，整理，得：2890x x --=，解得：1219x x =-=，，由于负值不符合题意，故该运动员的成绩是9m ，故答案选：D ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y ＝0，测量运动员成绩，也就是求x 的值，借助二次函数解决实际问题． 5．C 【解析】试题解析：∵高度h 和飞行时间t 满足函数关系式：h=-5（t-1）2+6， ∴当t=1时，小球距离地面高度最大， ∴h=-5×（1-1）2+6=6米，故选C ．考点：二次函数的应用． 6．C 【解析】【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是(4,3)，把抛物线经过的点(0,1)，代入二次函数的顶点坐标式列出方程，解出系数则可. 【详解】根据题意，设二次函数的表达式为()243h a t =-+，抛物线过(0,1)，即代入二次函数解得18a =-，这个二次函数的表达式为()221143188h t t t =--+=-++，故C 选项是正确答案. 【点睛】本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，掌握方程的解法等知识是解决本题的关键. 7．D【解析】【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x 的值即可得到成绩. 【详解】由题意得，当y=0时，21(4)3=012--+x ，解得：110x =，22x =-（舍去）故选D. 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解当铅球高度为0时，x 的值即为铅球飞行的距离，是解决本题的关键. 8．B 【解析】【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y 值越大，即可解答本题．【详解】由题意可得：当x 7142+==10.5时，y 取得最大值． ∵二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y 值越大，∴ t =10时，y 取得最大值．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9．B 【解析】【分析】由题意可得到抛物线的顶点坐标（1，403），因此可设抛物线顶点式()24013=-+y a x ，抛物线与y 轴的交点为A （0,10），代入顶点式可求出抛物线，再求出抛物线与x 轴的交点，即可求出OB.解：由题意，设抛物线解析式为()24013=-+y a x ，代入A （0,10）得， 10=()240013-+a ，解得10=3-a ，所以抛物线解析式为()21040133=--+y x ，当y=0时，()210401=033--+x ，解得1=1-x ，2=3x .因为B 点在x 轴正半轴，故B 点坐标为（3,0）所以OB=3，选B.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，并运用抛物线的性质解决实际问题，根据题意设出合适的解析式是解题的关键.10．C【解析】【分析】因为-5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v 0．【详解】解：h=-5t 2+v 0•t ，其对称轴为t=010V ，当t=010V 时，h 最大=-5×（010V ）2+v 0•010V =20，解得：v 0=20，v 0=-20（不合题意舍去），故选C ．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，关键是利用当对称轴为t=-010V 时h 将取到最大值． 11．4根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．则t=1205-⨯-=4s ，故答案为4．12．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】解：令函数式y=﹣21(4)12x -+3中，y=0， 0=﹣21(4)12x -+3，解得x 1=10，x 2=﹣2（舍去）．即铅球推出的距离是10m ．故答案为10．考点：二次函数的应用．13．10m 0m【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】解：令函数式21251233y x x =-++中，y=0，即212501233x x -++=，解得x 1=10，x 2=−2(舍去)，即铅球推出的距离是10m,此时铅球行进高度是0m.故答案为10m;0m.．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意取函数值为0，进而得出自变量的值是解题关键．14．0.5或4.5 【解析】【分析】根据关系式：h＝vt﹣12gt2，列出一元二次方程求解．【详解】解：根据题意，可得出的方程为：11.25＝25t﹣5t2，∴t2﹣5t+2.25＝0．解得：t1＝0.5，t2＝4.5．故答案为：0.5或4.5．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，根据所给关系式直接代入数据，解方程即可，此题属于基础题目，易于掌握．15．2.5【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同．【详解】解：∵h=30t-5t2=-5（t-3）2+45，∴该函数的对称轴是直线t=3，∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，∴第二个小球抛出3-0.5=2.5秒时，两个小球在空中的高度相同，故答案为：2.5．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．y＝-132（x﹣4）2+3【解析】【分析】根据二次函数的顶点式即可求出抛物线的解析式．解：根据题意，得设抛物线对应的函数式为y ＝a （x ﹣4）2+3把点（0，52）代入得： 16a+3＝52解得a ＝﹣132， ∴抛物线对应的函数式为y ＝﹣132（x ﹣4）2+3 故答案为：y ＝﹣132（x ﹣4）2+3．【点睛】本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，同时还考查了方程的解法等知识，难度不大．17．9.8【解析】【分析】求当t=0时函数值，即与x 轴的两个交点，两个交点之间的距离即足球在空中飞行的时间.【详解】解：当t=0时，29.80t t -+=(9.8)0t t --=解得：120;9.8t t ==∴足球在空中的飞行时间为9.8s故答案为：9.8【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想球解题，求抛物线与x 轴的交点是本题的解题关键18．45【解析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h ＝30t ﹣5t 2的顶点坐标即可．【详解】解：h ＝﹣5t 2+30t＝﹣5（t 2﹣6t +9）+45＝﹣5（t ﹣3）2+45，∵a ＝﹣5＜0，∴图象的开口向下，有最大值，当t ＝3时，h 最大值＝45．故答案为：45．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．19．10【解析】【分析】把（0，53）代入y=a （x-4）2+3，求出a 的值即可，再求出抛物线与x 轴的交点即可解决问题；【详解】设二次函数的解析式为y=a （x-4）2+3，把（0，53）代入y=a （x-4）2+3，解得，a=-112，则二次函数的解析式为：y=-112（x-4）2+3=-22531312x x ++；令y=0得到：-22531312x x ++=0，解得，x 1=-2（舍去），x 2=10，则铅球推出的距离为10m ．故答案为10．【点睛】此题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．20．4s【解析】【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．【详解】解：252012h t t =++ =52-（t-4）2+41， ∵52-＜0， ∴这个二次函数图象开口向下，∴当t=4时，升到最高点，∴从点火升空到引爆需要的时间为4s ．故答案为：4s ．【点睛】本题考查了二次函数解析式的相互转化，以及二次函数的性质，二次函数的表达式有三种形式，一般式，顶点式，交点式．要求最高（低）点，或者最大（小）值，需要先写成顶点式．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h=t2+20t+1252012h t t =++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为21．（1）y ＝﹣112（x ﹣4）2+3；（2）能射中球门．【解析】【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当x ＝0时，抛物线的函数值，与2.44米进行比较即可判断．【详解】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y ＝a （x ﹣4）2+3，把（10，0）代入得36a+3＝0，解得a ＝-112，则抛物线是y ＝﹣112（x ﹣4）2+3；（2）当x ＝0时，y ＝-112×16+3＝3﹣43＝53＜2.44米．故能射中球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．22．（1）213.22y x x =-++（2）水流喷出的最大高度为2米【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系,待定系数法解题,（2）求出顶点坐标即可.【详解】解：（1）由题意可得，抛物线经过（0，1.5）和（3，0）， 1.5930c a c =⎧⎨⨯++=⎩解得：a=-0.5,c=1.5,即函数表达式为y=21322x x -++. （2）解：221311+2.222y x x x =-++=--（） ∴当x=1时，y 取得最大值，此时y=2.答：水流喷出的最大高度为2米．本题考查了二次函数的解析式的求法,顶点坐标的应用,中等难度,建立平面直角坐标系是解题关键.23．（1）能射入球门．理由见解析；（2）不能阻止．理由见解析.【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠，将()5212,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入求解析式，再将9x =代入即可判断；（2）根据“守门员乙站在球门正前方2m 处”可知此时x=7，将其代入解析式即可判断.【详解】解：（1）能射入球门.设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠ 将()5212,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入求解可得：抛物线解析式为2112y x x =-+ 当9x =时，2712y =- ∵27 2.4412<， ∴能射入球门．（2）不能阻止．∵守门员乙站在球门正前方2 m 处，∴7x =当7x =时，3512y =∵35 2.5212>， ∴不能阻止．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，能够求出抛物线解析式是解题的关键. 24．小球运动3秒时，最大高度是45m ．【分析】首先将二次函数转换成顶点式，然后即可求出自变量和函数值的最大值.【详解】2305h t t =-25(3)45t =--+06t ≤≤∴当3t =时，h 最大45=．答：小球运动3秒时，小球最高，最大高度是45m ．【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握，即可解题.25．（1）当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）球出手时，他跳离地面0.2m ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）令0x =时，则 2.25y =，进而即可求出答案．【详解】（1）依题意得：抛物线2y ax x c =++经过点(1.5,3.3)和(4,3.05)，∴221.5 1.5 3.344 3.05a c a c ⎧⨯++=⎨⨯++=⎩，解得：0.22.25a c =-⎧⎨=⎩， ∴220.2 2.250.2( 2.5) 3.5y x x x =-++=--+，∴当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）∵0x =时， 2.25y =，∴2.250.25 1.80.2--=m ，即球出手时，他跳离地面0.2m ．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．26．（1）能，1或3；（2）20m【解析】【分析】（1）当h=15米时，15=20t-5t 2，解方程即可解答；（2）求出当2205h t t =-的最大值即可.【详解】解；（1）解方程：215205t t =-2430t t -+=，解得：121,3t t ==，需要飞行1s 或3s ；（2）222055(t 2)20h t t =-=--+，当2t =时，h 取最大值20，∴球飞行的最大高度是20m .【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 27．（1）球被抛出60m ，该抛物线的解析式为y ＝﹣190x 2+23x ；（2）球离抛出地的水平距离是10m 或50m ．【解析】【分析】（1）根据已知条件设抛物线顶点式解析式即可求解；（2）根据（1）中求得的解析式，把球的高度为509m 代入，即可求出球离抛出地的水平距离．【详解】解：（1）根据题意，得设抛物线的解析式为2(30)10y a x =-+，把(0,0)代入得190a =-．所以抛物线解析式为22112(30)1090903y x x x =--+=+．当0y =时，10x =，260x =．或者：因为抛物线对称轴为30x =，所以抛物线与x 轴的交点为(0,0)，(60,0)答：球被抛出60m ．该抛物线的解析式为212903y x x =-+．（2）当509y =时，2501(30)10990x =--+，解得150x =，210x =．答：球离抛出地的水平距离是10m 或50m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决问题．28．y = -0.4x 2+4【解析】【分析】根据题意设抛物线的表达式为y=ax 2+4 (0a ≠)，代入（-2,2.4），即可求出a ．【详解】解：设y=ax 2+4 (0a ≠)∵ 图象经过（-2,2.4）∴ 4a+4=2.4a= -0.4∴ 表达式为y= -0.4x 2+4【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型.29．(Ⅰ) y ＝﹣5x 2+20x ；(Ⅱ)小球的飞行高度不能达到22m ，理由见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝ax 2+bx(a≠0)，然后再根据表格代入x ＝1时，y ＝15；x ＝2时，y ＝20可得关于a 、b 的方程组，再解即可得到a 、b 的值，进而可得函数解析式； (Ⅱ)把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案.【详解】(Ⅰ)∵x＝0时，y＝0，∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx(a≠0)，∵x＝1时，y＝15；x＝2时，y＝20，∴15 4220 a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得520ab=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x2+20x；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：y＝﹣5x2+20x＝﹣5(x﹣2)2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.30．（1）h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m．【解析】【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【详解】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴a15{4220ba b+=+=，解得5 {20ab=-=，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．。

完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)

完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)1.抛物线$y=-3x^2+2x-1$与坐标轴的交点情况是(A)没有交点。

(C)有且只有两个交点。

(D)有且只有三个交点。

2.已知直线$y=x$与二次函数$y=ax^2-2x-1$的一个交点的横坐标为1，则$a$的值为(C)3.3.二次函数$y=x^2-4x+3$的图象交$x$轴于$A$、$B$两点，交$y$轴于点$C$，则$\triangle ABC$的面积为(B)4.4.函数$y=ax^2+bx+c$中，若$a>0$，$b<0$，$c<0$，则这个函数图象与$x$轴的交点情况是(D)一个在$x$轴的正半轴，另一个在$x$轴的负半轴。

5.已知$(2,5)$、$(4,5)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是(B)$x=3$。

6.无法正确反映函数$y=ax+b$图象的选项已删除。

7.二次函数$y=2x^2-4x+5$的最小值是$4.5$。

8.某二次函数的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$，$(4,0)$，且它的形状与$y=-x$形状相同。

则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{25}(x-1)(x-4)$。

9.若函数$y=-x+4$的函数值$y>0$，则自变量$x$的取值范围是$(-\infty,4)$。

10.某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个） 80 100 110 100 80 60.为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为120元。

11.函数$y=ax^2-(a-3)x+1$的图象与$x$轴只有一个交点，那么$a$的值和交点坐标分别为$(a,0)$和$(\frac{a-3}{2},0)$。

12.某涵洞是一抛物线形，它的截面如图3所示，现测得水面宽$AB=1.6m$，涵洞顶点$O$到水面的距离为$2.4m$，在图中的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的解析式为$y=-\frac{5}{6}(x-2)^2+2.4$。

人教版初中数学二次函数基础测试题附答案

【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m，则新数为，
设新数与原数的差为y
则，
易得，当m＝0时，y＝0，则A错误
∵
当时，y有最大值．则B错误，D正确．
当y＝21时，＝21
解得＝30，＝70，则C错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．
8．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）
A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（，）
B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D．当m<0时，函数在x> 时，y随x的增大而减小
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y与t的函数关系式.当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项．
【详解】
解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，
AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P点由B到A， ,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;
当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时， , y是t的一次函数且最大值= ;
当4≤t≤6时，即P点从D到C时， y是t的二次函数
故符合y与t的函数图象是B．

人教版初中数学二次函数基础测试题附答案解析

人教版初中数学二次函数基础测试题附答案解析一、选择题1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．2．如图，二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a-，其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案.【详解】由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2b a＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣1a ，把﹣1a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0，即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()200++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题可知22b a-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0，故可得1640a b c ++=，0c =，故可得4,0a b c -==①因为0c =，故①正确；②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确；③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确；④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确；⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误；故选：D.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.4．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】A【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法．【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度．故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．5．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．【详解】∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a=1 ∴b<0∴abc ＞0；①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，所以②不正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴244ac b a =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确；∵抛物线与直线y=m 有一个公共点，∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选:C ．【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．6．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5，y1）、N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0，由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a -＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c ，∴9a ﹣6a+c ＝0，∴3a+c ＝0，故②正确；③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）：∴y 1＝y 2，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．8．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；③abc=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；⑤c−a=1−a ＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．9．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ， ∴ ,HF HE EF AE AB BE == G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．10．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜0；③﹣43≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a - =1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣43≤a ≤﹣1，故③正确； ∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误．综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．11．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．12．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m ＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m ﹣1）＜0∴m ＜﹣2∴函数y ＝的图象在第二、第四象限，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m 的取值范围是本题的关键．13．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．【详解】解：214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，1100x y =⎧⎨=⎩，22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72∶7=1∶2，∴A 正确；小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；2142y x x =- 21(4)82x =--+，则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-，整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．14．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<- 【答案】D【解析】【分析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1.将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意. 综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线；当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．16．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <， ∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．17．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿折线A →C →B 运动，点Q 从点A 出发以vcm /s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sin B ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（）A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 【答案】A【解析】【分析】①根据题意列出y ＝12AP •AQ •sin A ，即可解答 ②根据图像可知PQ 同时到达B ，则AB ＝5，AC +CB ＝10，再代入即可③把sin B ＝13，代入解析式即可④根据题意可知当x＝﹣522ba=时，y最大＝2512【详解】①当点P在AC上运动时，y＝12AP•AQ•sin A＝12×2x•vx＝vx2，当x＝1，y＝12时，得v＝1，故此选项正确；②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，当P在BC上时y＝12•x•（10﹣2x）•sin B，当x＝4，y＝43时，代入解得sin B＝13，故此选项正确；③∵sin B＝13，∴当P在BC上时y＝12•x（10﹣2x）×13＝﹣13x2+53x，∴图象C2段的函数表达式为y＝﹣13x2+53x，故此选项不正确；④∵y＝﹣13x2+53x，∴当x＝﹣522ba=时，y最大＝2512，故此选项不正确；故选A．【点睛】此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a <又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ，故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->，故②正确；③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< (1)当1x =时，0y <,即0a b c ++< (2)（1）+（2）×2得，630a c +<，即20a c +<，又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+>所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22().a c b +<故④正确，综上可知，正确的结论有2个.故选B ．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．解：Q 抛物线开口向下，0a ∴<，Q 对称轴12b x a=-=， 0b ∴>，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；Q 抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故②正确；Q 对称轴12b x a=-=， 2a b ∴=-， 20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bxy bx a⎧=+⎨=-⎩得ax2＝−a，∵a≠0∴x2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。

[9549528]1.4 二次函数的应用同步练习(含解析)

初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用同步练习一、单选题1.二次函数的图象与x轴交点的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个2.如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）A. h＞B. 0＜h≤C. h＞2D. 0＜h＜24.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（）人A. 56B. 55C. 54D. 535.已知一次函数，二次函数，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为和，则下列表述正确的是（）A. B. C. D. ，的大小关系不确定6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A. 20B. 1508C. 1550D. 15587.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A. 米B. 8米C. 10米D. 2米8.实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（）A. b2﹣4ac＞0B. b2﹣4ac≥0C. b2﹣4ac＜0D. b2﹣4ac≤09.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（）A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②③10.二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定11.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米12.如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系13.已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 202114.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交.则下列关于、的大小关系正确的是（）15.当时，二次函数的图象与x轴所截得的线段长度之和为（）A. B. C. D.二、填空题16.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是________m．17.以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2，则t1：t2＝________.18.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元.19.已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．20.如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x 轴上，则不等式的解集为________．下函数关系：，则该球从弹起回到地面需要经过________秒，距离地面的最大高度为________米.22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为________.23.如图，已知直线分别交轴、轴于点、，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为．过点且平行于轴的直线与直线交于点，当时，的值是________．24.如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是________米．25.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0，-3)，与x轴两个交点的横坐标分别为m，n，则a(m2+n2)+b（m+n）的值为________三、计算题26.已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。

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初中数学二次函数的应用基础练习题（附答案详解）1．城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA ）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA 值进行调查，调查发现，DEA 值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA 值y 与时刻t 的关系近似满足函数关系2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，且a ≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t 是（）A ．4.8B ．5C ．5.2D ．5.52．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．43．如图，点A （a ，b ）是抛物线212y x =上一动点，OB ⊥OA 交抛物线于点B （c ，d ）．当点A 在抛物线上运动的过程中（点A 不与坐标原点O 重合），以下结论：①ac 为定值；②ac=﹣bd ；③△AOB 的面积为定值；④直线AB 必过一定点．正确的有（）4．如图，直线y=x+2与y 轴交于点A ，与直线y=﹣x 交于点B ，以AB 为边向右作菱形ABCD ，点C 恰与原点O 重合，抛物线y=（x ﹣h ）2+k 的顶点在直线y=﹣x 上移动．若抛物线与菱形的边AB 、BC 都有公共点，则h 的取值范围是（）A ．﹣2≤h≤B ．﹣2≤h≤1C ．﹣1≤h≤D ．﹣1≤h≤5．抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d≤1，则实数m 的取值范围是（）A ．m≤2或m≥3B ．m≤3或m≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜46．周长8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A ．45B ．83C ．4D ．567．已知二次函数2y x x c =++的图象与x 轴的一个交点为()1,0，则它与x 轴的另一个交点坐标是（）A ．(1, 0)B ．(-1, 0)C ．(2, 0)D ．(-2, 0)8．如图，两条抛物线y 1＝－12x 2＋1，y 2＝－12x 2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )A ．8B ．6C ．10D ．49．已知下列命题：①对顶角相等；②若a <b <0，则1a ＜1b ；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x 2﹣2x 与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．45 10．已知二次函数y=﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ），其中a ＜b ，m 、n （m ＜n ）是方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两个根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是（）A ．a ＜m ＜n ＜bB ．m ＜a ＜b ＜nC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b11．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣232t ．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_____m ． 12．抛物线()y 4x 2=-2与y 轴的交点坐标是________．13．设11()A x y ，、22()B x y ，是抛物线2242y x x =+-上的点，坐标系原点O 位于线段AB 的中点处，则AB 的长为_____．14．若函数2y x 2x k =-++的部分图象如图所示，由图可知，关于x 的方程2x 2x k 0-++=的一根是3，则另一根为________．15．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x （0＜x ＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是_____．16．校运动会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，小明这次试掷的成绩为________，铅球出手时的高度是________． 17．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场，现共有a 米长的篱笆材料，•他设计了两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，•那么选用哪一种方案围成的场地面积较大________（填序号）．18．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张．若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张．以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高___元．19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，制定了促销条件：当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元．（1）若销售商一次订购x（x＞100）个零件，直接写出零件的实际出厂单价y（元）？（2）设销售商一次订购x（x＞100）个零件时，工厂获得的利润为W元（W＞0）．①求出W（元）与x（个）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；并算出销售商一次订购多少个零件时，厂家可获得利润6000元；②厂家为了达到既鼓励销售商订购又保证自己能获取最大利润的目的，重新制定新促销条件：在原有的基础上又增加了限制条件﹣﹣销售商订购的全部零件的实际出厂单价不能低于a（元）．请你利用函数及其图象的性质求出a的值；并写出实行新促销条件时W （元）与x（个）之间的函数关系式及自变量x的取值范围．（工厂出售一个零件利润=实际出厂单价﹣每个零件的成本）20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣22x22与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D．(1)求线段AC的长度；(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+22GE的最小值；(3)将线段AB沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C 的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度．21．如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P 作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．22．某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x元，每月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？23．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，有以下两种围法．（1）如图1，设花圃的宽AB为x米，面积为y米2，求y与x之间的含函数表达式，并确定x的取值范围；（2）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，设花圃的宽AB为a米，面积为S米2，求S与a之间的函数表达式及S的最大值？24．已知抛物线C：y＝ax2﹣2ax+c经过点C(1，2)，与x轴交于A(﹣1，0)、B两点(1)求抛物线C的解析式；(2)如图1，直线y＝34x交抛物线C于S、T两点，M为抛物线C上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME+MF的最大值；(3)如图2，平移抛物线C的顶点到原点得抛物线C1，直线l：y＝kx﹣2k﹣4交抛物线C1于P、Q两点，在抛物线C1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D的坐标．25．如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB＝6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？参考答案1．C【解析】【分析】先用待定系数法求得函数解析式，根据二次函数的性质求得y 取得最大值时x 的值即可得答案．【详解】将（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87）代入解析式得：1640.43255 1.13660.87a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：0.454.7211.25a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴y =-0.45x 2+4.72x -11.25，当x =-()4.7220.45⨯-≈5.244时，y 取得最大值，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 2．D【解析】分析：在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x 轴，y 轴的交点，解答题目的问题．详解：当x=0时，y=3，故柱子OA 的高度为3m ；（1）正确；∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；解方程-x 2+2x+3=0，得x 1=-1，x 2=3，故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．故选：C ．点睛：本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x 轴交点，y 轴交点的实际意义是解决问题的关键．3．C 【解析】分析：过点A 、B 分别作x 轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．AOB 的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB 的解析式，即可判断④是否正确．详解：过A . B 分别作AC ⊥x 轴于C. BD ⊥x 轴于D ，则：AC =b ，OC =−a ，OD =c ，BD =d ；(1)由于OA ⊥OB ,易知△OAC ∽△BOD ，有：,AC OC OD BD = 即,b a c d=- ∴ac =−bd (结论②正确).(2)将点A. B 的坐标代入抛物线的解析式中，有：212b a = …Ⅰ、212d c =…Ⅱ； Ⅰ×Ⅱ,得：221,4bd a c =即221,44ac a c ac -==- (结论①正确). (3)AOB ACO BOD ACDB S S S S =--梯形,11111()()()22222b dc a a b cd bc ad =+----=-, 144116()().22bc bc c b bc -=-⋅=+ 由此可看出,△AOB 的面积不为定值(结论③错误).(4)设直线AB 的解析式为：y =kx +h ，代入A . B 的坐标，得：ak +h =b ...Ⅲ、ck +h =d (Ⅳ)Ⅲ×c −Ⅳ×a，得：221112222a c acbc adh acc ac a--===-=--，∴直线AB与y轴的交点为(0,2)(结论④正确).综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，故选C.点睛：属于二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数关系式，相似三角形的判定与性质，以及图形面积的求法，难点在于对式子的变形，可以将已知的条件列出，通过比较式子之间的联系找出答案.4．A【解析】【分析】【详解】当抛物线经过C且顶点在C右侧时，y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣x,过C(0,0),y=（x﹣h）2-,解得h1=，h2=0.(舍去)当抛物线经过B点时，将B（-2，1）代入y=（x﹣h）2-，解得h1=-2,h2=.(舍去)所以﹣2≤h ≤.故选A.5．B【解析】【分析】把A （4，4）代入抛物线y=ax 2+bx+3得4a+b=14，根据对称轴x=-2b a ，B （2，m ），且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0<d≤1，所以0<|2-(-2b a )|≤1，解得a≥18或a≤-17，把B （2，m ）代入y=ax 2+bx+3得：4a+2b+3=m ，得到a=78-4m ，所以78-4m ≥18或78-4m ≤-18，即可解答．【详解】把A(4,4)代入抛物线y=ax 2+bx+3得：16a+4b+3=4，∴16a+4b=1， ∴4a+b=14， ∵对称轴x=−2b a ,B(2,m)，且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0<d ≤1， ∴0<|2−(−2b a)|≤1 ∴0<|42a b a|≤1， ∴|18a|≤1， ∴a ≥18或a ≤−18，把B(2,m)代入y=ax 2+bx+3得：4a+2b+3=m ，2(2a+b)+3=m ， 2(2a+14−4a)+3=m ， 72−4a=m ， a=78-4m ， ∴78-4m ≥18或78-4m ≤-18， ∴m ≤3或m ≥4.故答案选：B.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.6．B【解析】设窗户的宽是x ，根据题意得S =()832x x - =2348()(04)233x x --+<< ∴当窗户宽是43m 时，面积最大是83m²,故选B. 点睛：根据窗户框的形状可设宽为x ，其高就是8-3x 2，所以窗户面积S =()832x x -，再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。