七年级上册数学专题：有理数中的新定义问题
专题03有理数混合运算的七种常见题型2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂「含答案」
专题03有理数混合运算的七种常见题型题型01与有理数的概念有关的计算【典例分析】【例1-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）1．若a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，那么322ab c d ++= ．【例1-2】（22-23七年级上·山东济南·期中）2．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是1．(1)直接写出a b +、cd 、和m 的值．(2)计算2019()2a b cd m ++-的值．【例1-3】（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）3．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为3．(1)求m a b cd --+的值；(2)求()20232332024a b cd m m+-+-+的值．【变式演练】【变式1-1】（23-24七年级上·重庆黔江·期中）4．若a ，b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 是最大的负整数，则2019cd a b m --+的值是【变式1-2】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）5．已知21x +与()22y -互为相反数，求()201724xy y +-的值．【变式1-3】（23-24七年级上·广东佛山·期中）6．已知a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，c 的绝对值为2，但c 是一个负数，求代数式a b mn c ++-的值．题型02与绝对值和平方的非负性有关的计算【典例分析】【例2-1】（22-23七年级上·江西宜春·期中）7．已知()2230n m -++=，则n m 的值等于 ．【例2-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）8．若320a b -+-=，求a b +的值．【变式演练】【变式2-1】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）9．若120a b -+-=，则22a b +的值为 ．【变式2-2】（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）10．若230m n -++=，求23n m -．【变式2-3】（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）11．已知：()234430x y x y --++-=，求x 和y 的值．题型03与程序有关的计算【典例分析】【例3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）12．如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）A ．1840B ．1921C ．2023D ．2021【例3-2】（23-24七年级上·广东潮州·期中）13．如图是一个程序计算器，现输入6m =-，那么输出的结果是 ．【例3-3】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）14．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）．(1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入78-时．输出的结果是______；(2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数；(3)你认为当输入______时，其输出结果是0．【变式演练】【变式3-1】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）15．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1，这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m 恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式3-2】（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）16．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2k n 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取26=，则：若23n =，则第2022次“F ”运算的结果是 ．【变式3-3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）17．解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．(1)如果小明想的数是2-，则她计算后告诉魔术师结果是 ；(2)如果小玲想了一个数计算后，告诉魔术师结果为 10235，那么魔术师立刻说出小玲想的那个数是 ；(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．若设观众心想的数为 a ， 请你按照魔术师要求的运算过程列代数式并化简，再用一句话解释这个魔术的奥妙．题型04与新定义有关的计算【典例分析】【例4-1】（22-23七年级上·四川成都·期中）18．如果规定符号“*”的意义是()22*()a b a b a b b a a b ì-³=í+<î，比如23*1318=-=，22*33211==+，求()()()3*24*1--+-= ．【例4-2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）19．如果规定符号“*”的意义是22()*()a b a b a b b a a b ì-³=í+<î，比如231318*=-=，232112*3=+=．求下列各式的值：(1)()51*-(2)()33-*【变式演练】【变式4-1】20．定义一种新运算“※”，规则为：()1n m n m n m =--※例：()323231211=-´-=※，则()24-=※ ．【变式4-2】（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）21．用“※”定义一种新运算，规定2a b b a =-※，如213318=-=※，(1)求12※的值；(2)求()()125-※※的值．【变式4-3】（23-24七年级上·广东汕尾·期末）22．定义一种新运算“☆”，规定有理数()()a b a b a b =+-☆，例如()()434343717=+-=´=☆．(1)计算：()35-☆；(2)计算：()53-☆；(3)根据（1）（2）的结果直接写出a b ☆与b a ☆之间的关系．题型05与规律有关的计算【典例分析】【例5-1】（23-24七年级上·河南周口·期末）23．观察下列等式：12345314,3110,3128,3182,31244,+=+=+=+=+=×××，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测202431+的个位数字是 ．【例5-2】（23-24七年级上·宁夏银川·期中）24．观察下列各式：2131312422-==´；2182413933-==´；211535141644-==´；212446152555-==´；…．(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：21 () 1101001010()()-==´；(2)用你发现的规律计算：22211111111232100æöæöæöæö-´-´-´´-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ．【例5-3】（23-24七年级上·广东东莞·期中）25．观察下面的式子，解答下列问题311=，11=；33129+=，123+=；33312336++=，1236++=；33331234100+++=，123410+++=；……(1)3333312345++++=________；(2)3333123n ++++=L _____；(3)利用上面的规律计算：333320212260++++L (4)计算：3333505254100++++=L ___________．【变式演练】【变式5-1】（23-24七年级上·重庆渝中·期末）26．黑板上有按规律排列的20个整数：1，2-，3，4-，5，6-，7，…，18-，19，20-．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同；然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，10-，16-，则添写数字1-．若某次划掉的数是7，15，6-，则添写数字 ；经过9次操作后剩下两个数，若一个数是14-，则另一个数是 ．【变式5-2】（23-24七年级上·湖北随州·期末）27．观察以下等式：第1个等式：21131232-=´´；第2个等式：31182343-=´´；第3个等式：411153454-=´´；第4个等式：511244565-=´´；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第n （n 取正整数）个等式：______（用含n 的等式表示）；(2)利用以上规律计算36111283524210æö+--´ç÷èø的值．【变式5-3】（22-23七年级上·河南信阳·期末）28．观察下面三行数：①2，4-，8，16-，¼②1-，2，4-，8，¼③3，3-，9，15-，¼(1)第①行数按什么规律排列的，请写出来？(2)第②、③行数与第①行数分别对比有什么关系？(3)取每行的第9个数，求这三个数的和？题型06与法则有关的混合计算【典例分析】【例6-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）29．脱式计算，能简算的要简算．(1)6.80.3540824´+¸(2)21120.282025æö+´¸ç÷èø【例6-2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）30．计算：(1)()()34287´-+-¸(2)()()10041524-´+-¸【例6-3】（22-23七年级上·云南昆明·期中）31．计算：(1)()75364-´-¸；(2)()2020331405 3.14πæö-+ç÷èø´-+---．【变式演练】【变式6-1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）32．（1）125(16)(17)-++---；（2）512.584æö-¸´-ç÷èø．【变式6-2】（22-23七年级上·甘肃白银·期中）33．计算：(1)4735127æöæö´-´-ç÷ç÷èøèø；(2)()477216483æö-+¸--´-ç÷èø【变式6-3】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）34．计算：(1)()()()43772743+----+；(2)()511210.5626æöæö+----+ç÷ç÷èøèø；(3)()()111328137æö-´-´´-ç÷èø；(4)()()304 2.50.5-´--¸-；(5)257113681224æöæö+-++-ç÷ç÷èøèø．题型07与运算律有关的混合运算【典例分析】【例7-1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）35．用简便方法计算：(1)357241468æö´-+ç÷èø(2)6664.278.732111111æöæö´--´-´-ç÷ç÷èøèø【例7-2】（22-23七年级上·甘肃白银·期中）36．计算：(1)()()()40281924-----+-；(2)13170.5 3.7542æöæö---+-+ç÷ç÷èøèø；(3)()11176034515æö--+-´-ç÷èø【例7-3】（21-22七年级上·河北石家庄·期中）37．计算(1)()111148636412æö+-+´-ç÷èø(2)311515154432æö´--´+´ç÷èø【变式演练】【变式7-1】（23-24七年级上·广东清远·期中）38．计算：()()301125301125-+++-．【变式7-2】（23-24七年级上·四川眉山·期中）39．计算下列各题：(1)0.8 5.211.6 5.6--+-；(2)3778148127æöæö--´-ç÷ç÷èøèø．【变式7-3】（22-23七年级上·山东济南·期中）40．计算：(1)()()()38226278+-++-+；(2)()157362912æö-+´-ç÷èø1．3【分析】本题考查了相反数与倒数的定义以及代数式求值，正确理解相反数与倒数的定义是解题的关键．只有符号不同的两个数是互为相反数；若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据相反数的定义和倒数的定义，即得1ab =，0c d +=，再代入代数式计算，即得答案．【详解】Q a ，b 互为倒数，1ab \=Q c ，d 互为相反数，c d \+=32232()31203ab c d ab c d \++=++=´+´=．故答案为：3．2．(1)0a b +=，1cd =，1m =±；(2)1或3；【分析】本题考查相反数，倒数及绝对值，根据互为相反的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，绝对值等于1的数有1±直接代入求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是1，∴0a b +=，1cd =，1m =±；（2）解：由（1）得，当1m =时，2019201902111()2a b cd m ´+=++--=，当1m =-时，22019019021(1)213()2a b cd m =++--=+´-+=．3．(1)4或2-(2)8【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值的定义，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，准确理解并灵活运用所学知识是解答本题的关键．（1）根据题意得到0a b +=，1cd =，3m =±，再代入原式进行求解即可；（2）根据题意得到0a b +=，1cd =，3m =±，再代入原式进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得0a b +=，1cd =，3m =±．当3m =时，原式()3014m a b cd -++=-+=；当3m =-时，原式()3012m a b cd -++=--+=-．所以m a b cd --+的值为4或2-；（2）当3m =时，原式()()2023233013198202432027a b +´=-+-=-+-=+；当3m =-时，原式()()()2023233013198202432021a b +´=-+--=-+-=-．所以()20232332024a b cd m m +-+-+的值为8．4．0【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数，相反数和最大负整数的定义，根据乘积为1的两个数互为相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，最大的负整数为负1得到011a b cd m +===-，，，据此代值计算即可．【详解】解：∵a ，b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 是最大的负整数，∴011a b cd m +===-，，，∴()()2019202019191011010cd a c b m m a b d =-++=-+-=----=+，故答案为：0．5．1-【分析】本题主要考查了相反数，非负数的性质，求代数式的值．根据相反数的性质可得()20212x y ++-=，再由非负数的性质，可得1,22x y =-=，然后代入，即可求解．【详解】解：∵21x +与()22y -互为相反数，∴()20212x y ++-=，∴210,20x y +=-=，解得：1,22x y =-=，∴()()20172017124222412xy y éù+-=-´+´-=-êúëû．6．3【分析】本题考查了代数式求值，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解答本题的关键．根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，绝对值为2的负数为2-，得到关系式，代入所求式子中计算即可解题．【详解】解：Q a ，b 互为相反数，0a b \+=，Q m ，n 互为倒数，\1mn =，Q c 的绝对值为2，但c 是一个负数，\2c =-，\()0123a b mn c ++-=+--=．7．9【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出,m n 的值，代入代数式计算即可．【详解】解：∵()2230n m -++=，∴20,30n m -=+=，∴3,2m n =-=，∴()239n m =-=；故答案为：9．8．5【分析】本题考查非负数的性质．根据非负数的性质，可得30a -=，20b -=，求出a 、b 的值，据此即可求解．【详解】解：∵320a b -+-=，∴30a -=，20b -=，∴3a =，2b =，∴325a b +=+=．9．5【分析】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．根据非负数的性质求出a ，b ，代入代数式求值即可．【详解】解：120a b -+-=Q ，10a \-=，20b -=，解得1a =，2b =，22145a b \+=+=，故答案为：5．10．12-【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据一个数的绝对值是非负数可求得m 和n 的值，将其代入即可求得结果．【详解】解：由题可得：20m -=，30n +=，解得：2m =，3n =-，则()2323326612n m -=´--´=--=-．11．1,1x y ==-【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程．根据非负数的性质，可得340430x y x y --=ìí+-=î①②，解出方程组，即可求解．【详解】解：∵()234430x y x y --++-=，∴340430x y x y --=ìí+-=î①②，①②+得：77x =，解得：1x =，将1x =代入①得：34y -=，解得：1y =-，则1,1x y ==-．12．D【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．把1921代入程序中计算，判断即可得到结果．【详解】解：把1921代入得：(1921184050)(1)1311000-+-=-<´，把131-代入得：(131184050)(1)19211000--+-=>´，则输出结果为19211002021+=．故选D ．13．25【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确计算程序．根据右面的程序，可以得到输入m 后，执行221m m ++的命令，然后即可得到问题的答案．【详解】解：根据计算程序可得，6m =-时，()()222162613612125m m ++=-+´-+=-+=．故答案为：25．14．(1)2；1；87(2)负(3)0或7n （n 为自然数）【分析】本题考查了倒数、绝对值及相反数的概念，解答本题的关键是弄懂图表中的程序的意义．（1）先判断出2、6、78-与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可；（2）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律；（3）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0．【详解】（1）解：根据题意得：当小明输入2时，输出的结果是22-=；当小明输入6时，输出的结果是()1167=éù-+-ëû；当小明输入78-时．输出的结果是18778=æö--ç÷èø；故答案为：2；1；87；（2）解：由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数．故答案为：负（3）解：∵0的相反数及绝对值均为0，且04<，∴输入0时，输出结果为0；∵当输入的数大于4时要加上7-再重新输入，一直需要循环到小于4时，∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0，∴应输入0或7n（n为自然数）．故答案为：0或7n（n为自然数）15．D【分析】本题考查了数字类规律探索，采用逆推法和分类讨论的思想，判断出所有符合条件的m的值即可，注意观察总结规律，并能正确的应用规律．=´+，【详解】解：如图，偶数643211=´+，16351，如图：当得数为64之前输入的数为偶数时，642128m=´=，当得出为64之前输入的数为奇m=，数时，3164m+=，则21，如图，当得出为16之前输入的数为奇数时，则第一次计算的结果为10，则10220m=´=或m+=，即3m=，3110，综上所述，m的值为3或20或21或128，共4个，故选：D．16．23【分析】本题考查了数字类规律，蕴涵了结果规律探索问题，检测学生阅读理解及应用能力．根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2022次“F运算”的结果．【详解】解：由“F运算”的含义，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，n=为奇数应先进行F①运算，由于23´+=（偶数），即323574需再进行F②运算，即74237¸=（奇数），再进行F ①运算，得到3375116´+=（偶数），再进行F ②运算，即2116229¸=（奇数），再进行F ①运算，得到329592´+=（偶数），再进行F ②运算，即292223¸=（奇数），再进行F ①运算，得到323574´+=（偶数），…，即第1次运算结果为74，…，第6次运算结果为23，第7次运算结果为74，…，则6次一循环，20226337¸=，则第2022次“F 运算”的结果是23．故答案为：23．17．(1)35；(2)100；(3)100235a +，这个魔术的奥妙是根据所得的数字减去235，再除以100，即可得到心中所想的数字．【分析】（1）本题根据程序框图按有理数四则混合运算法则计算即可．（2）本题设小玲想的那个数是x ，根据程序框图列出方程求解，即可解题．（3）本题根据程序框图列出代数式化简即可，再根据化简后的代数式解释这个魔术的奥妙．【详解】（1）解：()248575éù-´+´+´ëû75=´35=．故答案为：35．（2）解：设小玲想的那个数是x ，根据题意可得，()4857510235x éù+´+´=ëû10023510235x +=10010000x =100x =，故答案为：100．（3）解：由题意得，()48575a éù+´+´ëû()20475a =+´100235a =+，这个魔术的奥妙是根据所得的数字减去235，再除以100，即可得到心中所想的数字．【点睛】本题考查了程序框图、有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、列代数式、代数式化简，本题解题的关键在于正确理解程序框图的运算顺序．18．18【详解】利用题目中所给的运算法则计算即可．【分析】解：∵()22*()a b a b a b b a a b ì-³=í+<î，∴()()()3*24*1--+-()()()224231éùéù=-+-+--ëûëû()()43161=-++117=+18=．故答案为：18．【点睛】本题考查了新定义的运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19．(1)26(2)6【分析】（1）根据新定义计算即可求出值；（2）根据新定义计算即可求出值．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：()2515(1)26*-=--=；（2）解：()2333(3)6-*=+-=．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．4【分析】此题主要考查了新定义以及有理数的混合运算，正确利用新定义转化为有理数混合运算是解题关键．根据题中的新定义将所求式子化为有理数混合运算，计算即可．【详解】解：Q ()1n m n m n m =--※，\()()()4242412éù-=--´--ëû※，1643=-´，1612=-，4=；故答案为：4．21．(1)3(2)22【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义下的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．（1）根据新定义计算即可；（2）根据新定义的运算法则求解即可．【详解】（1）解：212213=-=※；（2）Q 212213=-=※，\()()()()2125355322-=-=--=※※※．22．(1)16-(2)16(3)a b ☆与b a ☆互为相反数【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．（1）根据题中的新定义化简即可得到结果；（2）根据题中的新定义化简即可得到结果；（3）利用题中的新定义分别计算a b ☆与b a ☆，即可做出判断．【详解】（1）()35-☆(35)[3(5)]=-´--28=-´16=-；（2）()53-☆(53)(53)=-+´--2(8)=-´-16=；（3）a b ☆22()()a b a b a b =+-=-；b a ☆22()()b a b a b a =+-=-，故a b ☆与b a ☆互为相反数．23．2【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意归纳出个位数字的循环规律是解题的关键．根据个位数字以4，0，8，2循环出现的规律计算即可．【详解】解：由题中算式可知，计算结果尾数以4，0，8，2为一个循环组依次循环出现，20244506¸=Q ，∴202431+的个位数字与43182+=一样，为2，故答案为：2．24．(1)见解析(2)101200．【分析】本题考查了有理数乘法的规律探究，关键找到规律写出分数相乘的形式．（1）根据等式规律写出分数相乘的形式计算结果．（2）按规律写出分数相乘形式，再根据分数乘法进行约分求解．【详解】（1）解：2119991111101001001010-=-==´；（2）解：22211111111232100æöæöæöæö-´-´-´´-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL13243599101223344100100æöæöæöæö=´´´´´´´´ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL 11012100=´101200=．25．(1)225(2)()212n n +éùêúëû(3)3312800(4)12285000【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系．（1）根据题意材料即可得出()2333331234512345++++=++++，进行计算即可；（2）根据题意材料即可得出()2333312312.....3.n n +++=+++++，进行计算即可；（3）首先求出333312319++++L 和333312360++++L 的值，然后作差求解即可；（4）同（3）的方法求出333325262750+++×××+的值，然后将3333505254100++++L 变形为()33333225262750´+++×××+代入求解即可．【详解】（1）解：∵311=，11=；33129+=，123+=；33312336++=，1236++=；3333124100x +++=，123410+++=；……∴()2333332123451234515225++++=++++==；（2）根据题意得，3333123...n ++++()2123...n =++++()212n n +éù=êúëû；（3）根据题意得，()233331919112319361002´+éù++++==êúëûL ()23333606011236033489002´+éù++++==êúëûL ∴333320212260++++L ()333333331236012319=++++-++++L L 334890036100=-3312800=．（4）根据题意得，()233332424112324900002´+éù++++==êúëûL ()23333505011235016256252´+éù++++==êúëûL ∴333325262750+++×××+()333333331235012324=++++-++++L L 162562590000=-1535625=，∴3333505254100++++L ()()()()3333226227252250=´´++´++´L 33333333225226227250=´+´+´+×××+´()33333225262750=´+++×××+81535625=´12285000=．26． 6 6-或4##4或6-【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．【详解】解：∵()715616++-=，∴若某次划掉的数是7，15，6-，则添写数字为6；∵()()()12341920+-++-+×××++-()()()12341920éùéùéù=+-++-+×××++-ëûëûëû()()111=-+-+×××+-10=-，∴将所有这些数字相加后个位数字为0，∵经过9次操作后剩下两个数，若一个数是14-，∴另外一个数一定是一个个位数，∵()14620-+-=-或14410-+=-，∴另外一个数为6-或4．故答案为：6；6-或4．27．(1)()()()1212111n n n n n n n -=+++++(2)6【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．（1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n 个等式；（2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可．【详解】（1）解： 第1个等式：21131232-=´´；第2个等式：31182343-=´´；第3个等式：411153454-=´´；第4个等式：511244565-=´´；……第n 个等式：()()()1212111n n n n n n n -=+++++．故答案为：()()()1212111n n n n n n n -=+++++．（2）解：由（1）的规律化解原式：36111283524210æö+--´ç÷èø1111111232346524210æö=+++--´ç÷´´´6´7èø11111232462102421011æö=+++--´ç÷èø112316æö=+´ç÷èø12123161=´+´42=+6=．28．(1)第①行的第1个数是2，从第2个数起，每一个数与前一个数的比是―2(2)见解析(3)769【分析】本题考查了规律型−数字的变化类等知识点，（1）把第①行整理得12342222--，，，，…；（2）易得把第①行中的各数都除以2-得到第②行中的相应的数；把第①行中的各数都加上1得到第③行中的相应的数；（3）先确定第①行的第9个数为92，再确定第②行的第9个数为82-，第③行的第9个数为921+，然后把它们相加即可．通过特殊数字的变化情况找出其中不变的因素，然后进行推广得到一般的变化规律是解题关键．【详解】（1）第①行数12，22-，32，42-，¼，故第①行的第1个数是2，从第2个数起，每一个数与前一个数的比是―2；（2）把第①行中的各数都除以2-得到第②行中的相应的数；把第①行中的各数都加上1得到第③行中的相应的数；（3）第①行的第9个数为92，第②行的第9个数为82-，第③行的第9个数为921+，所以9892221769-++=．29．(1)19.38(2)340【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据运算顺序和法则进行计算即可．（1）先算乘法和除法，再算加法；（2）先算小括号里面的加法，再算乘法，最后算除法．【详解】（1）解：6.80.3540824´+¸2.3817=+19.38=（2）解：21120.282025æö+´¸ç÷èø12112852025æö=+´¸ç÷èø421128202025æö=+´¸ç÷èø251282025=´¸3158=´340=30．(1)16-(2)9【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）原式先计算乘除运算，再计算加法运算即可求出值；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【详解】（1）解：原式124=--16=-；（2）原式15164=´+¸54=+9=．31．(1)44-(2)28.89π-【分析】本题考查有理数的混合运算，实数的混合运算．（1）根据有理数的混合运算法则计算即可；（2）先计算乘方，化简多重符号，化简绝对值，再按顺序计算即可．【详解】（1）解：()75364-´-¸359=--44=-；（2）解：()202031305 3.14π4æö-´-++---ç÷èø31305π 3.144æö=-´-+--+ç÷èø0.75305π 3.14--+=+28.89π=-．32．（1）6-；（2）1．【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求解；（2）根据有理数的乘除混合运算法则即可求解；本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．【详解】解：（1）125(16)(17)-++---71617=--+6=-；（2）512.584æö-¸´-ç÷èø581254æö=-´´-ç÷èø，1=．33．(1)15(2)1【分析】本题主要考查了有理数的混合计算：（1）根据乘法法则计算即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后计算加减即可．【详解】（1）解：原式4735127=´´15=；（2）解：原式()78216473æö=-+´--´-ç÷èø()124=-+-+1=．34．(1)50-(2)1-(3)4-(4)125-(5)23【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．（1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；（2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；（3）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；（4）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；（5）根据有理数的混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：()()()43772743+----+43772743=-+-43437727=--+50=-．（2）解：()511210.5626æöæö+----+ç÷ç÷èøèø5171=26262-+-5711=26622+--=23-1=-．（3）解：()()111328137æö-´-´´-ç÷èø()()11=1328137æö-´´-´-ç÷èø()=14-´=4-．（4）解：()()304 2.50.5-´--¸-=1205--125=-．（5）解：257113681224æöæö+-++-ç÷ç÷èøèø257113681224=+-+-162021212424242424=+-+-1620212124+-+-=1624=23=．35．(1)5-(2)6-【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，以及乘法分配律在有理数范围依旧适用．（1）根据乘法分配律进行计算即可；（2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可．【详解】（1）解：357241468æö´-+ç÷èø3724242448116=´-´+´184421=-+=5-．（2）解：6664.278.732111111æöæö´--´-´-ç÷ç÷èøèø6664.278.732111111æöæöæö=´-+´--´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø()6 4.278.73211=-´+-61111=-´6=-．36．(1)17-(2)2-(3)51【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先把减法转化为加法，再根据交换律和结合律可以解答本题；（2）先把减法转化为加法，小数转化为分数，再根据加法交换律和结合律计算即可；（3）利用乘法分配律计算即可；【详解】（1）解：原式()40281924=-+++-()()40242819=-+++6447=-+17=-；（2）解：原式13170.5 3.7542æö=-+++-ç÷èø11315172442æö=-+++-ç÷èø11713332244æöæö=-+++ç÷ç÷èøèø97=-+2=-；（3）解：原式()()()()11176060606034515æö=-´--´-+´--´-ç÷èø20151228=+-+51=．37．(1)43-(2)30-【分析】本题考查了有有理数的乘法运算：（1）利用有理数乘法运算律进行求解即可；（2）逆用有理数的乘法运算律即可求解；【详解】（1）解：原式()()()()111148484848636412=´-+´--´-+´-481243=--+-412123=-+-43=-．（2）解：原式33115424æö=´--+ç÷èø131522æö=´--ç÷èø()152=´-30=-．38．0【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数加法运算法则及交换律与结合律进行简便计算，即可得出结果．【详解】解：原式()()301301125125éùéù=-++-+ëûëû00=+0=．39．(1)0(2)13-【分析】本题考查有理数混合运算：（1）运用加法交换律、加法结合律，先凑整数，再进行加法计算；（2）运用乘法分配律计算即可；【详解】（1）解：0.8 5.211.6 5.6--+-()()0.8 5.211.6 5.6=--+-答案第21页，共21页66=-+0=；（2）解：3778148127æöæö--´-ç÷ç÷èøèø7878784787127æöæöæö=´--´--´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø2213=-++13=-．40．(1)0(2)19-【分析】（1）利用有理数加法运算律计算即可；（2）先利用乘法分配律，然后在进行加减计算即可；本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．【详解】（1）解：()()()38226278+-++-+()()()38622278éùéù=+++-+-ëûëû，()100100=+-，0=；（2）解：()157362912æö-+´-ç÷èø()()()1573636362912=´--´-+´-，182021=-+-，19=-．。
北师大版七年级数学上册专题2.5 新定义问题(压轴题专项讲练)(学生版)
专题2.5 新定义问题【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f （3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f （4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，12）＝ ，f （5，3）＝ ；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）．【思路点拨】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解题过程】解：（1）f （4，12）=12÷12÷12÷12=4，f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为：4；127．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误；②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为：②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（1a）n ﹣2（n 为正整数，a ≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）=127×9×（−18）×16 =−23．1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a 和b ，规定a ☆b ＝a b ﹣b 2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ） A ．﹣3B ．1C ．32D ．−322．（2023秋•东港区期末）已知a 、b 皆为正有理数，定义运算符号为※：当a ＞b 时，a ※b ＝2a ；当a ＜b 时，a ※b ＝2b ﹣a ，则3※2﹣（﹣2※3）等于（ ） A ．﹣2B ．5C ．﹣6D ．103．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a 、b ，都有a *b ＝b 3﹣1，则12*[3*（﹣1）]的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣9C ．−12D ．04．（2023秋•洪山区期末）定义：如果a 4＝N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．例如：因为72＝49，所以log 749＝2；因为53＝125，所以log 5125＝3．则下列说法中正确的有（ ）个．①log 66＝36；②log 381＝4；③若log 4（a +14）＝4，则a ＝50；④log 2128＝log 216+log 28； A ．4B ．3C ．2D ．15．（2023秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1−23=2×1×23−1，2−35=2×2×35−1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b ＝2ab ﹣1成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）A ．（﹣3，47）B ．（4，49）C ．（﹣5，611） D ．（6，713）6．（2023秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n +5；②当n 为偶数时，结果为n 2k；（其中k 是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n ＝26．则：若n ＝49，则第2021次“F ”运算的结果是（ ） A ．68B ．78C ．88D ．987．（2023秋•大连月考）我们对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义一种新的运算：|abcd|=ad ﹣bc ．则|−4−231|的值为 ．8．（2023秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a ﹣b +c ，图形表示﹣x +y ﹣z ，则+的值为 ．9．（2023秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a *b =a+1b ，则（13*12）*2＝ ． 10．（2023秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a 、b ，当a ≤b 时，都有a △b ＝a 2b ；当a ＞b 时，都有a △b ＝ab 2，那么，2△6＝ ；(−23)△(−3)= ．11．（2023秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x ⨂y ={x 2−2y ，x ＞y1，x =y−2xy ，x ＜y，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝ ．12．（2023•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：（1）x Θy ＝4x +y ，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； （2）[x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4； 根据以上规则，计算[1Θ(−12)]+[(−2)Θ194]= ．13．（2023秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b= a+b+|a−b|2．（1）计算：（﹣6）☆5＝．（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是．14．（2023秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a ﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．（1）计算3⨂（﹣5）的值．（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．15．（2023秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab ﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：（1）（﹣3）⨂6的值；（2）[2⨂（−32）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．16．（2023秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号，异号，并把绝对值；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得．（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝．（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：1a×b +1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)的值．17．（2023秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a ，b 满足等式a ﹣b ＝ab ．那么称a ，b 是“关联有理数对”，记作（a ，b ）．如：因为3−34=124−34=94，3×34=94．所以数对（3，34）是“关联有理数对”．（1）在数对①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57）中，是“关联有理数对”的是 （只填序号）；（2）若（m ，n ）是“关联有理数对”，则（﹣m ，﹣n ） “关联有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b ＝n ，那么b 为n 的“劳格数”，记为b ＝d （n ）．由定义可知：10b ＝n 与b ＝d （n ）表示b 、n 两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d （100）＝2． 理解运用：（1）根据“劳格数”的定义，填空：d （10﹣3）＝ ，d （1）＝ ；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m 、n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ），d （mn ）＝d （m ）﹣d （n ）；根据运算性质，填空：d(a 3)d(a)= ；（a 为正数）（3）若d （2）＝0.3010，计算：d （4）、d （5）；（4）若d （2）＝2m +n ，d （4）＝3m +2n +p ，d （8）＝6m +2n +p ，请证明m ＝n ＝p ．19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a ，b ，c ，计算a ﹣b ，a−c 2，b−c 3，将这三个数的最小值称为a ，b ，c 的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，﹣2，3的“分差”为−53．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；（3）调整﹣1，6，x 这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x 的值．20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：第一列第二列第一排 1 2第二排4 3然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为．（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．。
难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)(解析版)-初中数学北师大版7年级上册
第10讲难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)目录【类型一有理数中新定义型的有关运算】......................................................................................................1【类型二一列数中的规律探究问题】..............................................................................................................5【类型三计算中的规律探究问题】..................................................................................................................8【类型四数轴上的规律探究问题】. (12)【类型一有理数中新定义型的有关运算】1．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）设a ，b 为自然数，定义22a b a b ab ∆=+-，则()()3445∆+-∆的值（）A ．34B ．58C ．74D ．98【答案】C【分析】由22a b a b ab ∆=+-，可知()()()()2222343445453445∆+-=+-⨯+∆+---⨯，计算求解即可．【详解】解：∵22a b a b ab ∆=+-，∴()()()()222243343445474545=+-⨯+-∆+--⨯+=∆-，【类型二一列数中的规律探究问题】【类型三计算中的规律探究问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则202221-的个位数字是（）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到202221-的个位数字．【详解】解：由1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……可知计算结果中的个位数字以1375、、、为一个循环组依次循环，∵202245052÷=⋯，∴202221-的个位数字是3，故选：B ．【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．【变式训练】1．（2022秋·山东枣庄·七年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，…．通过观察，用你发现的规律确定20232的个位数字是（）A ．2B ．4C ．8D ．6【答案】C【分析】由题意得，2为底的幂的个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，找到规律后即可求得结果．【详解】解：继续计算：5678232, 264, 2128, 2256====，…，显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，而202345053=⨯+，所以20232的个位数字是8；故选：C ．【点睛】本题数字规律探索问题，考查了乘方的计算，关键是由特殊到一般找到规律．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（）A ．3B ．9C ．7D ．1【答案】A【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】解：已知31=3，末位数字为3，32=9，末位数字为9，33=27，末位数字为7，34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3，36=729，末位数字为9，37=2187，末位数字为7，38=6561，末位数字为1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，【类型四数轴上的规律探究问题】例题：（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）一电子跳蚤落在数轴上的某点k 0处，第一步从k 0向左跳一个单位到k 1，第二步从k 1向右跳2个单位到k 2，第三步由k 2处向左跳3个单位到k 3，第四步由k 3向右跳4个单位k 4…按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则k 0表示的数是（）A ．0B ．100C ．50D ．﹣50【答案】D【分析】根据题意写出数字并总结出变化规律，然后计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可知：10210320(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)k k k k k k k k =+-=++=+-++=+-=+-+++-……0(1)(2)(3)...(1)n nk k n=+-+++-++-当n =100时，1000000(1)(2)(3) (100)(12)(34)...(9910015050k k k k k =+-+++-+++=+-++-+++-+=+⨯=+=）∴050k =-故选D ．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握相关知识，找到数字的变化规律，同时注意解题中需注意的相关事项是本题的解题关键．【变式训练】【答案】1516-【答案】1027。
七年级数学上册1.2.1 有理数-有理数的概念及分类-选择题专项练习三(人教版,含解析)
2021-2022学年度人教版七年级数学上册练习三1.2.1 有理数-有理数的概念及分类1．在()22, 2.5,1,3π------中，负数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（）A．0 B．1 C．-2 D．-3.53．在6，-5，25-，3.7⋅，0，124-，1.5，19中，分数有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个4．四个数27，0，5，2.6 ，其中既不是正数也不是负数的是（）A．27B．0 C．5 D．2.6 5．下列各数中，是负分数是（）A．31-.B．6 C．π-D．2.8 6．下列各数中是负整数的是（）A．4 B．-3.5 C．-5 D．π-7．在下列各数中，分数有（）个.﹣6，0.1234，﹣512，0.3，0，19，15A．2 B．3 C．4 D．5 8．下列关于0的说法错误的是（）A．任何情况下，0的实际意义就是什么都没有B．0是偶数不是奇数C．0不是正数也不是负数D．0是整数也是有理数9．下列结论中正确的是（）A．a-是负数B．没有最小的正整数C．有最大的正整数D．有最大的负整数10．下列实数中，是有理数的是（）A B ．C ．3π- D ．0.1010010001 11．下列各数中：2(3)-，0，21()2--，227，2017(1)-，22-，(8)--，3||4--中，非负数有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 12．在下列数56-，1+，6.7，14-，0，722，|5|-中，属于正整数的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个13．下列说法中错误的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．π是小数，也是分数C ．正整数，0，负整数统称为整数D ．0是自然数，也是整数，也是有理数 14．在下列数π，+1，6.7，﹣15，0，722，﹣1，25%中，属于整数的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个15．在0，1，-1，2这四个数中，是负数的是（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．216．下列各数属于负整数的是（ ）．A ．2B ．2-C ．12- D ．017．在下列各数中，正数的个数有______个．（ ）－6，0.1234，152-，0.3，0，19，15A ．2B ．3C ．4D ．5 18．正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是（ ）A ．整数集合B ．有理数集合C ．自然数集合D ．以上说法都不对19．设a 是最小的自然数，b 是最小的正整数，c 是最大的负整数，则a 、b 、c 三数之和为( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 20．在+1.2222，29-，π，0这四个数中，有理数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个参考答案1．C解析：先将各数化简，然后根据负数的定义判断．详解：解：()2220, 2.5 2.50,110,033-<--=>-=-<--=-<π ∴负数的是：22,1,3----π∴负数的个数有3个．故选：C点睛：本题考查了正数与负数，解题的关键是：先将各数化简，然后根据负数的定义判断．2．C解析：负整数应该既是负数又是整数. 在本题给出的四个数中，负数是：-2，-3.5；整数是：0，1，-2. 由此可知，在这四个数中，-2是负整数.故本题应选C.3．D解析：根据有理数的概念，解答即可，整数和分数统称为有理数．详解：整数和分数统称为有理数，整数：6，-5，0，； 分数：2 5-，3.7⋅，1 24-，1.5，19； 故选D.点睛：本题考查的知识点是分数的概念，解题关键是正确区分分数和整数.解析：根据大于0的数叫正数,小于0的数叫负数即可解答.详解：解：0既不是正数，也不是负数，故选B点睛：本题考查了整数的意义，0既不是正数，也不是负数.5．A解析：根据负分数的概念，选项必须既是负数又是分数．详解：A、-3.1是负分数，故本选项正确；B、6是整数，不是分数，故本选项错误；C、π-是无理数，不是分数，故本选项错误；D、2.8是正分数，故本选项错误；故选A．点睛：本题考查了有理数的分类.解题的关键是熟练掌握分数的概念.6．C解析：根据负整数的定义即可判定选择项．详解：A．4是正整数，故选项不合题意；B．-3.5为负分数，故选项不合题意；C．﹣5为负整数，故选项正确；D．π-不是有理数，故选项不合题意．故选C．点睛：本题考查了有理数的相关概念及其分类方法，掌握有理数的相关概念是解答本题的关键．解析：分数有三种形式：含有分数线，分子、分母是整数；有限小数；无限循环小数．详解：解：分数有：0.1234，﹣512，0.3，19，共4个．故选：C．点睛：本题考查了有理数的分类，熟记分数的三种形式是解决此题的关键．8．A解析：根据有理数中整数的定义，有理数的分类，零的意义即可作出选择．详解：解：A. 0的意义是一个也没有，但加上单位后，就不一样了．例如，0℃，它就是温度中的一个值，也是天气中零上和零下的分界点，故本选项错误；B. 0是偶数不是奇数，故正确；C. 0不是正数也不是负数，故正确；D. 0是整数也是有理数，故正确.故选A.点睛：本题考查了有理数中整数的定义，有理数的分类，零的意义，关键是注意区分，不要混淆．9．D解析：试题解析：A. 当a<0时，−a是正数，故本选项错误；B. 最小的正整数是1，故本选项错误；C. 没有最大的正整数，故本选项错误;D. 最大的负整数是−1，故本选项正确；故选D.10．D解析：根据有理数的定义即可得出答案.3π-均为无理数，0.1010010001为有理数，故答案选择D. 点睛：本题考查的是有理数的定义，比较简单，整数和分数统称为有理数. 11．C解析：根据非负数包括0和正数可得：题中的非负数有()23-，0，227，()8--，共计4个.故选C.12．A解析：根据正整数的概念先找出正整数，再计算个数即可．详解：解：56-负分数，1+是正整数，6.7是正分数，14-是负整数，0是整数，722是正分数，|5|-是正整数，其中正整数有2个，+1和|5|-故选：A点睛：本题考查了有理数的分类和正整数的概念，熟练掌握正整数的概念是解题的关键．13．B解析：根据正负数、小数、分数、整数、自然数以及有理数的概念逐项判断．详解：解：A. 0既不是正数，也不是负数，正确；B. π是无限不循环小数，不是分数，故错误；C. 正整数，0，负整数统称为整数，正确；D. 0是自然数，也是整数，也是有理数，正确；故选：B．点睛：本题考查了有理数的分类，掌握各自的定义是解题的关键．解析：根据整数的定义，可得答案．详解：在数π，+1，6.7，﹣15，0，722，﹣1，25%中，属于整数的有+1，﹣15，0，﹣1，一共4个．故选：C．点睛：本题考查了有理数的分类．解题的关键是掌握有理数的分类，能够利用整数的定义判断整数，形如-3，-5，0，1，4，7…的数是整数．15．C解析：根据有理数的分类解答即可详解：解：0既不是正数也不是负数；1，2是正数；-1是负数；故选C．点睛：本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．16．B解析：根据小于0的整数即为负整数进行判断即可；详解：A、2是正整数，故A不符合题意；B、-2是负整数，故B符合题意；C、12是负分数，故C不符合题意；D、0既不是正数也不是负数，故D不符合题意；故选：B．本题考查了有理数，小于0的整数即为负整数，注意0既不是正数也不是负数．17．C解析：根据大于0的数是正数可得结果．详解：解：在-6，0.1234，152-，0.3，0，19，15中，正数有：0.1234，0.3，19，15共4个，故选C．点睛：本题考查了正数的定义，熟记概念是解题的关键，要注意0既不是正数也不是负数．18．D解析：试题分析：根据整数的分类即可得到结果.正整数、负整数和0统称为整数，故选D.考点：本题考查的是整数的分类点评：解答本题的关键是注意0的特殊性，0是整数，但既不是正数，也不是负数.19．B解析：∵最小的自然数是0，最小的正整数是1，最大的负整数是-1∴三数之和为0故选B20．C解析：有理数包含整数和分数，π是无限不循环小数，属于无理数．详解：有理数有：+1．2222，29-，0共3个，故选：C．本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．。
初中七年级上册数学复习定义性质(人教新目标)
1.把0以外的数分为正数和负数，大于0 的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数也不是负数。
应用：（1）海拔高度：正数表示高于海平面的某地的海拔高度，负数表示低于海平面的某地的海拔高度。
例如：珠穆朗玛峰的海拔高度为8844M，吐鲁番盆地的海拔高度为－155M。
（2）记录帐目时，通常用正数表示收入款额，负数表示支出款额。
（3）天气的温度：零上5度，即50，零下5度，即－50（4）相反的方向，也可用正负来表示。
例如东和西，如果东为正的话，西则为负。
同理，假设南为正的话，北则为负。
（5）水位升高可用正数表示，水位降低可用负数表示，水位不变可记作0。
正整数整数2.有理数0 或或：有理数可以写作两整数之比。
负整数分数数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
它满足以下要求：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点。
分数或小数也可以用数轴上的点表示。
（4）在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
3.绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
4.符号相反且绝对值相等的数互为相反数。
正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。
5．有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
（4）两个数相加，交换加数的位置，和不变。
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
6.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
苏科版七年级数学上册新定义问题专题
苏科版七年级数学上册新定义问题专题一、考什么？考点1.新定义问题例1.设a、b都表示有理数，规定一种新运算“Δ”：当a≥b时，aΔb＝b2；当a＜b时，aΔb＝2a．例如：1Δ2＝2×1＝2；3Δ(－2)＝(－2)2＝4．（1）(－3)Δ(－4)＝；（2）求(2Δ3)Δ(－5)；（3）若有理数x在数轴上对应点的位置如图所示，求(1Δx)Δx－(3Δx)．例2.【定义新知】在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d (M，N)，即d (M，N)＝|x1－x2|．【初步应用】（1）在数轴上，点A、B、C分别表示数－1、2、x，解答下列问题：①d (A，B)＝；②若d(A，C)＝2，则x的值为；③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则x的取值有个．【综合应用】（2）在数轴上，点D、E、F分别表示数－2、4、6．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．①当t＝时，d(D，P)＝3；②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P)．考点2.探究性问题例3.有一条长度为a的线段．（1）如图①，以该线段为直径画一个圆，该圆的周长C1＝；如图②，分别以该线段的一半为直径画两个圆，这两个圆的周长的和．C2＝．（都用含a的代数式表示，结果保留π）（2）如图③，在该线段上任取一点，再分别以两条小线段为直径画两个圆，这两个圆的周长的和．为C3，探索C1和C3的数量关系，并说明理由．（3）如图④，当a＝10时，以该线段为直径画一个大圆，再在大圆内画若干小圆，这些小圆的直径都和大圆的直径在同一条直线上，且小圆的直径的和等于大圆的直径，那么图中所有圆．．．的周长的和．为．（结果保留π）二、还可以这样考1.绝对值等于它本身的数；相反数等于它本身的数是；倒数等于它本身的数是；一个数的立方等于它的倒数，那么这个数一定是；平方为1.44的数是 ．绝对值为1.44的数是 ．2．下列说法：①0是自然数，其意义仅表示没有：②有理数可以用无限不循环小数表示；③分数是有理数；④无理数无法用数轴上的点表示；⑤两个有理致相加，其和一定大于其中的一个加数；⑥两个无理数相加的结果只可能是无理数．其中正确的（填写序号）3．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式的符号为负的是（填写序号）① a ;②－a ;③b ;④－b ;⑤﹣a ＋b;⑥﹣ab;⑦﹣a 2b ;⑧|2a ﹣b |4．若有理数a 满足＝﹣1时，那么a 0(填写＜、≤、＝、＞或≥)；若有理数a ，b 为相反数，则a b ＝ 5．直接写出结果： ①若n 为正整数，则（﹣1）2n ＋（﹣1）2n ＋1＝ ．②（10﹣11）×（11﹣12）×…×（45﹣46）＝ ； ③（﹣0.125）2015×82016＝ ．6．若a 是绝对值最小的数，b 是最大的负整数，c 是最小的正整数，则a ＋b ＋c ＝ ．7．下图是计算机计算程序，若开始输入x ＝﹣2，则最后输出的结果是 ．8.如果a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，用符号表示为，。
七年级数学上册第一单元《有理数》-解答题专项经典测试卷(专题培优)(3)
一、解答题1．设0a >，x ，y 为有理数，定义新运算：||a x a x =⨯※．如323|2|6=⨯=※，()414|1|a a -=⨯-※．（1）计算20210※和()20212-※的值． （2）若0y <，化简()23y -※．（3）请直接写出一组,,a x y 的具体值，说明()a x y a x a y +=+※※※不成立． 解析：（1）0；4042；(2)6y -；（3）1a =，2x =，3y =-（答案不唯一） 【分析】(1)根据题意※表示前面的数与后面数的绝对值的积，直接代入数据求解计算； (2)有y<0，得到y 为负数，进而得到-3y 为正数，去绝对值后等于本身-3y ，再代入数据求解即可；(3)按照题意要求写一组具体的,,a x y 的值再验算即可． 【详解】解：(1)根据题意得:202102021|0|0=⨯=※； ()202122021|2|4042-=⨯-=※；(2)因为0y <， 所以30y ->，所以()()232|3|236y y y y -=⨯-=⨯-=-※； (3)由题意，当,,a x y 分别取1a =，2x =，3y =-时，此时()2311※※(-1)=1-=，而11※2※(-3)=2+3=5+，所以，()a x y a x a y +=+※※※不成立． 【点睛】本题是新定义题型，按照题目中给定的运算要求和顺序进行求解即可． 2．计算（1）28()5(0.4)5+----； （2）1571361236⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）2336()(2)()(6)575⨯---⨯-+-⨯； （4）42019213(20.2)(2)(1)5⎡⎤---+-÷⨯---⎢⎥⎣⎦； （5）24512.5()(0.1)(2)(2)10⎡⎤÷-⨯---+-⎣⎦．解析：（1）3；（2）3；（3）667-；（4）3-；（5）315.4【分析】（1）先把运算统一为省略加号的和的形式，再利用加法的运算律，把互为相反数的两数先加，从而可得答案；（2）先把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律把运算化为：()()()1573636363612-⨯-+⨯--⨯-，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案；（3）把原式化为：()233662557-⨯+-⨯-⨯，逆用乘法的分配律，同步进行乘法运算，最后计算减法即可得到答案；（4）先计算小括号内的运算与乘方运算，再计算中括号内的运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案；（5）先计算乘方运算，同步把除法转化为乘法，再计算小括号内的减法运算，同步进行乘法运算，最后计算加法运算即可得到答案． 【详解】解：（1）28()5(0.4)5+----2850.45=--+3.=（2）1571361236⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()157363612⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭()()()1573636363612=-⨯-+⨯--⨯-123021=-+3.=（3）2336()(2)()(6)575⨯---⨯-+-⨯()233662557=-⨯+-⨯-⨯2366557⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭667=--667=-（4）42019213(20.2)(2)(1)5⎡⎤---+-÷⨯---⎢⎥⎣⎦()()1132212⎡⎤⎛⎫=---+-⨯--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()313212⎛⎫=---+⨯-+ ⎪⎝⎭()31212⎛⎫=---⨯-+ ⎪⎝⎭131=--+3.=-（5）24512.5()(0.1)(2)(2)10⎡⎤÷-⨯---+-⎣⎦ ()()1=2.5101632100⨯-⨯-- ()1164=---1164=-+315.4=【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，乘法分配律的应用，掌握运算法则与运算顺序是解题的关键．3．出租车司机张师傅11月1日这一天上午的营运全在一条东西向的街道上进行，如果规定向东为正，那么他这天上午载了五位乘客所行车的里程如下（单位：km ）：8+，6-，3+，7-，1+．（1）将最后一名乘客送到目的地时，张师傅距出车地点的位置如何？ （2）若汽车耗油为0.08L/km ，则这天上午汽车共耗油多少升？ 解析：（1）在出车地点西边1千米处；（2）2升 【分析】（1）计算张师傅行驶的路程的和即可；（2）计算出每段路程的绝对值的和后乘以0.08，即为这天上午汽车共耗油数． 【详解】解：（1）规定向东为正，则向西为负， （+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+1） =8-6+3-7+1=-1千米．答：将最后一名乘客送到目的地，张师傅在出车地点西边1千米处． （2）（8+6+3+7+1）×0.08=2升． 答：这天午共耗油2升． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，注意要针对不同情况用不同的计算方法． 4．计算：（1）9－（－14）＋（－7）－15； （2）12×（－5）－（－3）÷374（3）－15＋（－2）3÷193⎛⎫--- ⎪⎝⎭（4）（－10）3＋[（－8）2－（5－32）×9] 解析：（1）1；（2）14；（3）1147-；（4）-900． 【分析】（1）先将减法化为加法，再分别把正数和负数相加，将结果相加； （2）先分别计算乘除，再计算加法；（3）先分别计算乘方和括号内的，再计算除法，最后计算加法； （4）先分别计算乘方和括号内的，再将结果相加即可． 【详解】解：（1）原式=914(7)(15)++-+- =23(22)+- =1；（2）原式=7460(3)3--- =6074-+ =14；（3）原式=115(8)(9)3-+-÷-- =2815(8)()3-+-÷-=315(8)()28-+--=6157-+=1147-；（4）原式=[]100064(4)9-+--⨯=1000(6436)-++=1000100-+=-900．【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟记有理数混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．5．计算：（1）13 |38|44⎛⎫--+- ⎪⎝⎭（2）2202111 (1)236⎛⎫-+⨯-÷⎪⎝⎭（3）221 10.51 339⎛⎫⨯-÷⎪⎝⎭（4）157 (48)2812⎡⎤⎛⎫-⨯--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解析：（1）4；（2）13；（3）14-；（4）26.【分析】（1）先把绝对值化简，再进一步计算可得答案；（2）先计算乘方、除法转化为乘法，再进一步计算即可；（4）先算括号里面的，再把除法化为乘法，进一步计算即可；（4）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可．【详解】（1）13 |38|44⎛⎫--+- ⎪⎝⎭=13 544 --=5-1 =4；（2）2202111 (1)236⎛⎫-+⨯-÷⎪⎝⎭=1 1269-+⨯⨯=-1+4 3=13；（3）221 10.51 339⎛⎫⨯-÷⎪⎝⎭=211 1()1 369⨯-÷=519() 3610⨯-⨯=14 -；（4）157 (48)2812⎡⎤⎛⎫-⨯--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=157 (48)()(48)(48)2812 -⨯---⨯+-⨯=24+30-28=26.【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．6．某校七年级（1）至（4）班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，下表是实际购书情况：（2）这4个班实际共购书多少本？（3）书店给出一种优惠方案：一次购买不少于15本，其中2本书免费．若每本书的售价为30元，请计算这4个班整体购书的最低总花费是多少元？解析：（1）42，+3，22；（2）118本；（3）3120元．【分析】（1）由于4班实际购入21本，且实际购买数量与计划购买数量的差值=-9，即可得计划购书量=30，进而可把表格补充完整；（2）把每班实际数量相加即可；（3）根据已知求出总费用即可．【详解】解：（1）由于4班实际购入21本书，实际购入数量与计划购入数量的差值=-9，可得计划购入数量=30（本），所以一班实际购入30+12=42本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值=33-30=3本，3班实际购入数量=30-8=22本．故答案依次为42，+3，22；（2）4个班一共购入数量=42+33+22+21=118（本）；（3）由118157÷=余13得，如果每次购买15本，则可以购买7次，且最后还剩13本书需单独购买，得最低总花费＝30×（15-2）×7+30×13＝3120（元）．. 【点睛】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；这里要注意，生活中在选择方案时，要注意所有可能的情况． 7．计算下列各式的值： （1）1243 3.55-+- （2）131(48)64⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭（3）22350(5)1--÷--解析：（1）-24.3；（2）-76；（3）-12 【分析】（1）先将减法化为加法，再计算加法即可； （2）利用乘法分配律计算即可；（3）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法． 【详解】解：（1）原式=24 3.2( 3.5)-++- =-24.3；（2）原式=131(48)(48)(48)64⨯--⨯-+⨯- =488(36)-++- =-76；（3）原式=950251--÷- ＝921--- =9(2)(1)-+-+- =-12． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟记运算顺序和每一步的运算法则是解题关键． 8．计算题：（1）()()121876---+-+； （2）()231513221428⎫⎛---⨯-+⎪⎝⎭； （3）2111(3)[]()63⨯--÷-． 解析：（1）29；（2）5-；（3）4【分析】（1）根据有理数的加减法即可解答本题；（2）根据有理数的乘方和乘法分配律即可解答本题；（3）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题． 【详解】解：（1）|-12|-（-18）+（-7）+6 =12+18+（-7）+6 =30+（-7）+6 =23+6 =29；（2）23151(32)(21)428---⨯-+ =3513132()428-+⨯-+ =35131323232428-+⨯-⨯+⨯=-1+24-80+52 =-5；（3）16×[1-（-3）2]÷(−13) =16×（1-9）×（-3） =16×（-8）×（-3） =4． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．9．计算：329(1)4(2)34⎛⎫--÷-+-⨯ ⎪⎝⎭．解析：12-． 【分析】根据有理数的四则混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，然后算加减”进行计算即可． 【详解】 原式311222⎛⎫=-++-=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．10．某市质量监督局从某公司生产的婴幼儿奶粉中，随意抽取了20袋进行检查，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，抽查的结果如下表： 与标准质量的偏差（单位：克）10-5- 0 5+10+15+袋数15 5531（1）这批样品每袋的平均质量比标准质量多（或少）多少克？（2）若每袋奶粉的标准质量为480克，则抽样检测的这些奶粉的总质量是多少克？ 解析：（1）多1.75克；（2）9635克 【分析】（1）先计算出平均质量，若正则比标准质量多，若负则比标准质量少；（2）抽样总质量等于标准总质量加上超出的质量，或等于平均每袋质量乘以抽取的袋数． 【详解】解：（1）()()15505551035110203520 1.571-÷=÷=⎡⨯+-⨯+⎤⎣⨯++⨯++⎦⨯⨯（克）．所以这批样品每袋的平均质量比标准质量多1.75克． （2）()5428001.56793+⨯=（克） 所以抽样检测的这些奶粉的总质量为9635克． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算和正负数的意义．有理数混合运算的顺序：先算乘除再算加减，有括号的先算括号里面的．11．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A 和点B 刚好对着直尺上的刻度2和刻度8．（1）写出点A 和点B 表示的数；（2）写出在点B 左侧，并与点B 距离为9.5厘米的直尺左端点C 表示的数；（3）若直尺长度为a 厘米，移动直尺，使得直尺的长边CD 的中点与数轴上的点A 重合，求此时左端点C 表示的数．解析：（1）点A 表示的数是-3，点B 表示的数是3；（2）点C 表示的数是-6.5；（3）3-0.5a 【分析】（1）根据AB=8-2=6，点A 和点B 表示的数是互为相反数，即可得到结果； （2）利用点B 表示的数3减去9.5即可得到答案； （3）利用中点表示的数向左移动0.5a 个单位计算即可． 【详解】（1）∵AB=8-2=6，点A 和点B 表示的数是互为相反数， ∴点A 表示的数是-3，点B 表示的数是3； （2）点C 表示的数是：3-9.5=-6.5；（3）∵直尺长度为a 厘米，直尺中点表示的数是-3， ∴直尺此时左端点C 表示的数-3-0.5a ． 【点睛】此题考查利用数轴表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上点移动的规律，熟记数轴上点移动的规律进行计算是解题的关键．12．在数轴上表示下列各数:14, 1.5,3,0,2.5,52----，并将它们按从小到大的顺序排列．解析：图见解析，153 1.50 2.542--<-<-<<< 【分析】在数轴上表示出各数，再按照从左到右的顺序用“＜”号把它们连接起来即可． 【详解】 解: 5=-5-- 如图所示:故:153 1.50 2.542--<-<-<<<． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键． 13．计算：（1）()()30122021π--+---； （2）()41151123618⎛⎫---+÷⎪⎝⎭． 解析：（1）18-；（2）-17． 【分析】（1）原式第一项利用绝对值代数意义进行化简，第二项利用负整数指数幂的运算法则进行计算，第三项利用零指数幂的运算法则进行化简，最后进行加减运算即可得到答案； （2）原式先计算有理数的乘方，再把除法转化为乘法去括号进行乘法运算，最后进行加减运算即可得到答案． 【详解】解：（1）()()3122021π--+---=1118-- =18-； （2）()41151123618⎛⎫---+÷⎪⎝⎭ =115118236⎛⎫--+⨯⎪⎝⎭ =115118+1818236-⨯⨯-⨯ =1-9+6-15=-17．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．14．把下列各数表示在数轴上，再按从大到小的顺序用大于号把这些数连接起来． |3|-，5-，12，0， 2.5-，22-，(1)--． 解析：见解析，|-3|＞-（-1）＞12＞0＞-2.5＞-22＞-5． 【分析】先在数轴上表示出各数，从右到左用“＞”连接起来即可．【详解】解：|3|=3-；224=--，(1)=1--如图所示，，由图可知，|-3|＞-（-1）＞12＞0＞-2.5＞-22＞-5． 【点睛】 本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键． 15．把4-，4.5，0，12-四个数在数轴上分别表示出来，再用“<”把它们连接起来．解析：数轴表示见解析，140 4.52-<-<<． 【分析】先根据数轴的定义将这四个数表示出来即可，再根据数轴上的表示的数，左边的总小于右边的用“<”将它们连接起来即可得．【详解】将这四个数在数轴上分别表示出来如下所示：则140 4.52-<-<<． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的定义是解题关键．16．计算：（1）()11270.754⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()202023111242144⎛⎫-++-⨯--⨯- ⎪⎝⎭； 解析：（1）6；（2）11．【分析】（1）先变成省略括号和形式，同时把小数化分数，把分数相加，同号相加，最后异号相加即可；（2）先算乘方，去绝对值和带分数化假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可．【详解】解：（1）()11270.754⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭， =1312744+-+， =1217+-，=13-7，=6；（2）()()202023111242144⎛⎫-++-⨯--⨯- ⎪⎝⎭， =()351124444⎛⎫++⨯--⨯- ⎪⎝⎭=11235++-=11．【点睛】本题考查含有乘方的有理数混合，掌握有理数混合运算的法则，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．17．计算：（1）117483612⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭； （2）20213281(2)(3)3---÷⨯-． 解析：（1）36-；（2）26．【分析】（1）利用乘法分配律进行简便运算即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后计算加减即可．【详解】解：（1）117483612⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭ 1174848483612=-⨯+⨯-⨯ 16828=-+-36=-；（2）20213281(2)(3)3---÷⨯- 31(89)8=---⨯⨯ 127=-+26=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数运算的相关运算法则并灵活运用运算律准确计算是解题的关键．18．计算（1）2125824(3)3-+-+÷-⨯ （2）71113()2461224-+-⨯ 解析：（1）113-；（2）-19 【分析】（1）有理数的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，如果有小括号先算小括号里面的；（2）使用乘法分配律使得计算简便．【详解】解：（1）2125824(3)3-+-+÷-⨯=114324()33-++⨯-⨯=8433-+- =113- （2）71113()2461224-+-⨯ =7111324242461224-⨯+⨯-⨯ =-28+22-13=-19【点睛】 本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．19．计算：（1）45(30)(13)+---；（2）32128(2)4-÷-⨯-． 解析：（1）28；（2）-2【分析】 （1）有理数的加减混合运算，从左往右依次计算即可；（2）有理数的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【详解】解：（1）45(30)(13)+---=4530+13-=15+13=28（2）32128(2)4-÷-⨯- =18844-÷-⨯ =11--=-2．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．20．计算：|﹣2|﹣32＋（﹣4）×（12-）3 解析：162- 【分析】有理数的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【详解】解：|﹣2|﹣32＋（﹣4）×（12-）3 ＝2﹣9＋（﹣4）×（﹣18） ＝2＋（﹣9）＋12＝162-． 【点睛】 本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．21．计算：（1）152|18|()263-⨯-+； （2）20203221124(2)3()3-+÷--⨯． 解析：（1）6；（2）-5【分析】（1）先去掉绝对值，然后根据乘法分配律即可解答本题；（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【详解】解：（1）152|18|()263-⨯-+ ＝18×（12﹣56+23） ＝18×12﹣18×56+18×23＝9﹣15+12＝6；（2）20203221124(2)3()3-+÷--⨯ ＝﹣1+24÷（﹣8）﹣9×19＝﹣1+（﹣3）﹣1＝﹣5．【点睛】 此题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握混合运算顺序是解题关键．22．已知： b 是最小的正整数，且a 、b 满足（c －5）2＋|a ＋ b |＝ 0请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值：a＝，b＝，c＝，（2）数轴上a，b，c所对应的点分别为A，B，C，则B，C两点间的距离为；（3）在（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动了t秒，①此时A表示的数为；此时B表示的数为；此时C表示的数为；②若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．解析：（1）-1；1；5；（2）4；（3）①-1-t；1+2t；5+5t；②BC-AB的值为2，不随着时间t的变化而改变．【分析】（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据c2＋|a+b|=0，即可求出a、c；（2）由（1）得B和C的值，通过数轴可得出B、C的距离；（3）①在（2）的条件下，通过运动速度和运动时间可表示出A、B、C；②先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．【详解】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．∵（c-5）2+|a+b|=0，∴a=-1，c=5；故答案为：-1；1；5；（2）由（1）知，b=1，c=5，b、c在数轴上所对应的点分别为B、C，B、C两点间的距离为4；（3）①点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，运动了t秒，此时A表示的数为-1-t；点B以每秒2个单位长度向右运动，运动了t秒，此时B表示的数为1+2t；点C以5个单位长度的速度向右运动，运动了t秒，此时C表示的数为5+5t．②BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴BC=5+5t–(1+2t)=3t+4，AB=1+2t–(-1-t)=3t+2，∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2．【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．23．画一条数轴，把1 12，0，3各数和它们的相反数在数轴上表示出来，并比较它们的大小，用“<”号连接．解析：数轴表示见解析；-3＜112-＜0＜112＜3．【分析】先画出数轴，把各数依次表示出来，从左到右用“＜”把各数连接起来即可．【详解】解：112-的相反数是112，0的相反数是0，3的相反数是-3，在数轴上的表示如图所示：从左到右用“＜”连接为：-3＜112-＜0＜112＜3．故答案为：-3＜112-＜0＜112＜3．【点睛】本题考查的是数轴的特点、相反数的定义及有理数的大小比较，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．24．计算： （1）4222(37)2(1)-+--⨯-； （2）157(36)2912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭． 解析：（1）-2；（2）-19 【分析】（1）先括号里，再计算乘方、乘法，最后相加减即可；（2）利用乘法的分配率进行计算．【详解】（1）4222(37)2(1)-+--⨯-=16162-+-=-2；（2）157(36)2912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭=157(36)(36)(36)2912⨯--⨯-+⨯- =－18+20－21=-19【点睛】 考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．25．探索代数式222a ab b -+与代数式2()a b -的关系（1）当5a =，2b =-时，分别计算两个代数式的值．（2）你发现了什么规律？（3）利用你发现的规律计算：2220182201820192019-⨯⨯+解析：（1）49， 49；（2）a 2−2ab ＋b 2＝（a−b ）2；（3）1．【分析】（1）将a 、b 的值分别代入a 2−2ab ＋b 2与（a−b ）2计算可得；（2）根据（1）中的两式的计算结果即可归纳总结出关系式；（3）原式变形后，利用完全平方公式计算可得结果．【详解】解：（1）当a ＝5，b ＝−2时，a 2−2ab ＋b 2＝52−2×5×（−2）＋（−2）2＝25＋20＋4＝49，（a−b ）2＝[5−（−2）]2＝72＝49；（2）根据（1）的计算，可得规律：a 2−2ab ＋b 2＝（a−b ）2；（3）20182−2×2018×2019＋20192＝（2018−2019）2＝（−1）2＝1．【点睛】本题考查了代数式的求值及完全平方公式的应用，解题的关键是掌握代数式的求值方法以及利用完全平方公式简便运算．26．计算下列各题：（1）()157362912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭； （2）()()2362295321343⎛⎫⎛⎫-÷⨯---+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解析：（1）19-；（2） 3.-【分析】 （1）利用乘法的分配律把原式化为：()()()1573636362912⨯--⨯-+⨯-，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案； （2）先计算乘方运算与小括号内的运算，同步把除法转化为乘法，再计算乘法运算，最后计算减法运算即可得到答案．【详解】解：（1）()157362912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭； ()()()1573636362912=⨯--⨯-+⨯-182021=-+-19=-（2）()()2362295321343⎛⎫⎛⎫-÷⨯---+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()4452741993⎛⎫=⨯⨯---+⨯ ⎪⎝⎭ 16733⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 16733=-+ 9 3.3=-=- 【点睛】本题考查的是乘法的分配律的应用，含乘方的有理数的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．27．计算（1）112(24)243⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭； （2）3221(2)(3)⎡⎤÷---⎣⎦；（3）2202035|5|(1)( 3.14)02π⎛⎫---⨯-+-⨯ ⎪⎝⎭． 解析：（1）22；（2）2117-；（3）54-． 【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算括号内的运算，最后除法运算即可得到结果； （3）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；【详解】（1）112(24)243⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭ 112(24)(24)(24)243⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12616=-+=22；（2）3221(2)(3)⎡⎤÷---⎣⎦()2189=÷--() 2117 =÷-2117=-；（3）2202035|5|(1)( 3.14)02π⎛⎫---⨯-+-⨯⎪⎝⎭255104=-⨯+54=-．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．高速公路养护小组，乘车沿东西方向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：＋17，－9，＋7，－15，－3，＋11，－6，－8，＋5，＋16（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？（2）若汽车耗油量为0.2升/千米，则这次养护共耗油多少升？解析：（1）最后到达的地方在出发点的东边，距出发点15千米；（2）这次养护共耗油19.4升．【分析】（1）求出这一组数的和，结果是正数则在出发点的东边，是负数则在出发点的西侧；（2）所走的路程是这组数据的绝对值的和，然后乘以0.2，即可求得耗油量．【详解】解：（1）17﹣9+7﹣15﹣3+11﹣6﹣8+5+16，＝17+7+11+5+16-（9+15+3+6+8），=15．答：最后到达的地方在出发点的东边，距出发点15千米；（2）(17971531168516)0.2 ++-+++-+-+++-+-++++⨯，＝97×02，＝19.4（升）．答：这次养护共耗油19.4升．【点睛】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了有理数的加减运算．29．体育课上全班男生进行了百米测试，达标成绩为14秒，下面是第一小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于14秒，“－”表示成绩小于14秒．-1.2+0.70-1-0.3+0.20.3+0.5解析：9秒．【分析】根据平均成绩的计算方法，先列式计算表格中所有数据的平均数，再加上标准成绩即可得出结果．【详解】解：1.20.7010.30.20.30.50.18-++--+++=-（秒）140.113.9-=（秒）．答：这个小组8名男生的平均成绩是13.9秒．【点睛】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，正确理解题目中正数和负数的含义是列式计算的关键．30．如图，在数轴上有三个点,,A B C，回答下列问题：（1）若将点B向右移动5个单位长度后，三个点所表示的数中最小的数是多少？（2）在数轴上找一点D，使点D到,A C两点的距离相等，写出点D表示的数；（3）在数轴上找出点E，使点E到点A的距离等于点E到点B的距离的2倍，写出点E 表示的数．解析：（1）1-（2）0.5（3）3-或7-【分析】（1）根据移动的方向和距离结合数轴即可回答；（2）根据题意可知点D是线段AC的中点；（3）在点B左侧找一点E，点E到点A的距离是到点B的距离的2倍，依此即可求解．【详解】解：（1）点B表示的数为-4+5=1，∵-1＜1＜2，∴三个点所表示的数最小的数是-1；（2）点D表示的数为（-1+2）÷2=1÷2=0.5；（3）点E在点B的左侧时，根据题意可知点B是AE的中点，AB=|-1+4|=3则点E表示的数是-4-3=-7．点E在点B的右侧时，即点E在AB上，则点E表示的数为-3．【点睛】本题主要考查的是有理数大小比较，数轴的认识，找出各点在数轴上的位置是解题的关键．。
2024七年级数学上册第二部分中考命题新趋势新趋势2新定义运算问题习题课件新版苏科版
“不是”)射线 PR ， PT 的“双倍和谐线”；射线
PT
是
(选填“是”或“不是”)射线 PS ， PR 的“双
倍和谐线”；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(2)类似的，在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间
若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成
的角恰好满足3倍的数量关系，则称该射线是另外两条射
−(−)
“哈利数”， a4是 a3的“哈利数”，…，依此类推，则
a2 024＝(
A. 3
D )
B. －2
1
2
3
C.
4
5
6
7
8
D.
9
3. [2024苏州姑苏区校级期中]在数学中，为了书写简便，18
世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”.如记 ∑ k ＝1
=
＋2＋3＋…＋( n －1)＋ n ； ∑ ( x ＋ k )＝( x ＋3)＋( x ＋4)
处便可安装摄像头，而如图②， P2不是“完美观测点”.
如图③，以下各点是“完美观测点”的是( D )
A. M1
B. M2
C. M3
D. M4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. a 是不为2的有理数，我们把
称为 a 的“哈利数”，例
−
如：3的“哈利数”是
＝－2，－2的“哈利数”是
−
＝ .已知 a1＝3， a2是 a1的“哈利数”， a3是 a2的
的值.
新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题
新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题知识框图定义作用用以计量事物的件数或表示事物次序的数 自然数计数 测量 标号或排序分数可以看做两个整数相除。
所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数，但 并不是所有的小数都可以化为分数，如圆周率π如升高 3 米与下除 2 米；盈利 3 万与亏损 5 万；收入 4 万与支出 8 万等具有相反意义的量为了表示具有相反意义的量，把一种意义的量规定为正，与之意义相反 的量规定为负正整数零 整数分数有 理 数负整数 有理数的分类或正分数 负分数负整数 负分数负有理数数轴两个数只有符号不同，称其中一个数为另一个数的相反数 互为相反数的两个数所对应的点在数轴上的位置关系绝对值的概念绝对值的法则绝对值数轴比较法法则比较法有理数大小的比较将考点与相应习题联系起来考点一、关于“……说法正确的是……”的题型（只可能是选择题）1、下列语句：①带“-”号的数是负数；②如果a 为正数，则-a 一定是负数；③不存在既不是正数又不是负数的数；④ 00C 表示没有温度，正确的有（）个2、下列说法不正确的是（）A.数轴是一条直线；B.表示-1 的点，离原点1 个单位长度；C.数轴上表示-3 的点与表示- 1 的点相距2 个单位长度；D.距原点3 个单位长度的点表示—3 或3。
3、下列说法中不正确的是（）A.－5 表示的点到原点的距离是5；B. 一个有理数的绝对值一定是正数；C. 一个有理数的绝对值一定不是负数；D. 互为相反数的两个数的绝对值一定相等.4、如图：下列说法正确的是（）a、b 的大小无法确定b比b大5、若｜a＋b|＝－（a＋b）,下列结论正确的是（）＋b≤0＋b<0 ＋b=0 ＋b>0比a大、b 一样大6、下列说法：①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②只有负数的绝对值是它的相反数；③正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等，错误的个数是( )个个个个7、如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（）A.+a 与-(-a)互为相反数B. +a 与-a 一定不相等一定是负数 D. -(+a)与+(-a)一定相等b b8、已知字母a、表示有理数，如果a+ =0，则下列说法正确的是（）b bA.a、中一定有一个是负数B.a、都为0b bC.a与不可能相等D.a与的绝对值相等9、下列说法正确的是（）A. -|a|一定是负数B. 只有两个数相等时，它们的绝对值才相等C. 若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数D. 若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数10、给出下面说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；③若|m|>m，则m<0；④若|a|>|b|，则a>b，其中正确的有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④考点二、具有相反意义的量、相反数、数轴、绝对值、有理数的分类等概念的直接考题1、某项科学研究，以45 分钟为1 个时间单位，并记每天上午10 时为0，10 时以前记为负，10 时以后记为正，例如9：15 记为-1，10：45 记为1 等等，以此类推，上午7：45 应记为12、在时钟上，把时针从钟面数字“12”按顺时针方向拨到“6”，计做拨了“+”周，那么，把时针从“12”21开始，拨了“”周后，该时针所指的钟面数字是43、若a 与b 互为相反数，则下列式子：①a+b=0；②a=-b；③|a|=|-b|；④a=b，其中一定成立的序号为4、数轴上到数-1 所表示的点的距离为5 的点所表示的数是5、绝对值最小的有理数是；绝对值最小的整数是6、写出所有不小于-4 并且小于的整数：；| －π|=_________7、绝对值小于 6 且大于 3 的整数有（ ） 个 个 个 个 8、下面关于 0 的说法：① 是整数，也是有理数；② 是正数，不是负数；③ 不是整数，是有理数；④ 是整数， 也是自然数，正确的是（ ） A.①② B.②③ C.①④ D.①③3 22 9、在 15， ，，-30，，- ，， ，……，……中，负分数的个数是（）π 8 7 7个个个个10、一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数点的个数是（1）判断墨迹盖住的整数共有多少个并说明理由。
部编数学七年级上册专题09压轴大题分类练(三大考点)(期末真题精选)(解析版)含答案
专题09 压轴大题分类练（三大考点）一．新定义（热点题型）1．在数轴上，把原点记作点O ，表示数1的点记作点A ．对于数轴上任意一点P （不与点O ，点A重合），将线段PO 与线段PA 的长度之比定义为点P 的特征值，记作P ，即P =PO PA，例如：当点P 是线段OA 的中点时，因为PO ＝PA ，所以P =1．（1）如图，点P 1，P 2，P 3为数轴上三个点，点P 1表示的数是−14，点P 2与P 1关于原点对称．①P 2= 13 ；②比较P 1，P 2，P 3的大小 P 1＜P 2＜P 3 （用“＜”连接）；（2）数轴上的点M 满足OM =13OA ，求M ；（3）数轴上的点P 表示有理数p ，已知P ＜100且P 为整数，则所有满足条件的p 的倒数之和为 198 ．试题分析：（1）①根据定义求出线段P 2A 与P 2O 的值即可解答；②根据定义分别求出P 1，P 3的值即可比较；（2）分两种情况，点M 在原点的右侧，点M 在原点的左侧；（3）根据题意可知，分两种情况，点P 在点A 的右侧，点P 在OA 之间．答案详解：解：（1）①∵点P 1表示的数是−14，点P 2与P 1关于原点对称，∴点P 2表示的数是14，∵点A 表示的数是1，∴P 2A ＝1−14=34，P 2O =14，∴P 2=P 2O P 2A =1434=13，②∵点P 1表示的数是−14，∴P 1A ＝1﹣（−14）=54，P 1O =14，∴P 1=P 1O P 1A =1454=15，∵1＜P 3＜2，∴1＜P 3O ＜2，0＜P 3A ＜1，∴P 3=P 3O P 3A ＞1，∴P 1＜P 2＜P 3，所以答案是：①13，②P 1＜P 2＜P 3；（2）分两种情况：当点M 在原点的右侧，∵OM =13OA ，∴OM =13，∴点M 表示的数为：13，∴MO =13，MA ＝1−13=23，∴M =MO MA =1323=12，当点M 在原点的左侧，∵OM =13OA ，∴OM =13，∴点M 表示的数为：−13，∴MO =13，MA ＝1﹣（−13）=43，∴M =MO MA =1343=14，∴M 的值为：12或14；（3）∵P ＜100且P 为整数，PA∴PO ＞PA 且PO 为PA 的倍数，当P =PO PA=1时，∴PO ＝PA ，即点P 为OA 的中点，∴p =12，∴当P =1时，p 的值为12，当P =PO PA=2时，∴PO ＝2PA ，当点P 在OA 之间，∴p ＝2（1﹣p ），∴p =23，当点P 在点A 的右侧，∴p ＝2（p ﹣1），∴p ＝2，∴当P =2时，p 的值为：2或23，当P =PO PA=3时，∴PO ＝3PA ，当点P 在OA 之间，∴p ＝3（1﹣p ），∴p =34，当点P 在点A 的右侧，∴p ＝3（p ﹣1），∴p =32，∴当P =3时，p 的值为：34或32，PA∴PO＝4PA，当点P在OA之间，∴p＝4（1﹣p），∴p=4 5，当点P在点A的右侧，∴p＝4（p﹣1），∴p=4 3，∴当P=4时，p的值为：45或43，…当P=POPA=99时，∴PO＝99PA，当点P在OA之间，∴p＝99（1﹣p），∴p=99 100，当点P在点A的右侧，∴p＝99（p﹣1），∴p=99 98，∴当P=99时，p的值为：99100或9998，∴所有满足条件的p的倒数之和为：2+32+12+43+23+54+34+...+10099+9899＝2+（32+12）+（43+23）+（54+34）+...+（10099+9899）＝2+2+2+2+...+2＝2×99＝198，所以答案是：198．2．对于点M ，N ，给出如下定义：在直线MN 上，若存在点P ，使得MP ＝kNP （k ＞0），则称点P 是“点M 到点N 的k 倍分点”．例如：如图，点Q 1，Q 2，Q 3在同一条直线上，Q 1Q 2＝3，Q 2Q 3＝6，则点Q 1是点Q 2到点Q 3的13倍分点，点Q 1是点Q 3到点Q 2的3倍分点．已知：在数轴上，点A ，B ，C 分别表示﹣4，﹣2，2．（1）点B 是点A 到点C 的 12 倍分点，点C 是点B 到点A 的 23 倍分点；（2）点B 到点C 的3倍分点表示的数是 1或4 ；（3）点D 表示的数是x ，线段BC 上存在点A 到点D 的2倍分点，写出x 的取值范围．试题分析：（1）通过计算BA BC ，CB CA的值，利用题干中的定义解答即可；（2）设这点为E ，对应的数字为a ，利用分类讨论的思想方法根据EB EC=3分别列出方程，解方程即可得出结论；（3）分两种情况：①点D 在点B 的左侧，②点D 在点C 的右侧，分别计算出x 的两个临界值即可得出结论．答案详解：解：（1）∵点A ，B ，C 分别表示﹣4，﹣2，2，∴BA ＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC ＝2﹣（﹣2）＝4，CA ＝2﹣（﹣4）＝6．∵BA BC =24=12，∴点B 是点A 到点C 的12倍分点，∵CB CA =46=23，∴点C 是点B 到点A 的23倍分点．所以答案是：12；23；（2）设这点为E ，对应的数字为a ，则EB EC=3．当点E 在B ，C 之间时，∵EBEC=3，∴x−(−2)2−x=3，解得：x＝1．当点E在C点的右侧时，∵EBEC=3，∴x−(−2)x−2=3，解得：x＝4．综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．所以答案是：1或4．（3）①点D在点B的左侧，∵−2−(−4)−2−x=2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值为﹣3．∴x的取值范围为﹣3≤x≤﹣2；②点D在点C的右侧，∵2−(−4)x−2=2，解得：x＝5，∴x的最大值为5，∴x的取值范围2≤x≤5，综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤﹣2或2≤x≤5．3．知识背景：已知a，b为有理数，规定：f（a）＝|a﹣2|，g（b）＝|b+3|，例如：f（﹣3）＝|﹣3﹣2|＝5，g（﹣2）＝|﹣2+3|＝1．知识应用：（1）若f（a）+g（b）＝0，求3a﹣5b的值；（2）求f（a﹣1）+g（a﹣1）的最值；知识迁移：若有理数a，b，c满足|a﹣b+c+3|＝a+b+c﹣3，且关于x的方程ax﹣2c＝2a﹣cx有无数解，f（2b﹣4）≠0，求|a+2b+c+5|﹣|a+b+c+7|﹣|﹣3﹣b|的值．试题分析：（1）根据题中的新规定列出等式，再利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果；（2）根据题中的新规定列出等式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的代数意义求出最小值即可；知识迁移：求出a+c＝0，b＞3，再计算绝对值即可．答案详解：解：（1）∵f（a）＝|a﹣2|，g（b）＝|b+3|，∴f（a）+g（b）＝|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∴3a﹣5b＝3×2﹣5×（﹣3）＝6+15＝21；（2）f（a﹣1）+g（a﹣1）＝|a﹣3|+|a+2|，∵|a﹣3|+|a+2|表示点a到3和﹣2的距离之和，∴|a﹣3|+|a+2|≥5，∴f（a﹣1）+g（a﹣1）有最小值5；知识迁移：整理ax﹣2c＝2a﹣cx得（a+c）x＝2（a+c），∵方程有无数解，∴a+c＝0，∵|a﹣b+c+3|＝|（a+c）﹣（b﹣3）|，当a+c≥b﹣3时，|a﹣b+c+3|＝a+c﹣b+3＝a+b+c﹣3，∴b＝3，∴a+c≥0；当a+c≤b﹣3时，|a﹣b+c+3|＝b﹣3﹣a﹣c＝a+b+c﹣3，∴a+c＝0，∴b≥3；∵f（2b﹣4）≠0，∴|2b﹣4﹣2|≠0，∴b≠3，∴b＞3，∴|a+2b+c+5|﹣|a+b+c+7|﹣|﹣3﹣b|＝|2b+5|﹣|b+7|﹣|﹣3﹣b|＝2b +5﹣（b +7）﹣（3+b ）＝﹣5．4．如图，点A 、O 、C 、B 为数轴上的点，O 为原点，A 表示的数是﹣8，C 表示的数是2，B 表示的数是6．我们将数轴在点O 和点C 处各弯折一次，弯折后CB 与AO 处于水平位置，线段OC 处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O 为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记AB 为“折坡数轴”拉直后点A 和点B 的距离：即AB =AO +OC +CB ，其中AO 、OC 、CB 代表线段的长度．（1）若点T 为“折坡数轴”上一点，且TA +TB =16，请求出点T 所表示的数；（2）定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点P 从点A 处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O ，再上坡移动，当移到点C 时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点P 出发的同时，动点Q 从点B 处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C ，再下坡到点O ，然后再沿OA 方向移动，当点P 重新回到点A 时所有运动结束，设点P 运动时间为t 秒，在移动过程中：①点P 在第 212 秒时回到点A ；②当t ＝ 2或225或315或345 时，PQ =2PO ．（请直接写出t 的值）试题分析：（1）首先判断出点T 的位置，设T 表示的数为x ，根据T 的位置分两种情况列出方程求解即可；（2）①分别根据“时间＝路程÷速度”求出点P 运动的时间，再求和即可；②分别求出点Q 在运动时间，结合点P ，点Q 的不同位置，根据PQ =2PO 列出方程求解即可． 答案详解：解：（1）∵AB =AO +OC +CB ＝|﹣8|+6＝14，而TA +TB =16，16＞AB ，∴T 不在AB 内，设T 表示的数为x ，当T 在点A 的左侧时，TA +TB =TA +TA +AB =（﹣8﹣x ）+（﹣8﹣x ）+14＝16，解得：x ＝﹣9；当T 在点B 的右侧时，TA +TB =TB +TB +AB =（﹣8﹣x ）+（﹣8﹣x ）+14＝16，解得：x ＝7，所以答案是：﹣9和7；（2）①∵AO ＝8，∴点P 从A 到O 所需时间为：t 1=AO 2=82=4，∵OC ＝2，∴点P 从O 到C 所需时间为：t 2=OC12×2=2，返回时，点P 从C 到O 所需时间为：t 3=OC 2×2=24=12，点P 从O 到A 所需时间为：t 4＝t 1＝4，∴点P 运动的总时间t ＝t 1+t 2+t 3+t 4=212，故点P 在212秒时回到了点A ，所以答案是：212；②（Ⅰ）当点P 在AO 上，点Q 在BC 上时，PQ =PO +OC +CQ ＝（8﹣2t ）+2+（4﹣t ）＝14﹣3t ，PO ＝8﹣2t ，∵PQ =2PO ，∴14﹣3t ＝2（8﹣2t ），解得：t ＝2；（Ⅱ）当P 在OC 上，此时Q 在OC 上，设点Q 在OC 上的时间为t ′，a ）当OP +QC ＝OC ，即t ′+2t ′＝2，即t ′=23时，P 、Q 相遇，PQ =OC ﹣OP ﹣QC ＝2﹣t ′﹣2t ′，PO =t ′，由PQ =2PO 得：2﹣t ′﹣2t ′＝2t ′，解得：t ′=25，∴t ＝4+25=225；b ）当Q 到达点O 时，点P 刚到OC 的中点，并继续向上走2﹣1＝1（秒），PQ =OP +OQ ＝t ′+（t ′﹣1），PO =t ′，由PQ =2PO 得：2t ′﹣1＝2t ′，此时无解；c ）当Q 在OA 上，P 在OC 向下移动时，PQ =OQ +OP ＝（t ′﹣1）+[2﹣2×2（t ′﹣2）]，PO =2﹣2×2（t ′﹣2），由PQ =2PO 得，（t ′﹣1）+[2﹣2×2（t ′﹣2）]＝2[2﹣2×2（t ′﹣2）]，解得：t ′=115，此时，t ＝4+t ′=315；（Ⅲ）当点P 重新回到OA 上，设P 回到O 点后运动时间为t ″，在t ″之间，点P 、Q 已经运动了4+2+12=132（秒），此时，Q 在OA 上走了132−4﹣1=32，即OQ =32×1=32，1）PQ =OQ ﹣OP ＝（32+t ″）﹣2t ″，PO =2t ″，由PQ =2PO 得：（32+t ″）﹣2t ″＝2t ″，解得，t ″=310，此时，t =132+310=345；2）当P 在Q 右侧，超过Q 后，PQ =OP ﹣OQ ＝2t ″﹣（32+t ″），PO =2t ″，由PQ =2PO 得：2t ″﹣（32+t ″）＝4t ″，解得，t ″=−12（舍去），综上所述，当t ＝2或225或315或345秒时，PQ =2PO ．所以答案是：2或225或315或345．5．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点N是线段b的中点，称线段MN 的长度为线段a与b的“中距离”．已知数轴上，线段AB＝2（点A在点B的左侧），EF＝6（点E在点F的左侧）．（1）当点A表示1时，①若点C表示﹣2，点D表示﹣1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB与CH的“中距离”为 1 ；②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是 1或﹣3 ．（2）线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB、EF都向数轴正方向运动；当点E与点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段AB、EF的速度始终保持不变．设运动时间为t秒．①当t＝2.5时，线段AB与EF的“中距离”为 3.5 ；②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值．试题分析：（1）①先由点A和AB的长求得点B表示的数，然后求得AB的中点所表示的数，再求得CH的中点所表示的数，即可得到线段AB与CH的“中距离”；②先由①得到AB的中点所表示的数，然后设点E表示的数为x，则点F表示的数为x+6，进而求得EF的中点的所表示的数，最后由线段AB与EF的“中距离”为2列出方程求得x的值；（2）①先用含有t的式子分别表示点A、点B、点E、点F所表示的数，然后得到t＝2.5时点A、B、E、F所表是的数，进而求得线段AB与EF的“中距离”；②分情况讨论，分为点E向数轴正方向和向数轴负方向运动两种情况讨论，然后根据条件列出方程求得t的值．答案详解：解：（1）①∵AB＝2（点A在点B的左侧），点A表示1，∴点B表示3，∴线段AB的中点表示2，∵点C表示﹣2，点H表示4，∴线段CH的中点表示1，∴线段AB与CH的“中距离”为2﹣1＝1，所以答案是：1．②由①得，线段AB的中点表示2，设点E表示x，则点F表示x+6，∴线段EF的中点表示x+3，∵线段AB与EF的“中距离”为2，∴|x+3﹣2|＝2，解得：x＝1或x＝﹣3，∴点E表示的数是1或﹣3，所以答案是：1或﹣3．（2）由题意得，点A表示的数为1+t，点B表示的数为3+t，当点E向数轴正方向运动时，点E表示的数为2t，点F表示的数为2t+6，当点E与点B重合时，3+t＝2t，解得：t＝3，∴当点E向数轴负方向运动时，点E表示的数为6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t，点F表示的数为12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，①当t＝2.5时，点E向数轴正方形运动，点A表示的数为3.5，点B表示的数为5.5，点E表示的数为5，点F表示的数为11，∴线段AB的中点表示的数为4.5，线段EF的中点表示的数为8，∴线段AB与EF的“中距离”为8﹣4.5＝3.5；所以答案是：3.5．②当点E向数轴正方向运动，即0＜t≤3时，线段AB的中点表示的数为2+t，线段EF的中点表示的数为2t+3，∵线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度，∴|2t+3﹣（2+t）|＝2，解得：t＝1或t＝﹣3（舍）；当点E向数轴负方向运动，即t＞3时，线段AB的中点表示的数为2+t，线段EF的中点表示的数为15﹣2t，∵线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度，∴|15﹣2t﹣（2+t）|＝2，解得：t =113或t ＝5，∴当线段AB 与EF 的“中距离”恰好等于线段AB 的长度时，t 的值为1或113或5．6．我们将数轴上点P 表示的数记为x P ．对于数轴上不同的三个点M ，N ，T ，若有x N ﹣x T ＝k （x M ﹣x T ），其中k 为有理数，则称点N 是点M 关于点T 的“k 星点”．已知在数轴上，原点为O ，点A ，点B 表示的数分别为x A ＝﹣2，x B ＝3．（1）若点B 是点A 关于原点O 的“k 星点”，则k ＝ −32 ；若点C 是点A 关于点B 的“2星点”，则x C ＝ ﹣7 ；（2）若线段AB 在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB 的中点D ．是否存在某一时刻，使得点D 是点A 关于点O 的“﹣2星点”？若存在，求出线段AB 的运动时间；若不存在，请说明理由；（3）点Q 在数轴上运动（点Q 不与A ，B 两点重合），作点A 关于点Q 的“3星点”，记为A '，作点B 关于点Q 的“3星点”，记为B '．当点Q 运动时，QA '+QB '是否存在最小值？若存在，求出最小值及相应点Q 的位置；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）由“k 星点”的定义列出方程可求解；（2）设点表示的数为a ，点B 表示的数a +5，则线段AB 的中点D 表示的数为2a 52，由“k 星点”的定义列出方程可求解；（3）先求出A '，B '表示的数，可求QA '+QB '＝|﹣6﹣3y |+|9﹣3y |，由绝对值的性质可求解． 答案详解：解：（1）∵点B 是点A 关于原点O 的“k 星点”，∴3﹣0＝k （﹣2﹣0），解得：k =−32，∵点C 是点A 关于点B 的“2星点”，∴x C ﹣3＝2×（﹣2﹣3），∴x C ＝﹣7，所以答案是：−32，﹣7；（2）设点表示的数为a ，点B 表示的数a +5，则线段AB 的中点D 表示的数为2a 52，∵点D 是点A 关于点O 的“﹣2星点”，∴2a 52−0＝﹣2×（a ﹣0），∴a =−56，∴t =−61=76，∴当t =76，使得点D 是点A 关于点O 的“﹣2星点”；（3）当点Q 在线段AB （点Q 不与A ，B 两点重合）上时，QA '+QB '存在最小值，理由如下：设点Q 表示的数为y ，∵点A '是点A 关于点Q 的“3星点”，∴点A '表示的数为﹣6﹣2y ，∵点B '是点B 关于点Q 的“3星点”，∴点B '表示的数是9﹣2y ，∴QA '+QB '＝|﹣6﹣2y ﹣y |+|9﹣2y ﹣y |＝|﹣6﹣3y |+|9﹣3y |，当y ＜﹣2时，QA '+QB '＝3﹣6y ＞15，当﹣2＜y ＜3时，QA '+QB '＝15，当y ＞3时，QA '+QB '＝6y ﹣3＞15，∴当点Q 在线段AB （点Q 不与A ，B 两点重合）上时，QA '+QB '存在最小值，最小值为15．7．【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠COA =12∠BOC ，则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．例如，如图1，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝20°，则∠AOC =12∠BOC ，称射线OC 是射线OA 的伴随线；同时，由于∠BOD =12∠AOD ，称射线OD 是射线OB 的伴随线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ 40 °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是 α6 ．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．试题分析：（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．答案详解：解：（1）40°，α6；（2）射线OD与OA重合时，t=1805=36（秒）①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，∴t＝20；若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，∴t＝25；所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．②相遇之前：（i）如图1，OC是OA的伴随线时，则∠AOC=12∠COD即3t=12（180﹣5t﹣3t）∴t=90 7（ii）如图2，OC是OD的伴随线时，则∠COD=12∠AOC即180﹣5t﹣3t=12×3t∴t=360 19相遇之后：（iii）如图3，OD是OC的伴随线时，则∠COD=12∠AOD即5t+3t﹣180=12（180﹣5t）∴t=180 7（iv）如图4，OD是OA的伴随线时，则∠AOD=12∠COD即180﹣5t=12（3t+5t﹣180）∴t＝30所以，综上所述，当t=907，36019，1807，30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．8．如图1，对于线段AB和∠A′OB′，点C是线段AB上的任意一点，射线OC′在∠A′OB′内部，如果ACAB=∠A′OC′∠A′OB′，则称线段AC是∠A′OC′的伴随线段，∠A′OC′是线段AC的伴随角．例如：AB＝10，∠A′OB′＝100°，若AC＝3，则线段AC的伴随角∠A′OC′＝30°．（1）当AB＝8，∠A′OB′＝130°时，若∠A′OC′＝65，试求∠A′OC′的伴随线段AC的长．（2）如图2，对于线段AB和∠A′OB′，AB＝6，∠A′OB′＝120°．若点C是线段AB上任一点，E，F分别是线段AC，BC的中点，∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段AE，AC，AF的伴随角，则在点C从A运动到B的过程中（不与A，B重合），∠E′OF′的大小是否会发生变化？如果会，请说明理由；如果不会，请求出∠E′OF′的大小．（3）如图3，已知∠AOC是任意锐角，点M，N分别是射线OA，OC上的任意一点，连接MN，∠AOC的平分线OD与线段MN相交于点Q．对于线段MN和∠AOC，线段MP是∠AOD的伴随线段，点P和点Q能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；如果不能，请说明理由．试题分析：（1）根据伴随角和伴随线段的定义定义列出等式即可求解；（2）由中点的定义可得EF=12AB，再利用伴随角和伴随线段的定义列出等式，可得出结论；（3）由伴随角和伴随线段的定义可得，点P和点Q重合时，是MN的中点，画出图形，测量即可．答案详解：解：（1）由伴随角和伴随线段的定义可知，ACAB =∠A′OC′∠A′OB′，∴AC8=65°130°=12，∴AC＝4．（2）不会，∠E′OF′＝60°．理由如下：∵点E，F分别是线段AC，BC的中点，∴EC=12AC，CF=12BC，∴EF=12AB＝3．∵∠A′OE′，∠A′OC′，∠A′OF′分别是线段AE，AC，AF的伴随角，∴AEAB=∠A′OE′∠A′OB′，ACAB=∠A′OC′∠A′OB′，AFAB=∠A′OF′∠A′OB′，∵EF＝AF﹣AE，∴EFAB=AFAB−AEAB=∠A′OF′∠A′OB′−∠A′OE′∠A′OB′=∠E′OF′∠A′OB′=12，∵∠A′OB′＝120°，∴∠E′OF′＝60°．（3）能，理由如下：∵OD是∠AOC的平分线，∴∠AOD=12∠AOC，∵线段MP是∠AOD的伴随线段，∴MPMN=∠AOD∠AOC=12．即点P是MN的中点．若点P和点Q重合，则点Q为MN的中点．根据题意画出图形如下所示：测量得出当点P和点Q重合时，NP＝MQ＝1.25cm．二．数形结合之数轴与方程（经典题型）9．我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，例如：点A，B在数轴上分别对应的数为a，b，则A，B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|．根据以上知识解决问题：（1）如图1所示，在数轴上点E，F表示的数分别为﹣5，3，则EF＝ 8 ；（2）①如图2所示，点P表示数x，点M表示数﹣2，点N表示数2x+14，且MN＝2PM，求：点P和点N表示的数．②在上述①的条件下，数轴上是否存在点Q．使PQ+QN=52QM？若存在，请直接写出点Q所表示的数；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）由点E ，F 表示的数分别为﹣5，3，可得EF ＝|﹣5﹣3|＝8；（2）①由点P 表示数x ，点M 表示数﹣2，点N 表示数2x +14，得MN ＝2x +16，PM ＝﹣2﹣x ，即得2x +16＝2（﹣2﹣x ），可解得P 表示的数是﹣5，N 表示的数是4；②设Q 表示的数是m ，分四种情况：当Q 在P 左侧时，（﹣5﹣m ）+（4﹣m ）=52（﹣2﹣m ），解得m ＝﹣8，当Q 在P 、M 之间，（m +5）+（4﹣m ）=52（﹣2﹣m ），解得m =−285（不合题意，舍去），当Q 在M 、N 之间，（m +5）+（4﹣m ）=52（m +2），解得m =85，当Q 在N 右侧，（m +5）+（m ﹣4）=52（m +2），解得m ＝﹣8（不合题意，舍去）．答案详解：解：（1）∵点E ，F 表示的数分别为﹣5，3，∴EF ＝|﹣5﹣3|＝8，所以答案是：8；（2）①∵点P 表示数x ，点M 表示数﹣2，点N 表示数2x +14，∴MN ＝（2x +14）﹣（﹣2）＝2x +16，PM ＝﹣2﹣x ，∵MN ＝2PM ，∴2x +16＝2（﹣2﹣x ），解得x ＝﹣5，∴2x +14＝2×（﹣5）+14＝4，答：P 表示的数是﹣5，N 表示的数是4；②设Q 表示的数是m ，当Q 在P 左侧时，PQ ＝﹣5﹣m ，QN ＝4﹣m ，QM ＝﹣2﹣m ，∵PQ +QN =52QM ，∴（﹣5﹣m ）+（4﹣m ）=52（﹣2﹣m ），解得m ＝﹣8，当Q 在P 、M 之间，PQ ＝m +5，QN ＝4﹣m ，QM ＝﹣2﹣m ，∵PQ +QN =52QM ，∴（m +5）+（4﹣m ）=52（﹣2﹣m ），解得m =−285（不合题意，舍去），当Q在M、N之间，PQ＝m+5，QN＝4﹣m，QM＝m+2，∵PQ+QN=52 QM，∴（m+5）+（4﹣m）=52（m+2），解得m=8 5，当Q在N右侧，PQ＝m+5，QN＝m﹣4，QM＝m+2，∵PQ+QN=52 QM，∴（m+5）+（m﹣4）=52（m+2），解得m＝﹣8（不合题意，舍去），综上所述，Q表示的数是﹣8或8 5．10．如图，数轴上A，B两点对应的数分别是﹣20和10，P，Q两点同时从原点出发，P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，Q以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点Q到达点B后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1时，线段PQ＝ 7 ；（2）当PQ＝5时，求t的值；（3）在P，Q两点运动的过程中，若点A，点P，点Q三点中的一个点是另外两个点为端点的线段的中点，直接写出t的值．试题分析：（1）根据数轴上两点间距离公式可得；（2）分两种情况：当0≤t≤2或2＜t≤10时，分别列出方程可得答案；（3）分两种情况：当0≤t≤2或2＜t≤10时，再根据线段中点的定义可得答案．答案详解：解：（1）t＝1时，点P表示的数是﹣2，点Q表示的数是5，∴PQ＝5﹣（﹣2）＝7，所以答案是：7；（2）当0≤t≤2时，点P表示的数是﹣2t，点Q表示的数是5t，则5t ﹣（﹣2t ）＝5，解得t =57；当2＜t ≤10时，点P 表示的数是﹣2t ，点Q 表示的数是10﹣（5t ﹣10）＝20﹣5t ，则|（20﹣5t ）﹣（﹣2t ）|＝5，解得t ＝5或253；所以当PQ ＝5时，t 的值是57或5或253；（3）当0≤t ≤2时，点P 表示的数是﹣2t ，点Q 表示的数是5t ，点A 表示的数是﹣20，若点P 是线段AQ 的中点，则PA ＝PQ ，﹣2t +20＝5t +2t ，解得t =209＞2，故不存在此情况；当2＜t ≤10时，点P 表示的数是﹣2t ，点Q 表示的数是10﹣（5t ﹣10）＝20﹣5t ，点A 表示的数是﹣20，若点P 是线段AQ 的中点，则PA ＝PQ ，﹣2t +20＝20﹣5t +2t ，解得t ＝0，故不存在此情况；若点Q 是线段AP 的中点，则QA ＝PQ ，20﹣5t +20＝﹣2t ﹣20+5t ，解得t ＝7.5．当A 是PQ 的中点时，2t ﹣20＝30﹣5（t ﹣2），t =607，综上，t 的值是7.5或607．11．规定：A ，B ，C 是数轴上的三个点，当CA ＝3CB 时我们称C 为[A ，B ]的“三倍距点”，当CB ＝3CA 时，我们称C 为[B ，A ]的“三倍距点”．点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b 且a ，b 满足（a +3）2+|b ﹣5|＝0．（1）a ＝ ﹣3 ，b ＝ 5 ；（2）若点C 在线段AB 上，且为[A ，B ]的“三倍距点”，则点C 所表示的数为 3 ；（3）点M 从点A 出发，同时点N 从点B 出发，沿数轴分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒．当点B 为M ，N 两点的“三倍距点”时，求t 的值．试题分析：（1）根据非负性的性质．即可求得a ，b 的值；（2）根据“三倍距点”的定义即可求解；（3）分点B为[M，N]的“三倍距点”和点B为[N，M]的“三倍距点”两种情况讨论即可．答案详解：解：（1）∵（a+3）2+|b﹣5|＝0，∴a+3＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣3，b＝5，所以答案是：﹣3；5；（2）∵点A所表示的数为﹣3，点B所表示的数为5，∴AB＝5﹣（﹣3）＝8，∵点C为[A，B]的“三倍距点”，点C在线段AB上，∴CA＝3CB，CA+CB＝AB＝8，∴CB＝2，∴点C所表示的数为5﹣2＝3，所以答案是：3；（3）根据题意可知：点M所表示的数为3t﹣3，点N所表示的数为t+5，∴BM＝|5﹣（3t﹣3）|＝|8﹣3t|，BN＝|t+5﹣5|＝t，（t＞0），当点B为[M，N]的“三倍距点”时，即BM＝3BN，∴|8﹣3t|＝3t，∴8﹣3t＝3t或8﹣3t＝﹣3t，解8﹣3t＝3t，得：t=4 3，而方程8﹣3t＝﹣3t，无解，当点B为[N，M]的“三倍距点”时，即3BM＝BN，∴3|8﹣3t|＝t，∴24﹣9t＝t或24﹣9t＝﹣t，解得：t=125或t＝3，综上所述，当t=125或t＝3或t=43时，点B为M，N的“三倍距点”．12．已知，C，D为线段AB上两点，C在D的左边，AB＝a，CD＝b，且a，b满足（a﹣120）2+|4b ﹣a|＝0．（1）a ＝ 120 ，b ＝ 30 ；（2）如图1，若M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，求线段MN 的长；（3）线段CD 在线段AB 上从端点D 与点B 重合的位置出发，以3cm /s 的速度沿射线BA 的方向运动，同时点P 以相同速度从点A 出发沿射线AB 的方向运动，当点P 与点D 相遇时，点P 原路返回且速度加倍，线段CD 的运动状态不变，直到点C 到达点A 时线段CD 和点P 同时停止运动，设运动时间为ts ，在此运动过程中，当t 为多少s 时线段PC ＝10cm ？试题分析：（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出a ，b 的值；（2）由中点的定义得AM =12AD =12（AC +CD ）=12（AC +30）=12AC +15）、CN =12BC =12（AB ﹣AC ）=12（120﹣AC ）＝60−12AC ，由MN ＝CN ﹣CM 即可求解；（3）分两种情况：①点P 与点D 相遇前，②点P 与点D 相遇后，每种情况再分点P 在点C 左边，点P 在点C 右边解答即可．答案详解：解：（1）∵a ，b 满足（a ﹣120）2+|4b ﹣a |＝0，∴a ﹣120＝0，4b ﹣a ＝0，∴a ＝120，b ＝30．所以答案是：120；30；（2）∵M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，∴AM =12AD =12（AC +CD ）=12（AC +30）=12AC +15，CN =12BC =12（AB ﹣AC ）=12（120﹣AC ）＝60−12AC ，∴CM ＝AM ﹣AC =12AC +15﹣AC ＝15−12AC ，∴MN ＝CN ﹣CM ）＝60−12AC ﹣（15−12AC ）＝﹣60−12AC ﹣15+12AC ＝45（cm ）；（3）由题意得：点P 与点D 相遇的时间为120÷（3+3）＝20（s ），点C 到达点A 的时间为（120﹣30）÷3＝30（s ），①点P 与点D 相遇前，即t ＜20时，Ⅰ点P 在点C 左边，线段PC ＝10cm ，∴PD ＝PC +CD ＝10+30＝40（cm ），由题意得：（3+3）t ＝120﹣40，解得：t =403，Ⅱ点P 在点C 右边，线段PC ＝10cm ，∴PD ＝CD ﹣PC ＝30﹣10＝20（cm ），由题意得：（3+3）t ＝120﹣20，解得：t =503，②点P 与点D 相遇后，即20≤t ≤30时，Ⅰ点P 在点C 左边，线段PC ＝10cm ，∴PD ＝PC +CD ＝10+30＝40（cm ），由题意得：（3×2﹣3）（t ﹣20）＝40，解得：t =1003＞30（不合题意，舍去），Ⅱ点P 在点C 右边，线段PC ＝10cm ，∴PD ＝CD ﹣PC ＝30﹣10＝20（cm ），由题意得：（3×2﹣3）（t ﹣20）＝20，解得：t =803，综上，当t 为403s 或503s 或803s 时线段PC ＝10cm ．13．如图，在数轴上点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，数轴上有一点C ，且AC ＝2CB ，a 、b 满足|a +4|+（b ﹣11）2＝0．（1）a ＝ ﹣4 ，b ＝ 11 ；（2）求点C 表示的数；（3）点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若AP +BQ ＝2PQ ，求t 的值．试题分析：（1）根据非负数的性质列方程，分别求出a 、b 的值即可；（2）设点C 表示的数为x ，分三种情况进行讨论，一是点C 在点A 与点B 之间，二是点C 在点B 的右侧，三是点C 在点A 的左侧，对符合题意的情况列方程求出x 的值，对不符合题意的情况直接舍去即可；（3）先根据题意得AP ＝4t ，BQ ＝3t ，则点P 表示的数是﹣4+4t ，点Q 表示的数是11﹣3t ，再按点P 在点Q 左侧和点P 在点Q 右侧分别列方程求出t 的值即可．答案详解：解：（1）∵|a +4|≥0，（b ﹣11）2≥0，且|a +4|+（b ﹣11）2＝0，∴|a +4|＝0，（b ﹣11）2＝0，∴a ＝﹣4，b ＝11，所以答案是：﹣4，11．（2）设点C 表示的数为x ，若点C 在A 、B 两点之间，则x +4＝2（11﹣x ），解得x ＝6；若点C 在点B 的右侧，则x +4＝2（x ﹣11），解得x ＝26；若点C 在点A 的左侧，则CA ＜CB ，∴不存在CA ＝2CB 的情况，综上所述，点C 表示的数是6或26．（3）由题意可知，AP ＝4t ，BQ ＝3t ，∴点P 表示的数是﹣4+4t ，点Q 表示的数是11﹣3t ，当点P 在点Q 左侧时，则4t +3t ＝2[11﹣3t ﹣（﹣4+4t ）]，解得t =107；当点P 在点Q 右侧时，则4t +3t ＝2[﹣4+4t ﹣（11﹣3t ）]，解得t =307，综上所述，t 的值为107或307．三．数形结合之角的动边与方程（超难题型）14．如图，∠AOD ＝130°，∠BOC ：∠COD ＝1：2，∠AOB 是∠COD 补角的13．（1）∠COD ＝ 60° ；（2）平面内射线OM 满足∠AOM ＝2∠DOM ，求∠AOM 的大小；（3）将∠COD 固定，并将射线OA ，OB 同时以2°/s 的速度顺时针旋转，到OA 与OD 重合时停止．在旋转过程中，若射线OP 为∠AOB 的平分线，OQ 为∠COD 的平分线，当∠POQ +∠AOD ＝50°时，求旋转时间t （秒）的取值范围．试题分析：（1）设∠BOC ＝α，则∠COD ＝2α，由此可表达∠AOB 的度数，最后根据角度的和差计算建立方程，求解即可；（2）需要分两种情况，一种是射线OM 在∠AOD 的内部，一种是射线OM 在∠AOD 的外部，根据角度的和差关系建立方程，求解即可；（3）本题需要分类讨论，当射线OB 与射线OQ 重合前，射线OP 与射线OQ 重合前，射线OA 与射线OP 重合前，射线OP 与射线OD 重合后，由此得出t 的取值范围分别是0≤t ≤40，40＜t ≤45，45＜t ≤50，50＜t ≤55，55＜t ≤65．画出图形分别表示∠AOD 和∠POQ ，建立方程求出t 的值．答案详解：解：（1）设∠BOC ＝α，则∠COD ＝2α，∵∠AOB 是∠COD 补角的13，∴∠AOB =13（180°﹣2α）＝60°−23α，∵∠AOB +∠BOC +∠COD ＝∠AOD ，即60°−23α+α+2α＝130°，解得α＝30°，∴∠COD ＝2α＝60°；所以答案是：60°；（2）由于射线OM 的位置不确定，所以需要分两种情况：①射线OM 在∠AOD 的内部，如图1：∵∠AOM ＝2∠DOM ，∠AOD ＝130°，∴∠AOM +∠DOM ＝∠AOD ，即3∠DOM ＝130°，∴∠DOM ＝（1303）°，∴∠AOM ＝2∠DOM ＝（2603）°；②射线OM 在∠AOD 的外部，如图2：∵∠AOM ＝2∠DOM ，∠AOD ＝130°，∴∠AOM +∠DOM ＝360°﹣∠AOD ，即3∠DOM ＝360°﹣130°，∴∠DOM ＝（2303）°，∴∠AOM ＝2∠DOM ＝（4603）°；综上，∠AOM 的度数为：（2603）°或（4603）°；（3）由（1）知，∠AOB ＝40°，∠BOC ＝30°，∠COD ＝60°；∵射线OP 为∠AOB 的平分线，OQ 为∠COD 的平分线，∴∠AOP ＝∠BOP ＝20°，∠COQ ＝∠COQ ＝30°，当射线OA ，OB 同时以2°/s 的速度顺时针旋转时，∠AOD ＝130°﹣2°t ，当射线OB 与射线OQ 重合前，即0≤t ≤30，如图3，此时∠POQ ＝∠AOD ﹣∠AOP ﹣∠DOQ ＝130°﹣2°t ﹣20°﹣30°＝80°﹣2°t ，∴∠POQ +∠AOD ＝80°﹣2°t +130°﹣2°t ＝210°﹣2°t ，不是50°，不符合题意；射线OB 与射线OQ 重合后，射线OP 与射线OQ 重合前，即30＜t ≤40时，如图4，此时∠BOD ＝90°﹣2°t ，∴∠BOQ ＝∠DOQ ﹣∠BOD ＝30°﹣（90°﹣2°t ）＝2°t ﹣60°，∴∠POQ ＝∠BOP ﹣∠BOQ ＝20°﹣（2°t ﹣60°）＝80°﹣2°t ；此时∠POQ+∠AOD＝80°﹣2°t+130°﹣2°t+＝210°﹣4°t，不是50°，不符合题意；射线OP与射线OQ重合后，射线OB与射线OD重合前，即40＜t≤45时，如图5，此时∠BOD＝90°﹣2°t，∴∠BOQ＝∠DOQ﹣∠BOD＝30°﹣（90°﹣2°t）＝2°t﹣60°，∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；射线OB与射线OD重合后，射线OA与射线OQ重合前，即45＜t≤50时，如图6，此时∠BOD＝2°t﹣90°，∴∠BOQ＝∠DOQ+∠BOD＝30°+（2°t﹣90°）＝2°t﹣60°，∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；射线OA与射线OQ重合后，射线OP与射线OD重合前，即50＜t≤55，如图7，此时∠BOD＝2°t﹣90°，∴∠BOQ＝∠DOQ+∠BOD＝30°+（2°t﹣90°）＝2°t﹣60°，∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；射线OP与射线OD重合后，射线OA与射线OD重合前，即55＜t≤65时，如图8，此时∠BOD＝2°t﹣90°，∴∠BOQ＝∠DOQ+∠BOD＝30°+（2°t﹣90°）＝2°t﹣60°，∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝2°t﹣60°﹣20°＝2°t﹣80°；此时∠POQ+∠AOD＝2°t﹣80°+130°﹣2°t＝50°，符合题意；综上可知，当∠POQ+∠AOD＝50°时，旋转时间t（秒）的取值范围为40≤t≤65．15．如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB 到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）．试题分析：（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；（3）由已知条件求AC的长，再利用中点的定义可求解BM，BN的度数，结合MN＝BM+BN可求解；答案详解：解：（1）∵∠AOB ＝100°，∠BOC ＝60°，∴∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ＝100°+60°＝160°，∵OM 平分∠AOC ，∴∠MOC ＝∠MOA =12∠AOC ＝80°，∴∠BOM ＝∠AOB ﹣∠AOM ＝100°﹣80°＝20°，∵ON 平分∠BOC ，∴∠BON ＝∠CON ＝30°，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON ＝20°+30°＝50°；（2）∵∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，∴∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ＝α+β，∵OM 平分∠AOC ，∴∠MOC ＝∠MOA =12∠AOC =12（α+β），∴∠BOM ＝∠AOB ﹣∠AOM ＝α−12（α+β）=12α−12β，∵ON 平分∠BOC ，∴∠BON ＝∠CON =12β，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12α−12β+12β=12α，故∠MON =α2；（3）∵AB ＝a ，BC ＝m ，∴AC ＝AB +BC ＝a +m ，∵M 是AC 中点，∴MC =12AC =a m 2，∵N 是BC 中点，∴NC =12BC =m 2，∴MN ＝MC ﹣NC =a m 2−m 2=a 2．16．如图，∠AOB ＝90°，∠COD ＝60°．（1）若OC 平分∠AOD ，求∠BOC 的度数；（2）若∠BOC=114∠AOD，求∠AOD的度数；（3）若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT=12∠NOT或者∠NOT=12∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值．试题分析：（1）利用角平分线的定义解答即可；（2）设∠AOD＝x，利用角的和差列出关于x的方程，解方程即可求得结论；（3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t的代数式表示出∠AOP和∠QOP的度数，依据“和谐线”的定义列出方程，解方程即可求得结论．答案详解：解：（1）OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOC=12∠AOD．∵∠COD＝60°，∴∠AOD＝2∠COD＝120°；（2）设∠AOD＝x，则∠BOC=114x．∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC，∵∠AOB＝90°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝150°﹣∠BOC．∴x＝150−114x．解得：x＝140°．∴∠AOD的度数为140°．（3）当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．∴∠AOP＝90°﹣∠BOP＝90°﹣12t，∠QOP＝90°﹣∠AOQ﹣∠BOP＝90°﹣21t．∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，∴∠QOP=12∠AOP．∴90°﹣21t=12（90°﹣12t）．解得：t＝3．当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．∴∠AOP＝90°﹣∠BOP＝90°﹣12t，∠QOP＝∠BOP﹣∠BOQ＝∠BOP﹣（90°﹣∠AOQ）＝21t﹣90°．∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，∴∠QOP=12∠AOP或∠AOP=12∠QOP．∴21t﹣90°=12（90°﹣12t）或90°﹣12t=12（21t﹣90）．解得：t＝5或t＝6．当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，。