运筹学 运输问题分解
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运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运筹学 运输问题分解52页PPT
运筹学 运输问题分解
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 1ห้องสมุดไป่ตู้、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 1ห้องสมุดไป่ตู้、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
管理运筹学运输问题
管理运筹学运输问题引言运筹学是管理学的一个分支，旨在研究和开发决策支持工具和技术，以优化各种问题的决策过程。
其中，运输问题是运筹学领域中一个重要的问题之一，它涉及到如何有效地分配有限的资源，以实现最佳的运输方案。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，并探讨其解决方法。
运输问题概述运输问题是在给定供应地和需求地之间寻找最佳运输方案的数学模型。
一般来说，这个问题可以分为两个主要的组成部分：供应地和需求地。
•供应地：这是物品或产品的来源地，例如工厂或仓库。
每个供应地都有一定数量的可供应物品，同时还有一个运输成本与不同需求地之间的运输。
•需求地：这是物品或产品的目的地，例如商店或客户。
每个需求地都有一定数量的需求，同时还有一个运输成本与不同供应地之间的运输。
运输问题的目标是找到一种分配方案，以最小化总运输成本，并满足供应地和需求地的限制。
运输问题可以用数学模型描述，其中包括以下变量和约束条件：•变量：–xi：从第i个供应地运输的物品数量–yj：向第j个需求地运输的物品数量•约束条件：–供应地约束：∑xi ≤ si，其中si为第i个供应地可供应的物品数量–需求地约束：∑yj ≥ dj，其中dj为第j个需求地的需求物品数量–非负约束：xi ≥ 0，yj ≥ 0，物品数量不能为负数•目标函数：–最小化总运输成本：Minimize ∑(cij * xi * yj)，其中cij为从供应地i到需求地j的单位运输成本这个数学模型可以通过线性规划方法进行求解，其中运输问题可以转化为标准线性规划问题，并使用相应的算法和技术进行求解。
求解运输问题的方法可以分为以下几种：1.传统方法：传统的方法包括北西角法、最小元素法、Vogel法等。
这些方法通过逐步分配物品数量，计算运输成本，并根据不同的策略进行调整，直到找到最优解。
2.网络流方法：网络流方法将运输问题转化为最小成本流问题，并利用网络流算法进行求解。
这些算法可以有效地处理大规模的运输问题，并提供较快的求解速度。
运筹学运输问题-图文
❖ 建模：设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量（i=1， …m；j=1，…n。
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
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Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
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.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
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Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
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Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
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Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
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.
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Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学运输问题解析
2. 典型的运输问题：
cij
a1 a2 …
am
A1
A2 … Am
B1
b1
B2
…
b2 … bn
Bn
求最小运费的运输方案
销地 产地 A1
B1
c11 c21
B2
c12 c22
…
Bn
c1n c2n
产量
a1
A2
… Am
a2
…
cm1 b1 b2
cm2 …
cmn bn
am
销量
销地 产地
B1
B2
…
Bn
产量
A1
ij
j =1, 2, …,n
xij 0
产销平衡问题为等式约束。 产销平衡问题中各产地产量之和与各销 售地点的销量之和相等。
二、运输问题数学模型的特点： 1. 运输问题一定有最优解；
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 +x12+x13 x11
x12
xij 0
x21+x22+x23 + x21 +x22 x13 +x23
min Z cij xij
i 1 j 1
2
3
x
j 1
2
3
ij
ai
bj
i=1,2
x
i 1
ij
j =1, 2, 3
xij 0
典型运输问题的数学模型
min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
x
x
i 1
n
j 1 m
ij
ai
bj
i=1,2,…,m
《管理运筹学》02-7运输问题
在运输问题中，混合整数规划可以处理更为复 杂的约束条件和多阶段决策过程。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
运筹学运输问题完整可编辑版本精选ppt课件
• 三、沃格尔法（VOGLE）
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
100
销量
X22
X23
150
200
100 450
用西北角法确定例3-2初始调运方案
表3-3 运输问题作业表（运价表）
调 销地 运 量
产地
A1
A2
B1
c11
X11
c21
X21
销量
b1
B2
c12
X12
c22
X22
b2
B3
产量
c13
X13
c23
X23
b3
a1
a2
2
3
ai bj
i1
j1
3、举例
例3-2 甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 距离见表3-4，求使总运输量最少的 调运方案。
第五章 运输与指派问题
运输问题的表示
运输问题模型、运价表
运输问题的求解
表上作业法
指派问题
简述
运输、指派和转运问题，实际上都可以用 L.P. 模型加以描述，所以可以认为它们是 L.P. 的 特例 单列一章的原因在于：应用面极广，实践性 很强，而特有的数学结构使得人们设计出了 特别有效的方法对此类模型进行求解 本章的重点在：掌握表格化方法求解运输
提出问题
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
100
销量
X22
X23
150
200
100 450
用西北角法确定例3-2初始调运方案
表3-3 运输问题作业表（运价表）
调 销地 运 量
产地
A1
A2
B1
c11
X11
c21
X21
销量
b1
B2
c12
X12
c22
X22
b2
B3
产量
c13
X13
c23
X23
b3
a1
a2
2
3
ai bj
i1
j1
3、举例
例3-2 甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 距离见表3-4，求使总运输量最少的 调运方案。
第五章 运输与指派问题
运输问题的表示
运输问题模型、运价表
运输问题的求解
表上作业法
指派问题
简述
运输、指派和转运问题，实际上都可以用 L.P. 模型加以描述，所以可以认为它们是 L.P. 的 特例 单列一章的原因在于：应用面极广，实践性 很强，而特有的数学结构使得人们设计出了 特别有效的方法对此类模型进行求解 本章的重点在：掌握表格化方法求解运输
提出问题
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018/10/27 7
表3-2 销地 产地 A1 A2
B1 3
B2 4
B3 2 6 x13 3
产量
10-6=4 10 4-3=1 1-1=0
x 311
x21 0 3
x12 1
x22 4 5
x0 23
4-4=0 4
4-4=0 3-3=0 5-1=4 6-6=0 3 5 6 销量 min z 3x11 4 x12 2 x13 3x21 5 x22 3x23
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题
第三节
第四节
2018/10/27
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
1
§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量
分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是 b1,b2,…,bn ；假如从产地 Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 样调运这些物品才能使总运费最小？
解题思路： （1）假设变量 （2）分析约束 （3）明确目标 （4）建立模型 （5）求解变量 （6）x12 x13 10 x x x 4 23 21 22 x11 x21 3 x12 x22 5 x13 x23 6 2018/10/27 x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 0
2018/10/27 4
二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n Q 其中： Q ai b j
i 1 j 1 m n
是运输问题的 一个可行解
另外，在运输问题的数学模型中,目标函数是取最小值,它 的值不会趋于无穷大, 在实际问题中也不可能出现这种情况 , 因此,运输问题有有限最优解。 对运输问题数学模型的约束条件进行整理,得其系数矩阵 的结构形式为：
2018/10/27 5
2.运输问题约束条件的系数矩阵
x11 1 x12 x1n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn
m行
n行
系数列向量的结构：
第i个
第(m+j)个
T
Aij 0,,0,1,0,,0,1,0,,0
由某一产地运往各 个销地的物品数量 之和等于该产地的 产量
由各个产地运往某 一销地的物品数量 之和等一该销地的 销量 非负条件
非负约束
这是一个线性规划问题，可以用单纯形法求解。 但是，由于它所含变量多，求解极不方便。即使求解一个 m＝3，n＝4的简单运输问题，变量数目也将达到19个之多。 因此，必须寻找更简便的求解方法。
2018/10/27
称 为 产 销 平 衡 运 输 问 题
A2
┇
Am
┇
xm 1
┇
xm 2
┅
┅
┇
am
xmn
销量
b1
b2
┅
bn
2018/10/27
变量 xij( i = 1,2,..,m;j = 1,2,…,n )为由产地 Ai 运往销地 Bj 的物品数量。 m n m n ai b j ai b j
即除第i个和第( m + j )个分量为1外，其它分量全等于0。
2018/10/27 6
运输问题的特点:
(1) 约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2) 约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于 每一个变量在前 m 个约束方程中出现一次,在后 n 个约束方 程中也出现一次。 如果是产销平衡运输问题,还有以下特点： （3）所有结构约束条件都是等式约束； （4）各产地产量之和等于各销地销量之和。 例1 某种物品先存放在两个仓库A1和A2中，再运往三个 使用地B1，B2，B3，其间的运距（或单位运价）如表3-2小方 格中的数据所示，试建立使总运输量（或总运费）最小的运 输问题数学模型。
i 1 j 1
称 为 产 销 不 平 衡 运 输 问 题
i 1
j 1
3
产销平衡运输问题的数学模型 极小化
min z cij xij
i 1 j 1 m n
总运输费用 产量约束 销量约束
n xij ai ; i 1,2,...,m 1 jm xij b j ; j 1,2,...,n i 1 xij 0 ; i 1,2,...,m; j 1,2,...,n
显然 x11=3,x12=1,x13=6,x22=4, x21=0,x23=0 是 该 运 输 问 题的一个可行解。 目标函数值z = 45
8
§3-2 用表上作业法求解运输问题
它是求解运输问题的一种简便而有效的方法,其求解过程 在运输表上进行,它是一种迭代法,其步骤为： 1. 先按某种规划找出一个初始解(初始调运方案）； 2. 对现行解作最优性判别； 3. 若不是最优解 ,就在表上对它进行调整改进 ,得出一个 新解； 4. 再判别,再改进,直到得到运输问题的最优解为止； ※在迭代过程中,得出的所有解都要求是运输问题的基可 行解。 例2 某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产 的产品由4 个销售地出售，各工厂的生产量，各销售地的销 售量（假定单位均为吨）以及各工厂到各销售地的单位运价 （元/吨）示于表3-4中，要求研究产品如何调运才能使总运 费最小？
这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输
问题。把这个问题整理成为一个表,称之为运价表。 （见下页）
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表3-1 运价表
销地 产地 A1 x11 x21 B1 c11 c21 … cm1 x12 x22 B2 c12 c22 … cm2 ┅ ┅ ┅ … … … … x1n x2n Bm c1 n c2 n … cmn 产量 a1 a2
表3-2 销地 产地 A1 A2
B1 3
B2 4
B3 2 6 x13 3
产量
10-6=4 10 4-3=1 1-1=0
x 311
x21 0 3
x12 1
x22 4 5
x0 23
4-4=0 4
4-4=0 3-3=0 5-1=4 6-6=0 3 5 6 销量 min z 3x11 4 x12 2 x13 3x21 5 x22 3x23
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题
第三节
第四节
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运输问题的进一步讨论
应用问题举例
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§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量
分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是 b1,b2,…,bn ；假如从产地 Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 样调运这些物品才能使总运费最小？
解题思路： （1）假设变量 （2）分析约束 （3）明确目标 （4）建立模型 （5）求解变量 （6）x12 x13 10 x x x 4 23 21 22 x11 x21 3 x12 x22 5 x13 x23 6 2018/10/27 x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 0
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二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n Q 其中： Q ai b j
i 1 j 1 m n
是运输问题的 一个可行解
另外，在运输问题的数学模型中,目标函数是取最小值,它 的值不会趋于无穷大, 在实际问题中也不可能出现这种情况 , 因此,运输问题有有限最优解。 对运输问题数学模型的约束条件进行整理,得其系数矩阵 的结构形式为：
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2.运输问题约束条件的系数矩阵
x11 1 x12 x1n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn
m行
n行
系数列向量的结构：
第i个
第(m+j)个
T
Aij 0,,0,1,0,,0,1,0,,0
由某一产地运往各 个销地的物品数量 之和等于该产地的 产量
由各个产地运往某 一销地的物品数量 之和等一该销地的 销量 非负条件
非负约束
这是一个线性规划问题，可以用单纯形法求解。 但是，由于它所含变量多，求解极不方便。即使求解一个 m＝3，n＝4的简单运输问题，变量数目也将达到19个之多。 因此，必须寻找更简便的求解方法。
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称 为 产 销 平 衡 运 输 问 题
A2
┇
Am
┇
xm 1
┇
xm 2
┅
┅
┇
am
xmn
销量
b1
b2
┅
bn
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变量 xij( i = 1,2,..,m;j = 1,2,…,n )为由产地 Ai 运往销地 Bj 的物品数量。 m n m n ai b j ai b j
即除第i个和第( m + j )个分量为1外，其它分量全等于0。
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运输问题的特点:
(1) 约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2) 约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于 每一个变量在前 m 个约束方程中出现一次,在后 n 个约束方 程中也出现一次。 如果是产销平衡运输问题,还有以下特点： （3）所有结构约束条件都是等式约束； （4）各产地产量之和等于各销地销量之和。 例1 某种物品先存放在两个仓库A1和A2中，再运往三个 使用地B1，B2，B3，其间的运距（或单位运价）如表3-2小方 格中的数据所示，试建立使总运输量（或总运费）最小的运 输问题数学模型。
i 1 j 1
称 为 产 销 不 平 衡 运 输 问 题
i 1
j 1
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产销平衡运输问题的数学模型 极小化
min z cij xij
i 1 j 1 m n
总运输费用 产量约束 销量约束
n xij ai ; i 1,2,...,m 1 jm xij b j ; j 1,2,...,n i 1 xij 0 ; i 1,2,...,m; j 1,2,...,n
显然 x11=3,x12=1,x13=6,x22=4, x21=0,x23=0 是 该 运 输 问 题的一个可行解。 目标函数值z = 45
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§3-2 用表上作业法求解运输问题
它是求解运输问题的一种简便而有效的方法,其求解过程 在运输表上进行,它是一种迭代法,其步骤为： 1. 先按某种规划找出一个初始解(初始调运方案）； 2. 对现行解作最优性判别； 3. 若不是最优解 ,就在表上对它进行调整改进 ,得出一个 新解； 4. 再判别,再改进,直到得到运输问题的最优解为止； ※在迭代过程中,得出的所有解都要求是运输问题的基可 行解。 例2 某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产 的产品由4 个销售地出售，各工厂的生产量，各销售地的销 售量（假定单位均为吨）以及各工厂到各销售地的单位运价 （元/吨）示于表3-4中，要求研究产品如何调运才能使总运 费最小？
这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输
问题。把这个问题整理成为一个表,称之为运价表。 （见下页）
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表3-1 运价表
销地 产地 A1 x11 x21 B1 c11 c21 … cm1 x12 x22 B2 c12 c22 … cm2 ┅ ┅ ┅ … … … … x1n x2n Bm c1 n c2 n … cmn 产量 a1 a2