最优化方法练习题答案修改建议版本删减版

练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答:决策变量、目标函数与约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答:针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===L L ,讨论解的可行域D ,若存在一点*X D ∈,对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解,最优解存在;迭代算法的收敛性就是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X L L ,满足(1)()()()K K f X f X +≤,则迭代法收敛;收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<,(1)()()k k k x x x ε+-<,()()(1)()k k f x f x ε+-<,()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<,()()k f x ε∇<等等。

练习题二1、某公司瞧中了例2、1中厂家所拥有的3种资源R 1、R 2、与R 3,欲出价收购(可能用于生产附加值更高的产品)。

如果您就是该公司的决策者,对这3种资源的收购报价就是多少？(该问题称为例2、1的对偶问题)。

解:确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润,这样原厂家才可能卖。

因此有如下线性规划问题:123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论与方法(包括对偶规划模型形式、对偶理论与对偶单纯形法)。

答:略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题:(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ; (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132Λi x x x x x x x x x x t s x x z i解:(1)引入松弛变量x 4,x 5,x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0,故确定x 2为换入非基变量,以x 2的系数列的正分量对应去除常数列,最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0,故确定x 3为换入非基变量,以x 3的系数列的正分量对应去除常数列,最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0,表明已求得最优解:*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =,去除添加的松弛变量,原问题的最优解为:*(0,8/3,1/3)X =。

(2)根据题意选取x 1,x 4,x 5,为基变量:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132Λi x x x x x x x x x x t s x x z i因检验数σ2<0最小,故确定x 2为换入非基变量,以x 2的系数列的正分量对应去除常数列,最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0最小,故确定x 3为换入非基变量,以x 1的系数列的正分量对应去除常数列,最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0,表明已求得最优解:*(9,4,1,0,0)X =。

8、某地区有A 、B 、C 三个化肥厂,供应本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。

已知各化肥厂可供应化肥的数量与各产粮区对化肥的需要量,以及各厂到各区每吨化肥的运价如表2-28所示。

试制定一个使总运费最少的化肥调拨方案。

表2- 1解:设A 、B 、C 三个化肥厂为A 1、A 2、A 3,甲、乙、丙、丁四个产粮区为B 1、B 2、B 3、B 4;c ij 为由A i 运化肥至B j 的运价,单位就是元/吨;x ij 为由A i 运往B j 的化肥数量(i=1,2,3;j=1,2,3,4)单位就是吨;z 表示总运费,单位为元,依题意问题的数学模型为:3411min ij ij i j z c x ===∑∑112131122232132333142434111213142122232431323334663..3787x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎪++=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎪+++=⎩ 该题可以用单纯形法或matlab 自带工具箱命令(linprog)求解。

*9、求解下列不平衡运输问题(各数据表中,方框内的数字为单位价格ij c ,框外右侧的一列数为各发点的供应量i a ,框底下一行数就是各收点的需求量j b ):(1) 5 1 7 10 要求收点3的需求必须正好满足。

6 4 6 80 3 2 5 15 75 20 50(2) 5 1 0 20 要求收点1的需求必须由发点4供应。

3 2 4 10 7 5 2 15 9 6 0 15 5 10 15 解答略。

练习题三1、用0、618法求解问题12)(min 30+-=≥t t t t ϕ的近似最优解,已知)(t ϕ的单谷区间为]3,0[,要求最后区间精度0.5ε=。

答:t=0、8115;最小值-0、0886、(调用golds 、m 函数) 2、求无约束非线性规划问题min ),,(321x x x f =123222124x x x x -++ 的最优解解一:由极值存在的必要条件求出稳定点:1122f x x ∂=-∂,228f x x ∂=∂,332fx x ∂=∂,则由()0f x ∇=得11x =,20x =,30x = 再用充分条件进行检验:2212f x ∂=∂,2228f x ∂=∂,2232fx ∂=∂,2120f x x ∂=∂∂,2130f x x ∂=∂∂,2230f x x ∂=∂∂ 即2200080002f ⎛⎫ ⎪∇= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵得极小点为T *(1,0,0)x =,最优值为-1。

解二:目标函数改写成min ),,(321x x x f =222123(1)41x x x -++- 易知最优解为(1,0,0),最优值为-1。

3、用最速下降法求解无约束非线性规划问题。

2221212122)(m in x x x x x x X f +++-=其中T x x X ),(21=,给定初始点T X )0,0(0=。

解一:目标函数()f x 的梯度112122()()142()122()()f x x x x f x x x f x x ∂⎡⎤⎢⎥∂++⎡⎤⎢⎥∇==⎢⎥-++∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦(0)1()1f X ⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦令搜索方向(1)(0)1()1d f X -⎡⎤=-∇=⎢⎥⎣⎦再从(0)X 出发,沿(1)d 方向作一维寻优,令步长变量为λ,最优步长为1λ,则有(0)(1)0101X d λλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故(0)(1)2221()()()2()2()2()f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--+-+-+=-=令'1()220ϕλλ=-=可得11λ= (1)(0)(1)1011011X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求出(1)X 点之后,与上类似地,进行第二次迭代:(1)1()1f X -⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦ 令(2)(1)1()1d f X ⎡⎤=-∇=⎢⎥⎣⎦令步长变量为λ,最优步长为2λ,则有(1)(2)111111X d λλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故(1)(2)2222()()(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)521()f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--++-+-+++=--=令'2()1020ϕλλ=-=可得 215λ= (2)(1)(2)2110.8111 1.25X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (2)0.2()0.2f X ⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦ 此时所达到的精度(2)()0.2828f X ∇≈ 本题最优解11.5X *-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,()1,25f X *=-练习题四1、石油输送管道铺设最优方案的选择问题:考察网络图4-6,设A 为出发地,F 为目的地,B,C,D,E 分别为四个必须建立油泵加压站的地区。

图中的线段表示管道可铺设的位置,线段旁的数字表示铺设这些管线所需的费用。

问如何铺设管道才能使总费用最小？图4- 1解:第五阶段:E1—F 4;E2—F 3;第四阶段:D1—E1 —F 7;D2—E2—F 5;D3—E1—F 5;第三阶段:C1—D1—E1 —F 12;C2—D2—E2—F 10;C3—D2—E2—F 8;C4—D3—E1—F 9; 第二阶段:B1—C2—D2—E2—F 13; B2—C3—D2—E2—F 15; 第一阶段:A —B1—C2—D2—E2—F 17; 最优解:A —B1—C2—D2—E2—F 最优值:172、 用动态规划方法求解非线性规划123123max ()27,,0f x x x x x x x =++=⎧⎨≥⎩解:1239,9,9x x x ===,最优值为9。

3、用动态规划方法求解非线性规划22112121212max 765..21039,0z x x x s t x x x x x x ⎧=++⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥⎩解:用顺序算法阶段:分成两个阶段,且阶段1 、2 分别对应12,x x 。

决策变量:12,x x状态变量:,i i v w 分别为第j 阶段第一、第二约束条件可供分配的右段数值。

1111*22211111111100(,)max {76}min{76,76}x v x w f v w x x v v w w ≤≤≤≤=+=++*111min{,}x v w =22*2*2222122220522222222222205(,)max{5(2,3)}max{5min{7(2)6(2),7(3)6(3)}}x x f v w x f v x w x x v x v x w x w x ≤≤≤≤=+-+=+-+-+++由于2210,9v w ==,2**222222222205(,)(10,9)max{min{33292760,68396621}x f v w f x x x x ≤≤==-+++ 可解的129.6,0.2x x ==,最优值为702、92。