第六讲 三级火箭发射卫星模型综述
数学建模习题
数学建模习题1．木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。
由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。
已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu ）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u 为贮存时间（季度数）。
已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为：由于木材不易久贮，所有库贮木材于每年秋季售完。
确定最优采购计划。
2．飞机投放炸弹问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。
又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。
3．三级火箭发射问题建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1） 设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v=r g R ;，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球表面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v 应为多少。
（2） 设火箭飞行中速度为v （t ），质量为m （t ），初速为零，初始质量0m ，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽视重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明v （t ）=)(ln 0t m mu 。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。
（3） 火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料仓等）s m ，其中s m 在f m +s m 中的比例记作λ，一般λ不小于10%。
证明若p m =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为m ν=-λln u .已知目前的u=3km/s ，取λ=10%，求m ν。
这个结果说明什么。
数学建模培训火箭问题3
分，显然效率会高一些，如图1.3所示。
在图1.3中
dm t dt
表示丢弃的结构质量，
表示燃烧掉的燃料喷出的气体质量。
dm (1 ) t dt
设在 t 到 t t 时间内，把总丢弃质量当作1 （总丢弃质量等于丢弃的结构质量加上燃烧掉的 燃料质量）。
把丢弃的结构质量当作λ (0<λ<1) ，则燃烧掉 的燃料质量为(1-λ) 。 当然，不可能制造这样的理想火箭。即要作 到无用部分外壳连续不断地丢弃。
立模型的方法。
发射卫星为什么用三级火箭? 当你坐在电视机前观看奥运会精彩的比赛实 况时，你可曾想到是通过什么手段把画面瞬间从 比赛现场传到世界各地呢？
是通讯卫星。
卫星靠什么送入太空轨道的呢？ 靠的是三级火箭。
那么为什么要用三级火箭，而不用一级、
二级或四级火箭呢？ 下面通过运载火箭的数学模型来论证三级 火箭的设计是最优的。
数学模型
主讲 雷鸣
为什么要学习数学模型?
随着现代科学技术的迅猛发展，要求人们 在解决各类实际问题时更加精确化和定量化，特 别是在计算机的普及和广泛应用的今天，数学更 深入地渗透到各种科学技术领域。 数学模型正是从定性和定量的角度去分析 和解决所遇到的实际问题，为人们解决实际问题 提供一种数学方法，一种思维方式，因此越来越 受到人们的重视。
(1.8)
(1.8)式左端表示火箭所受的推力T。
令
dv T m dt
dm T u dt
得
即是说，推力等于燃料消耗的速度与气体相
对于火箭运动速度的乘积。
将(1.8)式改写为 请现在推导上式
dv d (ln m) u dt dt
u为常数，积分上式得
三级火箭发射卫星数学模型
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 定律有
m(t
)v(t
)
m(t
t
)v(t
t
)
dm dt
t
(t )
v(t) u
m(t
t
)v(t
t
)
m(t
)v(t
)
dm dt
t
(t )
v(t) u
m(t)v(t) v(t) dm t u dm t (t )
dt
三级火箭发射卫星数 学模型
第六讲 运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为 了使问题简单明了，我们只从动 力系统和整体结构上分析，并且 总假设火箭的推动力是足够强大 的。
一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星
二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 ，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀 速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 中于球心； 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
如何选择质量m1，m2，…，mn，使得有效负荷mp 最大。 2) 模型假设 同前所述
团结 信赖 创造 挑战
2) 模型建立 根据我们的分析，可以建立一个单目标，非线性约束 的优化问题。
max m p
S.T .
v
u
ln
m1 m2
m1 m2
mn mp m2
mn mp m2
m1 m2 mn m p m0 ,
火箭的初始质量为
航天卫星发射工作原理
航天卫星发射工作原理航天卫星的发射是一个复杂而关键的过程，涉及到多个阶段和各种工作原理的应用。
本文将介绍航天卫星发射的工作原理及其在不同阶段的应用。
一、发射前准备阶段在航天卫星发射前，需要进行一系列的准备工作。
首先是选择合适的发射场地，根据卫星任务要求和地理条件来确定最佳的发射场所。
其次是对航天器进行检测、调试和包装，确保其正常工作。
最后是将卫星与运载火箭进行组装，确保卫星能够顺利地与运载火箭连接。
二、离地起飞阶段航天卫星的发射通常使用的是多级火箭，离地起飞阶段是整个发射过程的起点。
在这个阶段，火箭利用内部的推进剂，通过引擎燃烧产生的推力来克服地球引力，达到离地起飞的目标。
这个阶段的工作原理主要是推力和重力的相互作用，通过逐渐减小重力与推力的差值，使火箭能够逐步脱离地球引力的束缚。
三、加速上升阶段在离地起飞后，火箭进入加速上升阶段。
这个阶段的工作原理是火箭引擎通过燃烧燃料产生推力，使火箭持续加速上升，以克服空气的阻力和地球的引力。
此外，火箭在这个阶段还会利用多级火箭的原理，逐级分离废弃的火箭级别，减轻负载质量，提高速度和高度。
四、进入轨道阶段当火箭达到一定高度和速度后，进入进入轨道阶段。
这个阶段的工作原理主要是利用火箭的动力学原理和引力平衡原理。
具体而言，通过调整火箭的高度、速度和方向，使得火箭能够穿过地球的大气层，进入空间。
在进入轨道后，火箭会进一步调整其轨道和姿态，确保其能够与地球的旋转速度和方向相匹配，以保持相对固定的位置。
五、卫星分离阶段当火箭将卫星送入预定轨道后，卫星分离阶段开始。
在这个阶段，卫星与火箭分离，并通过各种机械结构或推力装置，使其进一步调整轨道和姿态，以达到预定任务目标。
在卫星分离后，其工作原理将根据具体任务而有所不同。
比如，通信卫星将开始进行天线展开和通信设备启动，遥感卫星将开始进行数据采集和传输等。
综上所述，航天卫星发射的工作原理涉及到火箭的推力、重力平衡、动力学和引力平衡等原理的应用。
多级火箭建模讲解
得：
2
3ln
mm022.是呢m1m1mm否？1PP 三最11级简 火 单 0箭 的.mmm1m就 方PP2 2是 法11最 就 省 是
3ln
k 1 2 0.1k 1
6 ln
r
假设(i)
（2）设火g箭=9推.8进1米力/及秒速2，度得的:分析
假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 卫星速度
(公里)
(公里/秒)
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)
有： m(t t) m(t) dm t O(t2 )
100
7.86
记火箭喷出的气体相d对t 于火箭的速度为20u0 （常数），7.80
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。
（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫
的调整，以保证区域内飞机互不相撞；
（5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域
Pi 代表第i架飞机，
v 飞机的飞行速度
t 时间
(xi, yi ) 第i架飞机的位置
(xi0, yi0)第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻）
又应用W（Wn131 .1WW112） WW可m32 in求WWk得n11k12末nk速k1kn2度ulan：kn[mk1W1 1
织女星火箭固体发动机研制故障综述
Ｐ８０［２，６］ ３０００
Ｚｅｆｉｒｏ ２３［２，１８］ １９２５
Ｚｅｆｉｒｏ ９Ａ［２，２６］ １９０５
Ｌｅｎｇｔｈ ／ ｍｍ
１０ ５６０
７５８０
３８６０
Ｐｒｏｐｅｌｌａｎｔ ｔｙｐｅ
ＨＴＰＢ １９１２
ＨＴＰＢ １９１２
ＨＴＰＢ １９１２
Ｐｒｏｐｅｌｌａｎｔ ｍａｓｓ ／ ｋｇ
８８ ３６５
２３ ８２０
封头热结构失效，导致火箭出现异常，发射任务失败。 ２０２０ 年 １１ 月 １６ 日，因控制系统电缆装反导致火箭上 面级失去控制，“ 织女星” 运载火箭火箭发射 ８ ｍｉｎ 后 偏离预定轨道，发射任务失败。
除了现役的 Ｖｅｇａ 运载火箭，自 ２０１４ 年起，欧空局 陆续开启 Ｖｅｇａ Ｃ、Ｖｅｇａ Ｅ、Ｖｅｇａ Ｃ Ｌｉｇｈｔ 等一系列固体 运载火箭的研发。 Ｖｅｇａ Ｃ 运载火箭发动机采用三级固 体火箭发动机加末端修正级液体火箭发动机构型：第 一级为 Ｐ１２０Ｃ 固体发动机，第二级为 Ｚｅｆｉｒｏ ４０ 固体发 动机， 第 三 级 为 Ｚｅｆｉｒｏ ９ 固 体 发 动 机， 末 级 为 改 进 型 ＡＶＵＭ 液体发动机。 近地轨道约 ２３００ ｋｇ 的运载能力， 计划 ２０２１ 年 首 飞。 Ｖｅｇａ Ｅ 运 载 火 箭 第 一 级 采 用 Ｐ１２０Ｃ 固体发动机，第二级为 Ｚｅｆｉｒｏ ４０ 固体发动机，第 三级采用 Ｍ１０ 液体发动机，瞄准小型卫星发射市场， 计划 ２０２４ 年首飞。 Ｖｅｇａ Ｃ Ｌｉｇｈｔ 是 Ｖｅｇａ Ｃ 的缩小版 本，该火箭仅由 Ｚｅｆｉｒｏ ４０、 Ｚｅｆｉｒｏ ９ （ 改进型） 和 ＡＶＵＭ ｐｌｕｓ 组成，将用于发射重达几百公斤甚至更少的有效 载荷［２］ 。
Ｖｅｇａ 运载火箭的研究始于 ２０００ 年，２０１２ 年完成 首飞，２０１３ 年完成首次商业飞行。 截止到 ２０２０ 年 １２ 月，共进行了 １７ 次发射，成功 １５ 次，失败 ２ 次。 ２０１９ 年 ７ 月 １０ 日，火箭遭遇了首次发射失败。 搭载阿联酋 首枚光学间谍卫星的织女星火箭从法属圭亚库鲁航天 发射中心起飞 １３０ ｓ 以后，因第二级 Ｚｅｆｉｒｏ ２３ 发动机前
高中二年级下学期物理《反冲现象 火箭》教学设计
学生课上做题，展示并讲解分析过程和答案
强化学生知识的应用能力，规范学生解题步骤。
【例题2】载人的气球原来静止在离地面高为h的空中，气球质量为M，质量为m的人要沿气球上的绳梯安全着地，如图所示，则绳梯长度至少为多长？
答案：பைடு நூலகம்
学生自主做题，解决实际问题。
强化新学知识的应用。
备课人
学科
物理
课题
人教版高中物理选择性必修一反冲现象火箭
教学目标
核心素养目标：
1.物理观念：理解反冲现象的本质，培养学生的运动与相互作用观和能量观；
2.科学思维：培养学生物理建模的思维，学会从多角度分析物理现象的科学思维，培养学生科学严谨的逻辑思维，进一步提高运用动量守恒定律分析和解决实际问题的能力
【提出问题】卫星发射最小速度为7.9km/s，为如何能提升火箭的发射速度，解决卫星发射问题？
1、现代的火箭喷气速度通常在2000-5000m/s
2、增加质量比：一般小于10，否则火箭的强度会有问题。
【解决办法】：多级火箭
多级火箭发射时，较大的第一级火箭燃烧结束后，便自动脱落，接着第二级、第三级依次工作，燃烧结束后自动脱落，这样可以不断地减小火箭壳体的质量，减轻负担．目前多级火箭一般都是三级火箭，因为三级火箭能达到目前发射人造卫星的需求．而且级数越多，结构越复杂，并难以控制。
知识拓展
我国航天成就
培养学生的爱国情怀和民族自豪感
教学反思与评价
本节课是动量守恒定律在生活中的一类特殊应用，课程难度不是特别大，但是与实际生活中的情境联系的尤为紧密。所以本节课的设计突出从实际生活中的情境进行带入，帮助学生构建理想化的物理模型，利用所构建的模型和理论知识来解决实际问题。所以本节课要充分发挥学生的主观能动性，让学生参与到课堂活动中来。
航天模型入门知识点总结
航天模型入门知识点总结一、航天模型的起源和历史航天模型起源于中国的古代，最早可以追溯到汉代的火箭技术。
随着现代科学技术的发展，航天模型开始成为一种独特的科普教育和娱乐方式，深受人们的喜爱。
20世纪初，随着人类对太空的探索，航天模型开始成为一种重要的研究工具，帮助人们更好地了解太空。
二、航天模型的种类1. 固体燃料火箭模型固体燃料火箭模型是最为简单和常见的航天模型之一，其结构相对简单，容易操作，适合初学者入门。
其优点是安全性高，使用便捷，但其缺点是飞行高度和距离有限。
2. 液体燃料火箭模型液体燃料火箭模型的构造相对复杂，但是飞行距离和高度也更高，可以更好地模拟真实的火箭发射过程。
这种模型需要较多的工具和耗材，适合在较为宽阔的地方飞行。
3. 无火箭动力模型除了火箭动力模型，还有一些以其他方式进行驱动的航天模型，比如弹射式模型、气球模型等。
这些模型可以更好地模拟太空探测器、卫星等载具的工作原理，是航天科普教育的重要工具。
4. 无人机航天模型随着无人机技术的发展，无人机也成为了一种重要的航天模型。
无人机航天模型不仅可以飞行，还可以进行一些特定的任务，比如拍摄航天飞行器的图像、检测大气层等。
5. 太阳能动力航天模型太阳能动力航天模型是一种新兴的航天模型，其利用太阳能驱动发动机，达到飞行的目的。
这种模型的优点是环保、节能，但是需要在阳光充足的地方使用。
三、航天模型的基本原理航天模型的基本原理包括了飞行动力、气动力、飞行控制等。
1. 飞行动力航天模型的飞行动力可以通过火箭发动机、电机、风力等方式进行驱动。
火箭发动机是最为常见的飞行动力，其通过燃烧燃料产生高温高压气体，从而产生推力。
电机是无人机等模型的常用动力来源，其通过电能驱动螺旋桨等部件产生推力。
风力则是一种相对简单的飞行动力，适合一些轻型模型的飞行。
气动力是航天模型飞行的重要基础，其包括了升力、阻力、稳定性等概念。
航天模型的气动力设计包括了翼型、机翼面积、气动外形等参数，影响着模型的飞行性能和稳定性。
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2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本
身的速度u为常数,即气体相对于地球的速 度为v(t)-u
2）建模与分析
由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不
断减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
即
dm m( t t ) m(t ) t ( t ) dt dv v( t t ) v ( t ) t (t ) dt dm m( t t ) m(t ) t (t ) dt
比例，在现有技术条件下，要使燃料与发动机的质量和小
于所载燃料的1/9是很难做到的。 目前技术条件下不妨设
相对火箭的喷气速度u=3km/s. 3.2 初速度v0忽略不计，即v0 =0.
2）建模与求解
因为升空火箭的最终 (燃料已耗尽)质量为mp+ms。然
后将燃料仓和发动机丢弃，只剩下净载体，由式 (1)及假
和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大
量气体从火箭末端喷出，给火箭一个
向前的推力。火箭飞行要受地球引力
、空气阻力、地球自转与公转等的影
响，使火箭升空后作曲线运动。
1）模型假设 为使问题简化，假设：
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，
火箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为
3. 一级火箭末速度上限 火箭 —— 卫星系统的质量可分为三部分：净载质量
(有效负载，如卫星)mp, ， 燃料质量mF ，结构质量(如外
壳、燃料容器及推进器 ) m S 。 一级火箭末速度上限主 要是受目前技术条件的限制。 1) 模型假设 3.1
ms 1 mF m s 9
一般来说，结构质量mS在mS+ mF中占有一定的
dv dm m( t t )v( t t ) m( t )v( t ) m( t ) t v( t ) t (t ) dt dt
dv dm m u dt dt
v(0) v0
m0 v ( t ) v0 u ln m( t )
数学建模
第六讲
运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为
了使问题简单明了，我们只从动
力系统和整体结构上分析，并且
总假设火箭的推动力是足够强大 的。 一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星 二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆 周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面 匀速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
中于球心；
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 设地球半径为R， 中心 为O，质量为M，曲线C表示 地球表面， C′表示卫星轨道， C′的半径为r，卫星的质量为 m。 O
r
R
C′
C
2）建模与求解
ห้องสมุดไป่ตู้
根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万
有引力定律可知其引力大小为
Mm F G 2 r
如果把卫星放在地球表面，则由（1）式，得
(1)
Mm mg G 2 R
R F mg r
2
mv R mg r r
2
2
g vR r
v 7.6km / s
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 2.火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机
dm m( t t )v( t t ) m(t )v (t ) t (t ) v (t ) u dt
dm dm m( t )v( t ) v( t ) t u t ( t ) dt dt
dm dm m( t t )v(t t ) m(t )v (t ) v( t ) t u t (t ) dt dt
设3.2得到其末速度为 m0 v u ln (2) m m s p 令 ms ( mF ms ) ( m0 m p ) ，代入上式，得
m m 0 0 v (v t ) u v0ln u ln (3) (1 )m m m( t ) p 0 由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭
dv u dm m v(0) v0
（ 1）
dv dm m u dt dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度 (相
对火箭)的乘积。
m0 v ( t ) v0 u ln m( t )
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度 (相对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确 途径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这 需要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质 量，这要从结构上想办法。
dm m( t t ) m(t ) t (t ) dt
dv v( t t ) v ( t ) t (t ) dt
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒
定律有
dm m( t )v( t ) m(t t )v (t t ) t (t ) v (t ) u dt
dv v( t t ) v ( t ) t (t ) dt
m( t t )v(t t )
dm dv m( t ) t (t ) v( t ) t (t ) dt dt
dv dm m( t )v( t ) m( t ) t v (t ) t ( t ) dt dt