E.用恒定电流场模拟静电场.05

实验名称用恒定电流场模拟静电场一、前言静电场是由电荷分布决定的。

给定区域内的电荷分布和介质分布及边界条件，可根据麦克斯韦方程组和边界条件来求解电场分布。

但大多数情况下求不出解析解，因此，要靠数值解法求出或实验方法测出电场分布。

直接测量静电场很困难，因为仪表（或其探测头）放入静电场中会使被测电场发生一定变化。

如果用静电式仪表测量，由于场中无电流流过，不起作用。

实验中采用恒定电流场来模拟静电场，即通过测绘点定电流场的分布来测绘对应的静电场分布。

二、教学目标1、学会用模拟法描绘和研究静电场的分布状况。

2、测绘柱形电极和平行板电极间的电场分布。

3、掌握了解模拟法应用的条件和方法。

4、加深对电场强度及电势等基本概念的理解。

三、教学重点1、用模拟法描绘静电场的原理。

2、模拟法应用的条件和方法。

四、教学难点1、正确选择等势点，掌握打点的方法。

2、学会用半对数坐标纸作图。

五、实验原理电场强度和电势是表征电场特征的两个基本物理量，为了形象地表示静电场，常采用电场线和等势面来描绘静电场。

电场线与等势面处处正交，因此有了等势面的图形就可大致画出电场线的分布图，反之亦然。

当我们要测出某个带电体的静电场分布时，由于其形状一般来说比较复杂，用理论计算其电场分布非常困难。

同时仪表（或其探测头）放入静电场，总要使被测场原有分布状态发生畸变，不可能用实验手段直接测绘真实的静电场。

为了克服上述困难，本实验采用数学模拟法，仿造一个与待测静电场分布完全一样的电流场（称为模拟场），使它的分布和静电场的分布完全一样，当用探针去探测模拟场时，它不受干扰，因此可以间接测出被模拟的静电场。

一般情况下，要进行数学模拟，模拟者和被模拟者在数学形式上要有相同的方程，在相同的初始条件和边界条件下，方程的特解相同，这样才可以进行模拟。

由电磁学理论可知，电解质（或水）中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性，都是有源场和保守场，都可以引入电势U ，两个场的电势都是拉普拉斯方程。

对于电流场有：2222220U U U x y z ∂∂∂++=∂∂∂稳恒稳恒稳恒对于静电场有：2222220U U U xyz∂∂∂++=∂∂∂静电静电静电在相同的边界条件下，这两个方程的特解相同，即这两种场的电势分布相似。

实验中只要两种场的带电体的形状和大小，相对位置以及边界条件一样，就可以用电流场来研究和测绘静电场的分布。

下面以同轴圆柱形电极的静电场和相应的模拟场——稳恒电流场来讨论这种等效性。

图1 同轴圆柱电极(a )及其静电场分布图(b )如图1(a )所示为一个同轴圆柱电极，内电极半径为a r ，外电极内半径为b r ，内电极电势a U ，外电极电势0b U =，其间充以电容率为0ε的均匀电介质，在两极间距轴心r 处的电势为ar r a r U U E dr =-⎰（1）由高斯定理知半径为r 的圆柱面上的电场强度为002E r rλπε=（2）其中λ是柱形电极的电荷线密度，0ε是两极间介电常数，由(1) 式和(2)式可得0ln 2arr a a r arU U E dr U r λπε=-=-⋅⎰（3）当b r r =时，0ln()02b r b a a r U U U r λπε==-⋅=，则02ln(/)a b a U r r πελ=，代入(3)式有：0ln(/)ln(/)ln()2ln(/)ln(/)a b r a a a a a b a b a r r r r rU U U U U r r r r r λπε=-⋅=-⋅=⋅（4）(4)式即为同轴圆柱电极间静电场中的电势分布公式。

距中心r 处电场强度为1ln a rr baU dU E r drr r =-=（5）图2 同轴圆柱电极的模拟模型若上述圆柱形导体A 与圆筒形导体B 之间不是真空，而是均匀地充满了一种电导率为σ的不良导体，且A 和B 分别与直流电源的正负极相连（见图2），则在A 、B 间将形成径向电流，建立起一个稳恒电流场r E '。

可以证明不良导体中的稳恒电流场r E '与原真空中的静电场r E 是相同的。

取高度为t 的圆柱形同轴不良导体片来研究。

设材料的电阻率为ρ(ρ=1/σ)，则从半径为r 的圆周到半径为r +dr 的圆周之间的不良导体薄块的电阻为2drdR t rρπ=（6）半径r 到r b 之间的圆柱片电阻为ln 22bb r b rr rr dr R t r t rρρππ==⎰ （7）由此可知，半径r a 到r b 之间圆柱片的电阻为ln 2a b b r r ar R t r ρπ=（8）若设U b =0，则径向电流为2ln a b a abr r aU tU I r R r πρ== （9）距中心r 处的电势分布公式为ln(/)ln(/)b r a b a r r U U r r '=⋅（10）ln ln ln ln(/)b r a b a r rU U a b r r r -'=⋅=+⋅（11）其中ln ;ln(/)ln(/)a b ab a b a U r U a b r r r r ==-均为常数。

稳恒电流场r E '为1ln a r r b aU dU E r dr r r ''=-=（12）(4)式同(10)式相比较，说明恒定电流场与静电场的电势分布函数是相同的，从(11)可看出柱面之间的电势r U 与ln r 为直线关系，并且r a U U 即相对电势仅是坐标的函数，与电场电势的绝对值无关。

因此可用尺寸相同，边界条件相同的稳恒电流场来模拟静电场。

当采用电流场模拟法研究静电场时，应注意以下适用条件：稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同，边界条件相同；电流场中导电介质的分布必须相应于静电场中的介质分布，如果模拟真空中的电场，则模拟场的介质应是均匀分布的；由于静电场中导体表面是等势面，导体内场强为零，因此电流场中电极也应满足这一条件，故稳恒电流场中的导电介质应是不良导体且电导率分布均匀，并满足σ电极>>σ导电质才能保证电流场中的电极（良导体）的表面也近似是一个等势面；测定电流场的电势时，必须保证探测支路无电流通过，不能干扰原来的电流场分布。

检测电流场中各等势点时，为了不影响电流线的分布，探测支路不能从电流场中取出电流，因此必须使用高内阻电压表或平衡电桥法进行测绘。

但直流电压长时间加在电极上，会使电极产生“极化作用”而影响电流场的分布，若把直流电压换成交流电压则可消除这种影响。

当电极接上交流电压时，产生交流电场的瞬时值是随时间变化的，但交流电压的有效值与直流电压是等效的，所以在交流电场中用交流电压表测量有效值的等势线与直流电场中测量同值的等势线，其效果和位置完全相同。

由式（12）式可知，场强E在数值上等于电势梯度，方向指向电位降落的方向。

考虑到E是矢量，而电势U是标量，从实验测量来讲，测定电势比测定场强容易实现，所以可先测绘等势线，然后根据电场线与等势线正交，画出电场线。

实验中把连接电源的两个电极放在不良导体如稀薄溶液（或水）中，在溶液中将产生电流场。

电流场中有许多电势彼此相等的点，测出这些电势相等的点，描绘成面就是等势面。

这些面也是静电场中的等势面。

通常电场分布是在三维空间中，但在水中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布。

这样等势面就变成了等势线，根据电场线与等势线正交的关系，即可画出电场线。

这些电场线上每一点切线方向就是该点电场强度的方向，这样用等势线和电场线就可以形象地描绘静电场的分布。

用不同形状的电极，可以模拟不同形状的静电场，如平行板电极，可以模拟平行板电容器中的静电场。

六、实验仪器水槽式静电场模拟仪(包含水槽、探针、电极等)，WQE-3电场描绘仪，游标卡尺，白纸。

1、水槽式静电场模拟仪水槽式静电场模拟仪如图3所示。

仪器主要由上层板、下层板、可移动探针和放置电极的水槽组成。

上下层用四根立柱隔开，上层放记录用的白纸，四个角上用弹簧片将白纸压住。

下层放装有电极的水槽，水槽内放自来水作为介质。

电极依模拟对象不同可以更换。

电极接50Hz 的低压交流电。

当移动探针座时，下探针在水中探测等势点，处于同一垂线的上探针便可在记录纸上打出相应的等势点。

在测量时，探针内基本上没有电流流过，对原电流场的分布几乎没有影响。

1—水槽 2—电极 3—下探针 4—上探针 5—移动座 6—下层板 7—上层板 8—白纸 9—立柱图3 水槽式静电场模拟实验仪七、实验内容与步骤1、用游标卡尺测量同轴电极的内电极直径2a r 和外电极内径2b r 。

2、按图1(b)连接线路。

输出电压调节旋钮逆时针旋到最小。

3、用水准仪调平水槽架底座。

在水槽内注入适量的水，将其水平端正地放在电极架下层，在模拟仪上层板压好白纸，用于记录测绘点，探针置于水槽外。

4、接通电源，数字电压表置“输出”档，调节电压至10V ，。

5、将电表转换开关拨向“探测”，让探针接触中心电极，电压显示为10V 。

若电压显示为0V ，则改变电源电压输出极性。

6、用探针沿外电极内、外侧分别取三个和一个记录点，用于确定电极的圆心和外电极的厚度；记录内电极直径和外电极内直径。

7、将探针置于水中，在两极间慢慢移动，依次测出电压分别为7.0V 、5.0V 、3.0V 、1.0V 的等势线，每条等势线均匀测8个点，测绘时沿径向移动，能较快确定测绘点。

8、用平行板电极换下同轴圆柱电极重复（3、4）两个步骤，分别沿7.5V 、5.0V 、2.5V 三个等势线各记录8-10个测量点(内少外多)，并打出确定电极位置的点。

9、在平行板电极测量纸上用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，画出电极，绘出实验等势线和电场线。

10、在同轴圆柱电极记录纸上，用几何方法确定圆心，画出内、外电极，用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，绘出理论等势线（根据公式计算）和电场线。

11、量出同轴圆柱电极记录纸上等势线各测量点到圆心的距离，求出平均值。

在半对数坐标纸上绘出~ln r a U U r 理论曲线，标出对应实验测量点ln r ，画出实验曲线。

八、数据表格及数据处理1、静电场等势线的理论计算(仅对同轴圆柱电极进行) 已知10.0a U V =，由测量得到0.81a r cm =， 4.30b r cm =,则ln1.669bar r =,由公式(4)可知lnln b b r a a r r U r U r =⋅，则当7.0r U V =时，0.7r aU U =，有4.30l n l n l n 1.17b b r a ar r U r r U r ==⋅=，可得7.0 4.301.343.32V r cm == 同理可求得，r 5.0V ＝1.88 cm ；r 3.0V ＝2.61 cm ；r 1.0V ＝3.64 cm ；2、模拟场等势线的分布测量点 等势线1r(cm ) 2r(cm ) 3r(cm ) 4r(cm ) 5r(cm ) 6r(cm ) 7r(cm ) 8r(cm ) 平均值 r (cm ) 理论值r 理(cm )1U (7.0V )1.43 1.30 1.25 1.21 1.30 1.44 1.50 1.50 1.37 1.34 2U (5.0V ) 1.90 1.90 1.78 1.85 1.80 1.982.00 2.05 1.91 1.88 3U (3.0V )2.70 2.57 2.45 2.50 2.56 2.69 2.70 2.74 2.61 2.61 4U (1.0V )3.653.603.503.503.603.653.703.713.613.64由上表可看出各测量电势点到圆心的距离的平均值与理论半径值基本吻合。