环境流体力学第二章分子扩散
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环境水力学ch2-1
t=0
扩散质浓度分布
C
t1
t2＞t1
O
X
O
X
讨论:
M c( x, t ) e S 4Dt
x2 4 Dt
当t0,x0，取极限可得：c=+∞，说明在初 始时刻，污染源投放点的浓度为+∞。
当t0,x≠0处，c=0，说明解满足初始条件。 扩散质浓度C(x,t)是以t为参变量的正态分布函 数。
环境水力学
第二章 分子扩散
第二章 分子扩散
第一节 分子扩散的费克定律 第二节 一维扩散方程的基本解
第三节 若干定解条件下分子扩散方程的解析解
第四节 随流扩散
第一节 分子扩散的费克定律 什么叫扩散现象？扩散遵循什么定律？
1、扩散现象
扩散是由物理量梯度引起的使该物理量平均
化的物质迁移现象。污染物质量由于分子无规 则运动从高浓度区到低浓度区的净流动过程称 为分子扩散，它是物质质量输移的方式之一。
直角坐标系中，分子扩散的费克定律表示为：
c qx D x
矢量表示： q Dc i j k 为哈密尔顿算子 x y z
c q y D y c qz D z
由于物质扩散方 向与浓度梯度增加的 方向相反，加负号是 为让污染物的质量通 量始终为正。
2
对于保守物质，任何时刻分布在扩散空间内的物质总 质量保持不变，即
c( x, t )dx M
代入可得：
x2 4 Dt
A0 1
c( x, t )
M e 4Dt
瞬时平面源一维扩散方程解析解
c( x, t ) M 4Dt
x2 e 4 Dt
环境水利学第2章 费克扩散(3)
i
)2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
第四节 浓度分布的各阶矩
（3）三阶中心矩 m3 3 m0 表示曲线偏斜度：=0 左右对称; >0左右不对称，长尾伸向正轴方向； ＜0，长尾伸向负轴方向。
>0
=0
＜ 0
图 对浓度分布图形的影响
第四节 浓度分布的各阶矩
df 即θ=常数k1,因此有： 2f k1 。 d
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为: 它的通解为：
第三节 一维扩散方程的基本解
根据污染物质的质量守恒定律，有 0
m cdx ,推出k0=1 2
c( x, t )
m x2 exp( ) 4Dt 4Dt
为任何时刻源点浓度（坐标 原点与源点重合的情况下）
exp(u 2 )du ]
c0 x [ erf ( )] 2 2 4Dt
c0 c0 x x 即 ：c( x , t ) [1 erf ( )] erfc ( ) 2 2 4 Dt 4 Dt
式中：erf(z)为误差函数，erfc(z)为余误差函数，即
erf ( z ) 2
m
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
现将初始条件改为：
c(x,0)=f(x),-∞<x< ∞
其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长 直线上给定的浓度为f(ξ)，它的量纲为[ML-3]，单位面积 上的质量为f(ξ)dξ。 位于ξ处由该微小污染 单元的扩散而导致在时 刻t位于x的浓度应为:
2
2
2 2 ( x 2 x x x )c( x , t )dt
)2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
第四节 浓度分布的各阶矩
（3）三阶中心矩 m3 3 m0 表示曲线偏斜度：=0 左右对称; >0左右不对称，长尾伸向正轴方向； ＜0，长尾伸向负轴方向。
>0
=0
＜ 0
图 对浓度分布图形的影响
第四节 浓度分布的各阶矩
df 即θ=常数k1,因此有： 2f k1 。 d
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为: 它的通解为：
第三节 一维扩散方程的基本解
根据污染物质的质量守恒定律，有 0
m cdx ,推出k0=1 2
c( x, t )
m x2 exp( ) 4Dt 4Dt
为任何时刻源点浓度（坐标 原点与源点重合的情况下）
exp(u 2 )du ]
c0 x [ erf ( )] 2 2 4Dt
c0 c0 x x 即 ：c( x , t ) [1 erf ( )] erfc ( ) 2 2 4 Dt 4 Dt
式中：erf(z)为误差函数，erfc(z)为余误差函数，即
erf ( z ) 2
m
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
现将初始条件改为：
c(x,0)=f(x),-∞<x< ∞
其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长 直线上给定的浓度为f(ξ)，它的量纲为[ML-3]，单位面积 上的质量为f(ξ)dξ。 位于ξ处由该微小污染 单元的扩散而导致在时 刻t位于x的浓度应为:
2
2
2 2 ( x 2 x x x )c( x , t )dt
环境流体力学概论
第三章 紊动扩散.....................................................................................................................38 §3-1 紊流的时间平均与统计平均............................................................................38 §3-2 数学期望、方差、相关与相关系数..............................................................39 §3-3 紊动扩散的泰勒理论—拉格朗日法..............................................................42 §3-4 紊动扩散的欧拉（Euler）法...........................................................................44 参 考 文 献.............................................................................................................53
环境岛理工大学
1
环境流体力学
第一章 绪论...................................................................................................................................3 §1-1 环境水利学的任务以及与其他学科的关系..........................................................3 §1-2 浓度，稀释度，密度与密度分层水体................................................................4 §1-3 物质在水体内迁移的主要方式..............................................................................7
环境岛理工大学
1
环境流体力学
第一章 绪论...................................................................................................................................3 §1-1 环境水利学的任务以及与其他学科的关系..........................................................3 §1-2 浓度，稀释度，密度与密度分层水体................................................................4 §1-3 物质在水体内迁移的主要方式..............................................................................7
流体力学 扩散理论讲解
4.3分子扩散的随机游动分析
自由程：一个分子在两次碰撞之间的运动距离； 假设分子的自由程为一固定值l，其运动平行于x1方向； 每个分子沿正x1方向运动和沿负x1方向运动的概率相等； 出现正号的次数为p，出现负号的次数为q；
p+q=N，p-q=S， p=(N+S)/2=N(1+S/N)/2，q=(N+S)/2=N(1+S/N)/2 经过N次运动，分子向前运动的距离为Sl，这种情况的概率： p=[N!/(p!q!)]/2N：
步在x1与x1+δx1的范围的机会为(1/2)(δx1/l)，则：
P [
l exp( x12 )] x1
Dm t
4Dmt 2l 2
1
Dm t
exp(
x12 4Dm
t
)x1
分子沿x1作随机运动其概率密度(δP/δx1) 符合正态分布
标准差： 2Dmt
x12dP
方差： x12
0
2Dmt
dP
环境流体力学 第四章 扩散理论
1
4.1概述
关心问题：排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布。 理论基础：扩散与输移理论。 传输过程：流体中含有物质，在流场内某处转移至另一处的过程。 ， 扩散：流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象。 随流传输：流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程。 离散：剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象。
x1dP
平均值： x1
0
2 Dmt
dP
0
Dm
x12 2t
0
6
随机游动分析与从费克扩散理论的结果基本一致。
4.4移流（层流）扩散方程 流动流体除了分子扩散还有随流传输
分子扩散、层流扩散
环境科学与工程专业研究生课程
【扩散理论】
环 境 流 体 力 学
分子扩散、层流扩散
授课教师：吴 巍 2013年9月10日
环境科学与工程专业研究生课程
引
言
离散（弥散） 紊流扩散
紊流时，流体微 团以时均流速运 行，而以脉动流 速扩散，即由于 涡流和脉动运动， 使扩散大为加快。 剪切流动中，由 于时均流速分布 的不均匀，引起 含有物质散开的 现象。
环境科学与工程专业研究生课程
层流扩散
层流中，dt时段内由于浓度c的变化，控制 体内扩散质的增加量:
c dx1dx2 dx3dt t
分子扩散
层流扩散
x1方向：
c Dm dx1dx2 dx3 dt x1 x1
c Dm dx1dx2 dx3 dt x2 x2
环境科学与工程专业研究生课程
分子扩散
2 分子扩散方程
流出 A 流入 x3 dx1 B′ D′ C′ dx2 流出 A′
x2方向：
流入
Qdx1dx3dt Dm
c dx1dx3dt x2
流出
Q Q dx2 dx1dx3dt x2 c c Dm Dm dx2 dx1dx3dt x2 x2 x2
A
dx1 B′
流出 A′ ′ dx3 D′ 流出
x3
流速分布均匀的层流
D C D x2 流入 x1 C′ 流入
dx2
流入 分子扩散 层流扩散 流出
cdx1dx2 dx3 cu1dx2 dx3dt
cu1 cu1 dx1 dx2 dx3d c Dm dx1dx2 dx3 dt x3 x3
【扩散理论】
环 境 流 体 力 学
分子扩散、层流扩散
授课教师：吴 巍 2013年9月10日
环境科学与工程专业研究生课程
引
言
离散（弥散） 紊流扩散
紊流时，流体微 团以时均流速运 行，而以脉动流 速扩散，即由于 涡流和脉动运动， 使扩散大为加快。 剪切流动中，由 于时均流速分布 的不均匀，引起 含有物质散开的 现象。
环境科学与工程专业研究生课程
层流扩散
层流中，dt时段内由于浓度c的变化，控制 体内扩散质的增加量:
c dx1dx2 dx3dt t
分子扩散
层流扩散
x1方向：
c Dm dx1dx2 dx3 dt x1 x1
c Dm dx1dx2 dx3 dt x2 x2
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分子扩散
2 分子扩散方程
流出 A 流入 x3 dx1 B′ D′ C′ dx2 流出 A′
x2方向：
流入
Qdx1dx3dt Dm
c dx1dx3dt x2
流出
Q Q dx2 dx1dx3dt x2 c c Dm Dm dx2 dx1dx3dt x2 x2 x2
A
dx1 B′
流出 A′ ′ dx3 D′ 流出
x3
流速分布均匀的层流
D C D x2 流入 x1 C′ 流入
dx2
流入 分子扩散 层流扩散 流出
cdx1dx2 dx3 cu1dx2 dx3dt
cu1 cu1 dx1 dx2 dx3d c Dm dx1dx2 dx3 dt x3 x3
流体力学中的流体中的湍流射流与污染物扩散
流体力学中的流体中的湍流射流与污染物扩散流体力学是研究流体运动规律以及力学效应的学科，涉及到了许多重要的应用领域，其中之一就是湍流射流与污染物扩散的研究。
湍流射流是指射流中存在的湍流现象，污染物扩散则是指在湍流射流中污染物的展散和传播过程。
本文将从湍流射流的形成机制、湍流射流对污染物扩散的影响以及相关研究方法等方面进行论述。
一、湍流射流的形成机制湍流射流是流体中湍流现象和射流现象的结合体，它的形成机制主要有两个方面的影响：惯性与湍流扩散。
首先是惯性的作用。
在射流过程中，由于射流速度较快，流体的惯性作用会导致流体产生不稳定运动，使流体形成湍动。
随着射流的远离源头，惯性效应逐渐减弱，湍流现象也相应减弱。
其次是湍流扩散的作用。
湍流扩散是指射流中涡旋运动的发生和发展。
在射流时，涡旋的形成是由于高速流体与低速流体互相混合而产生的。
这种混合过程会导致湍流扩散，使得流体中的湍流现象得以延续并形成湍流射流。
二、湍流射流对污染物扩散的影响湍流射流对污染物扩散的影响较为显著，主要表现在以下几个方面。
首先是湍流射流能够加速污染物的扩散。
由于湍流射流中存在的涡旋运动和高度混合的特性，使得污染物在射流中的传播过程中更为迅速，扩散范围更广。
其次是湍流射流能够改变污染物的浓度分布。
湍流射流中的湍流现象导致污染物浓度分布的不均匀性，即某些地点的浓度较高，而其他地点的浓度较低。
这对于污染物的监测和治理提供了重要的依据。
最后是湍流射流能够影响污染物的输运路径。
由于湍流射流中存在的不稳定性，污染物的输运路径可能会发生变化，导致污染物传播方向的改变，从而对环境产生不同程度的影响。
三、研究方法与应用为了更好地理解和研究湍流射流与污染物扩散的关系，科学家们提出了一系列的研究方法和应用。
首先是数值模拟方法。
数值模拟方法利用计算机技术模拟和计算湍流射流与污染物扩散的过程，通过建立数学模型和物理模型，对流体运动和污染物传输进行模拟和预测。
这种方法具有成本低、实验周期短的优势，被广泛应用于湍流射流与污染物扩散研究中。
环境水力学ch2-5
1、层流中的瞬时源
在动水环境中，分别讨论：
1）、三维扩散 2）、二维扩散 3）、一维扩散
1）、三维扩散
不可压缩流体三维层流随流扩散方程
c c c c 2c 2c 2c u v w D( 2 2 2 ) t x y z x y z
应用条件： 一维非离散（nondispersion）随流条件：u =常 数，v=w=0
q y vc
qz wc
式中： u，v，w为流速的三个分量； qx，qy，qz为对应的 质量通量；c为污染物的浓度，其量纲为[ML-3]。
随流分子扩散的质量通量
随流分子扩散是在流场中叠加一个浓度场，
这里流速场为：
质量通量为：
u u ( x, y , z , t ) v v ( x, y , z , t ) w w( x, y, z , t ) c c ( x, y , z , t )
lim 2
c(r , t ) 0
r x2 y 2 z 2
求解方法：
1.
2.
变量代换
叠加法
z
从物理意义上，可分解 为随流输移和分子扩散。
y
P(x,y,z)
x
u
ut
Ｏ
Ｏ1
一般解
m ( x ut) 2 y 2 z 2 c( x, y, z, t ) exp{ } 32 (4Dt) 4Dt
式中：c 为时均浓度（mg/L）; m 为污染源的质量（g）。
2）、二维扩散
应用条件：
均匀流场： w=0，
u为垂线上的平均流速
u u 0 x z
定解问题：
c c 2c 2c u D[ 2 2 ] t x x z
《环境流体力学》第二章 旋转流体运动
对(2-1-15a)取旋度可得涡度方程，注意利用 Ω 0 ，做与无旋转流体类似的运算，得 t
旋转流体运动的涡度方程为
(ω 2Ω) (u )(ω 2Ω) (ω 2Ω) u (ω 2Ω) u t
p 2
Ψ
.
(2-2-1)
由连续性方程， u 1 d ，涡度方程可写成 dt
dˆi' Ω ˆi' ， dˆj' Ω ˆj' ， dkˆ ' Ω kˆ ' 0 .
dt
dt
dt
(2-1-5)
所以，(2-1-4)成为
dr dx' ˆi' dy' ˆj' dz' kˆ 'Ω (xˆi' y'ˆj'z'kˆ ') . dt dt dt dt
(2-1-6)
由于 x', y'和z'只是简单的数，不考虑相对论效应，在惯性坐标系和旋转坐标系中的两个观
度场与z无关。它最早于1916年由Proudman(1916)导出，1923年G.I.Taylor(1923)进行了实验
验证。我们把地转流的这一性质称为Taylor-Proudman定理。
2.3.3泰勒实验及其自然现象
Taylor的试验包括一个封闭的盛有流体的旋转的柱状容器，底部放有一个小的圆柱体(高 度仅为液体高度的一小部分)。这个容器以很高的频率旋转。一旦流体形成刚体自转，沿着 容器底部拖动小圆柱体。然后向流体喷射染料。在一个非旋转容器中，染料自由移动到流体 的任意位置。但是在旋转容器中，染料就象小圆柱体从流体的底部延长到顶端一样而转向越 过这个小圆柱(见图2-2)。这个假想的柱体就是泰勒柱。
(2-1-13)
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件下的解。
Hale Waihona Puke -x0x.
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
• 瞬时单位平面源的扩散
• 瞬时源：t=0时，在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质 。
• 1、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个单位
• 2、垂直管轴，瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液
• 3、染液薄片充满了整个断面-x
D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为[L2T-1]
一般约为10-6~10-5cm2·s-1 。
公式中的负号
. 费克定律第一定律
费克定律第二定律 三维的费克定律: QDc
哈密顿算子 i j k
x y z
第三节 费克定律
Q D c x
说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散
一滴红墨水在玻璃杯中的扩散
π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该 物理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。
.
第五节 一维扩散方程的基本解
从物理概念上分析，浓度c是M、D、x、t的函数
假设有函数： F(c,M,D,x,t)=0
方程线性
第三节 一维扩散方程的基本解
• 集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M
的扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布， 这是扩散方程的最基本的解。
• 是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重
合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线
性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条
分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
推广到三维： 故有
c • Q t
第四节 分子扩散方程
QDc Fick定律：
c D2c t
用直角坐标表示
c t
D(x2c2
y2c2
z2c2)
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
.
在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。
(x)
0
x0 x0
色水倾注到大河里，可以认为起 始浓度集中于微小体积内。
狄拉克（Dirac） 函数
物理含义：
当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，污染物质量 为M,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间
（2）边界条件：c(,t)=0, c(. ,t)/x=0
第五节 一维扩散方程的基本解
2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法
量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而
不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的
规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。
第二章 分子扩散
.
第一节 费克定律
第三节 费克定律
一、费克定律
静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微 粒也作不规则的运动，这个现象早已在1826年为布朗的 著名实验证实。分子运动称为布朗运动
费克（Fick）扩散（分子扩散）： 由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散
除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一 原因外，它还存在于一切流动的水体中。
c t
D(x2c2
y2c2
z2c2)
在扩散特性各向异性的液体中
ct Dx x2c2Dy y2c2Dz z2c2
.
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
& 扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。
& 解的形式：解析解、数值解。
& 污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在 绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理 。
& 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排 放）。
& 瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域，实际上一种近似，如 热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。
& 连续源又分为恒定和非恒定源。
& 污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方
程。
.
第五节 一维扩散方程的基本解
制体积内扩散质对时间的
t
变化率为：c ( x , t ) x t
变化量： c(x,t) xt
t
一维输移的控制体：两个具有单位 面积的平行面与x轴垂直
单位时间进入x面的扩散质通量为：Q(x,t)
从(x+△x)面出去的通量为: Q(x,t)Q(x,t)x x
.
第四节 分子扩散方程
根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出的 污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:
一维 扩散中，浓度的量纲 [ML-1],浓度c应与M除以某一特征长度成 正比。 D t 是一个合适的特征长度
分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关，又与温 度和压力有关。
.
第三节 费克定律
某些物质在水中的分子扩散系数（ cm2·s-1，水温为20℃）
D值由实验确定，D值大，扩散快；反之，扩散慢。
.
第四节 分子扩散方程
第二节、分子扩散方程的推导(单纯扩散）
一维为例
设c(x,t)是时刻t位于x处上扩
散质（溶质）的浓度。在该控
0
x
• 4、染料只沿长度方向扩散
令染液投入点为坐标原点
.
1.定解条件
第五节 一维扩散方程的基本解
一维分子扩散方程： c D 2c
t
x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的
解析解。定解条件在数学上表达为：
（1）初始条件： c(x,0)=M(x)
M(x)表示质量M集中于微小容积 内。相对概念。例如把一小桶颜
Q (x ,t) [Q (x ,t) Q (x ,t) x ] c (x ,t) x
x
t
Q c 0 x t
Fick定律：
Q D c x
c t
D
2c x2
二阶线性抛物 型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以 热扩散系数a（或导温系数）代替分子.扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。
.
第三节 费克定律
费克定律： 1855年德国生理学家费克（Fick）提出 静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面 积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。
对一维扩散，费克定律可表示为：
Q c x
用等号 Q D c x
x
一维费克扩散示意图
式中：Q是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称为通量； C是扩散物质的浓度。 c x :x方向的浓度梯度。