勾股定理3(基本计算)
勾股定理计算方法 勾股定理的运用方法
勾股定理计算方法勾股定理的运用方法你真的懂勾股定理吗数是什么？毕达哥拉斯会告诉你，数是众神之母，万物之源——节选自《数学之旅· 闪耀人类的54个数学家》一般人看来，勾股定理只存在于特定的三角形或几何图形中。
但实际上，绝大多数人都小看了这条有2600年历史的公式，很多看似不可能的图形，只要涉及到了平方数，勾股定理就能插上一手！什么？你不信？今天，超模君就来讲一下勾股定理背后隐藏的大学问，不过在讲之前，超模君先带模友们重新认识一下“面积”这个词。
面积是怎么计算？何谓面积？当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小就叫做该物体的面积。
举个简单的例子：正方形的面积 = 边长 x 边长对此，相信模友们也能快速地列举出大量的图形面积公式，但你真的理解面积的性质吗？实际上，除了我们熟知的图形面积公式，还有一种鲜为人知的面积计算方法——通过计算任意线段的平方来得到任意图形的面积。
先不要质疑，继续往下看。
举个例子：正方形的面积为边长a的平方，平方项即边长a（边为5，那么面积就是25）；圆的面积为πr²，平方项为半径r（半径是5，那么面积就是25π）；接下来，超模君要做一个大胆的假设：如果把半径 r 当做边长a的“替代品”，那么圆的面积也可看成某条线段的平方，但由于线段选取和图形的不同，在此过程中会产生一个“面积系数π”。
也就是说，任意图形的面积公式将会变成这个样子：面积＝系数×(线段)²然后我们再来看看，正方形和圆形的面积是怎么算的：如果用周长“p”作为线段，则面积为 p² /16，面积系数为1/16；如果用对角线“d”作为线段，则面积为 d²/2，面积系数为1/2 。
也就是说，我们可以通过正方形上任意一条线段计算出正方形的面积。
因为在被选取的任意一条线段总可以通过一定的关系（比如说正方形的周长，正好是边长的四倍）与通常意义上计算面积的线段相联系起来。
勾股定理计算方法技巧
勾股定理计算方法技巧勾股定理是初中数学中的基础知识，也是数学中的一项重要定理。
它可以用来计算三角形的边长和角度，是很多数学问题的基础。
在本文中，我们将探讨一些应用勾股定理进行计算的方法和技巧。
一、理解勾股定理勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方和的定理。
即：a + b = c。
其中，a、b为直角边，c为斜边。
这个定理的证明可以通过几何方法或者代数方法进行。
二、应用勾股定理计算边长1. 已知两条直角边，求斜边当已知两条直角边的长度时，可以使用勾股定理计算斜边的长度。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的平方等于3+4=9+16=25，因此斜边的长度为5cm。
2. 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边当已知斜边和一条直角边的长度时，可以使用勾股定理计算另一条直角边的长度。
例如，已知一个直角三角形的斜边为5cm，其中一条直角边为3cm，求另一条直角边的长度。
根据勾股定理，另一条直角边的平方等于5-3=25-9=16，因此另一条直角边的长度为4cm。
三、应用勾股定理计算角度在直角三角形中，勾股定理不仅可以用来计算边长，还可以用来计算角度。
根据勾股定理，可以得到以下公式：sinθ = a/ccosθ = b/ctanθ = a/b其中，θ为直角三角形中的角度，a、b、c分别为三角形中的边长。
1. 求角度的方法例如，已知一个直角三角形的斜边为5cm，其中一条直角边为3cm，求另一条直角边与斜边的夹角。
首先根据勾股定理计算出另一条直角边的长度为4cm。
然后，根据sinθ = a/c，可得：sinθ = 3/5θ = arcsin(3/5)通过计算，得到θ的值约为36.87度。
因此，另一条直角边与斜边的夹角约为36.87度。
2. 求正弦、余弦、正切的值以求正弦为例，已知一个直角三角形的斜边为5cm，其中一条直角边为3cm，求另一条直角边与斜边的夹角的正弦值。
常见勾股数口诀背诵
常见勾股数口诀背诵常见的勾股数口诀是指勾股定理中的三个数，即满足a² + b² = c²的三个正整数a、b、c。
这个定理是公元前6世纪中国数学家毕达哥拉斯所发现的，因而被称为勾股定理。
勾股定理是数学中的基本定理之一，它在几何学和物理学中都有广泛的应用。
在勾股数口诀中，我们可以通过记忆一些特定的数对来快速计算勾股数。
常见的勾股数口诀有以下几组数对：1. 3、4、5：这是最简单的勾股数口诀，也是最早被发现的。
它满足3² + 4² = 5²，可以记忆为“三四五，直角肯定有”。
2. 5、12、13：这组数对也很常见，满足5² + 12² = 13²，可以记忆为“五十一三，直角保底”。
3. 8、15、17：这组数对满足8² + 15² = 17²，可以记忆为“八十一七，直角在其中”。
4. 7、24、25：这组数对满足7² + 24² = 25²，可以记忆为“七二十五，直角躲不过”。
5. 9、40、41：这组数对满足9² + 40² = 41²，可以记忆为“九四一，直角太帅”。
通过记忆这些常见的勾股数口诀，我们可以在实际问题中快速判断是否存在直角三角形。
例如，在测量地面上两点间的直线距离时，我们可以通过勾股定理判断是否存在直角。
只需要计算三个边长的平方并进行比较，如果符合勾股定理的条件，那么就可以确定存在直角。
除了这些常见的勾股数口诀，还有一些特殊的勾股数。
例如，勾股数中的a、b、c可以按比例缩放，得到新的勾股数。
另外，勾股数也可以通过一些数学方法生成，例如欧拉公式等。
勾股数口诀是数学中的一个重要概念，它帮助我们快速判断是否存在直角三角形，并在实际问题中有着广泛的应用。
通过记忆常见的勾股数口诀，我们可以在解决问题时更加高效和准确。
勾股定理知识点
勾股定理知识点归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bc c baE D CBA理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
勾股定理所有公式
勾股定理所有公式勾股定理，这可是数学世界里的一颗璀璨明珠啊！咱们先来说说勾股定理最基本的公式，那就是在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用字母表示就是 a² + b² = c²，这里的 a 和 b 是两条直角边，c 就是斜边。
为了让大家更清楚地理解勾股定理，我给大家讲个我自己教学中的小故事。
有一次上课，我拿了一个直角三角板，问同学们：“你们知道这个三角形的三边关系吗？”结果大部分同学都一脸茫然。
我就笑了笑说：“那咱们一起来探索一下。
”我让同学们拿尺子量出两条直角边的长度，然后计算平方，再把这两个平方数加起来。
接着，又量出斜边的长度，计算平方。
神奇的事情发生了，那两个直角边平方和竟然和斜边的平方一模一样！同学们都瞪大了眼睛，惊讶不已，那种发现新知识的兴奋劲儿，让我也特别开心。
勾股定理可不只是这么一个简单的公式哦，它还有很多变形公式。
比如，c = √(a² + b²) ，这就是通过基本公式推导出来求斜边长度的。
而a = √(c² - b²) 和b = √(c² - a²) 呢，则是用来求两条直角边长度的。
在实际应用中，勾股定理那可是用处多多。
比如说，建筑工人在盖房子的时候，如果要知道一个墙角是否是直角，就可以用勾股定理来检验。
测量两条边的长度，计算平方和，再与斜边长度的平方比较，如果相等，那就是直角啦。
还有啊，咱们在解决数学题的时候，经常会遇到这样的情况。
比如，已知一个直角三角形的一条直角边是 3，斜边是 5，求另一条直角边。
这时候，就可以用勾股定理的变形公式b = √(c² - a²) 来计算，先计算 5的平方是 25，3 的平方是 9，25 - 9 = 16，再对 16 开平方，就得到另一条直角边是 4 啦。
再比如说，在测量大树高度的时候，如果没办法直接测量，咱们也能用上勾股定理。
勾股定理
一、勾股定理基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在A B C ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形；cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
《勾股定理》PPT(第3课时利用勾股定理作图和计算)
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
例 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10. 求BC的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，
1
∴ = 2 = 5
在Rt△ACD中， =
2 − 2 =
在Rt△ABD中， = 2 − 2 =
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
E
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理得
x2+ 42=(8－x)2，解得 x=3.
即EC的长为3cm.
B
F
C
随堂练
习
1. 如图，点C表示的数是( D )
A．1
B.
2
C．1.5
D. 3
随堂练
习
2.如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中， 长为无理
数的边有( C )
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
13 .由此，可以依照如下方法在
勾股定理公式计算方案
勾股定理公式计算方案勾股定理是一个数学公式，在计算中非常常用。
该公式表达的是一个直角三角形中的直角边与斜边之间的关系，被广泛应用于物理、工程、计算机等多个领域。
本文将介绍勾股定理的计算方案，帮助读者更好地应用这个经典公式。
一、勾股定理公式勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边长度a、b的平方和等于斜边c的平方。
即：a² + b² = c²。
其中，a,b为直角边的长度，c为斜边的长度。
这个公式可以表示为：c = √(a² + b²)二、应用场景勾股定理广泛应用于物理、工程、计算机等多个领域。
下面列举一些常见的应用场景：1. 物理：勾股定理被用于计算力的大小和方向。
例如，在计算运动物体的加速度时，可以应用勾股定理来计算。
2. 工程：勾股定理在建筑、桥梁等工程中的应用非常广泛。
例如，建筑的设计师可以使用勾股定理来计算建筑物各部分的尺寸和角度等信息。
3. 计算机：在计算机图形学中，勾股定理被广泛应用。
例如，可以使用勾股定理来计算三维物体之间的距离。
三、计算方案实例在实际应用中，经常需要计算直角三角形中的各边长度。
下面介绍几个简单的计算方案。
1. 已知两个边求斜边已知直角三角形中的两个直角边的长度，求斜边的长度c。
此时可以利用勾股定理进行计算。
计算公式为：c = √(a² + b²)其中，a和b分别为已知的两个直角边的长度。
2. 已知直角边和斜边，求另一个直角边已知直角三角形中的一条直角边和斜边的长度，求另一条直角边的长度。
可以利用勾股定理进行计算。
计算公式为：a = √(c² - b²)或者b = √(c² - a²)其中，c为已知斜边的长度，a和b分别为未知的两条直角边的长度。
3. 已知斜边和一个角度，求另外两个角度已知直角三角形中的一个角度和斜边的长度，求另外两个角度。
可以利用三角函数来计算。