2020年高考试题三角函数汇编【题目+答案版】
2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③(5)【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt=2，则ttt2t=______；tan(t−t4)=______．(6)【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．(7)【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt中，角A、B、C的对边分别为a、b、t.已知t=3，t=√2，t=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ttt=−45，求tan∠ttt的值．(8)【2020全国高考I卷(理)第16题】如图，在三棱锥t−ttt的平面展开图中，tt=1，tt=tt=，AB AC，AB AD，ttt=，则ttt=__________．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．(10) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．(11) 【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t (t )=sin tt ，t >0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．(12) 【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，t .已知t =2√2，t =5，t =√13． (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值；(3)求sin (2t +t4)的值．(13) 【2020全国高考I 卷（文）第18题】∆ttt 的内角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t ，已知t =150∘．（1）若a =√3c ，b =2√7，求∆ABC 的面积；（2）若sinA +√3sinC =√22，求C ．(14) 【2020全国高考II 卷（理）第16题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(1) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．(15) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．（16）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√3；8(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t．4t【答案】2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22解：∵sin (t+t3)=12sin t+√32cos t，∴sin t+sin (t+t3)=32sin t+√32cos t=√3sin (t+t6)=1得sin (t+t6)=√33故选：B．(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：t=t(t)=ttttt+tttt，则t(−t)=−ttttt−tttt=−t(t)，∴t(t)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，当t=t时，t=t(t)=ttttt+tttt=−t<0，故排除B，故选：A．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题．(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2解：∵2tan t−tan (t+t4)=2tan t−tan t+11−tan t=7，∴2tan t(1−tan t)−(tan t+1)=7−7tan t，整理得(tan t−2)2=0，∴tan t=2，故选D．(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．(5) 【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt =2，则ttt2t =______；tan (t −t4)=______． 【答案】−35 13【解析】解：tttt =2，则ttt2t =cos 2t −sin 2t cos 2t +sin 2t=1−tan 2t 1+tan 2t =1−41+4=−35．tan (t −t4)=tttt −tan t41+ttttttt t4=2−11+2×1=13． 故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．(6) 【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是______．解：因为函数t =3ttt (2t +t4)的图象向右平移t6个单位长度可得t (t )=t (t −t6)=3ttt (2t −t 3+t 4)=3ttt (2t −t12)，则t =t (t )的对称轴为2t −t12=t2+tt ，t ∈t ，即t =7t 24+tt2，t ∈t ，当t =0时，t =7t24， 当t =−1时，t =−5t24， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是t =−5t24， 故答案为：t =−5t 24．(7) 【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、t .已知t =3，t =√2，t =45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ttt =−45，求tan ∠ttt 的值．【答案】解：(1)因为t =3，t =√2，t =45°.，由余弦定理可得：t =√t 2+t 2−2tttttt =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得t tttt =ttttt ，所以tttt =t t⋅ttt45°=√2√5⋅√22=√55，所以tttt =√55；(2)因为cos ∠ttt =−45，所以sin ∠ttt =√1−cos 2∠ttt =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得tttt =√1−sin 2t =2√55，所以在三角形ADC 中，sin ∠ttt =sin (∠ttt +∠t )=sin ∠tttttt ∠t +cos ∠tttttt ∠t =2√525，因为∠ttt ∈(0,t2)，所以cos ∠ttt =√1−sin 2∠ttt =11√525，所以tan ∠ttt =sin ∠ttt cos ∠ttt=211．(8) 【2020全国高考I 卷(理)第16题】如图，在三棱锥t −ttt 的平面展开图中，tt =1，tt =tt =，AB AC ，ABAD ，ttt =，则ttt =__________．解：由已知得tt =√2tt =√6， ∵t 、E 、F 重合于一点，∴tt =tt =√3，tt =tt =√6， ∴ △ttt 中，由余弦定理得，∴tt =tt =1， ∴在△ttt 中，由余弦定理得．故答案为．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． (10) 【答案】16 132(11) 【解析】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ， 设D(x 0,3√32)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．(12) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．【答案】解：(1)∵2t sin t =√3t ， ∴2sin t sin t =√3sin t ， ∵sin t ≠0， ∴sin t =√32， ，∴t =t3，(2)∵△ttt 为锐角三角形，t =t3， ∴t =2t3−t ，，△ttt 为锐角三角形，，，解得， ，，∴cos t+cos t+cos t的取值范围为(√3+12,32 ]．【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．(1)根据正弦定理可得sin t=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．(13)【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t(t)=sin tt，t>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．【答案】解：(1)由于t(t)的周期是4t，所以t=2t4t =12，所以t(t)=sin12t．令sin12t=12，故12t=2tt+t6或2tt+5t6，整理得t=4tt+t3或t=4tt+5t3．故解集为{t|t=4tt+t3或t=4tt+5t3，t∈t}．(2)由于t=1，所以t(t)=sin t．所以t(t)=sin2t+√3sin(−t)sin(t2−t)=1−cos2t2−√32sin2t=−√32sin2t−12cos2t+12=12−sin(2t+t6)．由于t∈[0,t4]，所以t6≤2t+t6≤2t3．故−1≤−sin(2t+t6)≤−12，故−12≤t(t)≤0．所以函数t(t)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt中，角A，B，C所对的边分别为a，b，t.已知t=2√2，t=5，t=√13．(1)求角C的大小；(2)求sin A的值；(3)求sin(2t+t4)的值．【答案】解：(1)由余弦定理以及a=2√2，b=5，c=√13，则cosC=a2+b2−c22ab =2×22×5=√22，∵C∈(0,π)，∴C=π4；(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA= asinCc=2√2×√22√13=2√1313；(3)由a<c，及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，则sin2A=2sinAcosA=2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A=2cos2A−1=513，∴sin(2A+π4)=√22(sin2A+cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(1)根据余弦定理即可求出C的大小；(2)根据正弦定理即可求出sin A的值；(3)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．(14)【2020全国高考I卷（文）第18题】∆ttt的内角t,t,t的对边分别为t,t,t，已知t=150∘．（1）若a=√3c，b=2√7，求∆ABC的面积；（2）若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得t2=t2+t2−2tt cos t，即28=3t2+t2−2√3t2cos150∘，解得t=4，所以t=4√3，所以t△ttt=12tt sin t=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为t=180∘−t−t=30∘−t，所以sin t+√3sin t=sin(30∘−t)+√3sin t=12cos t+√32sin t=sin(30∘+t)=√22，因为t>0°，t>0°，所以0°<t<30°，所以30°<30°+t<60°，所以30°+t=45°，所以t=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．(15) 【2020全国高考II 卷（理）第17题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(2) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．【答案】解：(1)在▵ttt 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ，由正弦定理得，t 2−t 2−t 2=tt ，即t 2+t 2−t 2=−tt ， 由余弦定理得，cos t =t2+t 2−t 22tt =−12，因为0<t <t ，所以t =2t 3． (2)由(1)知，t =2t3，因为tt =3，即t =3，由余弦定理得，t 2=t 2+t 2−2tt cos t ，所以9=t 2+t 2+tt =(t +t )2−tt ， 由基本不等式可得tt ≤(t +t )24，所以9=(t +t )2−tt ≥34(t +t )2,所以t +t ≤2√3(当且仅当t =t =√3时取得等号)， 所以▵ttt 周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题． (1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．(16) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】【解答】解：(1)∵cos2(t2+t)+cos t=54，化简得cos2t−cos t+14=0，解得cos t=12，∵t是tttt的内角，故t=t3．(2)证明：∵t−t=√33t，t=t3，由正弦定理可得sin t−sin t=√33sin t=12，又t=t−t−t=2t3−t，∴sin(2t3−t)−sin t=12，化简可得√32cos t−12sin t=12，即可得cos(t+t6)=12，又t∈(0,2t3)，得t+t6∈(t6,5t6)，故可得t+t6=t3，即t=t6，故t+t=t3+t6=t2，∴tttt是直角三角形．【解析】本题考查了正弦定理的应用以及两角和差的正余弦公式的应用，考查了诱导公式和辅助角公式，属于中档题．(1)利用诱导公式和同角的三角函数关系对已知式进行化简，得到cos t=12，再结合A为三角形的一内角，即可求出角A；(2)利用正弦定理把t−t=√33t中的边化成角，得到sin t−sin t=√33sin t=12，再结合t+t=2t3，对式子进行化简，最后结合辅助角公式以及角C的范围，求出角C，即可证得三角形为直角三角形．（17）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√38；(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t4t．【答案】解：(1)t(t)=sin2t⋅sin2t=2sin2t⋅sin t⋅cos t =2sin3t⋅cos tt′(t)=2[sin2t(3cos2t−sin2t)]=2sin2t⋅(√3cos t+sin t)⋅(√3cos t−sin t)=−8sin2t⋅sin(t+t3)⋅sin(t−t3)所以对于f’(t)有：当t∈(0,t3)时，t′(t)>0；当t∈[t3,23t]时，t′(t)≤0；当t∈(2t3,t)时t′(t)>0。
2020高考数学分类汇编--三角函数解三角形
2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷理科数学7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6C ．4π3D ．3π29．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A ．53B ．23 C ．13D ．597．C9．A2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学2．若α为第四象限角，则A ．02cos >αB ．02cos <αC ．02sin >αD ．02sin <α17．（12分）ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=．（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学7．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．239．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2B ．–1C ．1D ．216．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 7．A9．D16．②③2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学7．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π218．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a 3，b 7ABC △的面积； （2）若sin A 3C 2，求C . 7．C18．解：（1）由题设及余弦定理得22228323cos150c c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而23a =ABC △的面积为1232sin15032⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin 3sin(30)3sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故2sin(30)2C ︒+=而030C <<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 13．1917．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -=．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--=．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形． 2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学5．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（）A ．12BC ．23D11．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = AB ．C ．D ．12．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图像关于y 轴对称 C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 5．B11．C12．D2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（9）已知αβ∈R ,，则“存在k ∈Z ，使得π(1)kk αβ=+-”是“βαsin sin =”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πay)D 。
三角函数(教师版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编
专题五三角函数--2020-2023高考真题数学专题分类汇编真题卷题号考点考向2023新课标1卷8三角恒等变换给值求值15三角函数的性质及应用余弦型函数的零点问题2023新课标2卷7三角恒等变换给值求值16三角函数的图象与性质由部分图象求解析式、求函数值2022新高考1卷6三角函数的性质及应用求三角函数的解析式、求函数值2022新高考2卷6三角恒等变换三角求值9三角函数的图象与性质求三角函数的单调区间、对称轴、极值点、求切线方程2021新高考1卷4三角函数的性质及应用求三角函数的单调区间2021新高考2卷6三角恒等变换给值求值2020新高考1卷10三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式15三角函数的应用三角函数解决实际问题2020新高考2卷11三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式16三角函数的应用三角函数解决实际问题【2023年真题】1.（2023·新课标I卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin6αβ=，则cos(22)αβ+=()A.79 B.19 C.19- D.79-【解析】本题考查两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题.利用两角和与差的正弦公式先求出sin cos αβ的值，从而可以得到sin()αβ+的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果.解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+=即2221cos(22)12sin ()12(.39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2.（2023·新课标II 卷第7题）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=()A.358- B.158-+ C.354- D.154-【答案】D 【解析】【分析】本题考查倍角公式，属于基础题．观察题干，发现未知角为已知角的一半，考虑倍角公式，即可得证.【解答】解：221511cos 36114sin ()sin 222816424ααα+----=====⇒=故选：.D 3.（2023·新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.【答案】[2,3).【解析】【分析】本题考查了余弦型函数的零点问题，属中档题.解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<，得2 3.ω<故答案为：[2,3).4.（2023·新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π=.【答案】32-【解析】【分析】主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的性质与图象，诱导公式等，属于一般题.根据AB 的长度求出.ω函数图象过点2(,0)3π，求.ϕ诱导公式得到答案.【解答】解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-23()sin(4.32f πππ=-=-【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=()A.1 B.32C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题.根据周期范围，确定ω范围，再根据对称中心确定21(34k ω=-，k Z ∈，二者结合可得结果.【解答】解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++=所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin( 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则()A.tan()1αβ+=-B.tan()1αβ+=C.tan()1αβ-=-D.tan()1αβ-=【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos44ππαβαβ=+++，cos )sin 44ππαβαβ+=+故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故22sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=-7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则()A.()f x 在5(0,12π单调递减B.()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点C.直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D.直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【答案】AD 【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心，函数的极值，切线方程的求解，属于中档题.【解答】解：由题意得：24()sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减;选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点;选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(2)32x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为3(0)2y x -=--，即3.2y x =-【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是()A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的单调递增区间，属于基础题.由正弦函数图象和性质可知，得()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，分析选项可得答案.【解答】解：由22262k x k πππππ-+-+，得222,33k xk k Z ππππ-++∈，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A 9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+()A.65-B.25-C.25 D.65【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的关系、二倍角公式，属于中档题.利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为2sin sin cos θθθ+后，添加分母1，转化为齐次式，再分子分母同除2cos θ即可.【解答】解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C 【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+()A.sin ()3x π+ B.sin (2)3x π- C.cos (2)6x π+D.5cos (2)6x π-【答案】BC 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，属于中档题.借助图象分别求出,ωϕ，结合诱导公式即可判断.【解答】解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误;解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm 【答案】542π+【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，扇形的面积公式，是困难题.设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，由题中长度关系易得45AGD ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，即可得到OL 和DL 的长度，根据3tan 5ODC ∠=可得到22x =12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形求解即可.【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得22OJ AJ x ==，252OL JK x ==-，72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==，2532522x -=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
2020高考—三角函数(解答+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文18)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC △的面积；（2）若sin A C ，求C .2. （20全国Ⅱ文17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．3.（20全国Ⅱ理 17）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．4.（20新高考Ⅰ17）在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5.(20天津16)（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．6.(20浙江18)（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 0b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．7.（20江苏16）（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．8.（20全国Ⅱ理21）(12分)已知函数f (x )= sin 2x sin2x ．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明: 33()f x ≤； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn ．9.(20北京17)（本小题13分）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案：1.解：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．3．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+4．解：方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．5．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 113A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．6.（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.7.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯8．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为()3fπ=，最小值为()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故|()|f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x xx =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．9.。
2020年高考数学经典题题精选三角函数解答题.docx
2020 年高考数学经典题题精选三角函数解答题求函数 y=sinx+cosx+1的最 及取得最 相x 的 .解：由 y=sinx +cosx +1得 y=2 sin(x+4 )+1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 ∴ y max =2 +1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分y min =－ 2 +1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分由 x+4=2k π+2得 x=2k π+(k ∈ Z)即 x=2k π+4(k ∈ Z) ， y取最大 2 +1⋯⋯⋯⋯⋯ 94分由 x+=2k π－2即 x=2k π－ 3y 取最小 1－2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分441.已知函数 f ( x)2a cos 2 x b sin x cos x, 且 f (0) 2, f (3 ) 1 3 .22（ 1）求 f ( x ) 的最大 与最小 ；（ 2）若 f ( ) 0, a (0,2 ), 求 的 .解：（1）由 f (0)=2 a =2,得 a =1 , f ( )1 a3 , 2 ⋯⋯⋯⋯（ 3 分）243∴ f ( x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2 x +cos2 x +1=2 sin(2x) 1 ⋯⋯⋯⋯（ 5 分）4∴ f ( x ) 的最大 是2 1，最小 是 12 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）（ 2）∵ f () 0, 得 2 sin( 2) 1 0sin( 2) 2, . ⋯⋯（ 8 分）44224 2k或 2 4 2k5 , k Z44k或k, kZ(10分 )42( 0,2 ),2 或3 或 3 或 7 (12分 ).2 442.已知函数 f ( x)a sin x cos x3acos 2 x3 a b.(a0)2（ 1） x R ，写出函数的 减区 ；（ 2）x [0, ], f x3，求 数 a, b的 .( ) 的最小 是－ 2，是大 是2解：（ 1） f ( x)a(sin x cos x3 cos 2 x3 ) b2a (1sin 2x3 1 cos2 x3 ) b = a sin( 2x ) b ⋯⋯⋯⋯4 分22 23a0, x R, f ( x) 的 减区 是 [ k5 , k11]( kZ ) ⋯⋯⋯⋯ 6 分12 12（ 2）x [ 0, ] 2x[ 0, ] 2x3[ , 2] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分23 3sin( 2x) [ 3 ,1]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分32∴函数 f ( x) 的最小 是3 a b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2最大 a b 3 ⋯⋯⋯ 11 分解得 a 2,b 32 ⋯⋯ 12 分3.求函数 ysin 2 x sin xcos(6 x)的周期和 增区 ．解ysin 2 x sin x(coscos x sin sin x)663sin 2x3sin x cos x3(1 cos2x) 3sin 2 x224 43 (3sin 2x 3 3 3) ． ⋯⋯ 6 分44 cos2x)sin(2 x2 4423∴函数的周期T．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分25当2k ≤ 2x≤2k，即 k( k ∈ Z) 函数≤ x ≤ k235 21212增加，即函数的增区 是[ k] (k ∈Z) ．⋯⋯ 12分， k12124.已知函数 f ( x)5sin x cos x 5 3 cos 2 x 5 32（Ⅰ）求 f(x) 的最小正周期；（Ⅱ）求 f(x) 的 增区 .解：（Ⅰ）f (x) 5sin x cos x5 3 cos 2 x5 325sin 2x 5 31cos2x5 3 2 225 sin 2x 5 3 cos2x25(sin 2x cos3 cos2x sin)35sin(2x3 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴最小正周期 T=2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2（Ⅱ）由 意，解不等式22k2x32 2k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分5得kxk( k Z )12125f ( x) 的 增区 是 [k k ]( kZ ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分12 ,125.已知函数f ( x)3 2 cos 2 x 8sin4 x , 求 f ( )的定 域，判断它的奇偶性，并求其cos2xx域 .解： f ( x)32(1 sin 2 x) 8sin 4 x12sin 2 x 8sin 4 xcos 2xcos2x(1 4 sin 2 x)(1 2 sin 2 x)4 sin 2x1.分cos2x( 4 )由 cos2x0,得 2x k, 解得 x k , k z224所以函数的定义域为 { x | x R, 且 xk , k 分24因为 的定义域关于原点对称 , 且 f ( x)f ( x),f ( x)是偶函数分f ( x).(9 )又f ( x) 4sin 2 x 1,且 xk , kz2 4f ( x)的值域为 { y |1y 5,且 y 3}.(12分 )6.已知函数f ( ) 2sin 2x sin 2 x 1,x.xR（ 1）求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大x 的集合；（ 2）在 定的坐 系中画出函数f (x) 在 [0, ] 上的 象 .解：（ I ） f ( x)2sin 2 x sin 2x 1sin 2x(1 2sin 2 x)sin 2 x cos2x=2 sin(2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4所以 f ( x) 的最小正周期是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x，所以当 2x2k, 即xk 3 (k Z ） ， f ( x) 的最大 2 .R428即 f (x) 取得最大x 的集合 { x | xk3 , k Z} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分8（ II ） 象如下 所示： （ 卷 注意以下3 点）1．最小 f (3)2 ，8最小 f (7)2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分82．增区 [ 0,3 ], [ 7 , ];3 8 78减区 [, ] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分8 83． 象上的特殊点： （ 0，－ 1），（4 ,1），（,1）， (3, 1), ( ,1) ⋯⋯⋯ 14 分24[ 注： 象上的特殊点 两个扣1 分，最多扣2 分 ]7.已知函数 ysinx3 cos x, x R.22（ 1）求 y 取最大 相 的x 的集合；（ 2） 函数的 象 怎 的平移和伸 可以得到y sin x( xR) 的 象 .解： y 2sin(x). ⋯⋯ 4 分23（1）当y 最大2.x { x | x 4k3 , k Z} ⋯⋯ 8 分（ 2）把 y2sin(x3) 象向右平移2 ，再把每个点的 坐村 原来的 1，横坐232不 . 然后再把每个点的横坐 原来的1， 坐 不 ， 即可得到 y sin x 的2象⋯⋯ 12 分8.已知函数f ( ) 4 sin 2 x 2sin 2 x 2,x .xR（ 1）求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大x 的集合；（ 2）求 ：函数f (x) 的 象关于直x8称（ 1）解： f (x) 2sin 2x 2sin 2x 22 sin 2x 2(12 sin 2 x) 2 sin 2x 2cos 2x=22 sin(2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4所以 f ( x) 的最小正周期是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分xR ，所以当 2x2k ,即x k3Z ） ， f ( x) 的最大 2 2 .4(k28即 f (x) 取得最大x 的集合 { x | xk3, k Z} ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分8（ 2） 明：欲 函数f ( x) 的 象关于直x称，只要 明 于任意x R ，8有 f (x) f (8x) 成立即可 .8f (x) 2 2 sin[2(x)4] 2 2 sin(2x)2 2 cos 2x;882f (x) 22 sin[ 2(8x)]2 2 sin(2 x) 2 2 cos2 x.842f (x) f (8x).8从而函数 f ( x) 的 象关于直 x称 . ⋯⋯ 14 分8[ 注：如果学生用f () 2 2( f ( x))min ；8或求出所有的 称 方程，然后x是其中一条， （ 2）中扣去 2 分]89. 已知定 在区[,2] 上的函数 yf (x) 的 象关于直x称，36当 x [2 ] ，函数 f (x) A sin( x) ( A 0 ,0 ,) ，其 象如,2632所示 .y(1)2] 的表达式；求函数 y f ( x) 在 [,13(2) 求方程 f ( x)2?的解 .?o 6?2xx6（ 1）当x[, 2 ]时，函数 f ( x)Asin(x) ( A 0 ,0 ,22)，观察图象易得：63A 1 , 1 ,3，即 x[6,2] 时，函数 f ( x)sin( x3)，由函数 y f ( x) 的图象3关于直线x6对称得， x[,6] 时，函数 f ( x)sin x .∴ f ( x)sin(x 3 )x[ 6,23].sin x x[, 6 )（ 2 ）当x[, 2]时，由 sin( x3)2得， x34或3x12或x5；当632412 x[,6 ] 时，由sin x22得， x34或 x4. ∴方程 f (x)22的解集为 {34, 4 ,12,125}10.已知函数 f ( x)sin( x)cos( x) 的定义域为R，（1）当0 时，求f (x)的单调区间；（ 2）若(0, )，且 sin x0，当为何值时， f ( x) 为偶函数．解：（1）0 时， f (x)sin x cos x 2 sin( x)4当 2k x2k,即2k 3x2k（ k Z ）时f (x)24244单调递增；当 2k2x42k3,即 2k4x2k5（ k Z ）时f (x) 24单调递减；（ 2）若f(x) 偶函数，则 sin( x)c os( x)sin(x)cos(x)即 sin( x)sin( x)cos(x)cos( x) =0 2sin x cos2sin xsin02sin x(cos sin)02 cos()04Q(0,)4，此时， f (x) 是偶函数．。
2020年高考试题分类汇编(三角函数)
2020年高考试题分类汇编（三角函数）考点1三角函数的图像和性质1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）设函数()cos()f x x πω=+在[,]ππ-的图像大致如下图，则()fx 的最小正周期为 A ．109πB ．76π C 2.（2020·山东卷）如图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=A．sin()3x π+ B ．sin(2)3x π- C．cos(2)6x π+ D ．5cos(2)6x π-3.（2020·浙江卷）函数cos sin y x x x =+在区间[,]ππ-的图象大致为4.（2020·全国卷Ⅲ·理科）关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称； ②()f x 的图像关于原点对称； ③()f x 的图像关于2x π=轴对称； ④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是 .5.（2020·全国卷Ⅲ·文科）设函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．()f x 有最小值为2 B ．()f x 的图像关于y 轴对称 C ．()f x 的图像关于x π=轴对称 D ．()f x 的图像关于2x π=轴对称6.（2020·上海卷）已知()sin f x x ω=（0ω>）. （Ⅰ）若()f x 的周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集；（Ⅱ）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=--，[0,]4x π∈，求()g x的值域.7.（2020·天津卷）已知函数()sin()3f x x π=+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()2f π是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③ 8.（2020·北京卷）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．9.（2020·全国卷Ⅱ·理科）已知函数2()sin sin 2f x x x =. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)π的单调性；（Ⅱ）证明：()f x ≤；（Ⅲ）设n N *∈，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x xx ≤.考点2恒等变换1.（2020·全国卷Ⅰ·理科）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A ．23 C ．13D 2.（2020·全国卷Ⅱ·理科）若α为第四象限的角，则A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<3.（2020·全国卷Ⅱ·文科）2sin 3x =-，则cos2x = .4.（2020·全国卷Ⅲ·理科）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5.（2020·全国卷Ⅲ·文科）sin sin()13πθθ++=，则sin()6πθ+=A ．12BC ．23D6.（2020·浙江卷）已知tan 2θ=，则cos2θ= ；tan()4πθ-= ．考点3解三角形1.（2020·全国卷Ⅲ·理科）在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B = A ．19 B ．13 C ．12 D ．232.（2020·全国卷Ⅲ·文科）在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =A B ．．． 3.（2020·全国卷Ⅰ·文科）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知150B =.（Ⅰ）若a =，b =ABC ∆的面积；（Ⅱ）若sin 2A C =，求C . 4.（2020·全国卷Ⅱ·理科）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.5.（2020·全国卷Ⅱ·文科）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若b c -=，证明：ABC ∆是直角三角形.6.（2020·山东卷）在①ac =，②sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且sin AB ，6C π=， ?7.（2020·北京卷）在ABC ∆中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC ∆的面积．条件①：7c =，1cos 7A =-；条件②：1cos 8A =，9cos 16B =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8.（2020·天津卷）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a =5b =，c =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin(2)4A π+的值． 9.（2020·浙江卷）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）求cos cos cos A B C ++的取值范围．。
2020高考—三角函数(选择+填空+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文7)．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22.(20全国Ⅰ理9)．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5B ．23C ．13D 53.（20全国Ⅱ理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.（20全国Ⅲ文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12B 3C ．23D 2 5.（20全国Ⅲ文11）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．56.（20全国Ⅲ文12）．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 7.（20全国Ⅲ理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238.（20全国Ⅲ理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．29.（20新高考Ⅰ10）．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -10.(20天津8)．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③11.(20浙江4)．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是12.(20北京9)．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.(20北京10)．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sintan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 14. （20全国Ⅱ文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 15.（20全国Ⅲ理）16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16.(20浙江13)．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．17.（20江苏8）．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．18.（20江苏10）．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．19.(20北京14)．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．B 11.A 12. C 13. A14.1915．②③ 16.31,53- 17．13 18．524x π=- 19.2π。
2020高考模拟试题三角函数部分解答题汇编(含答案)
2020高考模拟试题三角函数部分解答题汇编（含答案）1．（2020•巩义市模拟）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°．（1）若a＝2b，求tan A的值；（2）若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝1，求△ABC的面积的最小值．2．（2020•东湖区校级模拟）已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．3．（2020•兴庆区校级四模）如图，考虑点A（1，0），P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P（cos（α+β），sin（α+β）），从这个图出发．（1）推导公式：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（2）利用（1）的结果证明：，并计算sin37.5°cos37.5°的值．4．（2020•德阳模拟）在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．5．（2020•南岗区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos（A ﹣C）+cos B＝，且函数f（x）＝P sin（ωx﹣A）（P、ω＞0）的部分图象如图所示：（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）若sin B＜sin C，点D为线段AB上的点，且CD＝2，求△ACD面积的最大值．6．（2020•柯桥区二模）已知函数．（1）求f（x）的对称中心；（2）若为f（x）的一个零点，求cos2x0的值．7．（2020•雨花区校级模拟）已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C所对的边，向量，，设．（Ⅰ）若f（A）＝2，求角A；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，求三角形ABC的面积．8．（2020•西湖区校级模拟）设函数f（x）＝+a的最小值是﹣1．（1）求a的值及f（x）的对称中心；（2）将函数f（x）图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到g（x）的图象．若，求x的取值范围．9．（2020•南岗区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC 只能满足以下三个条件中的两个：①；②函数f（x）＝P sin（ωx﹣A）（P、ω＞0）的部分图象如图所示：③，满足．（Ⅰ）请指出△ABC满足哪两个条件，并证明；（Ⅱ）若sin B＜sin C，点D为线段AB上的点，且CD＝2，求△ACD面积的最大值．10．（2020•滨州三模）如图，半圆O的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P 为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角△PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设∠P AC＝θ．（1）把线段PC的长表示为θ的函数；（2）求四边形ACDP面积的最大值．11．（2020•启东市校级模拟）如图，点P0是锐角α的终边与单位圆的交点，OP0逆时针旋转得OP1，OP1逆时针旋转得OP2，…，OP n﹣1逆时针旋转得OP n．（1）若P0的坐标为，求点P1的横坐标；（2）若点P2020的横坐标为，求的值．12．（2020•龙凤区校级模拟）已知，将f（x）的图象向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象．（1）求函数g（x）在上的值域及单调递增区间；（2）若，且，，求△ABC的面积．13．（2020•衡阳三模）如图平面四边形ABDC，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos2a sin C＝0．（1）求∠CAB；（2）若AB＝AC，BD＝1，CD＝2，求四边形ABDC面积的最大值．14．（2020•香坊区校级一模）在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）若，求tan A的值．（Ⅱ）若△ABC的面积为，求a+b的值．15．（2020•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求C；（2）若，△ABC的面积为，求c．16．（2020•湖北模拟）在△ABD中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos C+c＝2b．（1））求角A的大小；（2）设D是边AC的中点，若c＝1，，求a．17．（2020•汉阳区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝2a cos C．（1）判断△ABC的形状；（2）若b＝2，△ABC的面积为，BC的中点为D，求AD的长．18．（2020•庐阳区校级模拟）在△ABC中，，．（1）求tan B；（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．19．（2020•吉林模拟）已知△ABC的内角A，B，C满足（sin A+sin B）（sin A﹣sin B）＝（sin C ﹣sin B）sin C，△ABC的面积为10．（1）求sin2A；（2），求△ABC的周长．20．（2020•西安三模）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a、b、c，满足2cos2＝1﹣cos A•cos B+2sin A cos B．（1）求cos B的值；（2）设△ABC外接圆半径为R，且R（sin A+sin C）＝1，求b的取值范围．21．（2020•梅河口市校级模拟）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，a（sin A ﹣sin C）＝b sin B﹣c sin C，点D在边AB上，BD＝1，且．（1）求角B的大小；（2）若△BCD的面积为，求b的值．22．（2020•新华区校级模拟）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a＝2b cos C+c sin B．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）若，且△ABC的面积为6，求a．23．（2020•红岗区校级模拟）在锐角△ABC中，，_______．（1）求角A；（2）求△ABC的周长l的范围．注：在①，，且，②cos A（2b﹣c）＝a cos C，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．如果选择多个条件分别作答，按第一个解答积分．24．（2020•雨花区校级模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A﹣B）＝cos C．（1）求B的值；（2）求的取值范围．25．（2020•九龙坡区模拟）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2sin（x+）cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（+）＝，a+c＝1，求b的取值范围．26．（2020•马鞍山三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且S＝（a2+b2﹣c2）．（1）求角C；（2）若3a＝2b，求sin A．27．（2020•来宾模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin B+2sin C ＝3sin A，a sin C＝2c sin B．（1）求cos A的值；（2）若|﹣|＝2，求△ABC的面积．28．（2020•七星区校级模拟）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+c＝3，．（1）求b的最小值；（2）若a＜b，b＝2，求的值．29．（2020•运城模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）求证：；（2）若△ABC是锐角三角形，，求c的范围．30．（2020•新乡三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A＝a（2﹣cos B）．（1）求B；（2）若a＝2，b＝，求△ABC的面积．31．（2020•道里区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．满足2c ＝a+2b cos A．（1）求B；（2）若a+c＝5，b＝3，求△ABC的面积．32．（2020•金安区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，a cos B＝（2c﹣b）cos A．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的范围．33．（2020•桃城区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a cos B+b cos A＝2c cos C．（1）求C；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．34．（2020•靖远县四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4c＝b+4a cos B．（1）求sin A；（2）若a＝4，且b+c＝6，求△ABC的面积．35．（2020•雨花区校级模拟）已知a，b，c分别是三角形ABC三个内角A，B，C所对的边，．（Ⅰ）若f（A）＝3，求角A；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，求三角形ABC的面积．36．（2020•黄州区校级二模）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，．（1）求A；（2）若AD是BC边的中线，，求△ABC的面积．37．（2020•九龙坡区模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin2B+2sin C cos A＝sin（C﹣A）．（1）求B；（2）若a＝2，c＝4，D是AC边的中点，求BD的长．38．（2020•河南模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足b cos C＝（2b﹣c）cos B．（1）求证：A＝2B；（2）若，求cos B．39．（2020•武昌区校级模拟）已知函数的周期为π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若，求x的取值范围．40．（2020•闵行区校级模拟）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个长度单位，得到的图象，再把g（x）的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数h（x）的图象．（1）求φ的最小值和h（x）的解析式；（2）当时，求函数h（x）的单调递减区间．1．【解答】解：（1）因为a＝2b，由正弦定理得sin A＝2sin B．又C＝120°，故A+B＝60°，∴sin A＝2sin（60°﹣A）＝cos A﹣sin A，∴cos A＝2sin A，∴tan A＝．（2）由题意知S△ACD+S△BCD＝S△ABC，∴，则a+b＝ab，由，得ab≥4，则S△ABC＝ab，当且仅当a＝b时等号成立．2．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a4＝a1+3d＝①，∵a1，a2，a6成等比数列，∴＝a1•a6，即＝a1•（a1+5d）②，由①②解得，a1＝，d＝．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝n﹣（n∈N*）．（II）由（I）知，a1＝，∴A（﹣1，），B（3，﹣），把A（﹣1，）代入函数y＝sin（x+φ），得φ＝+2kπ，k∈Z．∵0＜φ＜π，∴φ＝．∵A（﹣1，），B（3，﹣），∴AO＝2，BO＝，AB＝．在△AOB中，由余弦定理知，cos∠AOB＝，即cosθ＝＝．又0＜θ＜π，∴θ＝．∴cos（θ+φ）＝cos（+）＝cos cos﹣sin sin＝（）×（）﹣×＝．3．【解答】解：（1）∵|P A|＝|P1P2|，∴（cos（α+β）﹣1）2+sin2（α+β）＝（cosα﹣cosβ）2+（sinα+sinβ）2，即2﹣2cos（α+β）＝2﹣2cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．（2）∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，∴cosαcosβ＝[cos（α+β）+cos（α﹣β）]，∴sin37.5°cos37.5°＝sin75°＝sin（45°+30°）＝（sin45°cos30°+cos45°sin30°）＝（）＝．4．【解答】解：（1）∵b cos C+c cos B＝2，∴由余弦定理可得：b•+c•＝2，∴＝2，解得a＝2，∵b sin C＝a＝，∴S△ABC＝ab sin C＝＝．（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，化简可得：，消去c，可得：sin A+cos A＝2，即sin（A+）＝1，因为：A∈（0，π），可得：A+＝，可得A＝．5．【解答】解：（Ⅰ）：①，整理得，所以，解得．②函数f（x）＝P sin（ωx﹣A）（P、ω＞0）的部分图象如图所示：得到：P＝2，，故T＝π，所以ω＝．所以f（x）＝2sin（2x﹣A）．当x＝时，，由于A∈（0，π），所以，所以，解得A＝．所以C＝或C＝．（Ⅱ）由于sin B＜sin C，所以b＜c，整理得B＜C．所以C＝，由于A＝，C＝，，在△ADC中，由余弦定理，所以，所以．此时b＝AD＝．此时的最大值为．6．【解答】解：（1）函数＝+sin2x+（sin x+cos x）•（sin x﹣cos x）＝﹣cos2x+sin2x+（sin2x﹣cos2x）＝﹣cos2x+sin2x﹣cos2x＝+sin2x﹣cos2x＝+2sin（2x﹣）；令2x﹣＝kπ，k∈Z；解得x＝+，k∈Z；所以f（x）的对称中心为（+，），k∈Z；（2）若为f（x）的一个零点，则+2sin（2x0﹣）＝0，所以sin（2x0﹣）＝﹣；由x0∈[0，]知，2x0﹣∈[﹣，]，所以2x0﹣∈[﹣，0]；所以cos（2x0﹣）＝＝，所以cos2x0＝cos[（2x0﹣）+]＝cos（2x0﹣）cos﹣sin（2x0﹣）sin＝×﹣（﹣）×＝．7．【解答】解：（Ⅰ）因为f（A）＝2，即，所以或（舍去）（Ⅱ）由（I）可得A＝，因为，则，所以cos B+cos C＝2cos A＝1，又因为，所以cos B+cos（）＝＝1．所以sin（B+）＝1，因为B为三角形内角，所以所以三角形ABC是等边三角形，由，所以面积S＝＝．8．【解答】解（1）f（x）＝+a ＝cos2x﹣sin2x+sin2x+a＝sin2x+cos2x+a＝sin（2x+）+a，因为函数f（x）的最小值是﹣1，所以a＝0，所以f（x）＝sin（2x+）．令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故f（x）的对称中心为（﹣，0），k∈Z，（2）由题意可得g（x）＝sin[4（x﹣）+]＝sin4x，若，即sin4x≥﹣，则2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z，解得﹣≤x≤+，k∈Z，即x的取值范围为[﹣，+]，k∈Z，9．【解答】解：（Ⅰ）满足①②两个条件，证明如下：①，整理得，所以，解得．②函数f（x）＝P sin（ωx﹣A）（P、ω＞0）的部分图象如图所示：得到：P＝2，，故T＝π，所以ω＝．所以f（x）＝2sin（2x﹣A）．当x＝时，，由于A∈（0，π），所以，所以，解得A＝．所以C＝或C＝③，满足．所以，整理得．所以满足①②两个条件．（Ⅱ）由于sin B＜sin C，所以b＜c，整理得B＜C．所以C＝，由于A＝，C＝，，在△ADC中，由余弦定理，所以，所以．此时b＝AD＝．此时的最大值为．10．【解答】解：（1）依题设知△APB是以∠APB为直角的直角三角形．又AB＝2，∠P AB＝θ，∴P A＝2cosθ，在△P AC中，AC＝3，∠P AC＝θ，由余弦定理得：PC2＝P A2+AC2﹣2P A•AC•cosθ＝4cos2θ+9﹣12cos2θ＝9﹣8cos2θ．∴PC＝，定义域为{θ|0＜θ＜}；（2）设四边形ACDP面积为S．则S＝S△APC+S△PCD＝＝＝＝＝sin（2θ+φ）+，其中cosφ＝，sinφ＝，∴当sin（2θ+φ）＝1时，S取得最大值为．11．【解答】解：（1）因为点P0为，根据三角函数的定义可得sinα＝，cosα＝；根据题意可知点P1的横坐标为cos（α+）＝cosαcos﹣sinαsin＝×﹣×＝；（2）根据题意可知点P2020的横坐标为cos（α+）＝cos（）＝，所以cos（）＝﹣；又因为α是锐角，所以α+∈（，），所以sin（）＝；所以＝2sin（）cos（）＝﹣．12．【解答】解：（1）＝2cos2x（cos2x+sin2x）﹣1＝2cos22x+2sin2x cos2x﹣1＝cos4x+sin4x＝sin（4x+）将f（x）的图象向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象则可得g（x）＝sin（2x﹣），x∈，则2x﹣∈[﹣，]，则sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴g（x）的值域为[﹣1，]．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，k＝0时，﹣≤x≤，所以g（x）在上的单调递增区间为[0，]；（2）g（）＝sin（B﹣）＝，解得B＝，由，可得C＝，则sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝×﹣×＝，由正弦定理得＝，即，解得c＝2故△ABC的面积S＝bc sin A＝×2×2×＝﹣1．13．【解答】解：（1）法1：因为，由正弦定理可得，即，即，又0＜A＜π，所以，即．法2：因为，由正弦定理可得，由于sin C＞0，则，又，可得，又0＜A＜π，所以．（2）当AB＝AC，又，所以△ABC为正三角形，在△BDC中，令∠CDB＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：BC2＝12+22﹣2×1×2cosθ＝5﹣4cosθ，所以＝，由，所以最大值为1，故当时，．14．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵，∴a＝2，∵a2+b2﹣3a cos C＝6，∴cos C＝0，∵C∈（0，π），∴，∴．（Ⅱ）∵，∴，∵a2+b2﹣3a cos C＝6，且，∴，∵sin2C+cos2C＝1，∴，∴b＝1或，当b＝1时，，∴，当时，，∴．15．【解答】解：（1）∵＝，∴∵C∈（0，π），∴．（2）∵，∴，∴．16．【解答】解：（1）由正弦定理可知：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，由2a cos C+c ＝2b，可得：2sin A cos C+sin C＝2sin B，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin C＝cos A sin C，∵sin C≠0，∴cos A＝．又∵A∈（0，π），∴A＝．（2）∵A＝，c＝1，，∴在△ABD中，设AD＝x，由余弦定理可得：3＝1+x2﹣2×，可得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝2，或﹣1（舍去），∵D是边AC的中点，∴b＝2x＝4，∴在△ABC中，由余弦定理可得a＝＝＝．17．【解答】解：（1）由正弦定理b＝2a cos C，可化为sin B＝2sin A cos C．又B＝π﹣（A+C）．所以sin（A+C）＝2sin A cos C，可得sin A cos C+cos A cos C＝2sin A cos C，可得sin A cos C+cos A cos C＝0，可得sin（A﹣C）＝0．因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以﹣π＜A﹣C＜π，所以A﹣C＝0．A＝C．所以为等腰三角形；（2）由（1）知a＝c，在△ABC中，取AC的中点E，连接BE，则BE⊥AC，．又△ABC的面积为，所以，根据sin2C+cos2C＝1，得，所以a＝3，．（解法一）在△ADC中，由余弦定理，得，所以．（解法二）在△ABC中，有，所以＝．18．【解答】解：（1）∵0＜A＜π，∴，，∴，∴．（2）∵，0＜B＜π，∴，，∵，∴，∴．不妨设A．B．C所对的边分别为a、b、c，则．令a＝2x，则，又∵，∴x＝1，∴△ABC的周长为．19．【解答】解：（1）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（sin A+sin B）（sin A﹣sin B）＝（sin C﹣sin B）sin C，可得（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，化简可得，b2+c2﹣bc＝a2，由余弦定理可得，cos A＝＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∴sin2A＝．（2）因为，，所以b+c＝•2R＝．由10＝bc sin A，∴bc＝40，因为b2+c2﹣bc＝a2，∴（b+c）2﹣3bc＝a2，∴（）2﹣120＝a2，∴a＝7，所以△ABC的周长为7+13＝20．20．【解答】解：（1）因为2cos2＝1﹣cos A•cos B+2sin A cos B，所以cos C+cos A cos B＝2sin A cos B，所以﹣cos（A+B）+cos A cos B＝2sin A cos B，即sin A sin B＝2sin A cos B，因为sin A≠0，所以sin B＝2cos B＞0，又因为sin2B+cos2B＝1，解得cos B＝．（2）因为a＝2R sin A，c＝2R sin C，所以a+c＝2，可得c＝2﹣a，由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝a2+（2﹣a）2﹣a（2﹣a）＝（a ﹣1）2+，因为0＜a＜2，所以≤b＜2，所以b的取值范围为[，2）．21．【解答】解：（1）由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sin A﹣sin C）＝b sin B﹣c sin C．则a2﹣ac＝b2﹣c2，所以cos B＝＝，由于0＜B＜π，则B＝．（2）△ABC中，∵B＝，点D在边AB上，BD＝1，且，∴S△BCD＝BD•BC•sin＝BC×＝，∴BC＝2，∴由余弦定理可得CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos B＝1+4﹣2×1×2×＝3，∴CD＝，可得DA＝DC＝3，BA＝BD+DA＝1+3＝4，∴b＝＝＝2．22．【解答】解：（Ⅰ）法一：由2a＝2b cos C+c sin B，及正弦定理，得：2sin A＝2sin B cos C+sin B sin C，又A＝π﹣（B+C）⇒sin A＝sin（B+C），∴2sin（B+C）＝2sin B cos C+sin B sin C．即2sin B cos C+2cos B sin C＝2sin B cos C+sin B sin C，∴2cos B sin C＝sin B sin C由sin C≠0，∴2cos B＝sin B，即tan B＝2．法二：由2a＝2b cos C+c sin B，及余弦定理得：，整理得a2+c2﹣b2＝ac sin B，又a2+c2﹣b2＝2ac cos B，则2ac cos B＝ac sin B，即2cos B＝sin B，即tan B＝2．（Ⅱ）法一：由tan B＝2，B∈（0，π），因此，，又，所以，因为，所以，又△ABC面积为6，即，即，解得a＝．法二：过A作AH⊥BC于H，设AH＝x，在Rt△ABH中，因为tan B＝2，所以，在Rt△ACH中，又，则tan C＝1，由CH＝x，则，即，因为△ABC的面积为6，即，，即a＝．23．【解答】解：（1）若选①，∵，，且，∴，∴∵，∴，（2）∵，∴，∴，∵锐角△ABC且，∴，∴，l∈（6+2，6]，∴（1）若选②，∵cos A（2b﹣c）＝a cos C，∴2b cos A＝a cos C+c cos A＝a，∴2b cos A＝b，∴，∵，∴，（2）∵，∴，∴，∵锐角△ABC且，∴，∴，∴l∈（6+2，6]，（1）若选③＝，＝＝，∵∴，∵，∴，（2）∵，∴，∴，∵锐角△ABC且，∴，∴，∴l∈（6+2，6]24．【解答】解：（1）由sin（A﹣B）＝cos C，得．∵△ABC是锐角三角形，故A﹣B，均在区间内，又函数y＝sin x在区间上单调递增，∴，即，①又A+B+C＝π，②由②﹣①，得（2）由（1）知，∴，即．∴．∵△ABC是锐角三角形，∴，∴，∴，∴．故的取值范围为（﹣1，1）．25．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sin x cos x+2sin（x+）cos（x+）＝sin2x+sin（2x+）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），令2x+＝kπ+，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的对称轴方程为x＝kπ+，k∈Z．（Ⅱ）由于f（+）＝2sin（B++）＝2cos B＝，可得cos B＝，∵a+c＝1，即c＝1﹣a，∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac•cos B，即b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣ac＝1﹣a （1﹣a）＝（a﹣）2﹣，∵0＜a＜1，∴0＜b2＜，则b∈（0，）．26．【解答】解：（1）因为S＝（a2+b2﹣c2）．所以sin C＝．解得tan C＝，又C∈（0，π），故C＝；（2）设a＝2t，b＝3t（t＞0）则所以sin A＝．27．【解答】解：（1）∵sin B+2sin C＝3sin A，∴由正弦定理可得b+2c＝3a，又∵a sin C＝2c sin B，∴ac＝2cb，可得a＝2b，∴c＝，∴cos A＝＝＝．（2）∵|﹣|＝2，∴（﹣）2＝2+2﹣2•＝4，∴b2+a2﹣2ab cos C＝4，∵由（1）可得a＝2b，c＝，∴cos C＝＝＝﹣，可得sin C＝＝，∴b2+4b2﹣2×2b×b×（﹣）＝4，解得b＝，a＝，∴S△ABC＝ab sin C＝＝．28．【解答】解：（1）由可得b cos C＝2a cos B﹣c cos B，由正弦定理可得，sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos B，所以sin（B+C）＝2sin A cos B＝sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，B＝，由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝9﹣3ac＝，当且仅当a＝c＝时取等号，故b的最小值；（2）由正弦定理可得，a＝，c＝，∴3＝a+c＝+＝，整理可得，sin（A+）＝，由a＜b可得A，故，所以cos（A+）＝．29．【解答】（1）证明：由正弦定理，知＝＝，由余弦定理，知cos A＝，cos B＝，∴＝＝＝＝．故命题得证．（2）解：由（1）知，c＝＝（sin A+sin B）＝[sin（B+）+sin B]＝4sin（B+）．∵△ABC是锐角三角形，∴A＝B+＜，∴0＜B＜，又A+B＞，∴B++B＞，即B＞，∴＜B＜，∴＜B+＜，∴＜sin（B+）＜，∴＜c＜，符合c＞a﹣b．故c的取值范围是（，）．30．【解答】解：（1）∵b sin A＝a（2﹣cos B），∴由正弦定理可，得sin B sin A＝sin A（2﹣cos B），∴sin（B+）＝1，∵B∈（0，π），B+∈（，），∴B＝．（2）∵B＝，a＝2，b＝，∴（）2＝（2）2+c2﹣2×cos，可得c2﹣6c+5＝0，解得c＝1或5当c＝1时，S△ABC＝ac sin B＝＝；当c＝5时，S△ABC＝ac sin B＝＝；31．【解答】解：（1）由题知2sin C＝sin A+2sin B cos A，……………………………………（2分）则2sin（A+B）＝sin A+2sin B cos A，则2sin A cos B＝sin A，在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝，………………………（4分）则B＝．………………（6分）（2）由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，从而得：9＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，……………………………………（9分）又a+c＝5，所以ac＝，所以△ABC的面积为．…………………………（12分）32．【解答】解：（1）解法一：由已知，得a cos B+b cos A＝2c cos A．由正弦定理，得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A．（1分）即sin（A+B）＝2sin C cos A，因为sin（A+B）＝sin C．（3分）所以sin C＝2sin C cos A．（4分）因为sin C≠0，所以，（5分）因为0＜A＜π，所以．（6分）解法二：结合余弦定理，即b2+c2﹣a2＝bc．（3分）所以．（5分）因为0＜A＜π，所以．（6分）（2）解法一：由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得bc+4＝b2+c2（7分）即（b+c）2＝3bc+4．（8分）因为（9分）所以．即b+c≤4（当且仅当b＝c＝2时等号成立）．（11分）又∵b+c＞a，所以4＜a+b+c≤6．（12分）解法二：，且a＝2，，所以，，（8分）所以（9分）因为，所以4＜a+b+c≤6（12分）33．【解答】解：（1）由题意及正弦定理，得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos C，即sin（A+B）＝2sin C cos C，即sin C＝2sin C cos C．又因为0＜C＜π，所以sin C≠0，所以，所以．（2）因为，又由（1），得，所以，解得a＝3，又由余弦定理，得，所以，所以△ABC的周长为．34．【解答】解：（1）因为4c＝b+4a cos B，所以4sin C＝sin B+4sin A cos B，…………………………………（2分）所以4sin（A+B）＝sin B+4sin A cos B，所以4cos A sin B＝sin B，……………………………………（4分）因为sin B≠0，所以，所以．…………………………………………………………（6分）（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣2bc （1+cos A），………………………………（8分）因为a＝4，b+c＝6，所以，所以bc＝8．…………………………………………………（10分）故△ABC的面积为．………………………………………………………（12分）评分细则：（1）在第一问中，也可以用角转化成边，得到，从而求出，不予扣分；（2）在第二问中，先由正弦定理求出△ABC外接圆的半径r，再由余弦定理求出bc的值，最后通过三角形的面积公式，求出△ABC的面积，只要计算正确，不予扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步给分．35．【解答】解：（Ⅰ）∵＝，∴，∴．（Ⅱ）由，得，所以cos B+cos C＝2cos A＝1，又因为，所以，所以三角形ABC是等边三角形，又，所以面积为．36．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∴，∵0＜A＜π，∴．（2）∵，由三角形的内角和定理，得，在三角形ABD中，，在三角形ADC中，，两式相除得，∴sin2B＝sin2C，∴（舍去）或者B＝C．∵，∴．由正弦定理得，于是．故三角形ABC的面积．37．【解答】解：（1）∵sin2B+2sin C cos A＝sin（C﹣A），∴2sin B cos B+2sin C cos A＝sin C cos A﹣cos C sin A，可得2sin B cos B+sin C cos A＝﹣cos C sin A，∴2sin B cos B+sin（A+C）＝2sin B cos B+sin B＝1，∵B∈（0，π），∴sin B≠0，∴解得cos B＝﹣，∴B＝．（2）∵D是AC边的中点，∴＝+，∴||2＝++＝++＝3．∴BD＝．38．【解答】解：（1）证明：因为b cos C＝（2b﹣c）cos B，由正弦定理，得sin B cos C＝2sin B cos B ﹣sin C cos B，所以sin（B+C）＝sin2B，所以sin A＝sin2B．（2分）又因为0＜A＜π，0＜2B＜2π，所以A＝2B或A+2B＝π．（4分）若A+2B＝π，又A+B+C＝π，所以B＝C，与a，b，c互不相等矛盾，所以A＝2B．（6分）（2）解：由（1）知C＝π﹣（A+B）＝π﹣3B，所以．因为，所以，则，可得．（8分）又因为sin3B＝sin（2B+B）＝sin2B cos B+cos2B sin B＝2sin B cos2B+2sin B cos2B﹣sin B＝3sin B ﹣4sin3B，所以．因为，所以sin B＞0，所以，所以，（10分）解得，又，得．（12分）39．【解答】解：（1）因为，所以f（x）＝sin2ωx cos﹣cos2ωx sin+cos2ωx+1＝sin2ωx+cos2ωx+1＝sin （2ωx+）+1，所以f（x）的最小正周期T＝，解得ω＝1，f（x）＝sin（2x+）+1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）由（1）得f（x）＝sin（2x+）+1，可得sin（2x+）≥﹣，可得2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，可得x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．40．【解答】解：（1）∵将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个长度单位，得到＝2sin（2x﹣2φ）的图象，∴2φ＝+2kπ，即φ＝kπ+，k∈Z，故φ的最小值为．再把g（x）的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数h（x）＝2sin（2•x﹣）＝2sin（3x﹣）的图象．故h（x）＝2sin（3x﹣）．（2）当时，3x﹣∈[﹣，]，故当3x﹣∈[﹣，]时，即x∈[0，]，函数h（x）单调递增，故当3x﹣∈[，]时，即x∈[，]，函数h（x）单调递减，故h（x）的递减区间为。
2020高考—三角函数(选择+填空+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文7)．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22.(20全国Ⅰ理9)．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5B ．23C ．13D 53.（20全国Ⅱ理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.（20全国Ⅲ文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12B 3C ．23D 2 5.（20全国Ⅲ文11）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．56.（20全国Ⅲ文12）．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 7.（20全国Ⅲ理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238.（20全国Ⅲ理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．29.（20新高考Ⅰ10）．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -10.(20天津8)．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③11.(20浙江4)．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是12.(20北京9)．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.(20北京10)．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sintan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 14. （20全国Ⅱ文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 15.（20全国Ⅲ理）16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16.(20浙江13)．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．17.（20江苏8）．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．18.（20江苏10）．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．19.(20北京14)．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．B 11.A 12. C 13. A14.1915．②③ 16.31,53- 17．13 18．524x π=- 19.2π。
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练含答案解析
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1 （1）点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为________． 【答案】（1）A （2）－34【解析】(1)设Q 点的坐标为(x ，y)， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 题型二 三角函数的图象及应用例1已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭：，则下面结正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】（1） 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 【易错点】函数图像水平方向平移容易出错 【思维点拨】平移变换理论 (1)平移变换:①沿x 轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y 轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换:①沿x 轴伸缩时,横坐标x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标y 不变); ②沿y 轴伸缩时,纵坐标y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.例2函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）.【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当x =π时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 21cos 2y =>-，排除A.故选C.【易错点】函数图形判断通过过排除法 【思维点拨】例3函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3【答案】A【解析】 (1)因为T 2＝11π12－5π12，所以T ＝π.又T ＝2πω(ω>0)，所以2πω＝π，所以ω＝2.又2×5π12＋φ＝π2＋2kπ(k ∈Z )，且－π2<φ<π2，故φ＝－π3.【易错点】求φ时，容易忽略讨论k 【思维点拨】题型三 三角函数性质例1 （1）已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<|φ|<π2)为奇函数，且函数y ＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求f(π6)的值；(2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．【答案】（1）f(π6)＝2sin π3＝3（2）[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )．【解析】（1）f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ) ＝2[12sin(ωx ＋φ)＋32cos(ωx ＋φ)]＝2sin(ωx ＋φ＋π3)．因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋π3)＝0，又0<|φ|<π2，可得φ＝－π3，所以f(x)＝2sin ωx ，由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2sin 2x. 因此f(π6)＝2sin π3＝ 3.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f(x －π6)的图象，所以g(x)＝f(x －π6)＝2sin[2(x －π6)]＝2sin(2x －π3)．当2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2(k ∈Z )，即kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k ∈Z )时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )．【易错点】 【思维点拨】题型四三角函数范围问题例1函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ． 【答案】1【解析】()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令cos x t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，则当t =时，()f x 取最大值1． 【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值 【思维点拨】 例2函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .【解析】2()21f x +=【易错点】【思维点拨】辅助角公式运用 例3【2017年Ⅲ】函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）. A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A 【解析】11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选A. 【易错点】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！【思维点拨】题型五三角函数求值问题 例1已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .【解析】由tan 2sin 2cos ααα==得 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=.因为0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5α=，sin 5α=.因为cos cos cos sin sin 44αααππ⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭，所以cos 4525210πα⎛⎫-=+⨯= ⎪⎝⎭. 【易错点】【思维点拨】例2（1）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（2）sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．-B C ．12- D ．12【答案】（1）A （2）12【解析】（1）由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或3sin 5α=-， 4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A（2）原式=1sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302+=+==【易错点】 【思维点拨】例3已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32,（2）f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减【解析】 (1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos xsin x －32(1＋cos 2x)＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x≤5π12时， f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x≤2π3时， f(x)单调递减．综上可知，f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 【易错点】【思维点拨】解答技巧，方法策略等 题型六 简单的三角恒等变换 例1(2018·新疆第二次适应性检测)cos10(13tan 30)cos50︒+︒︒的值是________．【答案】2【解析】依题意得cos 10°1＋3tan 10°cos 50°＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin 10°＋30°cos 50°＝2sin 40°sin 40°＝2.【易错点】【思维点拨】解答技巧，方法策略等 例2已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．【答案】（1）-3（2）1【解析】(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.【易错点】 【思维点拨】解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 例3若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【答案】A【解析】选A ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2且cos 2α＝－255，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4. 【易错点】 【思维点拨】对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数较好．【巩固训练】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终边上一点，且sin θ=则y = . 【答案】-8.【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tanθ1＋tanθ＝12，得tanθ＝13，∴sinθcosθ＝sinθcosθsin 2θ＋cos 2θ＝tanθtan 2θ＋1＝1319＋1＝310.故填310. 2. (1)已知tan α＝2，求值： ①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝13，求sin θ－cos θ的值．【答案】(1)①-1②1(2)173【解析】(1)①2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)∵sin θ＋cos θ＝13，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝19，∴sin θcos θ＝－49.∵θ∈(0，π)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，θ， ∴sin θ>0>cos θ，sin θ－cos θ>0.由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋89＝179，得sin θ－cos θ＝173.3.若cos(π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－53B ．－23C ．－13D ．±23【答案】B【解析】cos (π－α)＝－cos α＝53，∴cos α＝－53. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－532＝23， ∴sin (π＋α)＝－sin α＝－23，故选B ．题型二 三角函数图像1.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( A ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移 π12个单位 D ．向左平移π4个单位【答案】A【解析】因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象. 2.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f(x 1)＝f(x 2)，则f(x 1＋x 2)＝( )A ．1B ．12C ．22D ．32【答案】D【解析】 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x ＋φ). 将⎝⎛⎭⎫－π6，0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0. 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f(x 1)＝f(x 2)，∴x 1＋x 22＝π12， ∴x 1＋x 2＝π6，∴f(x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32，故选D ． 3.已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性. 【答案】(1) ω＝1(2) f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减.【解析】 (1)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1． (2)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x≤π2时，f(x)单调递减. 综上可知，f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减. 题型三 三角函数性质1. 已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,2]【答案】A【解析】由π2<x<π，ω>0得，ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4.又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A ．2.设函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减 【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数一个周期为－2π，A 项正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 项正确；f(x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f(x ＋π)＝0，所以C 项正确；函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 项不正确，故选D ．3.已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin xcos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4对称C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数①的图象【答案】C【解析】函数①y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，②y ＝22·sin xcos x ＝2sin 2x ，由于①的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称，②的图象不关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称，故A 项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x ＝－π4对称，故B 项不正确；由于这两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数，故C 项正确；将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，而y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，故D 项不正确，故选C ．题型四三角函数范围问题1.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .【答案】3√32【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x -2.令f'(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π.因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f (π3)=3√32,f (5π3)=-3√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3√32.2.已知y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，求y 的最大值与最小值之和． 【答案】238【解析】 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x) ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故函数的最大值与最小值的和为2＋78＝238.3.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称. (1)求ω，φ的值； (2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π2，求f(x)的最大值与最小值， 【答案】(1)ω＝23.(2) ⎣⎡⎦⎤3kπ－3π2，3kπ，k ∈Z (3) 函数f(x)的最大值为1，最小值为0. 【解析】(1)因为f(x)＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f(x)＝cos ωx.因为图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称， 所以ω×34π＝π2＋mπ，m ∈Z ，ω＝23＋4m3，又0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f(x)＝cos 23x ，由－π＋2kπ≤23x≤2kπ，且 k ∈Z 得，3kπ－3π2≤x≤3kπ，k ∈Z ，所以函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤3kπ－3π2，3kπ，k ∈Z . (3)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3， 当23x ＝0时，即x ＝0，函数f(x)的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f(x)的最小值为0.题型五三角函数求值问题 1.设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A ．3π4B ．5π4C ．7π4D ．5π4或7π4【答案】 C【解析】∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4. 2.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值. 【答案】（1）f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－2π3，2kπ＋π3(k ∈Z )（2） 【解析】 (1)f(x)＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6，（2）43－310由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1，因此2π3ω＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.由2kπ－π2≤x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，得2kπ－2π3≤x≤2kπ＋π3(k ∈Z )， 所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－2π3，2kπ＋π3(k ∈Z ). (2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x 2， 由g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.3.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值. 【答案】－3＋23 【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－33－⎝⎛⎭⎫1－13＝－3＋23. 题型六 简单的三角恒等变换1.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0【答案】选D【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝－⎝⎛⎭⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.2.计算cos 10°－3cos －100°r(1－sin 10°)＝________(用数字作答)．【答案】2【解析】cos 10°－3cos －100°r(1－sin 10°)＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2sin 40°＝2sin10°＋30°r(2sin 40°)＝2.3.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.【答案】π3【解析】由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.。
专题6 三角函数-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题6三角函数研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
三角函数——近3年三角函数考了45道，每年理科1-3道小题，文科2-4道小题，当考3-4道小题时，当年就不在考三角函数大题了，题目多数难度较小，主要考查公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用问题），多数属于“中档题”，小心平移（重点，难点，几乎年年考），也会有难题，如2016年全国1卷12题和2018年全国1卷16题的考法是比较难的，所以当了压轴题。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理16））已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】见解析。
【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理9））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理12））已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理6））在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．5.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理10））若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．6.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理15））已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【答案】见解析。