2017东城区初三二模数学试卷及答案
2017北京市中考数学二模分类25题圆及答案
2017年北京市中考数学分类25题圆顺义25．如图，在Rt△ABC中，∠CA B=90 ，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E是AC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）点P是BD上一点，连接AP，DP，若BD：CD=4:1，求sin∠APD的值．EB房山25.如图,△ ABC 中,AC=BC=a,AB=b．以BC为直径作⊙O交AB于点 D,交 AC 于点E，过点D 作⊙O的切线MN，交CB的延长线于点M,交 AC 于点N．（1）求证: MN⊥AC;(2）连接BE,写出求BE长的思路．O C D 丰台26．如图,AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为圆弧上一点，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为点D ,AB 的延长线交切线CD 于点E ．(1)求证：AC 平分∠DAB ；（2）若AB =4，B 为OE 的中点，CF ⊥AB ,垂足为点F ，求CF 的长。
平谷25．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点F 在⊙O 上,且点C 是BF 的中点,过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E ． （1）求证：AE ⊥DE ；(2）若∠BAF=60°,AF=4,求CE 的长．石景山25．如图，AB 为⊙O 的直径,弦BC ，DE 相交于点F ,且DE ⊥AB 于点G ，过点C 作⊙O 的切线交DE 的延长线于点H . （1）求证：HC HF =;（2）若⊙O 的半径为5,点F 是BC 的中点, tan HCF m ∠=,写出求线段BC 长的思路.朝阳25．如图,△ABC 中,∠A =45°，D 是AC 边上一点，⊙O 过D 、A 、B 三点，OD ∥BC ． （1）求证:直线BC 是⊙O 的切线；（2)OD ， AB 相交于点E ，若AB =AC ，OD =r ，写出求AE 长的思路．CFDEABOGC EDPOBA西城25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点,过点B 作⊙O 的切线，与AC 延长线交于点D ，连接BC ，OE ∥BC 交⊙O 于点E ，连接BE 交AC 于点H ． （1）求证：BE 平分∠ABC ；(2）连接OD ，若BH =BD =2，求OD 的长．海淀25．如图,AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，D 为AC 的中点，AC ，BD 相交于E 点，过点A 作⊙O 的切线交BD 的延长线于P 点． (1）求证：∠PAC =2∠CBE ；（2）若PD =m ，∠CBE =α，请写出求线段CE 长的思路．东城25。
2020 参考2017年北京东城区中考数学二模试卷 含答案
2020年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1．（3 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 440000 万人，将 440000 用科学记数法表示为（ ） A ．4.4×106B ．4.4×105C ．44×104D ．0.44×1052．（3 分）下列运算正确的是（ ） A ．2a +3b ＝5ab B ．a 1•a 4＝a 6 C ．（a 2b ）3＝a 6b 3D ．（a +2）2＝a 2+413．（3 分）有 5 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 0，π，√2， ，1.333，背面朝上放 8在不透明的桌子上，若随机抽取 1 张，则取出的卡片上的数是无理数的概率是（ ） 1 2 A ．B ．553 4 C ．D ．554．（3 分）下列关于二次函数 y ＝x 2+2x +3 的最值的描述正确的是（ ） A ．有最小值是 2B ．有最小值是 3C ．有最大值是 2D ．有最大值是 35．（3 分）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数x （单位：分）及方差 s 2 如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．（3 分）如图，正五边形 ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点 A 、B 、C 、D 的坐标分别是（0，a ）、（﹣3，2）、（b ，m ）、（﹣b ，m ），则点 E 的坐标是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（3，2）D ．（3，﹣2）7．（3 分）将一副直角三角板如图放置，使含 30°角的三角板的直角边和含 45°角的三角甲乙 丙 丁 x 7 8 8 7 s 211.211.8板的一条直角边在同一条直线上，则∠1 的度数为（）A．75°B．65°C．45°D．30°8．（3 分）关于x 的一元二次方程x2+ax﹣1＝0 的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根9．（3 分）图1 和图2 中所有的正方形都全等，将图1 的正方形放在图2 中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①B．②C．③D．④10．（3 分）如图，点E 为菱形ABCD 的BC 边的中点，动点F 在对角线AC 上运动，连接BF、EF，设AF＝x，△BEF 的周长为y，那么能表示y 与x 的函数关系的大致图象是（）A． B．C．D．二、填空题（每题 3 分，共18 分）111．（3 分）代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．x−312．（3 分）请写出一个多项式，含有字母a，并能够在有理数范围内用平方差公式进行因式分解，此多项式可以是．13．（3 分）已知一次函数y1＝k1x+5 和y2＝k2x+7，若k1＞0，且k2＜0，则这两个一次函数的图象的交点在第象限．14．（3 分）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为．15．（3 分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，竹条AB 的长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则一面贴纸的面积为cm2（结果保留π）．16．（3 分）小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在n 点钟响起后，下一次则在（3n﹣1）小时后响起，例如钟声第一次在3 点钟响起，那么第2 次在（3×3 ﹣1＝8）小时后，也就是11 点响起，第3 次在（3×11﹣1＝32）小时后，即7 点响起，以此类推…；现在第1 次钟声响起时为2 点钟，那么第3 次响起时为点，第2017 次响起时为点（如图钟表，时间为12 小时制）．解：原式＝2x2﹣1﹣x（x+5）…①＝2x2﹣1﹣x2+5x…②＝x2+5x﹣1 …③三、解答题（本题共72 分，第17-26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题8 分，第29 题7 分）17．（5 分）计算：|﹣2|+（π﹣2017）0﹣4cos60°+√27．3x− 2 ≤ x18．（5 分）解不等式组{2x+1＜x+1，并把解集在数轴上表示出来．5 219．（5 分）小明化简（2x+1）（2x﹣1）﹣x（x+5）的过程如图，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程．20．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分1别交AC、AB 于点M、N，再分别以点M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧2交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD＝4，AB＝15，求△ABD 的面积．21．（5 分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x 轴于点C，点A（√3，1）在反比例函数y=k（x≠0）的图象上．x（1）求反比例函数y=k（x≠0）的解析式和点B 的坐标；x（2）若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE（点O 与点D 是对应点），补全图形，直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．22．（5 分）列方程或方程组解应用题：某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2 倍，并且两队在独立完成面积为400m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用4 天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？23．（5 分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BD、BC 于点E、F、G，连接ED、DG．（1）请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC 的长．24．（5 分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地做决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是．（2）补全频数分布直方图．（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25 吨，那么该地区6 万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？25．（5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D，CE ⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：∠BDC＝∠A；（2）若CE＝4，DE＝2，求AD 的长．26．（5 分）佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2＝0 的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解，如：二次函数y＝x2﹣2x﹣3 的图象与x 轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1 和 3 即为x2﹣2x﹣3＝0 的解．根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y＝x3+2x2﹣x﹣2 的图象与x 轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2＝0 的解．佳佳为了解函数y＝x3+2x2﹣x﹣2 的图象，通过描点法画出函数的图象．x …﹣3 −52 ﹣2 −32﹣1 −120 121 322 …y …﹣8 −218 0 58m −98﹣2 −1580 35812 …（1）直接写出m 的值，并画出函数图象；（2）根据表格和图象可知，方程的解有个，分别为；（3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2 的解集．27．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB 始终有交点，请直接写出m 的取值范围．28．（8 分）取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD 对折，折痕为MN．第二步：点G 在线段MD 上，将△GCD 沿GC 翻折，点D 恰好落在MN 上，记为点P，连接BP．（1）判断△PBC 的形状，并说明理由；（2）作点C 关于直线AP 的对称点C′，连接PC′、DC′．①在图2 中补全图形，并求出∠APC′的度数；②猜想∠PC′D 的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接AC′、CC′，研究图形中特殊的三角形）29．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 与点Q 不重合，以点P 为圆心作经过Q 的圆，则称该圆为点P、Q 的“相关圆”（1）已知点P 的坐标为（2，0）①若点Q 的坐标为（0，1），求点P、Q 的“相关圆”的面积；②若点Q 的坐标为（3，n），且点P、Q 的“相关圆”的半径为√5，求n 的值；（2）已知△ABC 为等边三角形，点A 和点B 的坐标分别为（−√3，0）、（√3，0），点C 在y 轴正半轴上，若点P、Q 的“相关圆”恰好是△ABC 的内切圆且点Q 在直线y＝2x 上，求点Q 的坐标．9（3）已知△ABC 三个顶点的坐标为：A（﹣3，0）、B（，0），C（0，4），点P 的坐标23 3为（0，），点Q 的坐标为（m，），若点P、Q 的“相关圆”与△ABC 的三边中至少一2 2边存在公共点，直接写出m 的取值范围．2020年北京市东城区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 3 分，共30 分）1．（3 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为440000 万人，将440000 用科学记数法表示为（）A．4.4×106 B．4.4×105 C．44×104 D．0.44×105【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．【解答】解：440000＝4.4×105．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a| ＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．2．（3 分）下列运算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．a1•a4＝a6C．（a2b）3＝a6b3 D．（a+2）2＝a2+4【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝a5，不符合题意；C、原式＝a6b3，符合题意；D、原式＝a2+4a+4，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．13．（3 分）有5 张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π，√2，，1.333，背面朝上放8在不透明的桌子上，若随机抽取1 张，则取出的卡片上的数是无理数的概率是（）1 2 A．B．5 53 4 C．D．5 5【分析】根据概率公式可得答案．1【解答】解：∵在0，π，√2，，1.333 中，无理数有π，√2这 2 个，82∴取出的卡片上的数是无理数的概率是，5故选：B．【点评】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）=m．n4．（3 分）下列关于二次函数y＝x2+2x+3 的最值的描述正确的是（）A．有最小值是2 B．有最小值是3C．有最大值是2 D．有最大值是3【分析】下列关于二次函数y＝x2+2x+3 的最小值的描述正确的【解答】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2 中，a＞0，∴二次函数y＝x2+2x+3 的最小值是2，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（3 分）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数x（单位：分）及方差s2 如表所示：Array如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故选：C．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．6．（3 分）如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A、B、C、D 的坐标分别是（0，a）、（﹣3，2）、（b，m）、（﹣b，m），则点E 的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，﹣2）【分析】根据题意得出y 轴位置，进而利用正多边形的性质得出E 点坐标．【解答】解：如图所示：∵A（0，a），∴点A 在y 轴上，∵C，D 的坐标分别是（b，m），（﹣b，m），∴B，E 点关于y 轴对称，∵B 的坐标是：（﹣3，2），∴点E 的坐标是：（3，2）．故选：C．【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，正确得出y 轴的位置是解题关键．7．（3 分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1 的度数为（）A．75°B．65°C．45°D．30°【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行得出AC∥DF，再根据两直线平行内错角相等得出∠2＝∠A＝45°，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠1 的度数．【解答】解：∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∴∠ACB+∠DFE＝180°，∴AC∥DF，∴∠2＝∠A＝45°，∴∠1＝∠2+∠D＝45°+30°＝75°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，求出∠2＝∠A＝45°是解题的关键．8．（3 分）关于x 的一元二次方程x2+ax﹣1＝0 的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△＝a2+4＞0，∴，方程有两个不相等的两个实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0 时，方程无实数根．9．（3 分）图1 和图2 中所有的正方形都全等，将图1 的正方形放在图2 中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①B．②C．③D．④【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：将图1 的正方形放在图2 中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，故选：A．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．10．（3 分）如图，点E 为菱形ABCD 的BC 边的中点，动点F 在对角线AC 上运动，连接BF、EF，设AF＝x，△BEF 的周长为y，那么能表示y 与x 的函数关系的大致图象是（）A． B．C．D．【分析】先根据正方形的对称性找到y 的最小值，可知图象有最低点，再根据距离最低点x 的值的大小（AM＞MC）可判断正确的图形．【解答】解：如图，连接DE 与AC 交于点M．则当点F 运动到点M 处时，三角形△BEF 的周长y 最小，且AM＞MC．通过分析动点F 的运动轨迹可知，y是x 的二次函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为：故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的变化关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．二、填空题（每题 3 分，共18 分）111．（3 分）代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x≠3．x−3【分析】根据分母不等于0 进行解答即可．1【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，x−3可得：x﹣3≠0，解得：x≠3，故答案为：x≠3【点评】此题考查分式有意义，关键是分母不等于0．12．（3 分）请写出一个多项式，含有字母a，并能够在有理数范围内用平方差公式进行因式分解，此多项式可以是a2﹣4（答案不唯一）．【分析】直接利用平方差公式得出符合题意的答案．【解答】解：根据题意可得：a2﹣4（答案不唯一）．故答案为：a2﹣4（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．13．（3 分）已知一次函数y1＝k1x+5 和y2＝k2x+7，若k1＞0，且k2＜0，则这两个一次函数的图象的交点在第一象限．【分析】根据一次函数图象的性质画出图象可得结果．【解答】解：结合一次函数的性质，画出图象如图所示，由图象知，这两个一次函数的图象的交点在第一象限，故答案为：一．【点评】本题主要考查了两条直线相交问题，一次函数的性质，正确的作出图象是解题的关键．14．（3 分）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为4√3 ．【分析】首先过点O 作OD⊥BC 于D，由垂径定理可得BC＝2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O 作OD⊥BC 于D，√则BC＝2BD，∵△ABC 内接于⊙O，∠BAC 与∠BOC 互补，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB=1（180°﹣∠BOC）＝30°，2∵⊙O 的半径为4，∴BD＝OB•cos∠OBC＝4×√3 =2 3，2∴BC＝4√3．故答案为：4√3．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．（3 分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，竹条AB的长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则一面贴纸的面积为175πcm2（结果保留π）．【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC 减去小扇形ADE 的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm 和25﹣15＝10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸的面积．【解答】解：设AB＝R，AD＝r，则S 贴纸1 2 1 2= 3πR −3πr1 2 2= 3π（R ﹣r ）1= 3π（R+r）（R﹣r）=1 ×（25+10）×（25﹣10）π3＝175π（cm2）．答：贴纸的面积为175πcm2．故答案为：175π．【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一般．16．（3 分）小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在n 点钟响起后，下一次则在（3n﹣1）小时后响起，例如钟声第一次在3 点钟响起，那么第2 次在（3×3 ﹣1＝8）小时后，也就是11 点响起，第3 次在（3×11﹣1＝32）小时后，即7 点响起，以此类推…；现在第1 次钟声响起时为 2 点钟，那么第3 次响起时为3 点，第2017 次响起时为11点（如图钟表，时间为12 小时制）．【分析】根据题意分别列出第1、2、3、4、5 次响起的时间发现：除了第一次之外，接下来每三次为一个周期循环，据此解答可得．【解答】解：∵第一次在2 点钟响起，第二次在3×2﹣1＝5 小时后响起，即7 点响起；第三次在3×7﹣1＝20 小时后响起，即3 点响起；第四次在3×3﹣1＝8 小时后响起，即11 点响起；第五次在3×11﹣1＝32 小时后响起，即7 点响起；…∴除了第一次之外，接下来每三次为一个周期循环，∵（2017﹣1）÷3＝672，∴第2020次响起的时间与第四次时间一致，为11 点，故答案为：3，11．【点评】本题主要考查图形的变化类，根据题意得出除了第一次之外，接来每三次为一个周期循环是解题的关键．解：原式＝2x 2﹣1﹣x （x +5）…① ＝2x 2﹣1﹣x 2+5x …② ＝x 2+5x ﹣1 …③三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 8 分，第 29题 7 分）17．（5 分）计算：|﹣2|+（π﹣2017）0﹣4cos60°+√27．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式＝2+1﹣2+3√3 =1+3√3．【点评】此题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3x − 2 ≤ x 18．（5 分）解不等式组{2x +1 ＜ x +1，并把解集在数轴上表示出来．52 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．3x − 2 ≤ x ⋯ ①【解答】解：{2x +1 ＜ x +1 ， 5 解①得 x ≤1，2 ⋯ ②解②得 x ＞﹣3，，不等式组的解集是：﹣3＜x ≤1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小； 大小小大中间找；大大小小找不到．19．（5 分）小明化简（2x +1）（2x ﹣1）﹣x （x +5）的过程如图，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程．【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式的计算法则去括号，然后合并同类项．【解答】解：①：4x 2﹣1﹣x （x +5）．②：4x 2﹣1﹣x 2﹣5x ．③：3x 2﹣5x ﹣1．【点评】本题考查了单项式乘多项式，平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．20．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分1别交AC、AB 于点M、N，再分别以点M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧2交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD＝4，AB＝15，求△ABD 的面积．【分析】根据题意可知AP 为∠CAB 的平分线，由角平分线的性质得出CD＝DH，再由三角形的面积公式可得出结论．【解答】解：由题意可知AP 为∠CAB 的平分线，过点D 作DH⊥AB 于点H，∵∠C＝90°，CD＝4，∴CD＝DH＝4．∵AB＝15，∴S△ABD=1AB•DH=1 ×15×4＝30．2 2【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．21．（5 分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x 轴于点C，点A（√3，1）在反比例函数y=k（x≠0）的图象上．x（1）求反比例函数y=k（x≠0）的解析式和点B 的坐标；x（2）若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE（点O 与点D 是对应点），补全图形，直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．√ √【分析】（1）将点 A （ 3，1）代入 y = k ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达 x式；（2）先解△OAB ，得出∠ABO ＝30°，再根据旋转的性质求出 E 点坐标为（−√3，﹣1），即可求解．【解答】解：（1）∵点 A （ 3，1）在反比例函数 y = k 的图象上，x∴k = √3 ×1= √3．∵A （ √3，1），∴OA ＝2，由 OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴，易证△OC ∽△ABO ，AO∴ AB AC= ，即 AO 21= ， AB 2 ∴AB ＝4，∴B （√3，﹣3）；（2）∵OB = √42 − (√3)2 =2 √3，∴sin ∠ABO = OA = 1， AB 2∴∠ABO ＝30°．∵将△BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°得到△BDE ，∴△BOA ≌△BDE ，∠OBD ＝60°，∴BO ＝BD ＝2 √3，OA ＝DE ＝2，∠BOA ＝∠BDE ＝90°，∠ABD ＝30°+60°＝90°．又 BD ﹣OC ＝2 √3 − √3 = √3，BC ﹣DE ＝4﹣1﹣2＝1，∴E（−√3，﹣1），∵−√3 ×（﹣1）= √3，∴点E 在该反比例函数的图象上．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，正确求出解析式是解题的关键．22．（5 分）列方程或方程组解应用题：某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2 倍，并且两队在独立完成面积为400m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用4 天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？【分析】设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，400 根据题意得x 解得：x＝50．400−2x=4，经检验：x＝50 是原方程的解．所以甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2）．答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的数量关系列出分式方程，解分式方程时要注意检验未知数的值是否符合原方程，是否符合实际意义．23．（5 分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BD、BC 于点E、F、G，连接ED、DG．（1）请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC 的长．【分析】（1）结论四边形EBGD 是菱形．只要证明BE＝ED＝DG＝GB 即可．（2）作DH⊥BC 于H，由四边形EBGD 为菱形ED＝DG＝2，求出GH，CH 即可解决问题．【解答】解：（1）四边形EBGD 是菱形．理由：∵EG 垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD 和△GFB 中，∠EDF = ∠GBF{∠EFD = ∠GFB，DF = BF∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD 是菱形．（2）作DH⊥BC 于H，∵四边形EBGD 为菱形ED＝DG＝2，∴∠ABC＝30°，∠DGH＝30°，∴DH＝1，GH= √3，∵∠C＝45°，∴DH＝CH＝1，∴CG＝GH+CH＝1+√3．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．24．（5 分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地做决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是100 ．（2）补全频数分布直方图．（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25 吨，那么该地区6 万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？【分析】（1）根据统计图可知“10 吨～15 吨”的用户10 户占10%，从而可以求得此次调查抽取的户数；（2）根据（1）中求得的用户数与条形统计图可以得到“15 吨～20 吨”的用户数；（3）根据前面统计图的信息可以得到该地6 万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．【解答】解：（1）此次抽样调查的总户数是10÷10%＝100（户），故答案为：100；（2）“15 吨﹣20 吨”部分的户数为100﹣（10+38+24+8）＝20（户），补全图形如下：（3）6×10+20+38 =4.08（万户），100答：该地区 6 万用户中约有 4.08 万用户的用水全部享受基本价格．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25．（5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点 D ，CE ⊥AD ，交 AD 的延长线于点 E ．（1） 求证：∠BDC ＝∠A ；（2） 若 CE ＝4，DE ＝2，求 AD 的长．【分析】（1）连接 OD ，由 CD 是⊙O 切线，得到∠ODC ＝90°，根据 AB 为⊙O 的直径， 得到∠ADB ＝90°，等量代换得到∠BDC ＝∠ADO ，根据等腰三角形的性质得到∠ADO ＝∠A ，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠E ＝∠ADB ＝90°，根据平行线的性质得到∠DCE ＝∠BDC ，根据相似三角形的性质得到CEDEAE =CE，解方程即可得到结论．【解答】（1）证明：连接 OD ，∵CD 是⊙O 切线， ∴∠ODC ＝90°，即∠ODB +∠BDC ＝90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，CE ∴DEAE = ，CE∴EC2＝DE•AE，∴16＝2（2+AD），∴AD＝6．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．26．（5 分）佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2＝0 的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解，如：二次函数y＝x2﹣2x﹣3 的图象与x 轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1 和3 即为x2﹣2x﹣3＝0 的解．根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y＝x3+2x2﹣x﹣2 的图象与x 轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2＝0 的解．佳佳为了解函数y＝x3+2x2﹣x﹣2 的图象，通过描点法画出函数的图象．x …﹣3 −52 ﹣2 −32﹣1 −120 121 322 …y …﹣8 −218 0 58m −98﹣2 −1580 35812 …（1）直接写出m 的值，并画出函数图象；（2）根据表格和图象可知，方程的解有3 个，分别为﹣2，或﹣1 或1 ；（3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2 的解集．【分析】（1）求出x＝﹣1 时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可；（2）利用图象以及表格即可解决问题；（3）不等式x3+2x2＞x+2 的解集，即为函数y＝x3+2x2﹣x﹣2 的函数值大于0 的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题；【解答】解：（1）由题意m＝﹣1+2+1﹣2＝0．函数图象如图所示．（2）根据表格和图象可知，方程的解有3 个，分别为﹣2，或﹣1 或1．故答案为3，﹣2，或﹣1 或1．。
2017北京市中考数学二模分类25题圆和答案解析
2017年北京市中考数学分类25题圆顺义25．如图，在Rt△ABC中，∠CA B=90 ，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E是AC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）点P是BD上一点，连接AP，DP，若BD:CD=4:1，求sin∠APD的值．EB房山25.如图，△ ABC 中，AC=BC=a，AB=b．以BC为直径作⊙O交AB于点 D，交 AC 于点E，过点D作⊙O的切线MN，交CB的延长线于点M，交 AC 于点N．(1)求证： MN⊥AC；(2) 连接BE，写出求BE长的思路．丰台26．如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为圆弧上一点，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为点D ，AB 的延长线交切线CD 于点E ．（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）若AB =4，B 为OE 的中点，CF ⊥AB ， 垂足为点F ，求CF 的长.平谷25．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点F 在⊙O 上，且点C 是BF 的中点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E ． （1）求证：AE ⊥DE ；（2）若∠BAF =60°，AF=4，求CE 的长．石景山25．如图，AB为⊙O的直径，弦BC，DE相交于点F，且DE⊥AB于点G，过点C 作⊙O的切线交DE的延长线于点H.（1）求证：HC HF（2）若⊙O的半径为5，点F是BC的中点，tan HCF m∠=，写出求线段BC长的思路.朝阳25．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）OD， AB相交于点E，若AB=AC，OD=r，写出求AE长的思路．西城25．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE∥BC交⊙O于点E，连接BE交AC于点H．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．海淀25．如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D为AC的中点，AC，BD相交于E点，过点A作⊙O 的切线交BD的延长线于P点．（1）求证：∠PAC=2∠CBE；（2）若PD=m，∠CBE=α，请写出求线段CE长的思路．东城25.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．通州24.如图，AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，AB的延长线与PC交于点P，PC的延长线与AD交于点D，AC平分∠DAB.（1）求证：AD⊥PC；（2）连接BC，如果∠ABC＝60°，BC＝2，求线段PC的长．昌平25.如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度.BBCA怀柔25.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点E ，连接AC 并延长，过点E 作EG ⊥AC 的延长线于点G ，并且∠GCD = ∠GAB . （1）求证：AC BD ；（2）若AB =10，sin ∠ADC =35，求AG 的长．AEE A321oEDC AF2017年北京市中考数学二模分类25题圆答案 顺义25．（1）证明：连接OD ，AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．∴∠ADC =90°．∵点E 是AC 的中点，∴12DE AC CE ==． ∴∠C =∠1．∵OB =OD ，∴∠B =∠2．在Rt △ABC 中，∵∠CAB =90°，∴∠C +∠B =90°．∴∠1+∠2=90°． ∴∠ODE =180°-（∠1+∠2）=90°．∴OD ⊥DE ． ∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：设BD =4x ，CD =x ，则BC =5x ． 由△ABC ∽△DAC ，得AC BCCDAC=． ∴55AC x x x ===．∴sin AC B BC ===．∵∠APD=∠B ，∴sin sin APD B ∠==房山25. (1)证明：连接 OD ，CD ．∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC =90°，即CD ⊥AB ∵AC =BC ， ∴D 是AB 的中点又∵BC 是⊙O 的直径，即O 为 BC 的中点 ∴OD ∥AC ，∠MDO =∠MNC ∵MN 是⊙O 的切线，切点为D∴OD ⊥MN 即∠MDO =90°=∠MNC ∴MN ⊥ (2) 由BC 是⊙O 的直径，可得∠BEC =90°； 由CD ⊥AB ，在 Rt △ACD 中，AD 、AC 的长可知， 用勾股定理可求CD 的长；由AB ⋅CD =2S △ABC =AC ⋅BE ，可得BE 的长 ．丰台26．（1）证明：连接OC ，∵DE 与⊙O 切于点C ，∴OC ⊥DE .∵AD ⊥DE ，∴OC ∥AD ．∴∠2=∠3．∵OA =OC ，∴∠1=∠3．∴∠1=∠2，即AC 平分∠DAB ． （2）解：∵AB =4，B 是OE 的中点，∴OB =BE =2，OC =2．∵CF ⊥OE ，∴∠CFO = 90º，∵∠COF = ∠EOC ，∠OCE = ∠CFO ，∴△OCE ∽△OFC ，∴OEOC OCOF =，平谷25．（1）证明：连接OC ．∵DE 切⊙O 于C ，∴OC ⊥DE 于C ．∵点C 是BF 的中点,∴∠BAC =∠EAC ．∵OC=OA ，∴∠BAC =∠OCA ．∴∠EAC =∠OCA ．∴OC ∥AE ．∴AE ⊥DE 于E ．（2）连接BF ．∵AB 是⊙O 直径，∴∠BFA =∠AEC =∠ECO =90°． ∴四边形CEFG 是矩形．即CO ⊥BF 于G ． ∴BG=GF=CE ．∵∠BAE =60°，AF =4，∴BF =CE =石景山25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵CH 是⊙O 的切线， ∴2190∠+∠=°． ∵DE ⊥AB ， ∴3490∠+∠=°．∵OB OC =，∴14∠=∠．∴23∠=∠． 又∵53∠=∠∴25∠=∠． ∴HC HF =． （2）求解思路如下： 思路一：连接OF ，如图2．① OF 过圆心且点F 是BC 的中点，由垂径定理可得2BC CF =，90OFC ∠=°； ② 由6∠与1∠互余，2∠与1∠互余可得62∠=∠，从而可知tan 6m ∠=；③ 在Rt OFC △中，由tan 6CFm OF∠==，可设OF x =，CF mx =，由勾股定 理，得222()5x mx +=，可解得x 的值；④ 由22BC CF mx ==，可求BC 的长．思路二：连接AC ，如图3．① 由AB 是⊙O 的直径，可得ACB △是直角三角形，知6∠与4∠互余， 又DE ⊥AB 可知3∠与4∠互余，得63∠=∠；② 由63∠=∠，32∠=∠，可得62∠=∠，从而可知tan 6m∠=；H图2 图3图1③ 在Rt ACB △中，由tan 6BC m AC∠==，可设AC x =，BC mx =，由勾股定理，得222()10x mx +=，可解得x 的值； ④ 由BC mx =，可求BC 的长．朝阳25．（1）证明：连接OB ．∵∠A =45°， ∴∠DOB =90°． ∵OD ∥BC ,∴∠DOB +∠CBO =180°. ∴∠CBO =90°．∴ 直线BC 是⊙O 的切线． （2）求解思路如下：如图,延长BO 交⊙O 于点F ，连接AF .①由AB =AC ，∠BAC =45°，可得∠ABC =67.5°，∠ABF =22.5°； ②在Rt △EOB 中，由OB =r ，可求BE 的长；③由BF 是直径,可得∠FAB =90°，在Rt △FAB 中，由BF =2r ， 可求AB 的长，进而可求AE 的长.西城25（1）∵AB 是⊙O 的直径∴ ∠ACB = 90°∵OE ∥BC ∴ OE ⊥AC ∴ 弧AE =弧EC ．∴ ∠1= ∠2 ．∴BE 平分∠ABC ．（2）BD 是⊙O 的切线，∴ ∠ABD = 90°．∵∠ACB = 90°，BH =BD =2，∴ ∠BDH =∠3．∴∠CBD =∠2．∴∠1= ∠2 =∠CBD ． ∴∠CBD =30°．∠ADB =60°．在Rt △ABD 中， ∠ADB =90°，∴AB=OB Rt △OBD 中，222OD OB BD =+，∴ OD 7． 海淀25．（1）证明：∵D 为AC 的中点，∴∠CBA =2∠CBE ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠1+∠CBA =90°．∴∠1+2∠CBE =90°． ∵AP 是⊙O 的切线，∴∠PAB =∠1+∠PAC =90°． ∴∠PAC =2∠CBE ． （2）思路：①连接AD ，由D 是AC 的中点，∠2=∠CBE ， 由∠ACB =∠PAB =90°，得∠P =∠3=∠4，故AP =AE ； ②由AB 是⊙O 的直径，可得∠ADB =90°；由AP =AE ， 得PE =2PD =2m ，∠5=12∠PAC =∠CBE =α③在Rt △PAD 中，由PD =m ，∠5=α，可求PA 的长；④在Rt △PAB 中，由PA 的长和∠2=α，可求BP 的长； 由BE PB PE =-可求BE 的长； ⑤在Rt△BCE 中，由BE 的长和CBE α∠=，可求CE 的长．AAWORD格式可编辑专业知识分享东城25.（1）证明：连接OD.∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°.即∠ODB+∠BDC=90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°.即∠ODB+∠ADO=90°.∴∠BDC=∠ADO.∵OA=OD，∴∠ADO=∠A.∴∠BDC=∠A.（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°.∴DB∥EC.∴∠DCE=∠BDC.∵∠BD C=∠A，∴∠A=∠DCE.∵∠E=∠E，∴△AEC∽△CED.∴EC2=DE•AE.∴16=2（2+AD）.∴AD=6．通州24.（1）①连接OC，OC//AD②AD⊥PC（2）32昌平25.（1）证明：∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°∴∠A+∠DBA=90°∵弧BD=弧BD错误！未指定书签。
北京市东城区初三数学二模试题及答案
、填空题〔4个小题，每题4分，共16分〕x 19.假设分式 ---- 的值为零，那么x 的值等于 _________ x 2 2022年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题〔8个小题，每题4分，共32分〕 以下各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 4的平方根是〔〕A . 2B . — 2C . ± 2D . 162.卜列图形中，是轴对称图形的是〔 〕A .直角三角形B . 平行四边形C .梯形D . 等边三角形3.在反比例函数 y -的图象上的一个点的坐标是 〔〕x A . 2,- B . 〔— 2, 1〕C . 〔2, 1〕D . 〔-2,2〕22x4•如果把分式中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值〔〕x y A •扩大3倍 C .缩小6倍B .缩小3倍 D •不变5.学校篮球集训队9名队员进行定点投篮训练，将9名队员在17、8、8、9、9、9、10、12,这组数据的众数和中位数分别是 A . 9.9 B . 9, 8 6. 如图，扇形OAB 是一个圆锥的侧面展开图， C . 9, 8.5 假设小正方形方格的边长为分钟投进篮筐的球数由小到大排序后为 〔 〕D . 8, 9 1,那么这个圆锥的底面半径为 N ,那么MN 等于〔6 91216 A .-B .-C . —D . ---5555&如图①是长方形纸带，/DEF =20 ° ，将纸带沿 EF 折叠成图②，再沿 BF 折叠成图③，那么图③中的/CFE 的度数是〔 〕A . 110°B . 120 °C . 140°D . 150 °7.如图，在△ ABC 中,① ②第8题图10.假设.x 2 (y 3)20，那么-的值为y11.如图，宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰 好为"2〞和"8〞〔单位：cm 〕，那么该圆的半径为14. x 2- 9= 0，求代数式 x 2(x + 1)-x(/— 1)-x - 7 的值.15.解方程：x 2 + 2x — 2= 0.12 .如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的为 ________ . 三、解答题〔5个小题，每题5分，共25分〕L 形模板如图放置，那么矩形 ABCD 的周长13.计算:9 ( n 4)0 sin30 .16.化简：玄a 2 a 21 a2 2a17. 关于x的一元二次方程x2—mx—3 = 0,⑴假设x=—1是这个方程的一个根，求m的值；⑵对于任意的实数m,判断方程的根的情况，并说明理由.18. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC,/ B =Z ACD . ⑴请再写出图中另外一对相等四、解答题〔2个小题，每题5分，共10分〕的角；〔2〕假设AC= 6, BC = 9,试求AD 的长.第18题图19•在一个不透明的口袋里，装着只有颜色不同的白、红、黑三种颜色的小球各一个•甲先从袋中随机摸出一球，看清颜色后放回，乙再从袋中随机摸出一球.〔1〕画树状图〔或列表〕，表示甲、乙摸球的所有可能结果.〔2〕求乙摸到与甲相同颜色球的概率.五、解答题〔3个小题，每题5分，共15分〕20. 某校把一块沿河的三角形废地〔如图〕开辟为生物园，/ ACB = 90 ° , / CAB = 60°, AB= 24m .为便于浇灌，学校在点C处建了一个蓄水池，利用管道从河中取水•每铺设1m管道费用为50元, 求铺设管道的最低费用〔精确到1元〕.〔J3 1.73〕第20题图21. 如图，O O 是厶ABC 的外接圆，AB 是O O 的直径, 延长线于 E , CF 丄AB 于F ，且CE = CF . ⑴求证：DE 是O O 的切线；(2)假设 AB = 6, BD = 3,求 AE 和 BC 的长.22. 请设计一种方案：把正方形 ABCD 剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，画出必要的示意 图.(1) 使拼成的三角形是等腰三角形.(图①)(2) 使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形.(图②)D 是AB 延长线上的一点， AE 丄CD 交DC 的第21题图六、解答题〔3个小题，共22分〕23. 〔此题总分值7分〕点A 、B 、C 在同一直线上，在直线 AC 的同侧作厶ABE 和厶BCF ，连结 AF , CE .取AF 、CE 的中点 M 、N ，连结 BM , BN , MN .〔1〕 ________________________________________________________________________________ 假设厶ABE 和厶FBC 是等腰直角三角形， 且/ ABE = Z FBC = 90° 〔如图①〕,那么厶MBN 是 ______________ 三角形. 〔2〕在厶 ABE 和厶 BCF 中，假设 BA = BE , BC = BF ，且/ ABE = Z FBC = a,〔如图②〕，那么厶 MBN 是 三角形，且/ MBN = __________ . 〔3〕假设将〔2〕中的△ ABE 绕点B 旋转一定角度〔如图③〕，其他条件不变，那么〔2〕中的结论是否成立？假设成 立，给出你的证明；假设不成立，写出正确的结论并给出证明.第23题图24. 〔此题总分值7分〕定义｛a , b , c ｝为函数y = ax 2 + bx + c 的“特征数〞.女口：函数y = x 2— 2x + 3的“特征数〞 是｛1,— 2, 3｝，函数y = 2x + 3的“特征数〞是｛0, 2, 3｝，函数y = — x 的“特征数〞是｛0, — 1, 0｝.析式是 ________ .⑵在〔1〕中，平移前后的两个函数分别与 y 轴交于A 、B 两点，与直线x = .3分别交于D 、C 两点，判 断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长.2 1⑶假设⑵中的四边形与“特征数〞 是｛1, 2b,b -｝的函数图象的有交点， 求满足条件的实数 b 的取值范围.〔1〕将“特征数〞是 的函数图象向下平移 2个单位长度，得到一个新函数，这个新函数的解① ②第24题图25. 〔此题总分值8 分〕如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC, DC 丄BC, AB= 10, AD = 6, DC = 8, BC=12, 点E在底边BC上，点F在AB 上.⑴假设EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为X,试用含x的代数式表示△ BEF的面积.⑵是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？假设存在，求出此时BE的长；假设不存在，请说明理由.⑶假设线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1 : 2两局部，将△ BEF的面积记为Si，五边形AFECD 的面积记为S2,且Si :慈=k,求出k的最大值.第25题图2022年北京市东城区中考数学二模试卷答案、选择题1. C2. D3. C4. D5. A6. B7. C8. B 二、填空题2 —9. 1 10. — 11.13 12. 8.53 4三、解答题1113 .解：原式 一3 1 —2 2=—214. 解：原式=x 3+ x 2 — x 3+ x — x — 7=x 2— 7.•/ x 2— 9 = 0, x 2= 9.原式=9— 7 = 2 .15. 解:(x + 1)2= 3,x + 1 = ± . 3 .•- x i = — 1 + .3 , X 2=— 1 — .. 3 .(a 2)(a 2) 1a 2 a(a 2)a17 .解：(1) •/ x =— 1是方程的一个根，•-1 + m — 3= 0 解得m = 2⑵方程为x 2— mx — 3= 0A = b 2—4ac = m 2 + 12•••对于任意实数 m , m 2?0,「. m 2+ 12>0.•••对于任意的实数 m ,方程有两个不相等的实数根. 四、解答题 18. (1) / ACB = / CAD(或/ BAC =/ ADC)(2) I / B =Z ACD ，又/ ACB = / CAD , • △ ABCDCA .ACBC ，即 AC 2= BC • AD .ADAC•/ AC = 6, BC = 9, • 62= 9 • AD ,16.解：原式a 2 4 1 a 2 a 2 2a/1\ /1\虹黑曲灶歸第19题答图〔白，黑〕、〔红，白〕、〔红，红卜〔红，黑〕、〔黑，白卜〔黑，红〕、21. 证明：(1)连结OC , •••AE 丄CD , CF 丄 AB , 又••• CE = CF , •••/ 1 = / 2.• OA = OC , ••/ 2=/ 3.••/ 1 = / 3. • OC // AE . • OC 丄 CD . ••DE 是O O 的切线.(2)解：T AB = 6, 1 OB OC AB 3 .2在 Rt △ OCD 中，OC = 3, OD = OB + BD = 6, • / D = 30°,/ COD = 60° . 在 Rt △ ADE 中，AD = AB + BD = 9, 19 AE -AD -.2219.解得AD = 4. 〔1〕树状图如图:五、 20. ⑵P 〔甲、乙颜色相同〕- 9 解答题解：过C 点作CD 丄AB 于点 CAB = 60°, 〔AB 2由/ACB = 90°,/ 又 AB = 24,得 AC 在 Rt △ CDA 中，CDsin CADAC••• CD = AC • sin / CAD = 12•铺设管道的最低费用= 50 12.3 得/ ABC = 30°. 6、3m-CD ~ 519 元. 第20题答图所有可能的结果有〔白，白卜 〔里里〕黑/|\白虹煦在厶OBC中，•••/ COD = 60°, OB = OC,BC = OB= 3.22. 解：答案不唯一.⑴第22题答图六、解答题23. 解：⑴等腰直角.(2) 等腰，.(3) 结论仍然成立.证明：在厶ABF和厶EBC中，BA BE,ABF EBC,BF BC,•••△ABF ◎△ EBC..AF = CE.Z AFB = Z ECB .•/ M , N分别是AF、CE的中点,•FM =CN.•△ MFB 也NCB.••• BM = BN ./ MBF = Z NBC .•••/ MBN = Z MBF +Z FBN = Z FBN + Z NBC =Z FBC =• AD // BC , AB = 2.•/ x =、3 ,• AB // CD .•四边形ABCD 为平行四边形.• D 〔、3 , 2〕.由勾股定理可得BC = 2.•••四边形ABCD 为平行四边形, •四边形ABCD 为菱形.•周长为& 1■ ■ JC :/ 42 2 1⑶二次函数为：:y x 2bx b224•解：〔1〕y ——X 3〔2〕由题意可知y 1向下平移两个单位长度得 .3 —X AB = 2, BC = 2得C 点坐标为〔一 3 ,0〕,1,化为顶点式为：y (x b)2 1 , 2•••二次函数的图象不会经过点 B 和点C .设二次函数的图象与四边形有交点，当二次函数的图象经过点 A 时,D 时，将D( ,3 , 2)代入二次函数，解得 b . 3s -b 的取值范围： b . 32要使k 取最大值，只需 S 1取最大值. 4与(1)同理，FG -(12 x), 5 1 2 2 24S BE FG -x x(2 x 12) 1 2 5 5 72 1 当x = 6时，S 1取最大值 •此时k —,5 4•- k 的最大值是1 . 4 将A(0, 1)代入二次函数，解得 b 弓(不合题意，舍去25.解：(1)由得梯形周长= 过点A 作AK 丄BC 于点 36,咼=8，面积=72.由题意， K ，那么△ BF = 18-X .过点 F 作 FG丄BC 于点G , 可得FG (18x ).512 236 BE FG —X x(8 x 12)2 5 52 36BFG BAK .S BEF (2)不存在 由⑴2X 5 整理得：(x - 9)2=— 9,此方程无解.不存在线段EF 将直角梯形ABCD 的周长和面积同时平分.⑶由易知，线段 EF 将直角梯形ABCD 的周长分为1 : 2两局部，只能是与 FA + AD + DC + CE 的比是 1 : 2.72 S 1 第25题答图当二次函数的图象经过点 合题意，舍去).所以实数。
2017年中考数学二模试卷含答案解析
2017年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置）1．9的算术平方根是（）A．±3 B．3 C．D．2．2016年，巴彦淖尔市计划投资42亿元，完成300个嘎查村的建设任务．农村牧区“十个全覆盖”推进正酣．将42亿用科学记数法应表示为（）A．0.042×107B．0.42×108C．4.2×109D．42×10103．下列计算正确的是（）A．a3+a2=2a5B．（﹣2a3）2=4a6C．（a+b）2=a2+b2D．a6÷a2=a34．不等式组的整数解的和是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．15．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为（）A．2πcm2B．4πcm2C．8πcm2D．16πcm27．已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法错误的是（）A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是3 D．方差是2.88．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：2510．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：﹣3x3y+12x2y﹣12xy= ．12．要使式子有意义，则a的取值范围为．13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球个．14．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为m（结果不作近似计算）．15．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是，当x= 时，y随x的增大而减小．16．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD 的长为．三、解答题（共86分，解答应写成文字说明、证明过程、演算步骤）17．（1）计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣1）0（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．18．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：（1）求出足球和篮球的单价；（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？19．某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：（1）本次被调查的学生有名；（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？20．如图有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．22．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．23．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：△ABC∽△DEB；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）求DE的长．24．已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）．（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．2017年中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置）1．9的算术平方根是（）A．±3 B．3 C．D．【考点】22：算术平方根．【分析】根据开方运算，可得算术平方根．【解答】解：9的算术平方根是3，故选：B．2．2016年，巴彦淖尔市计划投资42亿元，完成300个嘎查村的建设任务．农村牧区“十个全覆盖”推进正酣．将42亿用科学记数法应表示为（）A．0.042×107B．0.42×108C．4.2×109D．42×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42亿=42 0000 0000=4.2×109，故选：C．3．下列计算正确的是（）A．a3+a2=2a5B．（﹣2a3）2=4a6C．（a+b）2=a2+b2D．a6÷a2=a3【考点】48：同底数幂的除法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【分析】根据合并同类项法则；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式，同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a3和a2不是同类项不能合并，故本选项错误；B、（﹣2a3）2=4a6，正确；C、应为（a+b）2=a2+b2+2ab，故本选项错误；D、应为a6÷a2=a4，故本选项错误．故选B．4．不等式组的整数解的和是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．1【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先解出不等式组的解集，从而可以得到不等式组的整数解，从而可以得到不等式组的整数解的和．【解答】解：解得，﹣2＜x≤，∴的整数解是x=﹣1，x=0，x=1，∵（﹣1）+0+1=0，故的整数解得和是0，故选C．5．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【考点】R2：旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为（）A．2πcm2B．4πcm2C．8πcm2D．16πcm2【考点】U3：由三视图判断几何体；MP：圆锥的计算．【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，进而得出圆锥的高以及母线长和底面圆的半径，再利用圆锥侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意知母线l=4cm，底面半径r=2÷2=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×4=4πcm2．故选B．7．已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法错误的是（）A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是3 D．方差是2.8【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【分析】分别求出这组数据的平均数、中位数、众数和方差，再分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项正确；B、把这组数据从小到大排列为：1，2，3，3，6，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；C、这组数据的平均数是（1+2+6+3+3）÷5=3，故本选项正确；D、这组数据的方差是： [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（6﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2]=，故本选项正确；故选B．8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K3：三角形的面积；L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF 和△EBF的面积比，即可求出答案．【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴==， ==，∴====∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，故选D．10．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s=，当2＜x≤3，s=1，由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．故选C．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：﹣3x3y+12x2y﹣12xy= ﹣3xy（x﹣2）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=﹣3xy（x2﹣4x+4）=﹣3xy（x﹣2）2，故答案为：﹣3xy（x﹣2）212．要使式子有意义，则a的取值范围为a≥﹣2且a≠0 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥﹣2且a≠0．故答案为：a≥﹣2且a≠0．13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球12 个．【考点】X4：概率公式．【分析】设袋中共有球x个，根据概率公式列出等式解答．【解答】解：设袋中共有球x个，∵有3个白球，且摸出白球的概率是，∴=，解得x=12（个）．故答案为：12．14．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m（结果不作近似计算）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt △ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），∴DC=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．故答案为：12．15．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2），当x= ＜1 时，y随x的增大而减小．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】由于二次函数的二次项系数a=1＞0，由此可以确定抛物线开口方向，利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（﹣，），对称轴是x=﹣可以确定对称轴，然后即可确定在对称轴的左侧y随x的增大而减小，由此得到x的取值范围．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3，∴二次函数的二次项系数a=1＞0，∴抛物线开口向上，∵y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（﹣，），对称轴是x=﹣，∴此函数对称轴是x=1，顶点坐标是（1，2），∴当x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为：（1，2），＜1．16．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为 a ．【考点】MC：切线的性质；MH：切割线定理；S7：相似三角形的性质．【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．【解答】解：如图，连接OE、OF，∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∴OECF是正方形，∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF，∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a，∵由切割线定理可得BF2=BH•BG，∴a2=BH（BH+a），∴BH=a或BH=a（舍去），∵OE∥DB，OE=OH，∴△OEH∽△BDH，∴=，∴BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a．故答案为： a．三、解答题（共86分，解答应写成文字说明、证明过程、演算步骤）17．（1）计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣1）0（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=2×﹣2+1=﹣1；（2）原式=•=，当a=2+时，原式==+1．18．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：（1）求出足球和篮球的单价；（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，则根据所花的钱数为1600元，可得出方程，解出即可；（2）根据题意所述的不等关系：不超过3240元，且不少于3200元，等量关系：两种球共50个，可得出不等式组，解出即可；（3）分别求出三种方案的利润，继而比较可得出答案．【解答】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，根据题意，得8x+14（x+20）=1600，解得：x=60，x+20=80．即足球的单价为60元，则篮球的单价为80元；（2）设购进足球y个，则购进篮球（50﹣y）个．根据题意，得，解得：，∵y为整数，∴y=38，39，40．当y=38，50﹣y=12；当y=39，50﹣y=11；当y=40，50﹣y=10．故有三种方案：方案一：购进足球38个，则购进篮球12个；方案二：购进足球39个，则购进篮球11个；方案三：购进足球40个，则购进篮球10个；（3）商家售方案一的利润：38（60﹣50）+12（80﹣65）=560（元）；商家售方案二的利润：39（60﹣50）+11（80﹣65）=555（元）；商家售方案三的利润：40（60﹣50）+10（80﹣65）=550（元）．故第二次购买方案中，方案一商家获利最多．19．某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：（1）本次被调查的学生有200 名；（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．【分析】（1）喜好“核桃味”牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数；（2）用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数，补全条形统计图即可，用喜好“菠萝味”牛奶的学生人数除以总人数再乘以360°，即可得喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；（3）用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比，再乘以该校的总人数即可．【解答】解：（1）10÷5%=200（名）答：本次被调查的学生有200名，故答案为：200；（2）200﹣38﹣62﹣50﹣10=40（名），条形统计图如下：=90°，答：喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°；（3）1200×（）=144（盒），答：草莓味要比原味多送144盒．20．如图有A 、B 两个大小均匀的转盘，其中A 转盘被分成3等份，B 转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k ，将B 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b ． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；F7：一次函数图象与系数的关系． 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出满足一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限的情况，即可求出所求的概率． 【解答】解：（1）列表如下：所有等可能的情况有12种；（2）一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限时，k ＜0，b ＞0，情况有4种， 则P==．21．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【考点】L8：菱形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．22．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+），利用三角形面积公式可得到••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）设P点坐标为（t， t+），∵△PCA和△PDB面积相等，∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．23．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：△ABC∽△DEB；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）求DE的长．【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°即可得出结论；（2）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．（3）根据△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．【解答】（1）BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，∴△ABC∽△DEB；（2）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线．（3）∵△BED∽△CBA，∴，即=，解得：DE=．24．已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）．（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）首先运用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把点D（2，m）代入二次函数的解析式，就可求出点D的坐标；（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图1，根据勾股定理可求出BD，易求出点A的坐标，从而得到AB长，然后分两种情况：①△QBE∽△ABD，②△QBE∽△DBA讨论，运用相似三角形的性质求出BQ，从而得到OQ，即可得到点Q的坐标；（3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，﹣2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，从而得到满足条件的点M和点N的坐标．【解答】解：（1）由题可得：，解得：，则二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4．∵点D（2，m）在抛物线上，∴m=﹣×22+2+4=4，∴点D的坐标为（2，4）；（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图1，∵点D（2，4），点B（4，0），∴DH=4，OH=2，OB=4，∴BH=2，∴DB==2．∵点E为DB的中点，∴BE=BD=．令y=0，得﹣x2+x+4=0，解得：x1=4，x2=﹣2，∴点A为（﹣2，0），∴AB=4﹣（﹣2）=6．①若△QBE∽△ABD，则=，∴=，解得：BQ=3，∴OQ=OB﹣BQ=4﹣3=1，∴点Q的坐标为（1，0）；②若△QBE∽△DBA，则=，∴=，∴BQ=，∴OQ=OB﹣BQ=4﹣=，∴点Q的坐标为（，0）．综上所述：点Q的坐标为（1，0）或（，0）；（3）如图2，由A（﹣2，0），D（2，4），可求得直线AD的解析式为：y=x+2，即点F的坐标为：F（0，2），过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，﹣2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C，即四边形CFNM的最短周长为：2+2．此时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，所以存在点N的坐标为N（，0），点M的坐标为M（1，1）．。
2017北京中考数学各区二模26题汇编
()（1） 当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______； （2） 当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为_______； （3） 当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x 的不等式240 ()x a a x+-<＞0只有一个整数解，求a 的取值范围． 26．（1）小明遇到下面一道题：如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC ，∠ABC =90º，∠ACB =30º，BE ⊥AC 于点E ，且=CDEACB ∠∠．如果AB =1，求CD 边的长．小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于，线段CD 与线段 的长度相等；他进一步思考：如果ACB α∠=（α是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD = ；（用含α的式子表示）（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：在Rt △OMN 中，∠MON =90º，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得NPQ ONM ∠=∠．请写出画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画一个即可，保留痕迹，不必证明）26 .阅读材料如图1，若点P 是⊙O 外的一点，线段PO 交⊙O 于点A,则PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.图1 图2 证明：延长PO 交⊙O 于点B ，显然PB>PA .如图2，在⊙O 上任取一点C （与点A ，B 不重合），连结PC ，OC .,,,,PO PC OC PO PA OA OA OC PA PC <+=+=∴<且∴PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差. 请用上述真命题解决下列问题．(1)如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 长的最小值是．图3(2)如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△MN A '，连接C A ',①求线段A ’M 的长度; ②求线段C A '长的最小值. 图426．问题背景：在△ABC 中，AB ，BC ，AC，小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．CBA图1 图2 （1）请你直接写出△ABC 的面积________； 26．阅读下面材料：小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形ABC 中，AC AB =，︒=∠45BAC ，22=BC ，BC AD ⊥于点D ，求AD 的长．图3小玲发现：分别以AB ，AC 为对称轴，分别作出△ABD ，△ACD 的轴对称图形，点D 的对称点分别为E ，F ，延长EB ，FC 交于点G ，得到正方形AEGF ，根据勾股定理和正方形的性质就能求出AD 的长．（如图2） 请回答：BG 的长为，AD 的长为； 参考小玲思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，()4,0B ，点P 是△OAB 的外角的角平分线AP和BP 的交点，求点P 的坐标． E FB图1 图226．阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， AC =4，BD =6，∠AOB =30°，求四边形ABCD 的面积．小凯发现，分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E 、F ，设AO 为m ，通过计算△ABD 与△BCD 的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△ABD 的面积为 （用含m 的式子表示）． （2）求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于 点O ，AC =a ，BD =b ，∠AOB =α（0°＜α＜90°），则四边形ABCD 的面积为 （用含a 、b 、α的式子表示）．26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=13，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α=BC AC =13． 易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则AB．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CDOC= ． 【问题解决】已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =12，求sin2β的值.图1图2图3图1图226． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 各边都平行于坐标轴，且A （-2，2），C （3，-2）．对矩形ABCD 及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a ，纵坐标乘以b ，将得到的点再向右平移k （0k >）个单位，得到矩形''''A B C D 及其内部的点（''''A B C D 分别与ABCD 对应）．E （2，1）经过上述操作后的对应点记为'E ．（1）若a =2，b =-3，k =2，则点D 的坐标为 ，点'D 的坐标为 ； （2）若'A （1，4），'C （6，-4），求点'E 的坐标．26．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图1，在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果3AF EF =，求CDCG的值． 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，那么可以得到△BAF ∽△HEF ． 请回答：（1）AB 和EH 之间的数量关系是 ，CG 和EH 之间的数量关系是 ，CDCG的值为 ． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．如果2ABCD=，2BC AFH G F ECD BAFECB A D图1 图2个角度26.在平面内，将一个图形G 以任意点O 为旋转中心，逆时针．．．旋转一θ，得到图形'G ，再以O 为中心将图形'G 放大或缩小得到图形''G ，使图形''G 与图形G 对应线段的比为k ，并且图形G 上的任一点P ，它的对应点''P 在线段'OP 或其延长线上；我们把这种图形变换叫做旋转相似变换，记为()O θ,k ，其中点O 叫做旋转相似中心，θ叫做旋转角，k 叫做相似比. 如图1中的线段''OA 便是由线段OA 经过()302︒O ,得到的.（1）如图2，将△A B C 经过☆ ()901,︒后得到△'''A B C ，则横线上“☆”应填下列四个点()00O ，、()01D ，、()0E ，-1、()12C ，中的点 .（2）如图3，△ADE 是△ABC 经过()A θ,k 得到的，90︒=EAB ∠，12cos EAC =∠ 则这个图形变换可以表示为(),A .26．如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若AB =6，3AF EF =，求DG 的长．小米的发现，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H （如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则图2图3O如图3，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是射线DM 上的一点，连接BE 和AC 相交于点F ，若BC aAD =，CD bCE =，求BFEF的值（用含,a b26．如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．（1）如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． （2）如图③，在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①利用尺规作出△ABC 的自相似点P （不写出作法，保留作图痕迹）；②如果△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，请直接写出该三角形三个内角的度数．参考答案26. (本小题满分5分)解：（1）当k ＝1时，使得原等式成立的x 分（2）当0＜k ＜1时，使得原等式成立的分（3）当k ＞1时，使得原等式成立的x 图1图2图3 BBC ①②CBC③解决问题：将不等式240 ()x a a x +-<＞0转化为24()x a a x+<＞0， 研究函数2(0)y x a a =+>与函数4y x=的图象的交点. ∵函数4y x=的图象经过点A (1,4)，B (2,2)， 函数2y x =的图象经过点C (1,1)，D (2,4)，若函数2(0)y x a a =+>经过点A (1,4)，则3a =， ………………………………………………4分 结合图象可知，当03a <<时，关于x 的不等式24(0)x a a x+<>只有一个整数解．也就是当03a <<时，关于x 的不等式240 ()x a a x+-<＞0只有一个整数解. ………………5分26.解：（1）CAD，BC . …………………………………………………………… 3分1tan α.……………………………………………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.……………………………………………… 5分 方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点1P ，2P 为符合题意的点. ……………………………………… 5分26. 解：（1）△ABC 的面积是4.5；…….2分（2）如右图: …….4分△MNP 的面积是7. …….5分26．解：BG 的长为2，AD 的长为22+；…………………2分如图，过点P 分别作x PC ⊥轴于点C ，y PD ⊥轴于点D ，AB PE ⊥于点E …………………3分∵AP 和BP 是△OAB 的外角的角平分线 ∴CAP EAP ∠=∠，EBP DBP ∠=∠ ∴PD PE PC ==∴四边形OCPD 是正方形，AE AC =，BE BD =…………4分∴DO PD CP OC === ∵()0,3A ，()4,0B ∴5=AB∴12=++=+BO AB OA OD OC∴6==OD OC ,∴6==PD CP ∴()6,6P ……………………5分26. 解：（1）3m ；……………………………………………………………………………1分∵ AO = m ，∠AOB =30°， ∴AE =12m ． ∴S △ABD =m AE BD 2321=⋅． 同理，CF =1(4)2m -． ∴S △BCD =m CF BD 23621-=⋅．…………………………………………………2分 ∴S 四边形ABCD = S △ABD ＋S △BCD 6=．…………………………………………………3分 解决问题：αsin 21⋅ab ．………………………………………………………………5分26．解：10103xCD =． ……………………………………………………………………… 1分Sin2α=CD OC =53． ……………………………………………………………………… 2分如图，连接NO ，并延长交⊙O 于Q ,连接MQ ，MO ，作NO MH ⊥于H ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q=∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分∵ tan β=21，∴ 设MN =k ，则MQ =2k ， ∴ NQ =k MQ MN 522=+．∴ OM=21NQ=k 25． ∵ MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121， ∴ MH k k k ⋅=⋅52 ．∴ MH=k 552． ………………………………………………………………………………… 4分N在MHO Rt ∆中，sin2β=sin ∠MON =5425552==kkOM MH ． …………………………………… 5分 26． 解：（1）D （3，2），'D （8，-6），..................................................................................2分（2）依题可列：21,3 6.a k a k -+=⎧⎨+=⎩则a =1，k =3，2b =4，b =2，.........................................................4分（a ，b ，k 求出一个给1分） ∵点E （2，1），∴'E （5，2）．.....................................................................................................5分26．（本小题满分5分）解：（1）A B =3E H ，C G =2E H ，32.………………………………………………3分 （2）如图，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H .∴ EH ∥AB ∥CD ． ∵ EH ∥CD ， ∴23CD BC EH BE ==， ∴ CD =23EH ． 又∵2AB CD =，∴ AB =2CD =43EH ． ∵ EH ∥AB ，∴ △ABF ∽△EHF ． ∴4433AF AB EH EH EF EH ===．……………………………………5分 26.（1）E ………………………………………………………………………………2分 （2）60,k︒………………………………………………………5分26．答案：DG =2；……………………………………………………………………………………2 如图（画图正确，正确标出点E 、F ）………………………………………………………………3 过E 作EG ∥AD ，延长CA 交于点G ∴△CAD ∽△CGE ．HF E CB AD∴AD CD GE CE=．∵CD bCE=，∴ADb GE=．∴AD bEG=． (4)∵AD∥BC，∴BC∥EG．∴△GEF∽△CBF．∴BC BF EG EF=．∵BC aAD=，∴BC abEG=．∴BFabEF= (5)26.解：⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴12CD AB=，∴CD=BD．∴∠BCE＝∠ABC．……………………………….(1分)∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．……………………………….(2分)∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．………………………….(3分)⑵①作图略．（方法不唯一）……………………….(5分)②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴12PBC ABC∠=∠，12PCB ACB∠=∠．∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴1807A∠=．∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207．…………….(6分)。
北京市东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试(二模)数学试卷及答案
数学试卷 第1页（共17页）东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数 学 试 卷 2018.5学校______________班级______________姓名_____________考号____________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为A. 205万B. 420510⨯ C. 62.0510⨯ D. 72.0510⨯ 2. 在平面直角坐标系xOy 中，函数31y x =+的图象经过A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限3. 在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 正方体4. 七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：甲组 158 159 160 160 160 161 169 乙组 158159160161161163165以下叙述错误．．的是 A. 甲组同学身高的众数是160 B. 乙组同学身高的中位数是161 C. 甲组同学身高的平均数是161 D. 两组相比，乙组同学身高的方差大 5. 在平面直角坐标系xOy 中，若点()3,4P 在O 内，则O 的半径r 的取值范围是数学试卷 第2页（共17页）A. 0r ＜＜3B. r ＞4C. 0r ＜＜5D. r ＞56. 如果23510a a +-=，那么代数式()()()5323+232a a a a +--的值是A. 6B. 2C. - 2D. - 67. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是A. 图2B. 图1与图2C. 图1与图3D. 图2与图3 8. 有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃的直径，且AB ⊥CD . 入口K 位于中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x ，与入口K 的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是A. A →O →DB. C→A→O → BC. D →O →CD. O→D→B→C 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若分式22xx +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2.写出一个．．符OAD数学试卷 第3页（共17页）合条件的点P 的坐标________________.11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8.是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.第11题图 第15题图 12. 抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.13．自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018年5月8日5 时52分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米. 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2倍多1.82亿立方米，求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为_________ .14. 每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为 ；若该社区有10 000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为 .O数学试卷 第4页（共17页）15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，P 分别在x 轴、 y 轴上，30APO ∠=︒ .先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB ，再将线段PA 绕点P 顺时针旋转30°得到 线段PC ，连接BC . 若点A 的坐标为()1,0- ，则线段BC 的长为 . 16. 阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是 .三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()332sin 60+2--︒-数学试卷 第5页（共17页）18． 解不等式()()41223x x ---＞，并把它的解集表示在数轴上.19. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .(1)求证：ADE ABC △≌△;(2)当8AC =，6BC =时，求DE 的长.20. 已知关于x 的一元二次方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围；(2)写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根.21．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF . （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ， 若EB =EC ，求证：AC CF ⊥.22. 已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点(),P m n . （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；数学试卷 第6页（共17页）（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围. 23． 如图，AB 为O 的直径，直线BM AB ⊥于点B .点C 在O 上，分别连接BC ，AC ，且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O 的切线交BM 于点F .（1）求证：CF DF =；（2）连接OF . 若10AB =，6BC =，求线段OF 的长.24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键 .截止到2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1 全国森林面积和森林覆盖率表2 北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1) 从第________次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率；(2) 补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；(3) 第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a，全国森林覆盖率21.63%记为b，到2018年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含a和b的式子表示）.25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整：建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x米，篱笆长为y米.则y关于x的函数表达式为;列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如下表：数学试卷第7页（共17页）数学试卷 第8页（共17页）描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当x = 时，y 有最小值. 由此，小强确定篱笆长至少为 米.26．在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，直线与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点的横坐标P x 的取值范围．27. 如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形；xOy xOy P x P x l l P数学试卷 第9页（共17页）②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则. 基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围；PH PF=数学试卷 第10页（共17页）②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷参考答案及评分标准 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. x ＞0 10. ()()()()21212121--，，，-，，，，-（写出一个即可） 11. 2 12. ()1,1m -- 13. ()2 1.8250x x ++= 14. 120 ；3 000 15. 16. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）=3-217.解：原式 --------------------------------------------------------------------4分-------------------------------------------------------------------------------------------------- 5分18. 解：移项，得()1213x -＜， 去分母，得 23x -＜， 移项，得x ＜5.∴不等式组的解集为x ＜5. --------------------------------------------------------------------3分--------------------------------5分数学试卷 第11页（共17页）19. 证明：（1） ∵DE 垂直平分AB ,∴ 90AED ∠=︒. ∴AED C ∠=∠. ∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分 (2) ABC Rt △中，8AC =，6BC =， ∴10AB =.∵DE 平分AB ， ∴5AE =. ∵ADE ABC △∽△，∴DE AEBC AC = . ∴568DE = . ∴154DE =. ---------------------------------------------------------------------5分 20. 解：（1） 依题意，得()20,640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞， 解得k k ≠＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分(2) ∵k 是小于9的最大整数，∴=8k .此时的方程为28610x x -+=. 解得11=2x ，21=4x . ---------------------------------------------------------------------5分21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠，数学试卷 第12页（共17页）∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分 (2) 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥. ∴+90ACB EBC ∠=︒∠. ∵=EB EC ，∴=EBC BCE ∠∠. 由（1）可知，∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠. ∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分 22. 解：（1）12k =，22P ⎭，，或22P ⎛- ⎝⎭，;---------------------------3分 (2) 1k ≥. ---------------------------------------------------------------------5分23. （1）证明：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∴90DCB ∠=︒.∴90CDB FBC ∠+∠=︒. ∵ AB 是O 的直径，MB AB ⊥， ∴MB 是O 的切线. ∵CF 是O 的切线，数学试卷 第13页（共17页）∴FC FB =. ∴=FCB FBC ∠∠.∵90FCB DCF ∠+∠=︒ , ∴=CDB DCF ∠∠.∴=CF DF . ---------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知，ABC △是直角三角形，在Rt ABC △中，=10AB ，=6BC ，根据勾股定理求得=8AC . 在Rt ABC △和Rt ADB △中， A A ACB ABD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，，∴Rt ABC △∽Rt ADB △. ∴AB AC AD AB =. ∴10810AD = . ∴252AD =. 由（1）知，∵=CF DF ，=CF BF ， ∴=DF BF . ∵=AO BO ，∴ OF 是ADB △的中位线.∴125.24OF AD ==---------------------------------------------------------------------5分24. 解：(1)四； ---------------------------------------------------------------------1分数学试卷 第14页（共17页）（2）如图： ---------------------------------------------------------------------3分（3）5432000ab.------------------------------------------------------5分25. 解：42y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；----------------------------------------------1分 810，； --------------------------------------------------------3分 如图； ----------------------------------------------------------4分 28，. -----------------------------------------------------------5分26. 解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入23(0)y ax bx a =+-≠，得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩，，解得12a b ==-，． ∴抛物线的表达式为223y x x =--． -------------------------------------------------------------2分（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '，数学试卷 第15页（共17页）则点B '的坐标为()45，-.∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '. 设直线AB '的表达式为y mx n =+， 把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+， 得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得11m n =-=-，．∴直线AB '的表达式为1y x =--．即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分（3）如图，直线AB '与抛物线223y x x =--交于点C .设直线l 与直线AB '的交点为N '， 则 'PN PN =． ∵PM PN <， ∴'PM PN <.∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．∴点M 在抛物线223y x x =--夹在点C 与点B 之间的部分上．联立223y x x =--与1y x =--，可求得点C 的横坐标为2． 又点B 的横坐标为4， ∴点P 的横坐标Px 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分数学试卷 第16页（共17页）27. 解：(1)120°. ---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒， ∴60.ACP BCP ∠+∠=︒ ∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒ ∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒ ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒， ∴.ACD BCP ∠=∠ 在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分 （3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N . ∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒， ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒数学试卷 第17页（共17页）∴=2BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CDBN =+)2AD CD =+22==----------------------------------------------------------7分28. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF = ∴.AF d CF≤≤ ∵=4AF CF，∴d 4≤---------------------------------------------------------------------------------- 5分② 1.t ≤ ------------------------------------------------------------------------8分。
2017-4-东城二模数学理科附答案
2017-4-东城二模数学理科附答案D（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}na为递增数列，n S是其前n项和.若1517 2a a，244a a，则6=S（A）2716（B）278（C）634（D）632否 1v v x1i i 1i ni开（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n ，1v ，2x ，则程序框图计算的是 （A ）5432222221（B ）5432222225（C ）654322222221（D ）43222221APPAP（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的P 所走过的路程x 动点P 所走的图形可能是（A）（B）（C）（D）（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,na a a a 和123,,,,nb b b b ，令{|,1,2,,}mm M m ab m n =<=，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是 （A ）若A B ，B C ，则A C（B ）若A B ，B C 同时不成立，则A C 不成立（C ）A B ，BA 可同时不成立（D ）AB ，B A 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）复数i(2i)在复平面内所对应的点的坐标为 ． （10）在极坐标系中，直线cos 3sin 10与圆2cos (0)a a 相切，则a _______．（11）某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有____种.（用数字作答）D（12）如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=，30ADB ∠=，1BC =，2DC =，1cos 4BCD ∠=，则BD 的面积为___________.（13）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24yx的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA ．（14）已知函数|1|,(0,2],()min{|1|,|3|},(2,4],min{|3|,|5|},(4,).x x f x x x x x x x -∈⎧⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎩① 若()f x a =有且只有一个根，则实数a 的取值范围是_______．② 若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是_______．三、解答题共6小题，共80分。
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北京市东城区2016--2017学年第二学期初三综合练习（二） 数 学 试 卷 2017.6学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 3的相反数是 A ． 3-B ．3C ．13 D ． 13-2. 太阳的半径大约是696 000千米，用科学记数法可表示为A ．696×103千米 B ．6.96×105千米 C ．6.96×106千米 D ．0.696×106千米 3．下列四个立体图形中，主视图为圆的是A B C D 4．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 A.3sin α B.3cos αC.αsin 3D.αcos 35. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为 A ．16B ．14C ．13D ．126. 若一个多边形的内角和等于720︒，则这个多边形的边数是 A ．5B ．6C ．7D ．87. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 A ．1.65，1.70 B ．1.70，1.70C ．1.70，1.65D ．3，48. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O 的半径为1，动直线AB 与x 轴交于点(,0)P x ，直线AB 与x 轴正方向夹角为45︒，若直线AB 与⊙O 有公共点，则x 的取值范围是A ．11x -≤≤B ．x <<C ．0x ≤≤D ．x ≤≤二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 在函数23-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10. 分解因式：244mn mn m ++= ．11. 如图，已知正方形ABCD 的对角线长为形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中折成的4个阴影三 角形的周长之和为 .12. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=, 则1A ∠＝ ；n A ∠＝ . 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：1012cos 45()(4-︒--π． 14. 解分式方程：211322x x x--=--． 15. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边BC ，AD 上的点，且12∠=∠. 求证：AE=CF .16. 已知2410x x -+=，求2(1)64x x x x-+--的值.17. 列方程或方程组解应用题：我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15，中、美两国人均淡水资源占有量之和为 13 800m 3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m 3）？18. 如图，一次函数1y x =--的图象与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B ，与反比例函数ky x=图象的一个 交点为M （﹣2，m ）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P 是反比例函数ky x=图象上一点， 且2BOP AOB S S =△△，求点P 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某中学九（1）班同学为了解2017年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理.请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）求该小区用水量不超过15吨的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭大约有多少户？20． 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E .(1）求证：AM =2CM ；（2）若12∠=∠，CD =ME 的值.21．如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，AC =3，CD是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．22. 阅读并回答问题：数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：（1） 小聪的作法正确吗？请说明理由；（2） 请你帮小颖设计用刻度尺作AOB ∠平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）.五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）求证：抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根时，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．24. 在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E 是AB 边上一点，EF CE ⊥交AD 于点F ，过点E 作AEH BEC ∠=∠，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N . （1）如图1，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；（2）如图2，当点H 在线段FD 上时，设BE x =，DN y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）连结AC ，当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与△AEC 相似时，求线段DN 的长.25．定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a 与线段b的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点.（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d.（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长.北京市东城区2012--2013学年第二学期初三综合练习（二）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13. 解：1012cos 45()(4π-︒--=2(4)214---分3=. ………5分14. 解：211322x x x -+=-- ………………1分 去分母得2113(2)x x -+=-解得6x =. ………………4分 经检验：6x =是原方程的根.所以原方程的根为6x =. ………………5分 15. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D .…………………………2分 在△ABE 与△CDF 中，12.AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，∴△ABE ≌△CDF .…………………………4分 ∴AE=CF .………………………………5分16. 解:2(1)64x x x x-+-- 2(1)(4)(6)=(4)x x x x x x ---+-22424=4x x x x-+-2410x x -+=，24=1x x ∴-- .22424124==23.41x x x x -+-+=---原式 ………………………………………5分17. 解：设中国人均淡水资源占有量为x m 3，美国人均淡水资源占有量为y m 3． 根据题意得：5,13800.y x x y =⎧⎨+=⎩……………………………………………2分解得：2300,11500.x y =⎧⎨=⎩ ……………………………………………4分答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2 300m 3，11 500m 3．………………………5分 18．解: (1) ∵M （﹣2，m ）在一次函数1y x =--的图象上，∴ 211m =-=.∴ M （﹣2，1）.又M （﹣2，1）在反比例函数ky x=图象上， ∴2k =-. ∴2y x-=. ……........................3分 (2)由一次函数1y x =--可求(10)A -，，(0,1)B -.∴11122112AOB S OB OA ∆=⨯⨯⨯=⨯=. ∴21=BOP AOB S ∆∆=.设BOP ∆边OB 上的高位h ，则=2h . 则P 点的横坐标为2±. 把P 点的横坐标为2±代入2y x-=可得P 点的纵坐标为1. (2,1)P ∴-或(2,1)P -. ……5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1） 表格：从上往下依次是：12，0.08；图略； ……3分（2）68％；……4分 （3）120户. ……5分20．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形．∴BC//AD .∴△∽△CFM ADM . ∴CF CMAD AM=. ∵F 为边BC 的中点，∴1122CF BC AD ==. ∴12CF CM AD AM ==. ∴2AM MC =. ……………………2分 （2）∵A B//DC ， ∴ 1=4∠∠. ∵1=2∠∠, ∴ 2=4∠∠. ∵ME ⊥CD ， ∴12CE CD =. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴ 3=4∠∠. ∵F 为边BC 的中点， ∴12CF BC =. CF CE ∴=.在△CMF 和△CME 中，3=4∠∠，CF =CE ，CM 为公共边，∴△CMF ≌△CME ． ∴ =90CFM CEM ∠∠=︒. ∵2=34∠∠=∠, ∴2=3430∠∠=∠=︒.∴ME CE =.∵2CD CE ==,∴CE = ∴1ME =. ……………………………5分 21．解：（1）证明：连接OA ． ∵∠B =60°，∴∠AOC =2∠B =120°．又∵OA=OC ，∴∠ACP =∠CAO =30°．∴∠AOP =60°． ∵AP=AC ，∴∠P =∠ACP =30°． ∴∠OAP=90°，∴OA ⊥A P ．∴ AP 是⊙O 的切线． …………………2分 （2）解：连接AD ．∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CAD =90°．∴AD =AC •tan30°=3． ∵∠ADC =∠B =60°，∴∠P AD =∠ADC ﹣∠P =60°﹣30°=30°．∴∠P =∠P AD ．∴PD=AD …………………5分22．解：（1）小聪的作法正确. …………………1分∵PM ⊥OM , PN ⊥ON ， OMP =∠ONP =90°.Rt △OMP 和Rt △ONP 中， ∵OP=OP ,OM=ON ，∴Rt △OMP ≌R t △ONP （HL ）.∴MOP NOP ∠=∠.OP 平分∠AOB . …………………2分 2）解：如图所示. …………………3分作法：①利用刻度尺在OA ，OB 上分别截取OG=OH .②连结GH ，利用刻度尺作出GH 的中点Q .③作射线OQ ，则OQ 为∠AOB 的平分线. …5分五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）22(2)4(1)m m m ∆=-+-=.∵方程有两个不相等的实数根，∴0≠m .……………………………………………………………………………1分 ∵01≠-m ，∴m 的取值范围是01m m ≠≠且.………………………………………………………2分（2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m . ∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m m m m m m x . ∴1)1(221-=--+-=m m m x ，11)1(222-=-++-=m m m m x . …………………………………4分 ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）.∴无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（1,0-）.……5分（3）∵1-=x 是整数 ∴只需11-m 是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠且,∴2=m .…………………………………………………………………………6分 当2=m 时，抛物线为12-=x y ．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 861)3(22+-=--=x x x y .…………………………………………………7分24．解：（1）∵EF EC ⊥，∴90AEF BEC ∠+∠=︒.∵AEF BEC ∠=∠，∴45BEC ∠=︒.∵90B ∠=︒，∴BE BC =.∵3BC =，∴3BE =.…………………2分（2）过点E 作EG CN ⊥，垂足为点G .∴BE CG =.∵AB ∥CN ，∴AEH N ∠=∠，BEC ECN ∠=∠.∵AEH BEC ∠=∠，∴N ECN ∠=∠.∴EN EC =.∴22CN CG BE ==.∵BE x =，DN y =，4CD AB ==，∴()2423y x x =-≤≤.…………………4分（3）∵矩形ABCD ，∴90BAD ∠=︒.∴90AFE AEF ∠+∠=︒.∵EF EC ⊥ ，∴90AEF CEB ∠+∠=︒.∴AFE CEB ∠=∠.∴HFE AEC ∠=∠.当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与AEC ∆相似时，ⅰ）若FHE EAC ∠=∠，∵BAD B ∠=∠，AEH BEC ∠=∠，∴FHE ECB ∠=∠ .∴EAC ECB ∠=∠.∴tan tan EAC ECB ∠=∠，∴BC BE AB BC =.∴94BE =.∴12DN =. ⅱ)若FHE ECA ∠=∠，如图所示，记EG 与AC 交于点O .∵AEH BEC ∠=∠，∴AHE BCE ∠=∠.∴ENC ECN ∠=∠.∵EN EC =，EG CN ⊥， ∴12∠=∠.∵AH ∥EG ，∴1FHE ∠=∠.∴2FHE ∠=∠.∴2ECA ∠=∠. ∴EO CO =.设3EO CO k ==，则4,5AE k AO k ==，∴85AO CO k +==. ∴58k =. ∴52AE =，32BE =. ∴1DN =. 综上所述，线段DN 的长为12或1. ………………7分25.解：（1）2 ………………4分（2）当24m ≤≤时，(22)d n n =-≤≤；当46m ≤≤时，2d =. ………………6分（3）16+4π. ………………8分。