集合与简易逻辑复习
集合与简易逻辑知识点整理
集合与简易逻辑 知识点整理班级： 姓名：1.集合中元素的性质（三要素）： ； ； 。
2.常见数集：自然数集 ；自然数集 ；正整数集 ；整数集 ；有理数集 ；实数集 。
3.子集：A B ⊆⇔ ； 真子集：A B ≠⊂⇔ ； 补（余）集：A C B ⇔ ；【注意】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。
4.交集：A B ⋂⇔ ； 并集：A B ⋃⇔ 。
笛摩根定律：()U C A B ⋂= ；()U C A B ⋃= 。
性质：A B A ⋂=⇔ ；A B A ⋃=⇔ 。
5.用下列符号填空: "","","","","",""≠∈∉⊂⊂=≠0 N ；{}0 R ；φ {}0；{}1,2 {}(1,2)；{}0x x ≥ {}0y y ≥ 6.含绝对值的不等式的解法：【注意】含等号时端点要取到。
x a < (0)a >的解集是 ；x a > (0)a >的解集是 。
(0)ax b c c +<>⇔ a x b <+<；(0)ax b c c +<<⇔ 或 。
7.【注意】的情况可根据不等式的性质化归为的情况进行讨论。
8．一元二次不等式恒成立问题：【注意】二次项系数为0时的讨论。
一元二次不等式20ax bx c ++<(0)a ≠恒成立⇔ 。
一元二次不等式20ax bx c ++≤(0)a ≠恒成立⇔ 。
一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a ≠恒成立⇔ 。
一元二次不等式20ax bx c ++≥(0)a ≠恒成立⇔ 。
9．简单分式不等式的解法：()0()f x g x > ⇔()()0f x g x ⋅>⇔()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f x g x <⎧⎨<⎩()0()f xg x ≥⇔ ⇔ 。
集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习
知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。
1.6集合与简易逻辑复习PPT课件(人教版)
4.你能从集合的角度分析充分条件、必要条件和充要条件及命题与命 题的否定吗？
具体的初中 数学知识
集合和常用逻辑用语
抽象的高中 数学知识
典型例题
类型一、集合的概念与集合中的元素
解：
典型例题
类型一、集合的概念与集合中的元素
A {y | y 0}，B R
解：
典型例题
类型二、集合间的基本关系
解：
确定性 无序性 互异性
典型例题
类型二、集合间的基本关系
B A
变式：已知集合 A {x | x2 3x 10 0}，B {x | m 1 x 2m 1} ，若 A B B ，
解：
28 15 8 14 3 3 n(B C)
典型例题
类型五、充分条件与必要条件
解：
y1c 3 4
c 3 y1 4
典型例题
类型六、全称量词与存在量词和两种命题的否定
课堂小结与延伸
1.本章所学内容包含了哪些知识点？你能自己画出知识结构图吗? 2.解决集合问题需要注意什么呢？数轴和Venn图在解决集合问题中有 什么作用呢？
求实数 m 的取值范围.
解：当B 即m 1 2m 1时，
空集是任意集合的子集
当B 即m 1 2m 1时，
典型例题
类型三、集合的运算 0
2
x
解： （1）
0
2
x
（2）满足 A B 需 a 2或a 3 0
即a 2或a 3
显然无解，故不存在这样的 a
类型四、集合的应用
典型例题
例5.学校举行运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳 比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和 比 赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛. 同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
高考数学必修1总复习《集合与简易逻辑》
具体化（具体求出相关的集合,
Venn 图、
函数的图像等，即数形结合的思想）.
考点三 集合的运算
【例3】 (2010·全国)设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则 ∁U(A∪B)＝( )
A. {1,4} B. {1,5} C. {2,4} D. {2,5}
解 ∵A＝{1,3}，B＝{3,5}，∴A∪B＝{1,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}，故选C.
考点二 集合之间的关系 【例2】 已知集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且A M⊆B，则满足上述 条件的集合M有________个． 解 ∵A M， ∴M中一定含有A的全部元素1,2，且至少含有一个不属于A的元素． 又∵M⊆B， ∴M中的元素除了含有A的元素1,2外，还有元素3,4,5中的1个、2个或3 个．故求M的问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题，显然所求集 合M有23－1＝7个．
正整数 集
整数集
有理数 集
实数集 复数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
C
(4)集合的表示法： __列__举__法__、 __描__述__法__、 V__e_n_n_图_法__ 、 __区__间____、 __不__等__式__． 2. 集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
符号语言
子集 相等 真子集
A中任意一个元素均为B中的元 素
(1)若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________；
(2)若A∩B≠A，则实数a的取值范围是________；
(3)若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．
解析：A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，将集合A、B表示在数轴上(注：集 合B表示的范围随着a值的变化而在移动)，如图所示，要注意的就是对于端 点值的取舍．
集合与简易逻辑知识复习练习及典型高考题
A B且 B A ，则 A B 中的元素是一样的，因此 A B
即AB
AB BA
结论： 任何一个集合是它本身的子集 （三） 真子集的概念
若集合 A B ，存在元素 x B且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（ proper
subset）。 记作： A
B（或 B A ）
读作： A 真包含于 B（或 B 真包含 A ）
（）
（A）p>1
（B）p≥1
（C）p<1
（D）p≤1
（ 10）设全集 U x, y | x, y R ，集合 M
y x, y |
3
1
，
x2
T x , y | y 3 x 2 ，那么 ( CU M ) T 等于（ ）
（ A） Φ
(B) 2,3
(C) 2,3
(D) x, y | y 3 x 2
二．填空题 （ 11）已知集合 A={y| y=2x ＋ 1,x ＞ 0} ， B={y| y= － x2＋ 9, x ∈ R}, 则 A∩
5/8
B=________. （ 12）设集合 A＝{ x| x=6k, k ∈Z} ，B＝{ x| x=3k, k ∈ Z} ，两个集合的关系可 表示为 A B. （ 13）设集合 P x | x 2, x R ，集合 Q x | x 2 x 2 0, x N ，则集合
P Q 等于
（ 14）设 U＝R，集合 A＝ {x| x 2＋ px＋12=0, x ∈N}，集合 B＝ {x| x 2－5x＋q=0,
那么就称这个
集合为 全集（ Universe），通常记作 U。
补集：对于全集 U 的一个子集 A ，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集 合称为集合 A 相对于全集 U 的补集（ complementary set） ,简称为集合 A 的补集， 记作： CUA 即： CUA={x|x ∈ U 且 x ∈ A} 补集的 Venn 图表示
集合与简易逻辑总结复习与小结
精心整理集合与简易逻辑复习与小结一、基础知识总结基础知识框图表解二、重点知识归纳、总结1、集合部分（）集合中元素的三大特征（）集合的分类（）集合的三种表示方法（①n③A∪④A={x|x∈S且x A}，其中A S.2、不等式的解法（1）含有绝对值的不等式的解法①|x|<a(a>0)－a<x<a；|x|>a(a>0)x>a，或x<－a.②|f(x)|<g(x)－g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).③|f(x)|<|g(x)|[f(x)]2<[g(x)]2[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]<0.④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值.如解不等式：|x＋3|－|2x－1|<3x＋2.（22＋bx＋c ＜0（．（3）分式不等式的解法①分类讨论去分母法：②转整式不等式法：运用时，必须使不等式一边为0，转化为≤0形式，则：（4）高次不等式的解法p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.（3）四种命题及其相互之间的关系一个命题与它的逆否命题是等价的．（4）充分、必要条件的判定p q qp q qp q qp q q（2）在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”．（3）在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．（4）对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，易漏掉的情况．（5）若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．（6）若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏．（7）解不等式的基本思想是化归、转化，解含有参数的不等式常需要分类讨论，同解变形是解不等式的理论依据．（8）学习四种命题，关键是理解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础．分析：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y=x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P ∩Q意义就明确了．解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知Q P，即P∩Q=Q．∴应选B．例2、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P QC．P=Q D．P Q分析：Q=．至此不少学生认为大功告成，事实上，这只是保证A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．例4、已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为________．分析：由A∪B=A而推出B有四种可能，进而求出a的值．解：∵A∪B=A，∴，B=或B=，则令△∈；∈；反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．例5、设集合A={a|a=n2＋1,n∈N*}，集合B={b|b=k2－4k＋5,k∈N*}，试证：A B．证明：任设a∈A，则a=n2＋1=(n＋2)2－4(n＋2)＋5(n∈N*),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B 故①显然，，而由B={b|b=k2－4k＋5,k∈N*}={b|b=(k－2)2＋1,k∈N*}A B=，则实数=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于=又方程所以该方程只有两个负根或无实数根，即或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4<m<0，即m>－4．点评：此题容易发生的错误是由A∩R＋=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．例7、已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B A，求实数p的取值范围．解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．B A，只须B=时，符合题设．≠时，即1pB AB=时，即1pB=、B=，A B（五）要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性事实上，各种数学语言形态间的互译，可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径，因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情．对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言．例8、已知集合有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A．解：集合B表示方程①即方程x2－x－a－2=0 ②－．－}，即这一隐含条件．（Ⅰ）因此，在讨论方程②有唯一实根时，须照顾到③：．当条件②的二实根中有一个是方程①的增根或时，方程①也只有一个实根，正确解法是：方程①等价于混合组（Ⅰ）．（1）当②有等根时，同上解得a=－，此时，适合③；（2）当②有两个不等的实根时，由△>0可得a>－．当为①的增根时，由②得；当为①的增根时，由②得．）得可知－1与3是方程x2＋ax＋b=0的两根，∴a=－(－1＋3)=－2，b=(－1)×3=－3．点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．例10、若关于x的不等式|x＋2|－|1－x|<a有解，求实数a的取值范围.分析：可利用补集思想解题，先求不等式|x＋2|＋|1-x|<a无解的a的取值范围.即对任意实数x，总有|x＋1|＋|x－2|≥a.∴a≤|x＋2|＋|1-x|的最小值.由≠，求实数≠意味着方程①的根有：（3）一负根一正根三种情况，分别求解较麻烦，上述三种情况虽可概括为方程①的较小根,但在目前的知识范围内求解存在困难，如果考虑题设A∩R－≠的反面：A∩R－=，则可先求方程①的两根x1、x2均非负时m的取值范围．用补集思想求解尤为简便．解：设全集U={m|△=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥}．则≥}，即便为所求．∩与∩∴集合A={m|m>2}．使命题乙成立的条件是：△2=16(m－2)2－16<0，∴1＜m＜3．∴集合B={m|1<m<3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：（1）m∈A∩，（2）m∈∩B．若为（1），则有：A∩={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；若为（2），则有：B∩={m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2},的解集分“∵如果，则如果则∴“”“M=N”；反之若M=N=，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，“M=N”“”，因此既非充分也非必要条件．答案：即非充分又非必要条件2、（高考试题）设a,b是两个实数，集合A={(x,y)|x=n,y=na＋b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2＋15,m∈Z},C={(x,y)|x2＋y2≤144}是xoy平面内的点集，讨论是否存在a与b，使是A∩B≠和(a,b)∈C同时成立？分析：解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来．解法：假设存在实数a与b，同时满足题设中的两个条件，即有：∵。
1-1集合与简易逻辑总复习1
第一章几何与简易逻辑第1课时集合的概念与运算1一、选择题1．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()A. A⊆C B．C⊆A C．A≠C D．A＝∅解析：A⊆A∪B＝B∩C⊆C，则A⊆C.答案：A2．设D是正三角形P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心．若集合S ＝{P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i＝1,2,3}，则集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域解析：∵|PP0|≤|PP i|，∴点P在P0P i的垂直平分线将平面分成的靠近P0的区域内，即点P在如图六边形ABCDEF内(包括边界)，故选D.答案：D3．设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝()A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞) C．[0,1] D．[0,2]解析：由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0,2]，B＝{y|y＝2x，x＞0}＝(1，＋∞)．A×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：A4．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M为{2,3}，{1,2,3}，共两个．答案：B二、填空题5．设全集U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5,6}，则上图中阴影部分表示的集合是________．解析：图中阴影部分表示的集合是B ∩(∁Z A )＝{2,4,6}．答案：{2,4,6}6．(原创题)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2＋y 241}，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )等于________．解析：A ＝{x |－1≤x ≤1}＝[－1,1]，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }＝[0，2]，(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由容斥原理知共有(26＋15＋13)－36＝18名同学同时参加两个小组，没有人参加三个小组，于是同时参加数学和化学小组的有18－(6＋4)＝8(人)．答案：8三、解答题8．设A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求x 、y的值．解答：∵A ∩B ＝C ＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B ，－1∈B .即有x 2－x ＋1＝7⇒x ＝－2或x ＝3.①当x ＝－2时，x ＋4＝2，又2∈A ，∴2∈A ∩B ，但2∉C ，∴不满足A ∩B ＝C ， ∴x ＝－2不符合题意．②当x ＝3时，x ＋4＝7，∴2y ＝－1⇒y ＝－12.因此，x ＝3，y ＝－12. 9．已知集合A ＝{x |y ＝15－2x －x 2}, B ＝{y |y ＝a －2x －x 2}，若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 解答：由15－2x －x 2≥0，即(x ＋5)(x －3)≤0得－5≤x ≤3，∴A ＝[－5,3]．又y ＝a －2x －x 2＝a ＋1－(x ＋1)2≤a ＋1，∴B ＝(－∞，a ＋1]，A ∩B ＝A 即A ⊆B . ∴a ＋1≥3.即a ≥2.因此实数a 的取值范围是[2，＋∞)．10．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解答：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，因此A 的子集分别为∅，{0}，{－4}，{0，－4}． 又B ⊆A ，若B ＝∅，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝4(2a ＋2)<0，解得a <－1；若B ＝{0}，⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝0，a 2－1＝0，解得a ＝－1； 若B ＝{－4}，⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－8，a 2－1＝16，无解；若B ＝{0，－4}，⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； 综上所述，实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.1．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅.(1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是______．解析：(1)如图所示，A ∩B 为图中阴影部分，若A ∩B ≠∅，则b ≥2；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，x ＋2y 在(0，b )处取得最大值，∴2b ＝9，b ＝92.答案：(1)b ≥2 (2)922．(2009·北京)已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a j a i两数中至少有一个属于A . (1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；(2)证明：a 1＝1，且a 1＋a 2＋…＋a n a －11＋a －12＋…＋a －1na n ； (3)证明：当n ＝5时，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列．解答：(1)由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，所以该数集不具有性质P . 由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，所以该数集具有性质P .(2)证明：因为A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，所以a n a n 与a n a n中至少有一个属于A . 由于1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，所以a n a n ＞a n ，故a n a n ∉A .从而1＝a n a n∈A ，因为1＝a 1＜a 2＜…＜a n ，所以a k a n ＞a n ，故a k a n ∉A (k ＝2,3，…，n )． 由A 具有性质P 可知a n a k ∈A (k ＝1,2,3，…，n )．又因为a n a n ＜a n a n －1＜…＜a n a 2＜a n a 1， 所以a n a n ＝a 1，a n a n －1＝a 2，…，a n a 2＝a n －1，a n a 1＝a n .从而a n a n ＋a n a n －1＋…＋a n a 2＋a n a 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n .故a 1＋a 2＋…＋a n a －11＋a －12＋…＋a －1n＝a n . (3)证明：由(2)知，当n ＝5时，有a 5a 4＝a 2，a 5a 3＝a 3，即a 5＝a 2a 4＝a 23. 因为1＝a 1＜a 2＜…＜a 5，所以a 3a 4＞a 2a 4＝a 5，故a 3a 4∉A .由A 具有性质P 可知a 4a 3∈A . 由a 2a 4＝a 23得a 3a 2＝a 4a 3∈A ，且1＜a 3a 2＜a 3，所以a 4a 3＝a 3a 2＝a 2.故a 5a 4＝a 4a 3＝a 3a 2＝a 2a 1＝a 2. 即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为1，公比为a 2的等比数列．。
高中数学会考复习资料基本概念和公式
高中数学会考基础知识汇总 第一章 集合与简易逻辑：一．集合1、 集合的有关概念和运算（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；（2）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；2、子集定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ， 注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ3、真子集定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂；4、补集定义：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；5、交集与并集 交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且 ；并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或6、集合中元素的个数的计算： 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
二．简易逻辑：1．复合命题： 三种形式：p 或q 、p 且q 、非p ； 判断复合命题真假：2.真值表：p 或q ，同假为假，否则为真；p 且q ，同真为真；非p ，真假相反。
3.四种命题及其关系：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p ； 互为逆否的两个命题是等价的。
原命题与它的逆否命题是等价命题。
4.充分条件与必要条件：若q p ⇒，则p 叫q 的充分条件； 若q p ⇐，则p 叫q 的必要条件； 若q p ⇔，则p 叫q 的充要条件；第二章 函数一． 函数1、映射：按照某种对应法则f ，集合A 中的任何一个元素，在B 中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f ：A →B ，若B b A a ∈∈,，且元素a 和元素b 对应，那么b 叫a 的象，a 叫b 的原象。
2、函数：（1）、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R ；②分式：分母0≠，0次幂：底数0≠； ③偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=；④对数：真数0>，例：)11(log xy a -=4、求值域的一般方法：①图象观察法：||2.0x y =；②单调函数法： ]3,31[),13(log 2∈-=x x y ③二次函数配方法：)5,1[,42∈-=x x x y ， 222++-=x x y④“一次”分式反函数法：12+=x xy ；⑥换元法：x x y 21-+= 5、求函数解析式f （x ）的一般方法：①待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②配凑法：,1)1(22xx xx f +=-求f （x ）；③换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ） 6、函数的单调性：（1）定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数； 若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。
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例题 7：已知 p 是 s 的充分不必要条件，s 是 q 的必要不充分
条件同时又是 r 的充分不必要条件，q 是 r 的必要不充分条件， 问：(1)r 是 p 的什么条件，p 是 q 的什么条件？(2)p,q,r,s 中， 有几对是互为充要条件？
例题 5：写出下列命题的否定和否命题，并判断其真假：
矩形的对角线相等； （2）弦心距相等则弦长相等； 2 （3）若 b 4ac 0 ,则方程 ax2 bx c 0 有实数解； （4）若 x,y 都是偶数，则 x+y 与 xy 都是偶数
例题 6：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断
1 A .求证: 1 a
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选题人：仲坚
3 3 3 3 3 3 3 3
）
A． a b B． a b C． a b 且 a b D． 3 a 3 b 或 3 a 3 b 6、若甲为乙的必要条件，丙为乙的充分条件，但不为乙的必要条件，那么丙是甲的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又非必要条件 7 、 设全集 U={(x,y)|x ∈ R,y ∈ R} ，集合 M={(x,y)|y ≠ x} ， N={(x,y)|y ≠ -x} ，则集合 P={(x,y)|y2=x2}等于（ ） A． （ CU M ） ∩ （ CU N ） B． （ CU M ） ∪N C． （ CU M ） ∪ （ CU N ） D． M∪ （ CU N ） 8、若命题 p：a2<0，q：2a+1 是奇数， （a∈N）.则复合命题 p 且 q，p 或 q，┐p，┐q 中真 命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9、下列说法：①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；②若一个 命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的逆命题是真命题，则这 个命题不一定是真命题；④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是 真命题；其中正确的说法是（ ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③ 二、填空题： 10、在 100 个学生中，有篮球爱好者 60 人，排球爱好者 65 人，则既爱好篮球又爱好排球 的人数的最小值_____；最大值______.
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15、某班有学生 55 人，其中有音乐爱好者 34 人，有体育爱好者 43 人，还有 4 人既不爱 好音乐又不爱好体育，该班既爱好音乐又爱好体育的有多少人？
16、写出命题“各数字之和是 3 的倍数的正整数，能被 3 整除”的逆命题、否命题、逆否 命题，并判断其真假.
17、设 U=R, A X 2 X 3 , B Y Y X 2, X A ,求 CUB
Hale Waihona Puke 18、设 f(x)=x2+px+q,p,q∈R，M={x|x=f(x)},N={x|x=f(f(x))}. ⑴证明 M N； ⑵当 M={-1，3}时求 N.
19、由实数构成的集合 A 满足条件：若 a A, a 1 则 （1） 若 2∈A，则集合 A 中必还有另外两个元素； （2） 集合 A 不可能是单元素集合； （3） 集合 A 中至少有 3 个不同的元素。
教学过程
教学内容
备课札记
例题 4：开校运动会时，高一（9）班有 28 名同学参加比赛，
有 15 人参加游泳比赛， 有 8 人参加田径比赛， 有 14 人参加球类 比赛， 同时参加游泳和田径比赛的有 3 人， 同时参加游泳和球类 比赛的有 3 人， 没有人同时参加三项比赛。 问同时参加田径和球 类比赛的有多少人？只参加游泳比赛的有多少人？
备课札记
知识要点：
1）集合的基本概念： 集合的概念；集合的性质(互异性、无序性、确定性)； 元素的概念；集合与元素的关系； 集合的分类；集合的表示 (列举法、描述法)及常见集合（N、Z、Q、R、N+等）的表示； 集合与集合的关系（交，并，补） 2）简易逻辑的基本概念： 逻辑联结词（或，且，非） ；简单命题与复合命题； 四种命题；命题的真假；充分与必要条件；反证法 预习作业： 书 P38---P41
教学过程：
讲解书 P40---P41
例题选讲： 例题 1：
下列表述是否正确，说明理由 Z={全体整数}； （2）R={实数集}={R} （3） {(x,y)|x=1,y=2} (4) {(1,2)}={1,2}(5) 0
例题 2：已知 A x | k 1 x 2k, A x | 1 x 3
且 A B ，求实数 k 的取值范围。
B x | 2x 2 ax 2 0, x R 若 A B A , 求实数 a 的值组成的集合。
例题 3：设集合 A x | x 2 3x 2 0, x R,
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例题 8：设 p,q 为奇数，求证：方程 x 2 px q 0 I 没有整数
根
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一、选择题： 1、 已知集合 A 是全集 S 的任一子集，下列关系中正确的是（ ） A．φ C S A B． C S A S C． （A∩ C S A ）=φ D． （A∪ C S A ） S 2、集合{0，1，2，3，5}中含有元素 0 的真子集个数是（ ） A．32 B．15 C．31 D．6 3、A={x|-2<x<4},B={x|x≥a}，若 A∩B=φ ，且 A∪B 中不含元素 5，则下列值中 a 可能是 A．3 B ．4 C．5 D．6 4、已知命题 p：若 a∈A，则 b∈B，那么命题┐p 是（ ） A．若 a∈A 则 b B B．若 a A 则 b B C．若 a∈A 则 b∈B D．若 b B 则 a∈A 5、用反证法证明如果 a>b，那么 3 a 3 b ，假设的内容应是（
8 Z ，则 A=____________(用列举法表示) 4 x x7 2 12、设 A= x | x 9 ，B= x | 0 ，则 A∩B=_________. x 1
11、设 A= x Z |
13、设集合 M={小于 5 的质数}，则 M 的真子集的个数为_____. 三、解答题： 14、已知 A={x||x-a|<4},B={x|x2-4x-5>0}，且 A∪B=R.求实数 a 的范围.
翔宇教育集团课时设计活页纸
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主备人：仲坚
总 课 题 课 题 教学目标 教学重点 教学难点 教学过程 集合与简易逻辑复习 总课时 2 集合与简易逻辑 课 型 复习与回顾集合与简易逻辑的基本概念 通过典型例题的讲练，达到掌握基本技能的目的 培养学生综合应用知识解决问题的能力 基本概念、基本技能 综合应用知识解决问题的能力的培养 教学内容 第 1 课 时 复习