第八章 应力状态分析
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材料力学：第八章-应力应变状态分析
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
D
C
sO
E
s 2 , 0
s 1 , 0
D
s
结论：所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用4
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
证： 1. 据纯剪切斜截面应变公式求e45。
2. 据广义胡克定律求 e45。
纯剪切时主应力在45度方向,
3. 比较
例 8-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，
m 0.3，求钢块的主应力
解：
因二者均为压应力, 故
§8 电测应力与应变花
应力分析电测方法 应变花
已知 sa , ta , sa+90 , ta +90 ,画应力圆
应力圆绘制 先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
ta+90 sa+90
t
sa ,ta
D
t
sa ,ta
D
sa
ta
O
C
sO
E
sa+90 ,ta+90
C
s
E
sa+90 ,ta+90
应力圆的绘制方法(3): 由主应力画应力圆
适用范围： 各向同性材料，线弹性范围内
主应力与主应变的关系
主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位
最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 0，且因 m < 1/2，则
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
D
C
sO
E
s 2 , 0
s 1 , 0
D
s
结论：所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用4
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
证： 1. 据纯剪切斜截面应变公式求e45。
2. 据广义胡克定律求 e45。
纯剪切时主应力在45度方向,
3. 比较
例 8-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，
m 0.3，求钢块的主应力
解：
因二者均为压应力, 故
§8 电测应力与应变花
应力分析电测方法 应变花
已知 sa , ta , sa+90 , ta +90 ,画应力圆
应力圆绘制 先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
ta+90 sa+90
t
sa ,ta
D
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D
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O
C
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E
sa+90 ,ta+90
C
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E
sa+90 ,ta+90
应力圆的绘制方法(3): 由主应力画应力圆
适用范围： 各向同性材料，线弹性范围内
主应力与主应变的关系
主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位
最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 0，且因 m < 1/2，则
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
第八章 应力状态
a
F FBiblioteka aAAB
B
C
C
A
B
C
第八章 应力状态/一 应力状态的概念及其描述
FP
课堂练习 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
S’平面
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz 4 S’平面
4 3
2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
5 4 3
FP l Mz 4
max 即: 0 面上有 min
第八章 应力状态/二 平面应力状态分析 — 数解法
0 在何处?
令 x y sin 2 x cos 2 0 2 2 x tg 2 o 得: x y 任意(为方便)令:
tg 2 o 1
x y sin 2 xy cos 2 2
公式推导 (3)
,
面上的应力之间的关系：
x y
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
x
yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
40
30 M P a
x y 2 (30) 0 .6 60 40
60 M P a
o 15 . 48 , o' 15 . 48 90 105 . 48
哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
主应力 1 的方向： o 15 . 5 ,
b
60
c
F FBiblioteka aAAB
B
C
C
A
B
C
第八章 应力状态/一 应力状态的概念及其描述
FP
课堂练习 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
S’平面
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz 4 S’平面
4 3
2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
5 4 3
FP l Mz 4
max 即: 0 面上有 min
第八章 应力状态/二 平面应力状态分析 — 数解法
0 在何处?
令 x y sin 2 x cos 2 0 2 2 x tg 2 o 得: x y 任意(为方便)令:
tg 2 o 1
x y sin 2 xy cos 2 2
公式推导 (3)
,
面上的应力之间的关系：
x y
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
x
yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
40
30 M P a
x y 2 (30) 0 .6 60 40
60 M P a
o 15 . 48 , o' 15 . 48 90 105 . 48
哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
主应力 1 的方向： o 15 . 5 ,
b
60
c
应力与应变状态分析
ma x
min
x y 2
(x 2y)2x2 y ——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; m ;am x;i0 n
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。 简易判断规律：由τ的方向判断。
α0 α0
2、 τ的极值及所在平面
x 2ysi2n xy co 2s
d 0 d
tg21
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10 σ1=50 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
10 σ1=10 MPa ；
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
8、画原始单元体： 例 ：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x 2 y x 2 yc2 o s xs y 2 i n d d 0 x 2 ys2 i n 0 xc y 2 o 0 s0 0 0
tg20
2xy x y
——主平面的位置
( 0;
0 0900 )
F
F a
x
a
x
x
F A
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L
第八章应力应变状态分析ppt课件
+tx
sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t
-t
+
2
2.主应力
t
x x
+
2
-
2
y y
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
和t 都是的函数。利用上式便可确定正应力和
剪应力的极值
d d
-2
x
2
y
sin 2
+
t
x
cos 2
若
x - y
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x - y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
第八章2应力应变状态分析
第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。
应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。
而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。
针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。
应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。
在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。
线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。
一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。
平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。
二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。
在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。
最常见的是材料的应力-应变曲线。
应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。
在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。
而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。
当应力达到最大值时，材料会发生破坏。
除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。
例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。
剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。
同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。
应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。
通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。
例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。
然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。
首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。
材料力学 第八章：应力状态分析
2 )2
材料力学
整理可得：
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
(3)
(3)式为以 、为变量的圆方程。
圆心坐标
(
x
y
,0)
横坐标为平均应力
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
为最大剪应力
材料力学
x x
y
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
方法一：
27.5
x
2
y
x
y
2
cos(2 27.5) x
sin(2 27.5)
70 70 cos55 50sin 55 22
96MPa
96MPa
27.5
70MPa
62.5 50MPa 26MPa
117.5
x
上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy
点的横坐标
OF
、纵坐标
y
FDy
y
;连接
Dx、Dy与轴的交点C为圆心 , CDx 或
CDy 为半径画一圆，这个圆是该单元
体所对应的应力圆。
材料力学
n
y
x
y
x
x
y
F o
Dy
(y,y)
Dx(x,x) CK
材料力学
证明：
DxCK DyCF (对顶角) Dy FC DxKC (直角)
第八章 应力应变状态分析
o
C
(σ x + σ y ) / 2
σ
半径为
Rσ = (
σ x −σ y
2
2 )2 + τ x
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
二.应力圆的绘制与应用
σy σα τα σy τy
n
τ
σα τα
H(任意斜截面α) D（x截面对应）
τx
τx
t
-τ x
σx
α
2α
C
σx
τx=τy DF=EG
将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加
σ x +σ y
σ x −σ y
(σ α −
σ x +σ y
2
) =(
2
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α ) 2
τα = (
2
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α ) 2
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
τ max σ x −σ y 2 2 = ±CK = ± ( ) +τ x τ min 2
所在截面互相垂直，并与正应力极值截面呈45 °夹角。
目录
§8.4 极值应力与主应力
二.主应力
由图可知，正应力极值所在截面的切应力为零。 ab，bc，cd，da 均为主平面。 微体的前、后 两面不受力， 切应力也为零。 主平面：切应力为零的截面。 主平面微体：三对互相垂直的主平面所构成的微体。
三.纯剪切状态的最大应力与圆轴扭转破坏分析
σ 3 = −τ
τ τ A(0，τ)
−45
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个圆上量取？
ii)图解法 由图量得(单位：MPa）
单位：MPa
2) 求 方位 i)图解法 由右下图量取方式去是否正确？
（在xy平面）
y
x
z
单位：MPa
2) 求 方位 i)图解法 直接测量得：
i
单位：MPa
§8-6 平面应变状态应变分析
➢ 构件内任一点处不同截面的应力一般不同 ➢ 构件内任一点处不同方位的应变一般也不同 平面应变状态： 所有应变均平行于同一平面内
分析：垂直于z轴的平面是一个主平面 z
进行平面应力分析
y x
单位：MPa
1）计算微体的 i)解析法
和主应力 y
思考：下述计算是否正确？
x
z
单位：MPa
•左面计算的是平行 于z轴截面的极值应 力，不是微体最大最 小应力。
1）计算微体的
和主应力
y
i)解析法（单位：MPa)
•对于垂直于z轴的截面极值应力
’’
A
ydy sin
dx
➢ 切应变对和 的影响：
C xy ’’’
O
xydy B
xydycos
dl
dy
A
dx
和 的表达式：
➢ 特殊角度的切应变：
可以证明，对于任意 ：
小结：
• 平面应变转轴公式：
• 互垂方位切应变：
互垂方位的切应变数值相等，正负符号相反 适用范围：
上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用 于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关。
A点零应力状态，应力圆为位于圆点的点圆
B点应力集中
第八章 应力应变状态分析
§8-5 复杂应力状态的最大应力 §8-6 平面应变状态应变分析
§8-5 复杂应力状态的最大应力
一、三向应力圆
y
2
3
d
c 3
2
3
1
1
1
1
x
a
b
z
2
2
d
3
a 1
c
3 o
1
2
3
b
2
➢ 其它任意斜截面上的应力
y
2
B
1
3
y
2
与三个主平面成等倾角的斜截面上的 切应力与材料破坏有关
B
Co 3
z
1 共有8个这样的平面，形成一个八面体
A x
例 图示单元体最大切应力 作用面是图______
答：
单位：MPa
例 试作图示平面应力状态微体的三向应力圆
单位：MPa
例 试计算图a所示微体的 主应力与第一主应力方位，画出微体 三向应力圆。
y
x
z
微体仅在xy平面产生变形
平面应力状态与平面应变状态的比较 z z
一、任意方位的应变分析
y
DC
EO
dx
B
dy
A
已知： OA= x OC= y AOC= xy 求： ， ？
x 条件：小变形
1. 切线代圆弧 2. 原始几何构型 3. 角度代正切
已知： OA= x OC= y AOC= xy 求： ， ？
x
•微体最大最小应力
z
单位：MPa
•微体主应力
1）计算微体的 ii)图解法（单位：MPa)
和主应力
解： ①作图b所示平面应力微体的应力圆
② 作三向应力圆
z
y x
单位：MPa
1）计算微体的 思考：
和主应力
•三向应力圆的三个圆分别代表 分别代表微体那组特殊平面的 应力？
•极值应力
对
应于微体哪个方位？在哪
C
B
dy
dl
ydy
C
B
dl dy
O
dx
A
xdx
A
O
dx
C
xy
dl
O
dx
B
dy
A
➢ x方向正应变对和 的影响
xdx cos
C
B
xdx sin
dy
dl
’
A
O
dx
xdx
小变形
1. 切线代圆弧 2. 原始几何构型 3. 角度代正切
➢ y方向正应变对和 的影响
ydy
C
dy
O
ydy cos
B
dl
1 2 3
典型例题：使用应变花测量应变原理
三方向正应变可确 定该点应变状态
例: 已测得 求 ，与
解： 由应变转轴公式
联立求解上述三个方程，得：
作业： 7-8, 7-10, 7-11（旧书）
8-8, 8-10, 8-11（新书） 8-8, 8-11, 8-12(a,b)（2010版）
➢平面应力转轴公式与平面应变转轴公式规律的相似性
平面应力转轴公式
平面应变转轴公式
对应关系
应力圆~应变圆
二、应变圆 •对比应力圆
三、最大应变与主应变(对比最大应力与主应力）
•最大与最小应变
•最大应变方位角
•主应变
•切应变为零方位的 正应变称为主应变
•一点的三主应变方 位两两互垂 •主应变表示：
第八章 应力状态分析
2020年4月22日星期三
y
上一讲回顾
y dx
y
dy
x
x x
dz
x
z
y
z
y y
y
n
x
x
x
x
y
y
dz
x
上一讲回顾
•应力圆的画法：确定x面和
y面的应力坐标点D、E 以DE为直径作应力圆。
•应力圆点与微体面对应关系 •极值应力
思考题：试分析下列平面应力杆件中A，B两点的应力
勇于开始，才能找到成 功的路
A 2
1
Co 3
z
A x
B 3
1 C
n
n
A
证明过程参见2010版新书习题8-10
2
二、 最大应力
A
3
2
1
max= 1 min= 3
max=(1- 3)/2
一点处的最大与最小正应力分别 为最大与最小主应力；
最大切应力位于与1及3均成450的截面
➢ 以上结论对于单向与二向应力状态均成立
➢ 八面体切应力