第八章 应力状态和强度理论

建 筑 力 学 刘国华 阚小妹主编

电子工业出版社

第八章应力状态和强度理论

【知识目标】

●了解平面及空间应力状态的概念

●熟悉平面应力状态的分析方法

●熟悉空间应力状态最大剪应力的大小及分布

●掌握强度理论的概念及其适用范围

【能力目标】

●能熟练运用解析法和应力圆法求解一点处的应力状态

●能求解空间应力状态下一点处的最大剪应力

●能写出四个强度理论的相当应力及强度条件

●能正确选择强度理论对构件危险点处进行强度校核

第一节平面应力状态下的应力分析

一、平面应力状态的概念

由构件的应力分析可知，在受力构件的同一截面上不同点的应力是不同的，一般都既有正应力，又有切应力（如对称弯曲中，构件横截面上距中性轴为某一距离的任一点处）。受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。

为了研究受力构件内某一点处的应力状态，可以围绕该点取出一个单元体。例如，研究图8—1（a）所示矩形截面悬臂梁内A点处的应力状态，可用三对相互垂直的平面，围绕

图8—1

若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称为二向或平面应力状态。如受扭圆轴除轴线以外各点处及横力弯曲梁上下边缘以外各点

处均为平面应力状态。平面应力状态的普遍形式如图8—2（a）所示，即在其它两对平面上分别有正应力和切应力（σσxx，ττxx和σσyy，ττyy）。现研究在普遍形式的平面应力状态下，根据单元体各面上已知的应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量，并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位。

二、解析法

（一）斜截面上的应力

已知一平面应力状态单元体上的应力为σσxx，ττxx和σσyy，ττyy，如图8—2（a）所示。如前所述，由于其前、后两平面上没有应力，可将该单元体用平面图形来表示（图8—2（b））。为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力，可应用截面法。设斜截面eeee的外法线nn与xx轴间的夹角（方位角）为α（图8—2（b）），简称为α截面，并规定从xx轴到外法线nn逆时针转向的方位角α为正值。截面上的应力分量用σσαα和τταα表示。

图8—2

利用截面法，沿斜截面eeee将单元体切成两部分，并取其左半部分eeeeee为研究对象。设斜截面eeee的面积为dA，则截面eeee和eeee的面积分别为ddddddddddαα和ddddddss nnαα。这样，微体eeeeee的受力如图8—2(c)所示，由该微体沿斜截面法向和切向的平衡方程，即∑FF nn=0和∑FF tt=0可得

σσααdddd+(ττxx ddddddddddαα)ddss nnαα−(σσxx ddddddddddαα)ddddddαα+

�ττyy ddddddss nnαα�ddddddαα−�σσyy ddddddss nnαα�ddss nnαα=0

ττααdddd−(ττxx ddddddddddαα)ddddddαα−(σσxx ddddddddddαα)ddss nnαα+

�ττyy ddddddss nnαα�ddss nnαα+�σσyy ddddddss nnαα�ddddddαα=0

由切应力互等定理可知，ττxx和ττyy的数值相等(其指向已表示在图8—2（c）中)。由此可得任一斜截面（α截面）上的应力分量为

σσαα=σσxx+σσyy2+σσxx−σσyy2dddddd2αα−ττxx ddss nn2αα (8—1)

τταα=σσxx−σσyy2ddss nn2αα+ττxx dddddd2αα (8—2) 以上两式就是平面应力状态下，任一α截面上应力σσαα和τταα的计算公式。式中，正应力σσαα以拉应力为正，压应力为负；切应力τταα以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。这与以前对正应力σσαα和切应力τταα的正负号规定是一致的。

（二）主应力和主方向

式（8—1）和式（8—2）表明，任一斜截面的应力σσαα和τταα是随斜截面方位角α而变化的。为求出σσαα的极值，令

ddσσααddαα=−2�σσxx−σσyy2ddss nn2αα+ττxx ddss nn2αα�=0

将上式与式（8—2）比较可知，正应力取极值的平面上的切应力为零，因此该平面就是主平面，正应力的极值就是主应力。设主平面的方位角为αα0，由上式得

tt tt nn2αα0=−2ττxxσσxx−σσyy (8—3) 由于tt tt nn2(αα0+90°)=tt tt nnαα0，所以式(8—3)可以给出两个相互垂直的主平面方位角αα0和αα0+90°。将上述求得的两个方位角代入式（8—1），可求得两个主应力为

σσmmttxx，mmss nn=�σσxx+σσyy2�±��σσxx−σσyy2�2+ττxx2 (8—4) 综上所述，σσαα的极值称为该点的主应力，σσαα取极值的微元面称为主平面，主平面的法线方向称为主方向，也称为应力的主轴，对应于两个不同主应力的主方向是相互垂直的。主平面上切应力为零，反之，当某个微元面上的切应力为零时，该微元面上的正应力就是主应力，即切应力为零的微元面必定是主平面。

（三）最大切应力

将式（8—2）对角α求导并令其为零，即

ddττααddαα=�σσxx−σσyy�dddddd2αα−2ττxx ddss nn2αα=0

设极值切应力所在平面的方位角为α1，由上式可得

tt tt nn2αα1=σσxx−σσyy2ττxx（8—5）式（8—5）给出两个方位角α1和α1+90°，将这两个方位角代入式（8—2），可得两个极值切应力为

ττmmttxx，mmss nn=±��σσxx−σσyy2�2+ττxx2 (8—6) 式（8—6）与式（8—4）比较，可得