材料力学 第八章：应力状态分析
材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
第八章 应力状态
F FBiblioteka aAAB
B
C
C
A
B
C
第八章 应力状态/一 应力状态的概念及其描述
FP
课堂练习 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
S’平面
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz 4 S’平面
4 3
2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
5 4 3
FP l Mz 4
max 即: 0 面上有 min
第八章 应力状态/二 平面应力状态分析 — 数解法
0 在何处?
令 x y sin 2 x cos 2 0 2 2 x tg 2 o 得: x y 任意(为方便)令:
tg 2 o 1
x y sin 2 xy cos 2 2
公式推导 (3)
,
面上的应力之间的关系：
x y
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
x
yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
40
30 M P a
x y 2 (30) 0 .6 60 40
60 M P a
o 15 . 48 , o' 15 . 48 90 105 . 48
哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
主应力 1 的方向： o 15 . 5 ,
b
60
c
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学应力状态分析
材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。
应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。
本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。
首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。
应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。
在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。
正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。
在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。
其次，我们将对应力状态进行分类。
根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。
拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。
这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。
接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。
应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。
应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。
最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。
同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。
总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。
只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。
材料力学作业(8-11)
第八章 应力应变状态分析一、选择或填空题1、过受力构件内任一点，取截面的不同方位，各个面上的（ ）。
A 、正应力相同，切应力不同；B 、正应力不同，切应力相同；C 、正应力相同，切应力相同；D 、正应力不同，切应力不同。
2、在单元体的主平面上（ ）。
A 、正应力一定最大；B 、正应力一定为零；C 、切应力一定最小；D 、切应力一定为零。
3、图示矩形截面悬臂梁，A-A 为任意横截面，1点位于截面上边缘，3点位于中性层，则1、2、3点的应力状态单元体分别为（ ）。
A-AA B C4、图示单元体，其最大主应力为（ ）A 、σ；B 、2σ；C 、3σ；D 、4σ。
5、下面 单元体表示构件A 点的应力状态。
6、图示单元体，如果MPa 30=ασ，则βσ=（ ） A 、100Mpa ； B 、50Mpa ； C 、20MPa ； D 、0MPa 。
(C)7、图示单元体应力状态，沿x 方向的线应变εx 可表示为（ ）A 、Eyσ； B 、)(1y x E μσσ−；C 、)(1x y E μσσ− ；D 、Gτ。
8、图示应力圆对应于单元体( )。
9、已知单元体及应力圆如图所示，σ1所在主平面的法线方向为( )。
A 、n 1；B 、 n 2；C 、n 3；D 、n4。
二、计算题1、已知应力状态如图所示，试用解析法计算图中指定截面上的正应力和切应力。
2、试画图示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力和最大切应力。
3、边长为20mm的钢立方块置于刚性模中，在顶面受力F=14kN作用。
已知材料的泊松比为0.3，求立方体各个面上的正应力。
4、图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M=10 kN.m，Q=120 kN。
试绘出截面上1、2、3、4各点的应力状态单元体，并求其主应力。
第九章 强度理论一、选择题或填空题 1、在冬天严寒天气下，水管中的水会受冻而结冰。
根据低温下水管和冰所受力情况可知（ ）。
A 、冰先破裂而水管完好；B 、水管先破裂而冰完好；C 、冰与水管同时破裂；D 、不一定何者先破裂。
高等教育出版社简明材料力学第二版 第八章 应力状态分析和强度理论分析
1 150 MPa, 2 75 MPa,
3 0
2018/10/12 15
8-2 二向和三向应力状态的实例
火车车轮与钢轨的接 触点也是三向应力状态
A
滚 珠 轴 承
2 A
3
1
2018/10/12
16
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
则斜截面面积为： A Aα = cos α F F cosα F pα cos σ cosα Aα A A
σ σα = pα cosα =σ cos α τ α = pα sin α = σ sin α cos α = sin 2α 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面 上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
10
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
8-3 二向应力状态分析
考虑到切应力互等定理：τxy=τyx
xy
x y
yx
x y
x y
材料力学-应力状态与应变状态分析
s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义 虎 克 定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变 体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则 ＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz
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2 )2
材料力学
整理可得：
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
(3)
(3)式为以 、为变量的圆方程。
圆心坐标
(
x
y
,0)
横坐标为平均应力
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
为最大剪应力
材料力学
x x
y
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
方法一：
27.5
x
2
y
x
y
2
cos(2 27.5) x
sin(2 27.5)
70 70 cos55 50sin 55 22
96MPa
96MPa
27.5
70MPa
62.5 50MPa 26MPa
117.5
x
上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy
点的横坐标
OF
、纵坐标
y
FDy
y
;连接
Dx、Dy与轴的交点C为圆心 , CDx 或
CDy 为半径画一圆，这个圆是该单元
体所对应的应力圆。
材料力学
n
y
x
y
x
x
y
F o
Dy
(y,y)
Dx(x,x) CK
材料力学
证明：
DxCK DyCF (对顶角) Dy FC DxKC (直角)
应力圆圆周上的点。
材料力学
2.应力圆画法
画法1：利用圆心坐标和半径画应力圆
圆心
(
x
y
,0)
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
(
x
2
y
)2
2 x
x y
2
材料力学
画法2：先选定比例尺，单元体上x平面上的应
力对应-坐标系中的Dx点，Dx点的横
坐标 OK x , 纵坐标为x；单元体上y平面
材料力学
并注意到x与y数值相等。
2 x sin cos x cos2 y sin2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
(8-1)
同理，利用 Ft 0 ，可得：
x
y
2
sin 2
x
cos 2
(8-2)
dz
y
dx dy x
x面、y面、z面
材料力学
当一个材料单元体的三个坐标平面 上的应力为已知时，总可以用截面法求 出任意方向面的应力，于是当材料单元 体三个坐标平面的应力已确定时，就称 该单元体的应力状态已确定。
材料力学
P
A
P
A
横截面
材料力学
B A
A
B
横截面
横截面 外轮廓线
材料力学
重申符号规定： ：拉应力为正，压应力为负。 ：顺时针为正，反时针为负。 ：从x轴正向逆时针转到截面外法线 方向为正，反之为负。
此处任意斜截面的意义，平行于Z轴 的任意斜面，该面外法线方向 n 与x轴夹 角为 ，称为面。
材料力学
例81 如图所示单元体，求 指定截面上的正应力和剪应力。
Dy F Dx K (| x || y |)
Dy FC Dx KC
FC KC OK OF x y
2
2
OC OF FC
y
x
y
2
x
y
2
C点为圆心
x y
Dx(x,x)
2
oF
y
Dy
(y,y)
x y
2
即可找到两个互相垂直的极值平面。一个
面上为极大值，另一个面上为极小值。
将
0
1 2
tg 1
2 x x
y
代入(8 1)式可得到
max
min
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
② 当 d
d
2(
x
2
y
sin
2 0
x
cos
2 0
)
0
有
① 的极限
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
d d
2(
x
y
2
令 sin 20 x cos 20 ) 0
(1)
整理可得：tg20
2 x x
y
(2)
材料力学
tg 2( 0
2
)
tg(20
)
tg
20
由(2)式可得出两个相差 的极限平面，
60.8MPa
材料力学
60
x
2
y
sin120
x
cos120
70 sin120 50cos120 2
55.3MPa
② 求主应力
tg 2 0
2 x x y
2 50 70
1.429
01 27.5
02 117 .5
面从x截面沿逆时针 方向转45，所以在 应力圆中从Dx开始逆 时针沿着圆周转圆心
Dy
(-60,30)
角2=90 , 得到点D 。 量得：
D
2=90
C oM
Dx
(40,-30)
D的横坐标 OM 1cm
45 20MPa
D的纵坐标 D M 2.5cm 45 2.5 20 50MPa
材料力学
① 材料单元体上相对坐标面上的 应力大小相等、方向相反。
② 材料单元体上任意方向面上的 应力视作均匀分布。
材料力学
二、平面应力状态分析 解析法
应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应 力，求任意方向面上的应力。
材料力学
最一般的情况：九个应力分量 六个独 立（剪应力互等）。
最常见的情况：有一对方向面上的应力 为零，单元体上所有的 应力在同一平面内，称 为平面应力状态。
将
1
1 2
tg 1
x 2 x
y
代入(8-2)式，可得：
max m in
（
x
2
y
）2
2 x
材料力学
例82 图示悬臂梁上A点的应力状态如图所示。 ① 求单元体上指定截面上的应力； ② 求A点主平面和主应力(用主单元体表示)。
A
y
x
=70MPa
30
=50MPa
2
2
96MPa
=
26MPa
70MPa
y 0 x 70 26 96
角度确定了，大靠大，小靠小。
50MPa 96MPa 27.5
62.5 26MPa
材料力学
三、平面应力状态分析的图解法 应力圆
1.应力圆方程
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
应力状态分析
一、应力状态的概念 1.概念：
构件上不同的点有不 同的应 力 —— 应力为位置的函数。
材料力学
P
P
P
A
P
A
P
A
构件上同一点不同的方向面上应
力不尽相同 应力为方向面的函数。
材料力学
一点的各个方向面上的应力情况称 为该点的应力状态。
2.一点的应力状态的表示方法
单元体法：围绕一点取微小的正六面体 材料单元体 z
从 应 力 圆 的 Dx 点 依 照
单元体上角相同的转
F
向量取圆弧 Dx D ，使 o
其所对应的圆心角
DxCD为2
Dy
(y,y)
D点的横坐标 OM
D点的纵坐标 MD
D Dx(x,x)
2
x
CM K
n
y
x
y
x
x
y
材料力学
证明：
设 DxCK 20
材料力学
在-坐标系中，(3)式的轨迹为一个圆，称 为应力圆或莫尔圆。
应力圆的意义：一点的应力状态可用应力 圆来表示；任意斜截面上的正应力和剪应力为 -坐标系中的一个定点，所有这些点的轨迹为 一个圆(应力圆)，应力圆圆周上的任意一点的纵 横坐标代表单元体上某一斜截面上的应力。
即：单元体斜截面
y x
30MPa 40MPa
60MPa
材料力学
解：① 作应力圆
建立坐标系 选取比例尺
1cm=20MPa
Dy
(-60,30)
Co
定出 Dx(40，30) Dy(60，30)