第八章 应力状态和强度理论
第八章 应力状态和强度理论8.1 图示矩形截面简支梁中的1、2、3、4、5、6点所对应的单元体。
1： ；2： ；3： ； 4： ；5： ；6： 。
图8.1( C )8.2由A3钢制成的圆杆受力如图所示。
与危险截面A 上a 、b 、c 、d 点分别对应的单元体应是a ： ；b ： ；c： ；d ： 。
( D )( C )( B )( A )8.3分别写出与图示平面应力状态单元体上1、2、3、4斜截面对应的方位角：1α： ；2α： ；3α： ；4α： 。
8.4在图示四个切应力中，切应力为负的是（ ）。
图8.4( D )( C )( B )( A )x8.5在图示单元体中，x σ： ；y σ：；x τ： ；y τ： 。
8.6图示平面应力状态的单元体及其应力圆如图所示。
在图（b ）所示的应力圆上与ab 斜截面对应的点是 ，在图（c ）所示的应力圆上与ac 斜截面对应的点是 。
( c )( b )x( a )图8.68.7单元体及其应力圆分别如图（a ）、（b ）所示，试在应力圆上标出与ab 、bc 斜截面所对应的点。
( a )图8.7x8.8平面应力状态的单元体及其应力圆如图所示。
ef 斜截面上的正应力和切应力应是（ ）。
（A ）与1D α对应，15MPa ασ=-，8.66MPa ατ= （B ）与2D α对应，25MPa ασ=-，8.66MPa ατ= （C ）与3D α对应，25MPa ασ=-，8.66MPa ατ=- （D ）与4D α对应，15MPa ασ=-，8.66MPa ατ=-8.9作出图示单向应力状态单元体的应力圆。
利用应力圆得出图示α斜截面的应力为ασ= ，ατ= ，以及max τ= ，max τ的作用面和xx轴的夹角1σ= 。
图8.8图8.9x x图8.108.10用应力圆求出图示单向应力状态的30σ︒= ，60σ-︒= 。
8.11用应力圆求出图示纯剪切应力状态的45σ︒= ，45σ-︒= 。
8.12用应力圆求出图示单元体的主应力1σ= ，2σ=，3σ=；正负45°斜截面上的正应力45σ︒= ，45σ-︒= 。
τ图8.11x图8.12x8.13图示单元体α截面上的应力为ασ= ，ατ= 。
8.14一点处的应力状态如图所示。
已知斜面上的正应力为零，切应力ατ=20MPa，两个主应力之和为13σσ+=100MPa。
试画出应力圆，并求得xσ= ，yσ= ，xτ= 。
图8.13x2图8.148.15图示各单元体的应力单位均为MPa ，它们的主应力和最大切应力分别是：（a ）1σ= ，2σ= ，3σ= ，max τ= 。
（b ）1σ= ，2σ= ，3σ= ，max τ= 。
（c ）1σ= ，2σ= ，3σ= ，max τ= 。
（d ）1σ= ，2σ= ，3σ= ，max τ=。
( d )图8.15( a )( b )( c )8.16试用应力圆求图示单元体的1σ= ，2σ= ，3σ= ，max τ= ；由x 轴转至1σ方向的夹角0α= ；该单元体是向应力状态。
8.17图示三个单元体，它们的最大切应力相等的是（）。
图中应力单位为MPa 。
（A ）a 和b（B ）b 和c （C ）a 和c（D ）a 、b 和c( c )( b )( a )图8.17x8.18下列单元体中，与图示应力圆不相对应的为（ ）。
图8.18( A )( B )( C )( D )8.19图示单元体的主应力1σ= ，2σ= ，3σ= ，最大切应力max τ= 。
8.20图示单元体的最大切应力max τ=。
图8.2060M P a8.21已知图示二向应力状态的主应变1ε、2ε和材料的泊松比μ，则主应变3ε应是（ ）。
（A ）()12μεε+ （B ）()12μεε-+ （C ）()121μεεμ-+- （D ）()121μεεμ+-8.22图示纯剪切应力状态沿z 方向的线应变z ε为（ ）。
（A ）0z ε> （B ）0z ε= （C ）0z ε≤ （D ）不能确定8.23设图示平面应力状态的0σ≠，0τ≠，则下列结论中正确的是（ ）。
（A ）10σ>，20σ=，30σ< （B ）10σ≥，20σ=，30σ≤ （C ）10ε>，20ε=，30ε< （D ）10ε≥，20ε=，30ε≤图8.21图8.228.24设上题中材料的弹性模量为E ，泊松比为μ，则与x 轴成45°方向的正应力n σ和线应变n ε为（ ）。
（A ）2n σστ=+，12n E σετ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）2n σστ=-，12n E σετ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C ）2n σστ=+，112n E E μμεστ-+=+（D ）2n σστ=-，112n E Eμμεστ-+=- x图8.23图8.25x8.25单向应力状态如图所示，材料的弹性常数为E 、μ，则沿30°方向的线应变为（ ）。
（A ）30cos302EE σε︒=︒=（B ）30cos30cos602E E E σμσμεσ︒=︒-︒= （C ）()30603034E Eσμσσεμ︒-︒︒-==-（D ）()30603034EEσμσσεμ︒-︒︒+==+8.26图示单向应力状态单元体，x 方向的线应变为x ε，μ为材料的泊松比。
与x 方向成α角方向的正应力ασ= ，与x 方向成90α+︒角方向的正应力90ασ+︒= ，则α角方向的线应变αε与线应变x ε的关系是 。
8.27平面应力状态如图所示。
已知E =206GPa 、μ=0.28，则x 方向的线应变是（ ）。
（A ）4330 1.4561020610x x E σε-===⨯⨯ （B ）4330 1.4561020610x x E σε-==-=-⨯⨯ （C ）43300.2850 2.1361020610x yx Eσμσε----⨯===-⨯⨯ （D ）43300.28500.7771020610x yx Eσμσε---⨯===-⨯⨯x图8.26x8.28纯剪切应力状态如图所示。
已知τ和材料的弹性常数为E 、μ，则45°方向的线应变为（ ）。
（A ）因为0x y εε==，所以450ε︒= （B ）因为45στ︒=-，所以45Eτε︒=-（C ）因为4545σστ︒-︒=-=-，所以4545451EEσμσμετ︒-︒︒-+==-（D ）因为4545σστ︒-︒=-=，所以4545451EEσμσμετ︒-︒︒-+==8.29平面应力状态如图所示。
已知σ、τ和材料的弹性常数为E 、μ，则45°方向的线应变为（ ）（A ）因为x E σε=，所以45cos 45x E σε︒=︒ （B ）因为452σστ︒=-，所以4512E σετ︒⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （C ）因为452σστ︒=-，452σστ-︒=+，所以454545112EE Eσμσμμεστ︒-︒︒--+==- （D ）因为452σστ︒=-，452σστ-︒=+，所以4545452E Eσσσε︒-︒︒+==8.30已知钢圆杆材料的材料的弹性常数为E 、μ，直径d 。
在轴向拉力P 作用时，测得沿m -m 方向线应变ε（图a ），试求轴力P 。
8.31厚壁玻璃杯因沸水倒入而破裂，破裂的过程应是（ ）。
（A ）内、外壁同时破裂 （B ）内壁先裂 （C ）壁厚的中间先裂 （D ）外壁先裂8.32某低碳钢受力构件危险点的应力状态近似为三向等值拉伸。
（1）该危险点的破坏式应是（ ）。
（A ）屈服 （B ）脆性断裂 （C ）剪断 （D ）韧性断裂 8.33在钢管混凝土柱的两端施加均布压力（图a ），管内的混凝土处于 应力状态。
因此钢管混凝土柱较一般混凝土柱（图b ）的承压能力 。
图8.28图8.29图8.33图8.348.34根据第三强度理论，图中所示两种应力状态的危险程度应是（ ）。
图中应力单位均为MPa 。
（A ）两者相同 （B ）a 更危险 （C ）b 更危险 （D ）无法判别8.35用低碳钢制成的构件受载时，其中有两点的应力状态分别如图（a ）、（b ）所示。
在用第四强度理论比较两者的危险程度时，应是（ ）。
（A ）a 更危险 （B ）b 更危险（C ）两者同样危险 （D ）不能判断8.36对于图示应力状态，按第三强度理论的相当应力3r σ= 。
8.37对于图示应力状态，按第四强度理论的相当应力3r σ= 。
图8.36图8.37τ=σ/28.38四种应力状态的单元体如图所示（图中应力单位均为MPa ）。
按最大切应力理论，他们的相当应力分别为：（a ）3r σ= ，（b ）3r σ= ，（c ）3r σ= ，（d ）3r σ= 。
图8.38( d )( c )( b )( a )图8.35( b )( a )。
应力状态分析与强度理论-习题与答案
（A）受力构件横截面上各点的应力情况
（B）受力构件各点横截面上的应力情况
（C）构件未受力之前，各质点之间的相互作用力状况
（D）受力构件内某一点在不同横截面上的应力情况
2、一实心均质钢球，当其外表面迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态是（）
（A）单向拉伸应力状态（B）平面应力状态
（A）铸铁为塑性材料
（B）铸铁在三向压应力状态下产生塑性变形
（C）铸铁在单向压应力作用下产生弹性变形
（D）材料剥脱
7、混凝土立方试块在作单向压缩试验时，若在其上、下表面上涂有润滑剂，则试块破坏时将沿纵向裂开，其主要原因是（）
（A）最大压应力（B）最大剪应力
（C）最大伸长线应变（D）存在横向拉应力
8、一中空钢球，内径d＝20cm，内压p＝15Mpa，材料的许用应力 ＝160Mpa，则钢球壁厚t只少是（）
（A）t＝47㎜（B）t＝2.34㎜
（C）t＝4.68㎜（D）t＝9.38㎜
9、将沸水注入厚玻璃杯中，有时玻璃杯会发生破裂，这是因为（）
（A）热膨胀时，玻璃杯环向线应变达到极限应变，从内、外壁同时发生破裂
（B）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从外壁开始破裂
（C）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从内壁开始破裂
（D）水作用下，玻璃杯从杯底开始破裂
因圆柱与钢筒之间的空隙 ，而 > ，故圆柱受钢筒弹性约束。设柱与筒之间的作用力为p，则铝柱中各点处主应力为
钢筒中各点处主应力为
设铝柱和钢筒的径向应变分别为 ，变形协变条件为
即
于是
得
p＝2.74Mpa
故钢筒周向应力为
即
得
所以则其相当应力为
由于 <0.5
08应力状态分析3广义胡克定律与强度理论土
一、二向应力状态下的胡克定律
1 x y E 1 y y x E
x
二、三向应力状态下的胡克定律
x
1 y y z x E 1 z x y z E
所以，该梁的强度符合要求 ◆ 梁在点 a 处的相当应力要明显大于最大弯曲正应力。这意味着， 对于该梁，仅按最大弯曲正应力作强度计算是不够的。这是因为最 大弯曲正应力发生在梁的上、下边缘处，为单向应力状态，而点 a 则处于二向应力状态。
◆ 但需同时指出，在工程实际中，工字形截面梁大都是用工字钢 制作的，这种情况一般不会出现，故直接按最大弯曲正应力和最 大 16 弯曲切应力分别进行强度计算即可。
15
2
a 2 1 a 2 2
a
2
2 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
a
2 a 2 2
a
2
根据第三强度理论校核点 a 强度
2 2 r3 1 3 a 4 a 151MPa [ ] 160 MPa
[例5] 一钢制构件，其危险点的应力状态如图，已知材料的许用应
力 [ ] = 120 MPa，试校核此构件的强度。
20 MPa
解： 由于构件为钢制（塑性材料）， 且危险点处于二向应力状态，故应采 用第三或第四强度理论进行强度计算
40MPa 40MPa
1）计算主应力
x 40MPa
由解析法，得
说明： 1）强度理论适用于所有应力状态。 2）一般情况下，第一、第二强度理论适用于脆性材料；第三、第 四强度理论适用于塑性材料。
大连理工大学 工程力学 19应力状态8-1
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方位面？
过一点不同方向面上应力的集合，
称为这一点的应力状态 State of the
Stresses of a Given Point
三、一点应力状态的描述
1. 微 元体
Element
dz
（又称应力单元体）
特点： （1）正六面体；
yx dAsin sin
y dAsin cos
yx t
y
0
整理后得到
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
x
y
2
sin
2
xy
cos 2
y
有界、周期函数
x
xy
一定存在极值
求主应力的极值
d—— = 0 d
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
0
即在=0的平面，记为0平面
x
2
y
sin
20
xy
x
n
x
yx t
y
Fn 0
dA
dA x d Acos cos xy
n
xy d Acos sin
x
α
α
x
yx dAsin cos
y dAsin sin
yx t
y
0
Ft 0
dA
n
dA x d Acos sin xy d Acos cos
xy
x
α
α
x
Principal planes
应力状态和强度理论
第十一章应力状态和强度理论【学时】6（其中习题课2）内容：应力状态的概念，单元体，主应力和主平面；应力状态的分类。
二向应力状态下的应力分析——解析法，斜截面上的应力，主应力和主平面的确定。
三向应力状态的举例与（简单）分析，最大正应力。
广义虎克定律；比能，体积改变比能和形状改变比能。
强度理论的概念；最大拉应力理论；最大伸长线应变理论；最大剪应力理论；形状改变比能理论；相当应力；各种强度理论的使用范围。
【基本要求】1．理解应力状态、单元体、主应力和主平面的概念[2]。
2．了解应力状态的分类[3]。
3．掌握二向应力状态下应力分析的解析法[1]。
4．掌握斜截面上的应力，主应力和主平面的确定[1]。
5．掌握广义虎克定律[1]。
6．了解体积改变比能和形状改变比能[3]。
7．理解强度理论的概念[2]。
8．掌握四个常用强度理论[1]。
9．了解各种强度理论的使用范围[3]。
【重点】平面应力状态的解析法，广义虎克定律，四个常用强度理论【难点】应力状态的概念，强度理论的概念。
§11–1 概述 【问题的提出】拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件[][]ττσσ≤≤max max对于更复杂的受力状态， 如图中A 截面上的a 点? ①全面研究一点处各截面的应力——应力状态理论的任务。
②材料在复杂应力状态下的破坏规律——强度理论的任务。
§11–2 平面应力状态的应力分析 【问题的提出】铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？低碳钢PP 铸铁拉伸铸铁压缩 铸铁一、应力状态的概念1．一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况集合。
2．研究方法：取单元体为研究对象①单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点②单元体的性质——a、同一面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。
例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
zBCx 3．平面应力状态：只在四个侧面上作用由应力。
x二、斜截面上的应力【分析方法】：利用 α 斜截面截取的微元局部的平衡。
高等教育出版社简明材料力学第二版 第八章 应力状态分析和强度理论分析
1 150 MPa, 2 75 MPa,
3 0
2018/10/12 15
8-2 二向和三向应力状态的实例
火车车轮与钢轨的接 触点也是三向应力状态
A
滚 珠 轴 承
2 A
3
1
2018/10/12
16
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
则斜截面面积为： A Aα = cos α F F cosα F pα cos σ cosα Aα A A
σ σα = pα cosα =σ cos α τ α = pα sin α = σ sin α cos α = sin 2α 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面 上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
10
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
8-3 二向应力状态分析
考虑到切应力互等定理：τxy=τyx
xy
x y
yx
x y
x y
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
第8章(强度理论)
断裂失效断裂失效屈服失效屈服失效断口处材料颗粒状断口处材料颗粒状断口处材料片状断口处材料片状材料失效单向应力状态的试验结果单向应力状态的试验结果关于材料破坏规律的假说，一般假设材料不同应力状态下同种失效由同种因素引起的。
关于材料破坏规律的假说，一般假设材料不同应力状态下同种失效由同种因素引起的。
引起失效的因素已知引起失效的因素已知同种失效引起的因素是相同的同种失效引起的因素是相同的建立复杂应力状态下的强度条件建立复杂应力状态下的强度条件强度理论一、最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂是最大拉应力引起，即最大拉应力达到某一极限值时材料发生断裂。
材料发生断裂是最大拉应力引起，即最大拉应力达到某一极限值时材料发生断裂。
1.第一强度理论的计算准则单向应力状态max bσσ=最大拉应力最大拉应力b σ=复杂应力状态max u σσ=材料断裂失效材料断裂失效bσ=引起失效的因素max 1σσ=1bσσ=max u σσ=?=1bσσ=[]1σσ≤2.第一强度理论的的应用与局限材料无裂纹脆性断裂失效形式（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
材料无裂纹脆性断裂失效形式（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
没考虑σ2、σ3 对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
没考虑σ2、σ3 对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
第一强度理论的断裂准则第一强度理论的强度条件二、最大拉应变理论（第二强度理论）材料发生断裂是最大拉应变引起，即最大拉应变达到某一极限值时材料发生断裂。
材料发生断裂是最大拉应变引起，即最大拉应变达到某一极限值时材料发生断裂。
1.第二强度理论的计算准则b max E σε=单向应力状态b σσ=最大拉应变最大拉应变b E σ=材料断裂失效材料断裂失效引起失效的因素max u εε=?=123max ()E σµσσε−+=b u E σε==123b()σµσσσ−+=b max Eσε=单向应力状态b σσ=最大拉应变最大拉应变b E σ=材料断裂失效材料断裂失效引起失效的因素max u εε=?=复杂应力状态材料断裂失效材料断裂失效2.第二强度理论的的应用与局限123b()σµσσσ−+=[]123()σµσσσ−+≤与极少数的脆性材料在某些受力形式下的实验结果吻合。
材料力学课件 第八章应力状态与强度理论
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
7工程力学(下)—应力状态和强度理论1
σα =
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
7.2 平面应力状态
对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为 对于斜截面的切线 参考轴列平衡方程为 ΣFt = 0, τ α d A − (σ x d A cos α ) sin α − (τ x d A cos α ) cos α + (σ y d A sin α ) cos α
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ x sin 2α
τα =
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α
2 求正应力的极值
σ x −σ y dσ α = −2[ sin 2α + τ x cos 2α ] = 0 令: dα 2
比较可知, 极值正应力所在的平面, 比较可知 极值正应力所在的平面 就是切应力 τα为零的平面。这个切应力等于零的平面 叫做 为零的平面。这个切应力等于零的平面, 主平面, 主平面上的正应力, 叫做主应力。也就 主平面 主平面上的正应力 叫做主应力。 主应力 是说, 在通过某点的各个平面上, 是说 在通过某点的各个平面上 其中的最大正 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 表示主平面的法线n与 轴间的夹角 轴间的夹角, 以α0表示主平面的法线 与x轴间的夹角 由上式 可得 −2τ x tan 2α 0 = σ x −σ y
σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − 2τ x sin α cos α
又由三角关系: 又由三角关系
8应力状态和强度理论
3
40
max 1 3 3) 40 .3MPa min 2
1
20 14.9o 30
1
单位：MPa
3
例3 简支梁如图所示.已知mm 截面上 A 点的弯曲 正应力和切应力分别为 =-70MPa， =50MPa . 确定: A 点的主应力及主平面的方位 . m A
y =60 MPa
xy = -50MPa =-30°
45 135
0
22.5 67.5
因为 x < y ，所以 0= -22.5° 与 min 对应
x y 2 2 max x y 80.7 MPa ( ) xy 2 2 60.7 MPa min
若 0 时，能使 d 0 d
x y
2
sin 2 0 x cos 2 0 0
最大正应力和最小正应力所在平面就是主平面 , 最大正应力和最小正应力就是两个主应力。
tan 2 0
2 xy
x y
0 、 0 90 , 它们确定两个互相垂直
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
2
2 ) 2 xy
( x a) y 0 R 2
2
因为 x ，y ，xy 皆为已知量, 所以上式是一个以 , 为变量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。 1. 圆心的坐标
即：最大和最小剪应力所在平面与 主平面的夹角为45
例2 图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力； ②主应力并画出主单元体；③极值切应力。