认识二次函数
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像二次函数和抛物线是数学中重要的概念，它们与许多实际问题有着密切的关联。
了解二次函数和抛物线的特征和像，对于我们解决实际问题以及应用数学知识具有重要的意义。
本文将介绍二次函数和抛物线的基本概念、性质以及它们在实际中的应用。
1. 二次函数的基本概念我们首先来了解一下二次函数的基本概念。
二次函数是指形如f(x)= ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。
b和c则分别决定了二次函数的对称轴和纵轴截距。
2. 抛物线的特征和像抛物线是一种特殊的二次函数图像，它具有许多独特的特征。
首先，抛物线是关于对称轴对称的，对称轴是二次函数的一个重要特征，可以通过b/(-2a)来计算得出。
其次，抛物线的开口方向由二次函数的系数a决定，开口向上的抛物线具有最小值，开口向下的抛物线具有最大值。
最后，抛物线还包括了顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过对称轴计算得出。
3. 二次函数和抛物线的应用二次函数和抛物线在许多实际问题中都有广泛的应用。
比如，在物理学中，抛物线可以描述抛体的运动轨迹；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、利润等与产量和价格相关的变量；在工程学中，抛物线可以用来设计各种曲线形状的结构等等。
4. 二次函数和抛物线的图像二次函数和抛物线的图像通常可以通过绘制函数的图像来展示。
在绘制图像时，我们可以确定对称轴、顶点以及开口方向，然后通过描点法或利用平移和拉伸等变换来绘制出完整的抛物线图像。
通过观察图像，我们可以获得更直观的信息，更好地理解二次函数和抛物线的特征。
总结：本文介绍了二次函数和抛物线的基本概念，包括二次函数的定义及其系数的意义，抛物线的对称轴、开口方向和顶点等特征。
我们还探讨了二次函数和抛物线在实际中的应用，并提到了通过绘制图像可以更好地理解这些概念和特征。
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
二次函数的概念与性质
二次函数的概念与性质二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有广泛的应用。
本文将对二次函数的概念和性质进行详细的介绍，让我们一同探索二次函数的奥秘。
一、二次函数的概念二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，b决定了二次函数的对称轴位置，c则表示二次函数的纵坐标偏移量。
二次函数的自变量x可以取任意实数。
二次函数的图像通常为一条平滑的曲线，这条曲线可以是开口朝上的“U”型曲线，也可以是开口朝下的“∩”型曲线。
根据a的正负性质，我们可以确定二次函数的开口方向。
二、二次函数的性质1. 零点及交点：二次函数的零点就是方程f(x) = 0的解，等于函数曲线与x轴的交点。
要确定二次函数的零点，可以通过解关于x的二次方程来求得。
若二次函数有零点，那么它的图像与x轴必有交点；反之，若无零点，则图像与x轴不相交。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是其图像关于某一直线的对称轴。
对称轴的横坐标为x = -b/2a，纵坐标则由该点代入函数得到。
3. 最值点：二次函数的最值点是函数图像的顶点或底点，也就是函数曲线的极值点。
对于开口朝上的二次函数，顶点即为最小值点；对于开口朝下的二次函数，底点即为最大值点。
4. 单调性：二次函数的单调性与a的正负有关。
当a > 0时，二次函数呈现开口朝上的“U”型，并且在对称轴两侧是递增的；当a < 0时，二次函数呈现开口朝下的“∩”型，并且在对称轴两侧是递减的。
5. 范围：二次函数的范围即为函数图像在y轴上的取值范围。
对于开口朝上的二次函数，范围为y ≥ 最小值；对于开口朝下的二次函数，范围为y ≤ 最大值。
6. 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac可以用来判断二次方程ax² + bx + c = 0的解的性质。
若Δ > 0，方程有两个不相等的实根；若Δ = 0，方程有两个相等的实根；若Δ < 0，方程无实根。
小学数学认识简单的二次函数
小学数学认识简单的二次函数二次函数是数学中的重要概念之一，它是一种特殊的代数函数。
在小学数学中，二次函数的认识相对简单，我们可以从以下几个方面来介绍。
一、什么是二次函数二次函数是指一个函数的函数表达式可以写成 $y=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，并且 $a\neq0$。
在这个函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。
其中的 $a$ 决定了二次函数的开口方向和开口大小，$b$ 决定了二次函数的对称轴，$c$ 决定了二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的图像特征对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$，我们可以通过绘制函数的图像来了解它的特点。
当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上；当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下。
决定开口方向的 $a$ 的绝对值越大，开口越大。
对于二次函数的对称轴，我们可以通过计算 $x=-\frac{b}{2a}$ 来得到。
对称轴是二次函数图像上的一条线，用来将图像分成两个对称的部分。
另外，二次函数的顶点是图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标为 $-\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f(-\frac{b}{2a})$。
三、二次函数在几何中的应用1. 面积计算：当一个平面图形的边缘为二次函数的图像时，我们可以通过计算该二次函数在两个给定的横坐标之间的定积分来求得图形的面积。
2. 抛物线：二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状。
抛物线在物理学、建筑学等领域中有着广泛的应用，如喷泉的水流轨迹、拱形门的设计等。
四、小学数学中的二次函数教学在小学数学教学中，二次函数的概念并不是直接教授给学生，而是通过计算函数对应的 $x$ 和 $y$ 的值，探究二次函数的特点。
教师可以利用图形绘制软件或手工绘图，让学生观察二次函数图像与各个参数的关系，进而培养学生的观察力和分析能力。
针对小学生的认知能力和数学水平，在教学过程中应注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。
初中二次函数知识点
初中二次函数知识点二次函数是数学中非常重要的一种函数形式，也是初中数学学习的一个重要知识点。
本文将为大家详细介绍二次函数的相关概念、性质和应用。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如 y=ax²+bx+c （其中a、b、c为常数，且a≠0）的函数。
其中x为自变量，y为因变量。
二次函数的一般形式表达了一个二次函数的特征：由一个二次幂项、一个一次项和一个常数项构成。
其中，二次幂项的系数a决定了函数的开口方向、形状和平移等属性；一次项的系数b决定了函数的位置和方向性；常数项c则决定了函数的纵向平移。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向当二次函数的二次幂项系数a大于0时，函数的图像开口向上，形状类似于一个“U”字形，称为正向的。
当二次幂项系数a小于0时，函数的图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字形，称为反向的。
2. 顶点二次函数的顶点是图像的最低或最高点，其横坐标为-b/2b。
顶点的纵坐标则根据二次函数的形状而定，当a>0时为最小值，当a<0时为最大值。
3. 对称轴二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，经过顶点。
对称轴的方程为x=-b/2a。
4. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即满足函数值为0的x值。
求解零点可以通过关于x的二次方程的解得到。
5. 范围和值域二次函数的范围取决于开口方向，当a>0时，范围是y≥最小值；当a<0时，范围是y≤最大值。
值域则为最小值到正无穷或最大值到负无穷的闭区间。
三、二次函数的常见变形1. 常数项的变形在二次函数的一般形式中，常数项c可以使函数图像上下平移，比如y=ax²+bx+c+3，就是原函数图像向上平移3个单位。
2. 一次项的变形一次项的系数b决定了函数图像的斜率和位置。
如果b>0，则图像向右倾斜；如果b<0，则图像向左倾斜。
3. 二次幂项的变形二次幂项的系数a决定了函数图像的开口方向和形状。
第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系(教案)
- a决表图象与y轴的交点。
（2）二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向。
-顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，是图象的最高点或最低点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的图象与系数的关系，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和实数根等基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-对称轴x=-b/2a，是图象的对称中心。
-开口方向由a的正负决定。
（3）二次函数实数根的判定：通过判别式Δ=b^2-4ac来判断实数根的个数。
- Δ>0，有两个实数根；
- Δ=0，有一个实数根；
- Δ<0，无实数根。
2.教学难点
（1）理解系数a、b、c对二次函数图象的综合影响。
-难点举例：当a、b、c同时变化时，如何判断图象的开口方向、对称轴和顶点坐标的变化。
第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章“二次函数”中的“二次函数的图象与系数的关系”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
2.二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与系数的关系：
- a>0时，图象开口向上；a<0时，图象开口向下。
二次函数课件 二次函数PPT
y 2(x 2)2 3
向右平移
向下平移3
2个单位
个单位
y 2x2 向左平移 y 2(x 2)2 向上平移3 y 2(x 2)2 3
2个单位
个单位
（检测学生对该节课的掌握程度，并对该节课的内 容进行巩固。）
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我 们可以利用配方法推导出它的对称轴和 顶点坐标.
画图： 步骤：列表，描点，连线（光滑曲线）
y 3x2 y 3(x 1)2
老师指导学生按照步 骤画出图像，然后让 他们互相讨论，再做 总结，让学生在动手 操作中的过程中学到 知识，感受学习带来 的乐趣。
观察两个图形有什么关系？
老师给予适当的提示，引发学生思考，培养学生勤于思考的习惯。
函数 y 3x2 的图像
式是（A）
4
A、y 1 (x 2)2 2
4
B、y
1 4
(x
2)2
2
C、y 1 (x 2)2 2 4
D、y
1 4
(x
2)2
2
3、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图 象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴 整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.
用“三个特殊点”来认识二次函数
用“三个特殊点”来认识二次函数函数揭示变量之间的关系，函数图象揭示函数各自的特征。
函数是高中数学的主线，而二次函数是高中数学的传统经典内容，它具有丰富的内涵和外延，通过对它的研究可以把数和形有机地融合起来，使数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、函数和方程的思想方法得到充分的发挥，它沟通了函数、方程、不等式、曲线等知识之间的内在联系，使数学知识的综合运用得到很好的体现。
那么如何有效地来学习二次函数知识呢？我们知道函数的性质与它的图象密不可分，那么二次函数的图象上有哪些特殊点呢？一、二次函数图象上最关键的点——顶点在二次函数的教学和学习时，通常是从最简单的二次函数y=ax2开始去研究其图象的特征和性质，有函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性和最值等等。
关键是从图象入手来认识函数的基本性质，我们可以看到它的性质其实就是围绕着顶点的横坐标和纵坐标来展开的。
而接下来的扩展型y=ax2+k和y=a（x-h）2的图象的特征和性质，通过具体作图感受图象的特征及形状后，发现图象还是抛物线，只是顶点和对称轴发生了变化，顶点的变化才是关键，函数y=ax2+k的图象是由y=ax2向上或者向下平移k个单位而得，顶点由（0,0）移动到了（0，k），所以最值由0变为k，其余则不变；函数y=a（x-h）2的图象是由y=ax2向左或者向右平移h个单位而得，顶点由（0，0）移动到了（h，0），从而对称轴变为直线x=h。
我们始终抓住顶点的变化和对称轴位置的所在，紧密联系其图象，可以很明显地看到这两个扩展型函数的性质和特征还是围绕顶点的两个坐标展开的。
对于顶点式就更显而易见了，顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），除了开口方向其余特征和性质都与h或k有关。
而一般式y=ax2+bx+c也可以通过配方法或者公式法得到它的顶点坐标为（- ，）。
这样一系列的学习调理清晰、层层递进、主题突出，紧紧抓住顶点，对二次函数的学习有很大的帮助。
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认识二次函数
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认识二次函数
教学
目标知识与技能1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义;2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质;[
3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题;
过程与方法通过画二次函数的图象，提高动手能力;
经历画图、观察、分析、总结、归纳的过程，总结出二次函数的性质.
情感态度价值观体会数形结合的思想方法;
重点二次函数的图象和性质;
难点函数性质的应用.
教学流程安排
活动说明活动目的
活动1 回顾一次函数
活动2二次函数概念学习
活动3解析
活动4观察
活动5布置作业为二次函数的学习做准备
学二次函数的有关概念
巩固二次函数
小结复习
加强练习
课前准备
教具学具补充材料
电脑、投影仪课件资源、投影仪
教学过程设计
问题与情景师生行为设计意图
活动1：
1.我们以前学过函数，函数是用来描述一个量与另一个量之间的对应关系的，大家回忆一下，我们到现在都学过哪些函数?
2.请描述一下你对一次函数、反比例函数是如何理解的.
3.在现实生活中，我们除了接触到一次函数、反函数，我们还会遇到另外一种函数二次函数，现在我们就来认识二次函数.
活动2：
我们看引言中正方体的表面积的问题.
正方体的六个面是全等的正方形(图26.11)，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对
应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为
y=6x2①
我们再来看几个问题.
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系?
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎么样表示?
小组讨论，引导学生找出其中的量与量之间的关系，列出函数式.
活动3：解析
问题1 由图26.12可以想出，如果多边形有n条边，那么它有________个顶点.从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可以作_________条对角线.
因为像线段MN与NM那样，连接相同两顶点的对角线是同一条对角线，所以多边形的对角线总数
即
②式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系，对于n的每一个值，d都有一个对应值，即d是n的函数.
问题2 这种产品的原产量是20件，一年后的产量是
_________件，再经过一年后的产量是_________件，即两年后的产量为
y=20(1+x)2,
即
y=20x2+40x+20.③
③ 式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
活动4：观察
函数①②③有什么共同点?与我们已学过的正比例函数，反比例函数和一次函数有什么不同?
在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，形如
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)
的函数，叫做二次函数(quadratic function).其中，x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
现在我们学习过的函数有：一次函数y=ax+b(a0),其中包括正比例函数y=kx(k0),反比例函数和二次函数
y=ax2+bx+c(a0).
可以发现，这些函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系.
活动5：练习
1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r
之间的关系式.
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛场次数m与球队数n之间的关系式.
活动6：小结
学生讨论，总结出本节所学的知识.师引导设问
学生回答
师引导设问
学生活动：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k0)的函数是一次函数，例如：y=2x+1，y=x等都是一次函数.形如y= (k0)的函数就是反函数，例如：y= .
引导设问
学生解答，教师点评
学生解答教师点评
学生解答教师巡视指导
学生解答教师点评
学生回答教师点评
学生解答教师点评
并给予鼓励
生回答问题，教师点评.
学生讨论回忆到现在都学过的函数
回忆一次函数、反比例函数的概念
引出二次函数
从实际情境中感受二次函数
认识二次函数
加深对二次函数的认识
学二次函数的概念
加深一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的认识
对二次函数的概念进行巩固
总结本节知
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