认识二次函数
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像二次函数和抛物线是数学中重要的概念，它们与许多实际问题有着密切的关联。
了解二次函数和抛物线的特征和像，对于我们解决实际问题以及应用数学知识具有重要的意义。
本文将介绍二次函数和抛物线的基本概念、性质以及它们在实际中的应用。
1. 二次函数的基本概念我们首先来了解一下二次函数的基本概念。
二次函数是指形如f(x)= ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。
b和c则分别决定了二次函数的对称轴和纵轴截距。
2. 抛物线的特征和像抛物线是一种特殊的二次函数图像，它具有许多独特的特征。
首先，抛物线是关于对称轴对称的，对称轴是二次函数的一个重要特征，可以通过b/(-2a)来计算得出。
其次，抛物线的开口方向由二次函数的系数a决定，开口向上的抛物线具有最小值，开口向下的抛物线具有最大值。
最后，抛物线还包括了顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过对称轴计算得出。
3. 二次函数和抛物线的应用二次函数和抛物线在许多实际问题中都有广泛的应用。
比如，在物理学中，抛物线可以描述抛体的运动轨迹；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、利润等与产量和价格相关的变量；在工程学中，抛物线可以用来设计各种曲线形状的结构等等。
4. 二次函数和抛物线的图像二次函数和抛物线的图像通常可以通过绘制函数的图像来展示。
在绘制图像时，我们可以确定对称轴、顶点以及开口方向，然后通过描点法或利用平移和拉伸等变换来绘制出完整的抛物线图像。
通过观察图像，我们可以获得更直观的信息，更好地理解二次函数和抛物线的特征。
总结：本文介绍了二次函数和抛物线的基本概念，包括二次函数的定义及其系数的意义，抛物线的对称轴、开口方向和顶点等特征。
我们还探讨了二次函数和抛物线在实际中的应用，并提到了通过绘制图像可以更好地理解这些概念和特征。
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
二次函数的概念与性质
二次函数的概念与性质二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有广泛的应用。
本文将对二次函数的概念和性质进行详细的介绍，让我们一同探索二次函数的奥秘。
一、二次函数的概念二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，b决定了二次函数的对称轴位置，c则表示二次函数的纵坐标偏移量。
二次函数的自变量x可以取任意实数。
二次函数的图像通常为一条平滑的曲线，这条曲线可以是开口朝上的“U”型曲线，也可以是开口朝下的“∩”型曲线。
根据a的正负性质，我们可以确定二次函数的开口方向。
二、二次函数的性质1. 零点及交点：二次函数的零点就是方程f(x) = 0的解，等于函数曲线与x轴的交点。
要确定二次函数的零点，可以通过解关于x的二次方程来求得。
若二次函数有零点，那么它的图像与x轴必有交点；反之，若无零点，则图像与x轴不相交。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是其图像关于某一直线的对称轴。
对称轴的横坐标为x = -b/2a，纵坐标则由该点代入函数得到。
3. 最值点：二次函数的最值点是函数图像的顶点或底点，也就是函数曲线的极值点。
对于开口朝上的二次函数，顶点即为最小值点；对于开口朝下的二次函数，底点即为最大值点。
4. 单调性：二次函数的单调性与a的正负有关。
当a > 0时，二次函数呈现开口朝上的“U”型，并且在对称轴两侧是递增的；当a < 0时，二次函数呈现开口朝下的“∩”型，并且在对称轴两侧是递减的。
5. 范围：二次函数的范围即为函数图像在y轴上的取值范围。
对于开口朝上的二次函数，范围为y ≥ 最小值；对于开口朝下的二次函数，范围为y ≤ 最大值。
6. 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac可以用来判断二次方程ax² + bx + c = 0的解的性质。
若Δ > 0，方程有两个不相等的实根；若Δ = 0，方程有两个相等的实根；若Δ < 0，方程无实根。
小学数学认识简单的二次函数
小学数学认识简单的二次函数二次函数是数学中的重要概念之一，它是一种特殊的代数函数。
在小学数学中，二次函数的认识相对简单，我们可以从以下几个方面来介绍。
一、什么是二次函数二次函数是指一个函数的函数表达式可以写成 $y=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，并且 $a\neq0$。
在这个函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。
其中的 $a$ 决定了二次函数的开口方向和开口大小，$b$ 决定了二次函数的对称轴，$c$ 决定了二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的图像特征对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$，我们可以通过绘制函数的图像来了解它的特点。
当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上；当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下。
决定开口方向的 $a$ 的绝对值越大，开口越大。
对于二次函数的对称轴，我们可以通过计算 $x=-\frac{b}{2a}$ 来得到。
对称轴是二次函数图像上的一条线，用来将图像分成两个对称的部分。
另外，二次函数的顶点是图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标为 $-\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f(-\frac{b}{2a})$。
三、二次函数在几何中的应用1. 面积计算：当一个平面图形的边缘为二次函数的图像时，我们可以通过计算该二次函数在两个给定的横坐标之间的定积分来求得图形的面积。
2. 抛物线：二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状。
抛物线在物理学、建筑学等领域中有着广泛的应用，如喷泉的水流轨迹、拱形门的设计等。
四、小学数学中的二次函数教学在小学数学教学中，二次函数的概念并不是直接教授给学生，而是通过计算函数对应的 $x$ 和 $y$ 的值，探究二次函数的特点。
教师可以利用图形绘制软件或手工绘图，让学生观察二次函数图像与各个参数的关系，进而培养学生的观察力和分析能力。
针对小学生的认知能力和数学水平，在教学过程中应注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。
小学数学教案认识简单的二次函数
小学数学教案认识简单的二次函数教案教案标题：认识简单的二次函数教学目标：1. 了解什么是二次函数及其基本特点2. 能够识别二次函数的图像和标准形式方程3. 掌握二次函数的平移、拉伸和翻转规律4. 能够应用二次函数解决实际问题教学准备：1. 教材：小学数学教材2. 教具：白板、黑板、彩色粉笔、数学作业本、直尺、圆规教学步骤：一、导入 (10分钟)老师向学生提问：“你们知道什么是函数吗？请举例说明。
” 老师倾听学生的回答，并纠正或补充他们的答案。
接着，老师展示一个图形，并问学生：“这是一个什么图形？它是通过哪个方程来描述的呢？” 引导学生思考和回答。
最后，引出今天的主题：二次函数。
二、理论讲解 (20分钟)1. 介绍二次函数的定义和标准形式方程：y = ax^2 + bx + c。
讲解方程中各项的含义，并解释a、b、c对图像的影响。
2. 展示二次函数的图像，解释二次函数的对称轴、顶点、开口方向等基本特点。
引导学生观察图像并发现规律。
3. 通过实例讲解如何通过已知的标准形式方程识别二次函数的图像，并求得对称轴、顶点等信息。
三、示范演练 (15分钟)1. 老师以一个具体的例子，如 y = x^2 为模板，让学生自行探索和练习填写其他二次函数的标准形式方程，并绘制出对应的图像。
2. 指导学生观察、比较和总结不同二次函数图像的特征，如a的正负对开口方向的影响，c对图像的平移等。
四、独立练习 (20分钟)1. 发放练习册或试卷，让学生独立完成一些关于二次函数的基本练习题，包括标准形式方程的确定和图像的绘制。
2. 教师巡回指导，关注学生的思路和解题方法，及时纠正错误或给予帮助。
五、拓展应用 (20分钟)1. 将二次函数应用于实际问题，如抛物线的运动轨迹、抛物线天桥的建设等。
引导学生思考并解决这些实际问题。
2. 带领学生探究二次函数的平移、拉伸和翻转规律，并解释这些规律与图像的关系。
六、归纳总结 (10分钟)1. 教师引导学生回顾本节课的内容，总结二次函数的基本特点和图像绘制方法。
初中二次函数知识点
初中二次函数知识点二次函数是数学中非常重要的一种函数形式，也是初中数学学习的一个重要知识点。
本文将为大家详细介绍二次函数的相关概念、性质和应用。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如 y=ax²+bx+c （其中a、b、c为常数，且a≠0）的函数。
其中x为自变量，y为因变量。
二次函数的一般形式表达了一个二次函数的特征：由一个二次幂项、一个一次项和一个常数项构成。
其中，二次幂项的系数a决定了函数的开口方向、形状和平移等属性；一次项的系数b决定了函数的位置和方向性；常数项c则决定了函数的纵向平移。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向当二次函数的二次幂项系数a大于0时，函数的图像开口向上，形状类似于一个“U”字形，称为正向的。
当二次幂项系数a小于0时，函数的图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字形，称为反向的。
2. 顶点二次函数的顶点是图像的最低或最高点，其横坐标为-b/2b。
顶点的纵坐标则根据二次函数的形状而定，当a>0时为最小值，当a<0时为最大值。
3. 对称轴二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，经过顶点。
对称轴的方程为x=-b/2a。
4. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即满足函数值为0的x值。
求解零点可以通过关于x的二次方程的解得到。
5. 范围和值域二次函数的范围取决于开口方向，当a>0时，范围是y≥最小值；当a<0时，范围是y≤最大值。
值域则为最小值到正无穷或最大值到负无穷的闭区间。
三、二次函数的常见变形1. 常数项的变形在二次函数的一般形式中，常数项c可以使函数图像上下平移，比如y=ax²+bx+c+3，就是原函数图像向上平移3个单位。
2. 一次项的变形一次项的系数b决定了函数图像的斜率和位置。
如果b>0，则图像向右倾斜；如果b<0，则图像向左倾斜。
3. 二次幂项的变形二次幂项的系数a决定了函数图像的开口方向和形状。
人教版九年级数学上《二次函数的图像和性质》知识全解
《二次函数的图像和性质》知识全解课标要求理解二次函数的概念，会根据函数的解析式画出函数的图像，熟练掌握二次函数的图像及性质。
知识结构知识点1：二次函数概念一般地，形如y=ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数.其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.函数的名称反映了函数表达式与自变量的关系.知识点2：2()y a x h k =-+及2y ax bx c =++的图像及性质（1）抛物线2()y a x h k =-+有如下特点：①当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下；②对称轴是直线x=h ；③顶点坐标是（h ，k ）.（2）抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点.一般地，二次函数2y ax bx c =++的图像叫做抛物线2y ax bx c =++，我们可以用配方求抛物线2y ax bx c =++=224()24b ac b a x a a-++的顶点与对称轴.因此，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是2b x a =-、顶点坐标是24(,)24b ac b a a --. 内容解析在本节中，教材首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义.关于二次函数的图像和性质的讨论分为以下几部分.（1）从最简单的二次函数函数2y x =出发，通过描点画出它的图像，从而引出抛物线的有关概念.（2）讲述二次函数2y ax =的图像的画法，并归纳出这类抛物线的特征.（3）讨论形如2y ax k =+和2()y a x h =-的函数的图像，然后讨论形如2()y a x h k =-+的函数的图像.（4）讨论函数2y ax bx c =++的图像.上述讨论过程如图26-1所示：重点难点本节的重点是二次函数的概念，结合具体情境体会二次函数的概念.本节的难点是二次函数图像及其性质.通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律.让学生在自主学习中，通过对多个实例的讨论分析，逐步学会独立分析问题解决问题的能力.在学习过程中要注意联系实际生活的实例，注意二次函数与生活、技术、社会的联系，特别是联系学生身边的生活、现代科技，以激发学生学习的兴趣和提高实践能力.教法导引（1）在二次函数图像的教学中，应让学生充分经历用描点法画函数图像的过程，引导他们从开口方向、开口大小、对称性、最高（低）点等几个方面去认识二次函数的图像，对比各种不同形式及相同形式但所含常数不同时的各种情况，归纳总结出二次函数的性质，从而发现二次函数的性质，更好地理解二次函数的性质.（2）重视从特殊到一般的探索过程,从具体的例子(数值系数的二次函数)研究中注意比较，发现规律,领会方法；（3）注意渗透数学思想方法，在研究图像时注重利用配方法进行化归，在求二次函数的表达式时注意运用待定系数法.学法建议二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验.因此，在学习这一部分知识之前应先复习一下以前所学的一次函数、反比例函数，复习一下这两种函数的概念、图像、性质及应用，以及研究这两种函数的方法.函数图像实现了函数由数到形，由形到数的转化.运用函数的图像来研究函数的性质是学好函数知识的前提.学生亲自动手画函数的图像，感知函数图像与表达式之间的关系，通过观察图像得出函数的性质.学习中，如果能把数与形紧密地结合起来，不仅可以加深对概念的理解、掌握知识之间的内在联系，而且有利于培养观察图形的能力、逻辑思维与抽象思维的能力、以及灵活运用所学知识分析、解决问题的能力.。
《二次函数》教案(优秀7篇)
《二次函数》教案（优秀7篇）《二次函数》教案篇一教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y ＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。
教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b 与抛物线y＝ax2的关系。
教学过程：一、提出问题导入新课1．二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？2．猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？二、学习新知1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗？同学试一试，教师点评。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（既y）之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
师：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗？小组相互说说（一人记录，其余组员补充）2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝1。
3、做一做在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系？ 2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质？四、作业：在同一直角坐标系中，画出 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像五：板书《二次函数》教案篇二1、会用描点法画二次函数=ax2+bx+c的图象。
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课题：34.1 认识二次函数
作者：侯江丽 单位：周各庄初中
教学目标：1.在实际问题情境中，使学生经历探索、分析和建立二次函数的过程，理解
二次函数的表达式。
2.会根据题意列出二次函数的解析式。
3.体验如何用数学的方法去描述变量之间的关系。
教学重点：二次函数的表达式:c bx ax ＋＋＝2y (c b a ,,是常数，a ≠0)
教学难点：二次函数的三个特例：bx ax ＋＝2y （a ≠0）、c ax y ＋＝2（a ≠0）、2
y ax
＝（a ≠0）。
节前预习：
1.下列各代数式中：①2
x －，②x 2，③t ＋2
2，④6m 2
＋,⑤2
3t t －－，⑥
x
5
，⑦123＋＋－x x 是二次式的有 。
2.填写你所学过的函数类型及其表达式 、 、 。
3.自由落体公式2
2
1
gt h ＝(g 为常量)，h 与t 之间的关系是（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.反比例函数。