二次函数的认识
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像二次函数和抛物线是数学中重要的概念，它们与许多实际问题有着密切的关联。
了解二次函数和抛物线的特征和像，对于我们解决实际问题以及应用数学知识具有重要的意义。
本文将介绍二次函数和抛物线的基本概念、性质以及它们在实际中的应用。
1. 二次函数的基本概念我们首先来了解一下二次函数的基本概念。
二次函数是指形如f(x)= ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。
b和c则分别决定了二次函数的对称轴和纵轴截距。
2. 抛物线的特征和像抛物线是一种特殊的二次函数图像，它具有许多独特的特征。
首先，抛物线是关于对称轴对称的，对称轴是二次函数的一个重要特征，可以通过b/(-2a)来计算得出。
其次，抛物线的开口方向由二次函数的系数a决定，开口向上的抛物线具有最小值，开口向下的抛物线具有最大值。
最后，抛物线还包括了顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过对称轴计算得出。
3. 二次函数和抛物线的应用二次函数和抛物线在许多实际问题中都有广泛的应用。
比如，在物理学中，抛物线可以描述抛体的运动轨迹；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、利润等与产量和价格相关的变量；在工程学中，抛物线可以用来设计各种曲线形状的结构等等。
4. 二次函数和抛物线的图像二次函数和抛物线的图像通常可以通过绘制函数的图像来展示。
在绘制图像时，我们可以确定对称轴、顶点以及开口方向，然后通过描点法或利用平移和拉伸等变换来绘制出完整的抛物线图像。
通过观察图像，我们可以获得更直观的信息，更好地理解二次函数和抛物线的特征。
总结：本文介绍了二次函数和抛物线的基本概念，包括二次函数的定义及其系数的意义，抛物线的对称轴、开口方向和顶点等特征。
我们还探讨了二次函数和抛物线在实际中的应用，并提到了通过绘制图像可以更好地理解这些概念和特征。
小学数学认识简单的二次函数
小学数学认识简单的二次函数二次函数是数学中的重要概念之一，它是一种特殊的代数函数。
在小学数学中，二次函数的认识相对简单，我们可以从以下几个方面来介绍。
一、什么是二次函数二次函数是指一个函数的函数表达式可以写成 $y=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，并且 $a\neq0$。
在这个函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。
其中的 $a$ 决定了二次函数的开口方向和开口大小，$b$ 决定了二次函数的对称轴，$c$ 决定了二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的图像特征对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$，我们可以通过绘制函数的图像来了解它的特点。
当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上；当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下。
决定开口方向的 $a$ 的绝对值越大，开口越大。
对于二次函数的对称轴，我们可以通过计算 $x=-\frac{b}{2a}$ 来得到。
对称轴是二次函数图像上的一条线，用来将图像分成两个对称的部分。
另外，二次函数的顶点是图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标为 $-\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f(-\frac{b}{2a})$。
三、二次函数在几何中的应用1. 面积计算：当一个平面图形的边缘为二次函数的图像时，我们可以通过计算该二次函数在两个给定的横坐标之间的定积分来求得图形的面积。
2. 抛物线：二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状。
抛物线在物理学、建筑学等领域中有着广泛的应用，如喷泉的水流轨迹、拱形门的设计等。
四、小学数学中的二次函数教学在小学数学教学中，二次函数的概念并不是直接教授给学生，而是通过计算函数对应的 $x$ 和 $y$ 的值，探究二次函数的特点。
教师可以利用图形绘制软件或手工绘图，让学生观察二次函数图像与各个参数的关系，进而培养学生的观察力和分析能力。
针对小学生的认知能力和数学水平，在教学过程中应注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。
小学数学教案认识简单的二次函数
小学数学教案认识简单的二次函数教案教案标题：认识简单的二次函数教学目标：1. 了解什么是二次函数及其基本特点2. 能够识别二次函数的图像和标准形式方程3. 掌握二次函数的平移、拉伸和翻转规律4. 能够应用二次函数解决实际问题教学准备：1. 教材：小学数学教材2. 教具：白板、黑板、彩色粉笔、数学作业本、直尺、圆规教学步骤：一、导入 (10分钟)老师向学生提问：“你们知道什么是函数吗？请举例说明。
” 老师倾听学生的回答，并纠正或补充他们的答案。
接着，老师展示一个图形，并问学生：“这是一个什么图形？它是通过哪个方程来描述的呢？” 引导学生思考和回答。
最后，引出今天的主题：二次函数。
二、理论讲解 (20分钟)1. 介绍二次函数的定义和标准形式方程：y = ax^2 + bx + c。
讲解方程中各项的含义，并解释a、b、c对图像的影响。
2. 展示二次函数的图像，解释二次函数的对称轴、顶点、开口方向等基本特点。
引导学生观察图像并发现规律。
3. 通过实例讲解如何通过已知的标准形式方程识别二次函数的图像，并求得对称轴、顶点等信息。
三、示范演练 (15分钟)1. 老师以一个具体的例子，如 y = x^2 为模板，让学生自行探索和练习填写其他二次函数的标准形式方程，并绘制出对应的图像。
2. 指导学生观察、比较和总结不同二次函数图像的特征，如a的正负对开口方向的影响，c对图像的平移等。
四、独立练习 (20分钟)1. 发放练习册或试卷，让学生独立完成一些关于二次函数的基本练习题，包括标准形式方程的确定和图像的绘制。
2. 教师巡回指导，关注学生的思路和解题方法，及时纠正错误或给予帮助。
五、拓展应用 (20分钟)1. 将二次函数应用于实际问题，如抛物线的运动轨迹、抛物线天桥的建设等。
引导学生思考并解决这些实际问题。
2. 带领学生探究二次函数的平移、拉伸和翻转规律，并解释这些规律与图像的关系。
六、归纳总结 (10分钟)1. 教师引导学生回顾本节课的内容，总结二次函数的基本特点和图像绘制方法。
用“三个特殊点”来认识二次函数
用“三个特殊点”来认识二次函数函数揭示变量之间的关系，函数图象揭示函数各自的特征。
函数是高中数学的主线，而二次函数是高中数学的传统经典内容，它具有丰富的内涵和外延，通过对它的研究可以把数和形有机地融合起来，使数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、函数和方程的思想方法得到充分的发挥，它沟通了函数、方程、不等式、曲线等知识之间的内在联系，使数学知识的综合运用得到很好的体现。
那么如何有效地来学习二次函数知识呢？我们知道函数的性质与它的图象密不可分，那么二次函数的图象上有哪些特殊点呢？一、二次函数图象上最关键的点——顶点在二次函数的教学和学习时，通常是从最简单的二次函数y=ax2开始去研究其图象的特征和性质，有函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性和最值等等。
关键是从图象入手来认识函数的基本性质，我们可以看到它的性质其实就是围绕着顶点的横坐标和纵坐标来展开的。
而接下来的扩展型y=ax2+k和y=a（x-h）2的图象的特征和性质，通过具体作图感受图象的特征及形状后，发现图象还是抛物线，只是顶点和对称轴发生了变化，顶点的变化才是关键，函数y=ax2+k的图象是由y=ax2向上或者向下平移k个单位而得，顶点由（0,0）移动到了（0，k），所以最值由0变为k，其余则不变；函数y=a（x-h）2的图象是由y=ax2向左或者向右平移h个单位而得，顶点由（0，0）移动到了（h，0），从而对称轴变为直线x=h。
我们始终抓住顶点的变化和对称轴位置的所在，紧密联系其图象，可以很明显地看到这两个扩展型函数的性质和特征还是围绕顶点的两个坐标展开的。
对于顶点式就更显而易见了，顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），除了开口方向其余特征和性质都与h或k有关。
而一般式y=ax2+bx+c也可以通过配方法或者公式法得到它的顶点坐标为（- ，）。
这样一系列的学习调理清晰、层层递进、主题突出，紧紧抓住顶点，对二次函数的学习有很大的帮助。
关于二次函数的反思
关于二次函数的反思二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中最常见的一类函数。
它的标准形式是y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数具有许多独特的性质和特点，通过对二次函数的学习与反思，我深刻体会到了它的重要性和应用价值。
首先，二次函数在实际生活中有广泛的应用。
二次函数可以描述很多实际问题中的变化关系，比如抛物线的运动轨迹、物体的抛射运动、弹簧的拉伸与回弹等等。
深入研究二次函数，我们能够更好地理解这些问题，并能应用二次函数的理论知识解决实际问题，提高生活的质量和效率。
其次，通过学习二次函数，我认识到数学中的抽象思维对于问题的解决至关重要。
二次函数是对实际问题的抽象，通过建立函数关系来描述实际问题。
我们需要运用抽象思维，将实际问题抽象成数学问题，再通过对数学问题的研究来解决实际问题。
在这个过程中，我们需要进行变量的定义与运算，假设条件的引入与分析，得出结论，并加以验证。
这培养了我的逻辑思维和分析问题的能力，使我能够用数学的方式解决其他领域的问题。
另外，二次函数的图像特点给了我对函数的几何意义的理解。
二次函数的图像是一个抛物线，在平面上表现出独特的形态。
通过观察和分析抛物线的对称轴、顶点、开口方向等特点，我对函数的几何意义有了更深的认识。
在解题时，通过研究抛物线的图像，我们可以确定函数的性质，找出函数的最值点，进而进行问题的解答。
因此，对二次函数图像的理解有助于我们在实际问题中更好地应用函数的概念。
此外，二次函数的变化规律也引发了我对函数的持续研究的兴趣。
二次函数的图像的开口方向、开口大小、顶点位置等与系数a、b、c的取值有关。
通过改变这些系数的值，我们可以得到不同的二次函数，并分析它们之间的异同。
这使我对函数的种类、性质和变化规律有了更深入的了解。
同时，我也开始探索更高次的函数，如三次函数、四次函数等，并学会利用数学软件进行函数图像的绘制与观察。
这不仅增加了我的数学兴趣，也拓宽了我的数学视野。
一次函数与二次函数的认识知识点总结
一次函数与二次函数的认识知识点总结一、一次函数的定义和特点：一次函数亦称为线性函数，在数学中表示为y = kx + b的形式，其中k和b为常数。
1. 定义：一次函数是一种变量之间的线性关系，其中x为自变量，y为因变量，k为斜率，b为截距。
2. 斜率：斜率k代表函数曲线的倾斜程度，其定义为曲线上任意两点之间的纵向变化量与横向变化量的比值。
斜率越大，曲线越陡峭，斜率为正表示曲线上升，斜率为负表示曲线下降。
3. 截距：截距b表示函数曲线与y轴的交点，即当x=0时，对应的y值。
4. 图像特点：一次函数的图像是一条直线，特点是直线上的所有点都满足y = kx + b的方程。
二、二次函数的定义和特点：二次函数是一类非线性函数，其中数学表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
1. 定义：二次函数是变量之间的二次关系，其中x为自变量，y为因变量，a、b、c为常数。
2. 平移：二次函数可以通过将一般形式y = ax^2 + bx + c表示为标准形式y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
此变换称为平移，它可以使得二次函数图像在坐标平面上上下左右移动。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和开口方向确定的，对称轴与平移后顶点的横坐标相等。
4. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下。
5. 最值点：当二次函数开口向上时，二次函数的最小值为顶点坐标；开口向下时，二次函数的最大值为顶点坐标。
三、一次函数与二次函数的比较：1. 变化速率：一次函数的斜率是恒定的，代表了以恒定速率变化；而二次函数的斜率是不断变化的，代表了以不同速率变化。
2. 图像形状：一次函数的图像是一条直线，而二次函数的图像是一个抛物线。
3. 极值点：一次函数没有极值点，而二次函数有极值点（最大值或最小值）。
4. 开口方向：一次函数没有开口方向的区别，而二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
初步认识二次函数二次函数与其他函数的关系
初步认识二次函数二次函数与其他函数的关系二次函数是数学中一类重要且常见的函数类型。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a,b,c为常数且a不等于0。
本文将初步介绍二次函数的性质及与其他函数的关系。
一、二次函数的基本形式二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，当a大于0时，函数开口向上；当a小于0时，函数开口向下。
b决定了二次函数在x轴方向上的平移，正值表示向左平移，负值表示向右平移。
c表示二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的图像特点1. 开口方向与开口大小：根据二次函数的a值可以确定开口的方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
a的绝对值越大，开口越窄；a的绝对值越小，开口越宽。
2. 顶点坐标：对于标准形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点坐标是二次函数的最高点或最低点，也是对称轴与x轴的交点。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的一条垂直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将二次函数分为两个对称的部分。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
三、二次函数与其他函数的关系1. 线性函数与二次函数：线性函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
与二次函数相比，线性函数的图像是一条直线，没有弯曲的部分。
二次函数可以看作是线性函数的一种特殊情况，当a=0时，二次函数变为线性函数。
2. 指数函数与二次函数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数且不等于0。
与二次函数相比，指数函数的图像呈现出不同的特征。
指数函数是逐渐增长或逐渐减小的，与二次函数的弯曲程度不同。
3. 对数函数与二次函数：对数函数的一般形式为f(x) = loga(x)，其中a为底数。
数学教辅材料中二次函数的认识
数学教辅材料中二次函数的认识
二次函数是数学教学中的一个重要概念，它在解决实际问题和
建立数学模型方面有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的定义、
图像以及常见应用。
定义
二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b 和 c 都是
实数，且a ≠ 0。
其中，a 决定了二次函数的开口方向和开口大小，
b 决定了二次函数的对称轴位置，
c 决定了二次函数的纵坐标截距。
图像
二次函数的图像是一个抛物线。
当a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其
对称轴的横坐标为 x = -b/2a，纵坐标截距为 c。
应用
二次函数广泛应用于解决实际问题和建立数学模型。
以下是二
次函数的常见应用：
1. 物体运动的模拟：二次函数可以用来描述物体的抛体运动，
例如抛体的轨迹和飞行高度随时间的变化。
2. 金融和经济学：二次函数可以用来描述市场需求和供给的关系，以及投资回报率的估计。
3. 工程问题：二次函数可以用于建模和优化物体的形状，例如
桥梁的拱形和的设计。
4. 自然科学：二次函数可以用来描述物质的衰减和变化，例如
放射性元素的衰变和生物种群的增长。
总结
二次函数在数学教学和实际应用中起着重要的作用，它的图像
特点和应用广泛且多样化。
了解二次函数的定义、图像以及常见应用，有助于学生更好地理解数学概念和应用数学知识解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数的初步认识
一、教材分析：
《二次函数》是义务教育课程标准教科书《数学》（人教版）九年级上册第二十二章，这章是在学生学习了正比例函数与一次函数，对于函数已经有所认识，从一次函数和反比例函数的学习大家已经知道学习函数大致包括以下内容：1．通过具体的事例认识这种函数；2．探索这种函数的图像和性质；3．利用这种函数解决实际问题；4．探索这种函数与相应方程等的关系。
本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开。
首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图像和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图像求一元二次方程的方法。
最后让学生运用二次函数的图像和性质解决一些实际问题。
二、学情分析：
学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和正比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。
再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系.
本节教学目标：
知识技能：
1．探索并归纳二次函数的定义；
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。
过程与方法:
1.感悟新旧知识间的关系，让学生更深刻地体会数学中的类比思想方法；
2.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；
3．能够利用尝试求值的方法解决实际问题，进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。
情感态度与价值观:
营造学生在老师指导下的自主学习氛围,在整节课的教学设计中，无论是对概念的引入、概念的形成、概念的辨析和应用巩固，都是让学生自己通过观察、思考、归纳和概括后才得出结论，使学生完全参与到了整个教学过程．通过自主探索，学生发现了规律，建立了概念，从而真正理解了概念的实质和内涵。
教学重点:
1经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。
2.能过表示简单变量之间的二次函数。
教学难点:
经历探索和表示二次函数的过程，获得二次函数表示变量之间关系的体验。
教学方法：教师引导---自主探究----合作交流
教具、学具：教学课件
教学媒体：幻灯片
教学活动过程：
1．多媒体放映图片：新课内容标题。
2 .复习部分:提出问题：我们学过的函数，什么是函数？变量常量及函数概念。
我们学过几种函数？各是什么函数？都有什么特征？表达式是什么？（使学生弄清变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解；同时,通过复习一次函数学习的过程,为二次函数概念及本章的后续学习做铺垫。
）幻灯片展示相关图片。
3.活动一：
幻灯片展示问题1：
问题1.正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为：
y=6x2。
学生们自己得出结论。
幻灯片展示问题2.
问题2：要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙(足够长）,围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边AB 的长为xm，矩形的面积为y m2 ，你能写出y与x的函数关系式吗？
解：y = x (20-2x)= =-2x2+20x。
幻灯片展示问题3.
问题3：矩形的长为4厘米，宽为3厘米，如果将长与宽都增加x厘米，新矩形的面积为y平方厘米，试写出y与x的关系式？
解：y=(3+x)(4+x)= =x2+7x+12
幻灯片展示以上三个关系式。
教师提问：它们有什么特征。
给学生留思考时间，观察并讨论得出结论。
（引导从自变量的次数和项数方面来思考做答）
4.活动二：
总结二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。
（幻灯片展示）以上三个函数关系式均为二次函数。
引导学生思考：二次函数的条件是什么？
１.自变量x的最高次数为2次.
２.二次项系数a ≠ ０.
3.函数的两边都是整式 .
二次函数的一般形式和特殊形式：
二次函数的一般形式：
y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a 、b 、c 是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当a≠0 ,b＝0时， y ＝ax 2＋c.
当a≠0 ,c＝0时， y ＝ax 2＋bx .
当a≠0 ,b＝0，c ＝0时， y ＝ax 2
5.活动三.课上练习题。
1.判断下列函数中，哪些是二次函数？（此题重点考察学生对二次函数定义的
理解）
(1)y=3x-1 (2)y=3x 2
(3)y=3x 3+2x 2 (4)y=2x 2-2x+1
(5)y=x -2+x (6)y=x 2-x(1+x)
2、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项.（考查学生分辨各
项和系数）
（1） y=-x 2+58x-112
（2） y=πx 2
3. 指出下列函数y=ax²+bx+c 中的a 、b 、c.
（1） y=-3x 2-x-1
（2） y=5x 2
-6
（3） y=x(1+x)
4.当m 取何值时，函数()()m x m x m y m m +-++=--31122是二次函数？ （学生可以
讨论做答，注意引导思考问题的全面性）
5、()723-+=m x m y
（1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m 取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m 取什么值时，此函数是二次函数？
（综合考察学过的几种函数理解和运用）
5活动四： 本节小结 这节课我们学习了哪些内容？有哪些知识需要我们掌握？带领学生总结知识点。
活动五： 作业布置。
29页1.2题.41页1.2题. 课后反思：在课堂教学中，教师应该充分相信学生，让学生在课堂上有充分
的活动空间和时间，形成学生自我寻求发展的愿望，充分发挥他们的自主精神。
当然，学生在归纳、表述的时候会出现不正确、思维不太严谨的地方，教师可
给于适当的引导、纠正。