勾股定理+分类讨论004
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
勾股定理内容分析
勾股定理内容分析第一篇：勾股定理内容分析勾股定理内容分析一，勾股定理在教材中的定位勾股定理是初等几何中的一个基本定理。
所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达。
勾股定理是人们利用图形的拼接，探讨图形面积之间的关系得到的一种规律．历史上，数学家和数学爱好者经过不懈努力，探索出了许多证明方法，本节课采用的是“面积法”证明勾股定理，这为今后证明一些几何问题奠定方法基础．勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它揭示了直角三角形中三边的数量关系，是解直角三角形的主要依据，它还是一般三角形余弦定理和平面解析几何中的两点间距离公式等知识的必要基础，充分体现数学知识承前启后的紧密相关性和连续性．勾股定理不仅促进了数学的发展，而且在科技进步中也发挥了不可估量的作用．数学地位：1.勾股定理与三角形内角和是180°为等价命题；2.勾股定理与距离3.勾股定理有500多种证法教育价值：1.勾股定理的500多种证法带来的启示；2.勾股定理与变换3.勾股定理提供的丰富的文化价值二，人教版与北师大版的比较北师大版在设计勾股定理的内容时，对老师，学生的要求更高一点。
更加倾向学生在老师的引导下自己去探索问题，发现问题，解决问题。
不同版本的作者对勾股定理的数学教育价值理解有差异，这也会体现在使用教材的一线教师身上。
三，本内容在数学史的发展轨迹中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明，赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。
他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。
勾股定理知识点+对应类型
勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；例 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知：a=13, b=12, c=5. ABC ∆ 是什么三角形？4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）利用勾股定理，作出长为n 的线段类型四：利用勾股定理作长为的线段【变式】在数轴上表示的点。
作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作AC ⊥OA 且截取AC=1，以OC 为半径，以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。
勾股定理的分类讨论
解析： 由于锐 角三 角 形 的高都 在 形 内 ， 钝 角 三角 形 有 的高 在形 外 ， 直
角三角 形有 的高与 一条 直角边 重合 ，而 本题 画 出符合 条件 的三 角形 有两
种， 即锐角三 角形 和钝 角三角 形． （ １ ） 当 Ｄ 在 ＡＡＢ Ｃ 的 内部 时 ， 如 图３ ， 由勾股 定理 ，
高 Ａ Ｄ ， 则 肋＝ ÷日 ｃ ： ６ ， 在Ｒ ｔ Ａ Ａ Ｂ Ｄ ｑ ｂ ， 由 勾
Ｃ
股定理， 得Ａ Ｄ ＝ 、 ／ ， Ａ ＇ 一 肋々 ‘ ＝ 、 ／ ， １ 一 々 ６ ’ ＝ ８ ．
（ ２ ） 当腰 长 为 １ ２ ， 底边长为ｌ ０ 时， 如 图２ ， 在 ＡＡ Ｂ Ｃ中， Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ ＝ １ ２ ， Ｂ Ｃ ＝ １ ０ ， 作底 边 Ｂ Ｃ
的 高是 ．
解析 ： 由于题 中 的 ｌ ０ 和１ ２ 没 有 指 明哪 条边 是腰 、 哪条 边 是底 ， 故 需分 两种 情况 讨 论．
（ １ ） 当腰 长 为 １ ０ ， 底边长为１ ２ ［ 付， 如 图１ ，
在 ＡＡ Ｂ Ｃ 中， Ａ Ｂ － ＡＣ ＝ Ｉ Ｏ ， Ｂ Ｃ ＝ １ ２ ， 作底 边 上 的
（ １ ） 当 为斜边 时 ， 有３ ‘ ＋ ４ ． ｘ ＝ ５ ．
（ ２ ） 当４ 为斜边 时 ， 有４ ＝ ３ ‘ 综合 ， 得 为５ 或、 ／ 了． 二、 腰、 底 不确 定 时 ， 需 分类
． ＝ 、 ／ 丁．
例２ 已知 一个 等 腰 三 角 形 的一 边 长 是 ｌ ０ ， 另一 边 长是 ｌ ２ ， 则 底边 上
勺 定理
甘
哼江苏 袁 志琴 胡 怀志
分类 讨 论是数 学 中的～种 重要 思 想方 法和 解题 策 略 ，当 一个数 学 问 题 的条件 、 结论不 明确 或会 出现 多种情 况 时 ， 就 需 要对 这个 问题 进行 必 要
8.D专题 勾股定理与分类讨论
专题 勾股定理与分类讨论【方法规律】在涉及到等腰三角形、直角三角形及三角形的面积、高等问题时往往需要分类讨论.一、锐角、钝角不明时需分类讨论1. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，S △ABC ＝7.5，求BC 的长.【解答】(1)当△ABC 为锐角三角形时，过B 作BD ⊥AC 于点D ，S △ABC ＝12·AC ·BD ＝7.5.∴BD＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝52－32＝4.∴＝1.在Rt △中，BC ＝32＋12＝10.(2) 当△ABC 为钝角三角形时，同理可得＝310.2. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，AD 为△ABC 的高，AD ＝12，求BC .【解答】(1)当AD 在△ABC 内部时，如图，易知BD ＝9，CD ＝5，∴BC ＝14.(2) 当AD 在△ABC 外部时，如图，同样可知BD ＝9，CD ＝5，∴BC ＝4.二、腰和底不明时需分类讨论3. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 为AC 上一点，且△ABD 是等腰三角形，求△AB D 的周长.【解答】分三种情况：①图1中，当AB ＝AD 时，周长为20＋45；②图2中，当AB ＝BD 时，周长为32;③图3中，当AD ＝BD 时，CD ＝x ,x 2＋82＝(x ＋6)2,x ＝73,周长为803.三、直角边、斜边不明时需分类讨论4.已知直角三角形两边长分别为2和3，则第三边的长为___________.【解答】13或 55. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，以AB 为边向外作等腰直角△ABD ，求CD 的长.【】分三种情况：①图1中，当BD 为斜边时，过点D 作DE ⊥AC 于E ，△ABC ≌△DAE ，易求CD ＝213； ②图2中，当AD 为斜边时，过点D 作DE ⊥BC 于E ，△ABC ≌△BDE ，易求CD ＝210； ③图3中，当AB 为斜边时，过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点A 作AF ⊥DE 于F ，△BED ≌△DFA ，设DF ＝BE ＝x ,则DE ＝4－x ,易求BD ＝22AB ＝10.∴x 2＋(4－x )2＝(10)2,x ＝1,∴CD ＝3 2.。
勾股定理分类讨论思想总结
勾股定理分类讨论思想总结勾股定理分类讨论思想总结勾股定理是几何学中的重要定理之一，也是元代数学家周公瑾发现的。
它表述了在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
勾股定理的分类讨论思想是一种运用数学知识进行问题解答的方法，下面我将对其进行总结。
1. 分类思想的基本概念：分类思想是将问题进行分门别类地讨论，运用不同的方法和技巧进行求解。
在勾股定理的分类讨论中，可以根据已知条件的不同进行分类，如根据已知边长的关系、已知角度的关系等。
2. 已知边长的关系：根据已知边长的关系，可以将问题分为已知两直角边求斜边的问题和已知一直角边求另一直角边的问题。
对于已知两直角边求斜边的问题，可以利用勾股定理直接求解，其思路清晰、简单明了。
而对于已知一直角边求另一直角边的问题，则需要运用勾股定理的逆定理，即通过已知边长求出斜边的平方，然后开平方即可得到另一直角边的长度。
3. 已知角度的关系：根据已知角度的关系，可以将问题分为已知一个锐角求另一锐角的问题和已知一个锐角和斜边的关系求其它边长的问题。
对于已知一个锐角求另一锐角的问题，可以利用三角函数的知识，通过求解三角函数值来确定另一锐角的大小。
而对于已知一个锐角和斜边的关系求其它边长的问题，则可以利用勾股定理和三角函数的关系，通过求解三角函数值和代入勾股定理进行计算。
4. 实际问题的应用：勾股定理的分类讨论思想不仅适用于纯粹的数学问题，还可以应用于解决实际问题。
比如在建筑工程中，可以利用勾股定理来确定房屋的斜坡度，计算建筑物的高度和斜边长度等。
在地理测量中，也可以运用勾股定理来测量两点间的距离，确定地图上的位置等。
总之，勾股定理分类讨论思想是一种灵活运用数学知识解决问题的方法。
通过将问题进行分类、分析和讨论，可以选择与问题相适应的解法，提高问题解决的准确性和效率。
同时，勾股定理分类讨论思想的应用也拓宽了勾股定理的实际应用范围，使其成为一种强有力的工具。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
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——勾股定理+分类讨论
齐市第二十一中学：于景春
1.直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三 角形的第三边为 . 变式一 2.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形 的第三边为 . 3.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形 的斜边为 .
变式二 4.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形 斜边上的中线为 . 5.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形 第三边上的中线为 .
典型题训练 1.已知一个三角形两边长分别为20cm和30cm，第 三边上的高为10cm，则此三角形的面积为 cm2.
2.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边，在△ABC的外部作等腰直角三角形ACD， 则线段BD的长为 .
3.Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角 为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且 ∠ACP=30°，则PB的长为 .
（2011年中考题）
1.已知一个三角形两边长分别为20cm和30cm，第三边上 的高为10cm，则此三角形的面积为 cm2.
（2010年中考题）
2.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边， 在△ABC的外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长 为 .
（2012年中考题）
3.Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°， 点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°， 则PB的长为 .
类比训练
1.三角形的一边为8，另两边都是方程 x 的根，该三角形的面积为 .
2
16x 60 0
2.为迎接我市縁博会，计划在和平广场用30平方米的草皮 铺设有一个边长为10米的等腰三角形绿地，那么该绿地 的周长为 .
拓展训练
在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC= ，⊙A的半径为1， 2 2 2 点P在线段BC上，（不与点B、C重 合），以点P为圆心，PB长为半径 作⊙P，当⊙P与⊙A相切时， △APC的面积为 .
AHale Waihona Puke BPC1.直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形的 第三边为 .
2.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形的第三 边为 .
3.直角三角形的两边分别为6和8，则该三角形的斜边 为 . 4.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形斜边上 的中线为 . 5.直角三角形的两边分别为6和8，则该直角三角形第三边 上的中线为 .