内蒙古高考数学模拟试卷(5月份)(三)
2025届内蒙古锡林郭勒市高考数学五模试卷含解析
2025届内蒙古锡林郭勒市高考数学五模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=2．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．3．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π B ．836πC 323163π+D ．16833π5．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．31-B ．31+C ．132+D ．132-6．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14157．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．a b b a -<-B ．a b b a ->-C ．abe b e a -<- D ．abe b e a ->-8．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.89．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =-10．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．11．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20B ．15C ．10D ．2512．已知三点A (1,0)，B (0，3 )，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ．213C ．253D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古高三5月数学模拟考试题(解析版)
一、单选题1．若集合，，则{}2N 540A x x x =∈+->{}3B x x =<A B = A ． B ． C ． D ．()1,3-{}0,1,2[)0,3{}1,2【答案】B【详解】分析：求出中不等式的解集的自然数解，确定集合，找出与的交集即可.A A AB 详解：由题意，可得集合，{}()(){}{}2N 540N 5100,1,2,3,4A x x x x x x =∈+->=∈-+<=因为，所以，故选B.{}3B x x =<{0,1,2}A B ⋂=点睛：本题主要考查了集合的交集的运算，其中正确求解集合和交集的运算是解答的关键，着重A 考查了推理与运算能力. 2．若为虚数单位，则复数的虚部为（ ） i 2i1iz -=-A ．B ．C ．D ．12-1i 2-1i 212【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念即可得答案. z 【详解】，其虚部为．2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222--++====+--+z 12故选：D ．3．在的展开式中，的系数为（ ）()321x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭x A ．12 B ．C ．6D ．12-6-【答案】D【分析】根据题意，由二项式的展开式可得只有中的与中的相乘才会()1x +132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1232C x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭得到，然后代入计算，即可得到结果.x 【详解】因为，2303122333333222C C C C 2x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⎭⎛-+⋅-+⋅- ⎪⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎭⎝⎝所以只有中的与中的相乘才会得到，()1x +132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1232C x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭x 即，所以的系数为.1232C 6x x x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭x 6-故选:D.4．逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路､中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一,,A B C 侧山顶的仰角依次为，其中，则此山的高度为（ ）P 30,45,60 ,(03)AB a BC b a b ==<<ABCD 【答案】D【分析】作出直观图，山高，利用仰角表示出，在中，PO h =,,AO BO CO AOC ，利用余弦定理建立等式化简即可.cos cos ABO CBO ∠∠=-【详解】如图，设点在地面上的正投影为点，则P O，30,45,60PAO PBO PCO ∠∠∠=== 设山高，则 PO h =,,AO BO h CO ===在中，，AOC cos cos ABO CBO ∠∠=-由余弦定理即有：，整理得， 2222223322h b h a h h ah bh+-+-=-()()2323ab a b h b a +=-所以h =故选：D.5．某高校计划在今年暑假安排编号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B ，D 必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有（ ） A ．96种 B ．144种 C ．240种 D ．384种【答案】C【分析】先将6名教师分成4组，然后再分配到学校即可.【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校.若教师人数依次为，则不同的安排方3,1,1,1法种数为：种；1444C A 96⨯=若教师人数依次为，则不同的安排方法种数为：种，2,2,1,12444C A 144⨯=故不同的安排方法共有种. 96144240+=故选：C.6．若数列满足，则（ ） {}n a 1111112,1n n n n a a a a a ++=--=2023a =A ．2 B ．C ．D ．12-3-13【答案】B【分析】利用数列的周期性即可求得的值. 2023a 【详解】因为，所以.又因为， 111111n n n n a a a a ++--=111n n na a a ++=-12a =所以， 23451111121311323,,,2,111213231123a a a a +-+-==-==-====-++- 所以是周期为4的数列，故. {}n a 2023312a a ==-故选：B7．已知，则（ ）π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ． 24252425-725725-【答案】D【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.【详解】 π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2π72sin 1325α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭故选：D8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原28y x =F M 2OM ON =O 点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（ ） N OM x P 2OP MF -=A ．6B ．C ．4 D．【答案】A【分析】设，由，得为的中点, 表示的方程，求出点的坐标，200,8y M y ⎛⎫⎪⎝⎭2OM ON = N OM NP P 结合抛物线的定义求得结果.【详解】法一：依题意，设，由，得为的中点且， 200,8y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭2OM ON = N OM 200,162y y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，易得直线的垂线的方程为. 08=OMk y OM NP 20002816y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭令，得，故，由抛物线的定义易知，0y =20416y x =+204,016y P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2028y MF =+故，220022426168y y OP MF ⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:A.法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为()8,8M ()4,4N 1OMk =OM NP .令，得，故，又，故.()44y x -=--0y =8x =()8,0P 10MF =216106OP MF -=-=故选:A.9．两个边长为4的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点A ，B ，C ，ABC ABD △AB 60︒D 在同一球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．80π9208π964π3112π3【答案】B【分析】作出辅助线，找到球心的位置及点在平面上的投影，利用勾股定理列出方程，求D ABC 出外接球的半径，进而得到球的表面积. 【详解】取的中点，连接，AB E ,CE DE 因为正三角形与的边长为4，所以⊥，⊥， ABC ABD △DE AB CE AB 且，DE CE ==故为二面角的平面角，，CED ∠D AB C --60CED ∠=︒所以是等边三角形，CDE取的中点，连接，则⊥，， CE F DF DF CE CF =3DF ==因为⊥，⊥，，平面， DE AB CE AB DE CE E ⋂=,DE CE ⊂CDE 所以⊥平面，AB CDE 因为平面，所以⊥， DF ⊂CDE DF AB 因为，平面， AB CE E ⋂=,AB CE ⊂ABC 所以⊥平面，DF ABC取的中心，则点在上，且，故ABC G G CE 2CG EG =23CG CE ==则球心在点正上方，连接，过点作⊥于点， O G ,,DO OG OC O OK DF K则， OK GF ==设，则，,GO h DO CO R ===GO FK h ==由勾股定理得，， ()2222133DO OK DK h =+=+-22222OC GO CG h =+=+故，解得， ()222133h h +-=+23h =故外接球半径， 22225239R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故球O 的表面积为. 2208π4π9R =故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径10．已知为定义在上的偶函数，已知，当时，有()f x ()(),00,∞-+∞U ()10f =0x >，则使成立的的取值范围为（ ）()()20f x xf x '->()0f x >x A ． B ． ()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞C ． D ．()(),11,-∞-⋃+∞()()1,00,1-U 【答案】D 【分析】令，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，由()()2f xg x x =0x ≠()g x ()0,∞+可得出，可得出，可得出关于的不等式，解之即可. ()0f x >()0g x >()()1g x g >x 【详解】令，其中，因为函数为定义在上的偶函数， ()()2f x g x x=0x ≠()f x ()(),00,∞-+∞U 则，所以，， ()()f x f x -=()()()()()22f x f xg x x x g x --==-=所以，函数为偶函数，()g x 当时，，0x >()()()()()243220x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==<所以，函数在上为减函数，且，()g x ()0,∞+()()21101f g ==由可得，则，()0f x >()()20f x g x x=>()()()01g x g x g =>=所以，，解得或，10x x ⎧<⎨≠⎩10x -<<01x <<因此，使成立的的取值范围为. ()0f x >x ()()1,00,1-U 故选：D.11．已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对()cos (0)f x x x ωωω=>()f x []0,2π32称轴，则的取值范围是（ ）ωA ．B ．C ．D ．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭1319,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭419,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭134,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用即可求出ω的取值范围．【详解】函数 ， ()1πcos 2cos 2cos 23f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，由，则，π3t x ω=+[]0,2πx ∈ππ,2π33t ω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦又函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴， ()f x []0,2π32即在区间上有且仅有个零点和条对称轴，2cos y t =ππ,2π33ω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦32作出的图象如下，2cos y t =所以，得． 5ππ2π3π23ω≤+<134,123ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D ．12．已知，，，则，，的大小关系是（ ） 0.1e 1=-a sin 0.1b =ln1.1c =a b c A ． B ．C ．D ．a b c <<a c b <<c b a <<<<b c a 【答案】C【分析】构造函数得到，，，再构造函数比较出0.1e 10.1a =->sin 0.10.1b =<ln1.10.1c =<，，从而比较出大小. 30.1sin 0.10.16b =>-230.10.10.1ln1.123c -+>=【详解】令，，则，当时，， ()e 1x f x x =--0x >()e 1xf x '=-0x >()0f x ¢>所以在上单调递增，，()e 1xf x x =--()0,∞+()()00f x f >=故，0.1e 10.1a =->令，，则在上恒成立， ()sin g x x x =-0x >()cos 10x g x '=-≤()0,∞+故在单调递减，故， ()sin g x x x =-()0,∞+()()00g x g <=所以，sin 0.10.1b =<令，，则， ()()ln 1h x x x =+-0x >()11011x h x x x-'=-=<++故在上单调递减， ()()ln 1h x x x =+-()0,∞+故，即，()()00h x h <=ln1.10.1c =<构造，，则， ()3sin 6x j x x x =-+()0,1x ∈()2cos 12x j x x '=-+令，则，()()k x j x '=()sin k x x x '=-+令，则在上恒成立，()()l x k x '=()1cos 0l x x '=->()0,1x ∈故在上单调递增，又，故在恒成立， ()()l x k x '=()0,1x ∈()00k '=()0k x '>()0,1x ∈故在上单调递增，又，故在恒成立，()()k x j x '=()0,1x ∈()00j '=()0j x '>()0,1x ∈故，即，， ()()0.10j j >30.1sin 0.10.106-+>30.1sin 0.10.16>-构造，，()()23ln 123x x w x x x =+-+-()0,1x ∈则，令，则， ()2111w x x x x'=-+-+()()e x w x '=()()21121e x x x '=-+-+令，则在上恒成立，()()r x e x '=()()32201r x x '=-<+()0,1x ∈故在上单调递减，又，()()r x e x '=()0,1x ∈()0110e '=-+=故在上恒成立，故在上单调递减， ()()0r x e x '=<()0,1x ∈()()e x w x '=()0,1x ∈又，故在上恒成立，故在上单调递减， ()00w '=()()0e x w x '=<()0,1x ∈()w x ()0,1x ∈故，即，即， ()()0.10w w <230.10.1ln1.10.1023-+-<230.10.1ln1.10.123<-+因为，故.3230.10.10.1sin 0.10.10.1ln1.1623>->-+>c b a <<故选：C【点睛】方法点睛：麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ，， ()21e 1!!2n xn x x x n o x +=+++++ ()()()352122s 1!5!in 32!1n n n x x x x x o x n ++=-+-+-++ ，()()()24622cos 1162!4!!!2nn n x x x xx o x n =-+-++-+ ，()()()2311ln 11312n n n x x xx x o x n +++=-+-+-++ ， ()2111n n x x x o x x =+++++- ()()()221112!nn n x nx x o x -+=+++二、填空题13．设满足约束条件，则的最小值为________．,x y 31030y x y xy ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩y z x =【答案】/0.5 12【分析】作出线性区域，由图分析求目标函数的最小值即可. 【详解】作出线性区域如图所示：，所以表示可行域中的点到原点连线的斜率， 00y y z x x -==-z (),x y 由图可知，点与原点连线斜率最小， (2,1)A 所以的最小值为： y z x=12故答案为：.1214．已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．(1,1)a x =- (,2)b y = 0x >0y >a b ⊥ 12x y+【答案】4【分析】根据向量运算可得，再由均值不等式求解即可.22x y +=【详解】，，， a b ⊥(1,1)a x =- (,2)b y = ，即，220x y ∴-+=22x y +=由，，则， 0x >0y >12112141(2)4+44222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即时等号成立， 4y xx y=21y x ==故的最小值为. 12x y+4故答案为：415．在三角形中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC sin A a ==形周长的最大值为___________.【分析】利用正弦定理化简式子，求出的值，进而求出的大小，由余弦定理结合基本不等tan B B式即可求出. a c +【详解】由正弦定理变形有：，又因为，sin sin A B a b =sin A a ==sin B B =则 tan 3B B π=∴==b ===又因为， ()()()()222222212cos 3344a cb ac ac B a c ac a c a c +=+-=+-≥+-⋅=+所以，当且仅当 “”时取等. ()2264464a cb ac +≤=⨯=⇒+a c =则该三角形周长的最大值为. a b c ++==. 16．如图，已知正方体的棱长为2，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动1111ABCD A B C D -点，则下列结论正确的序号有______.①存在点P ，使得平面； 1//A P 11B CD ②三棱锥的体积为定值；111B A D P -③当点P 在棱CD 上时，的最小值为；1PA PB +2+④若点P 到直线与到直线AD 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线AE 的最短距离是1BB． 【答案】①②④【分析】对于①，当点为与交点时，利用线面平行的判定定理即可判断；对于②，由P BD AC P 到上底面的距离是定值即可判断；对于③，将平面沿旋转至平面共面，即可得ABCD CD 11A B CD到的最小值，从而得以判断；对于④，先得到点的轨迹方程，将问题转化为抛物线上1PA PB +P 的点到直线的最小距离，从而得解.【详解】对于①，连接，交点为，连接，连接，交点为，连接，如1111,B D A C E EC BD AC P 1A P 图，因为在正方体中，， 1111ABCD A B C D -1111//,AA CC AA CC =所以四边形是平行四边形，所以， 11AAC C 1111//,AC AC AC AC =易知是的中点，所以， ,E P 11,A C AC 11,//PC A E PC A E =所以四边形是平行四边形，则，1A PCE 1//A P EC 又平面，平面，所以平面，故①正确;1A P ⊂11B CD EC ⊄11B CD 1//A P 11B CD 对于②，三棱锥的体积就是三棱锥的体积，而到上底面的距离是定值， 111B A D P -111P B A D -P 所以三棱锥的体积是定值，故②正确；111B A D P -对于③，当点在棱CD 上时，把平面沿旋转，使得旋转面与平面共面，连接P ABCD CD 11A B CD ，如图，A B '此时取得最小值，1||PA PB +A B '在中，，，则，故③错误；11Rt A B A ' 112A B =12A A '=2A B '=≠+对于④，由点到直线与到直线的距离相等，可知在以为准线，为焦点的抛物线P 1BB AD P AD B 上，建立如图所示的平面直角坐标系，则，的轨迹是抛物线，其方程为，()10B ,P ()2401y x x =≤≤因为的中点为，，CD E ()()1,0,0,2A E -所以的方程:，与平行的抛物线的切线方程设为，AE 22y x =+AE 2y x b =+联立，可得，224y x b y x =+⎧⎨=⎩224(44)0x b x b +-+=则由，解得，可得切线方程为，22(44)160b b ∆=--=12b =122yx =+则点到直线④正确； P AE 故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：本题第④结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点的轨迹方程，从而将问题转化为抛物线上的点到直线的距离的最值，从而得解.P AE三、解答题17．如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，PO AB C 3PO =4AB =，是的中点.30BAC ∠=︒M BC(1)求证：平面平面；PBC ⊥POM(2)求二面角的余弦值. O PB C --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）确定，根据中点得到，得到平面，得到BC AC ⊥BC OM ⊥PO BC ⊥BC ⊥POM 面面垂直.（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，平面的一个法向量为，CPB n ⎛= ⎝ 是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.()2,0,0OD =OPB 【详解】（1）由是底面的直径，点是底面圆周上的点，得. AB C BC AC ⊥又因，分别为，的中点，所以，故. O M BA BC OM AC ∥BC OM ⊥因是圆锥的轴，所以底面，又平面，故. PO PO ⊥ABC BC ⊂ABC PO BC ⊥于是与平面内的两条相交直线，都垂直，从而平面； BC POM PO OM BC ⊥POM 而平面，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面平面.BC ⊂PBC PBC ⊥POM （2）在圆锥底面，过圆心作直径的垂线，交圆周于点，则直线，，两两垂O AB D OD OB OP 直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， O ODOB OP x y z 如图：则，，，，.()0,0,0O ()0,2,0B )C()2,0,0D ()0,0,3P 设平面的一个法向量为，CPB (),,n x y z =r则，即，())()(),,1,00,,0,2,3230n BC x y z y n BP x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⎪⋅=⋅-=-+=⎩23y y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩取，得. 1x=n ⎛= ⎝ 又是平面的一个法向量，()2,0,0OD =OPB 故cos<,OD= 平面与平面所成的二面角是锐角，故二面角OPB CPB O PB C --18．已知数列的前n 项和为，且{}n a n S 22.n S n n =+(1)求证：数列是等差数列； {}n a (2)设 求数列的前n 项和. 11n n n b a a +={}n b 【答案】(1)证明见解析 (2)()323nn +【分析】（1）根据前n 项和与通项公式之间的关系可得，再结合等差数列定义证明； 21n a n =+（2）结合（1）中的结果，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）当时，则；1n =113a S ==当时，则； 2n ≥()()()221212121n n n n n n S n a n S -=-⎡⎤+--+-=+⎣⎦=显然当时，也满足上式， 1n =所以.21n a n =+当n ≥2时，则， ()()1212112n n a a n n -⎡⎤-=+--+=⎣⎦所以数列是首项为3，公差为2的等差数列. {}n a （2）由（1）可知，，则，21n a n =+()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭可得 121111111235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， ()11646323nn n =-=++所以数列前n 项和为.{}n b ()323nn +19．甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的x 个红球、y 个黄球和z 个蓝球，.()*6,,x y z x y z ++=∈N 现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜. (1)当，，时，求乙胜的概率；1x =2y =3z =(2)若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分.求乙得分均值的最大值，并求此时x ，y ，z 的值. 【答案】(1)518(2)乙得分均值的最大值为，此时， 11181x z ==4y =【分析】（1）设出事件，根据古典概型概率公式求得事件的概率，进而表示出事件乙胜，根据独立事件以及互斥事件，即可求出答案；（2）用随机变量来表示乙得分，则可取.然后分别计算得出取时的概率，根X X 0,1,2,3X 0,1,2,3据期望公式求出即可得出，根据已知结合的取值范围，即可得出答案. ()2129x z yE X +=+,,x y z 【详解】（1）记“甲取红球”为事件，“甲取黄球”为事件，“甲取蓝球”为事件，“乙取红球”1A 2A 3A 为事件，“乙取红球”为事件，“乙取红球”为事件， 1B 2B 3B 则由已知可得，，，，，，. ()112P A =()213P A =()316P A =()116P B =()213P B =()312P B =由已知，乙胜可以用事件来表示，112233A B A B A B 根据独立事件以及互斥事件可知，.()112233P A B A B A B 111111526336218=⨯+⨯+⨯=（2）由题意知，，，. ()16x P B =()26y P B =()36z P B =用随机变量来表示乙得分，则可取,X X 0,1,2,3则，，，()112612x x P X ==⨯=()123618y y P X ==⨯=()136636z zP X ==⨯=所以. ()()()()3201123136x y zP X P X P X P X ++==-=-=-==-所以. ()2012312936129x y z x z y E X +=+⨯+⨯+⨯=+因为，所以，且，，，()*6,,x y z x y z ++=∈N 6x z y +=-1x ≥14y ≤≤1z ≥所以， ()2129x z y E X +=+621129236y y y -=+=+141123618≤+=当且仅当，，时，等号成立. 1x =4y =1z =所以，乙得分均值的最大值为，此时，，. 11181x =4y =1z =20．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上C 22221x y a b +=0a b >>1F 2F ()00,P x y C 异于左、右顶点的动点，的周长为6，椭圆的离心率为. 12PF F △C 12(1)求椭圆的标准方程；C (2)若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值.若存在，求E 12PF F△M N EM EN +出点的坐标；若不存在，请说明理由.,M N 【答案】(1)22143x y +=(2)存在定点， M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭N ⎫⎪⎪⎭【分析】（1）结合数量积的坐标表示求及其最小值表达式，由条件列关于的方程，12PF PF ⋅,,a b c 解方程求可得椭圆方程；,,a b c （2）设圆的半径为，，由内切圆的性质确定的关系，再结合点到直线的距离E r ()11,E x y 01,,r y y 公式确定的关系，由此确定点的轨迹方程，结合椭圆定义完成证明. 01,x x E 【详解】（1）周长为， 12PF F △()1212226PF PF F F a c ++=+=椭圆的离心率为，则， C 1212c a =所以 222226,2,1,1,2a c a c c a b a b c+=⎧⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩所以椭圆的标准方程为；22143x y +=（2）设圆的半径为，，由（1）不妨设， E r ()11,E x y 10y >则的面积， 12PF F △()12012121122S F F y PF PF F F r =⋅=++所以，，所以，01632y r r =⨯=03y r =013y y =由，，得直线的方程为，()00,P x y ()11,0F -1PF ()00010y x x y y -++=则点到直线， 01,3y E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭1PF 03y 整理，得，220110103242103y x x x x x -+-+-=把代入上式，得，2200334y x =-()()22110010128820x x x x x x -++-=即，()()10102680x x x x --+=由题意得，，， 111x -<<022x -<<10680x x -+>所以，则，020x x -=012x x =把，代入椭圆的方程，得， 012x x =013y y =C 2211113yx +=所以点在椭圆上， E 2211113y x+=所以存在定点，，使为定值2. M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭N ⎫⎪⎪⎭EM EN +【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于由条件确定点的轨迹方程，再由椭圆定义证E 明结论.先通过内切圆和等面积法建立点坐标和半径及点坐标的关系，再由相关点法得出轨迹方E P 程即可.21．已知函数，其中a 为实数. ()22e xx f x ax +=+-(1)若，求函数在区间上的最小值；1a =()f x [)0,∞+(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：. ()f x R 1x 2x 12x x <212e e 2x xa->-【答案】(1)0 (2)证明见解析【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值.先根据，为函数在上存在两个极值点，可得，为的两根，可得1x 2x ()f x R 1x 2x ()0f x '=，带入后即证，再根据，和的关系，消元后只需要证明12121e 1e x x x ax a +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩()2121x x a ->-1x 2x a 即，结合，即证. 11111ex x x +<-1e 1x <110x -<<【详解】（1）当时，，，，1a =()22e xx f x x +=+-[)0x ∈+∞，()1e 11e e x x x x x f x ----'=+=令，，则，()e 1xg x x =--0x ≥()e 10x g x '=-≥所以在上单调递增，故， ()g x [)0+∞，()()00g x g ≥=所以，在上单调递增， ()()0e xg x f x '=≥()f x [)0+∞，所以当时，的最小值为． 0x ≥()f x ()00f =（2）依题意，在上存在两个极值点，，且． ()22e xx f x ax +=+-R 1x 2x 12x x <所以在R 上有两个不等的实根，，且． ()10e xx f x a +'=-=1x 2x 12x x <令，， ()1ex x h x a +=-()e x xh x '=所以当时，，所以在上单调递减， 0x <()0h x '<()h x ()0-∞，当时，，在上单调递增， 0x >()0h x '>()h x ()0+∞，故函数在处取得最小值，()h x 0x =要使得在R 上有两个不同的零点，必须满足得， ()1e x x h x a +=-()000a h >⎧⎨<⎩01a <<此时，故． ()10h a -=>1210x x -<<<因为，是的两个不等的实根， 1x 2x ()10e xx f x a +'=-=所以，即 121210e 10e x x x a x a +⎧-=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩12121e 1e x x x ax a +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩要证：，即证：，只要证：．212e e 2x xa->-211122x x a a a ++->-()2121x x a ->-下面首先证明：． 120x x +>要证：，即证：，120x x +>21x x >-因，在上单调递增， 1210x x -<<<()h x ()0+∞，只要证：，即证：， ()()21h x h x >-()()11h x h x >-令，， ()()()u x h x h x =--10x -<<则， ()()()1e e 0e e x x x x x h x x h x x u x ⎛⎫'+-=-='- ⎝=<⎪⎭'所以在上单调递减，，即． ()u x ()10-，()()00u x h >=()()h x h x >-因为，所以． 110x -<<()()11h x h x >-所以，故．120x x +>21x x >-要证：，只要证：，即证：， ()2121x x a ->-()1221x a ->-11x a <-只要证：，即证：， 11111ex x x +<-1e 1x <事实上，，显然成立，得证． 110x -<<1e 1x <【点睛】方法点睛： 双变量问题常用解题策略：1.变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x 作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.2.指定主变量，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.3.整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x 的双变量问题等价转化为以x,x 所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐标原点为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩θ极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为：，已知直[)()0,π,βααρ=∈∈R 线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)记线段MN 的中点为P ，若恒成立，求实数的取值范围 OP λ≤λ【答案】(1) 22cos 2sin 20ρρβρβ+--=(2) )+∞【分析】（1）利用可得曲线C 的直角坐标方程，再由可得曲线C 的22cos sin 1θθ+=cos sin x y ρβρβ=⎧⎨=⎩极坐标方程；（2）联立和得，设、βα=22cos 2sin 20ρρβρβ+--=()22cos sin 20ρραα+--=()1,M ρα，由得，利用的范围可得答案.()2,N ρα122OP ρρ+=π4OP α⎛⎫=- ⎪⎝⎭α【详解】（1）∵曲线C 的参数方程为（为参数），12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩θ∴曲线C 的直角坐标方程为， ()()222112x y ++-=化为一般式得：，222220x y x y ++--=设， cos sin x y ρβρβ=⎧⎨=⎩∴，22cos 2sin 20ρρβρβ+--=∴曲线C 的极坐标方程为：；22cos 2sin 20ρρβρβ+--=（2）联立和，得，βα=22cos 2sin 20ρρβρβ+--=()22cos sin 20ρραα+--=设、，则，()1,M ρα()2,N ρα()122sin cos 4πρρααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭由，得122OP ρρ+=π4OP α⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当时，取最大值，故实数的取值范围为. 3π4α=OP λ)+∞23．已知函数. ()322f x x x x =+---(1)求的最小值；()f x m(2)若为正实数，且，证明不等式. ,a b 20a b m ++=22111a b b a +≥++【答案】(1)1-(2)证明见解析【分析】（1）将函数写成分段函数，结合函数图象求解即可；（2）解法一：根据基本不等式“1”的用法分析证明；解法二：利用柯西不等式直接证明即可.【详解】（1）由题知， ()1,021,0125,131,3x x x f x x x x <⎧⎪+≤<⎪=⎨-+≤<⎪⎪-≥⎩其函数图象如图所示，所以，.()min 1f x =-（2）由（1）可知，则，2a b +=()()114a b +++=解法一：利用基本不等式： ()()222211111411a b a b a b b a b a ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭， ()()()2222221111214114a a b b a b ab a b b a ⎡⎤++=+++≥++=⎢⎥++⎣⎦当且仅当时取等号.1a b ==所以，. 22111a b b a +≥++解法二：利用柯西不等式：()()222211111411a b a b a b b a b a ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，114≥=当且仅当时取等号.1a b ==所以，. 22111a b b a +≥++。
内蒙古赤峰市数学高考模拟试卷(理科)(5月份)
内蒙古赤峰市数学高考模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·济南模拟) 设集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）复数的虚部是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·彭州期中) 已知等比数列{an}中a2=2，a5= ，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+an•an+1等于（）A . 16（1﹣4﹣n）B . 16（1﹣2n）C .D .4. （2分）(2017·石嘴山模拟) 下列命题中正确命题的个数是①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；③设ξ～B（n，p），已知Eξ=3，Dξ= ，则n与p值分别为12，④m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为（）A . －1B . 1C . 3D . 96. （2分）(2018·内江模拟) 已知函数，则（）A . 的最小正周期为B . 的最大值为2C . 在上单调递减D . 的图象关于直线对称7. （2分）如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）A .B .C .D .8. （2分）如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（）A . 36B . 108C . 72D . 1809. （2分）(2017·蚌埠模拟) 数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，数列{bn}满足bn=1+a1+a2+…+an （n=1，2，…），数列{cn}满足cn=2+b1+b2+…+bn（n=1，2，…）．若{cn}为等比数列，则a+q=（）A .B . 3C .D . 610. （2分） (2017高二下·运城期末) 在一个6×6的表格中放3颗完全相同的白棋和3颗完全相同的黑棋，若这6颗棋子不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有（）A . 14400种B . 518400种C . 720种D . 20种11. （2分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为， E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A,B 是C的准线与E的两个交点，则|AB|= （）A . 3B . 6C . 9D . 1212. （2分） (2016高二下·龙海期中) 函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A . f（a）=f（b）B . f（a）＜f（b）C . f（a）＞f（b）D . f（a），f（b）大小关系不能确定二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二下·黄骅期中) 二项式（n∈N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是________．14. （1分） (2018高二上·榆林期末) 已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为________．15. （1分）若实数x，y满足条件，则z=3x﹣4y的最大值是________16. （2分） (2017高一上·海淀期末) 已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a= 时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为________；若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高一上·昌吉月考) 在中，角所对的边分别为，且满足， .（1）求的面积；（2）若，求、的值.18. （5分） (2016高二上·吉林期中) 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？19. （10分）(2020·金堂模拟) 中央政府为了对应因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：参考数据：.（1）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异：（2）若从年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，求选中的2人中恰有1人支持“延迟退休”的概率.20. （10分）(2018·朝阳模拟) 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线.21. （10分）(2020·江西模拟) 已知函数 .（1）当时，求的极值；（2）设，对任意都有成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2017高二下·河南期中) 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ= 与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23. （10分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知函数， .（1）解不等式；（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
内蒙古兴安盟数学高考模拟试卷(理科)(5月份)
内蒙古兴安盟数学高考模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·金华模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高三下·新县开学考) 已知复数Z的共轭复数 = ，则复数Z的虚部是（）A .B . iC . ﹣D . ﹣ i3. （2分）在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的个数是（）①f（x）既是奇函数，又是周期函数②y=f（x）的图象关于直线x=对称③f（x）的最大值为④y=f（x）在[-,]上是增函数．A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2018高二下·河池月考) 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中应填入（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·郑州模拟) 若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，若函数是奇函数，则函数的单调递增区间为（）A .B .C .D .7. （2分）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·定州期中) 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A . 10+B . 10+C . 6+2 +D . 6+ +9. （2分）已知a、b、c成等比数列，a、x、b和b、y、c都成等差数列，且xy≠0，那么的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） 2名厨师和3位服务员共5人站成一排合影，若厨师不站两边，则不同排法的种数是（）A . 60B . 48C . 42D . 3611. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 设定点M（3，）与抛物线y2=2x上的点P的距离为d1 ， P 到抛物线准线l的距离为d2 ，则d1+d2取最小值时，P点的坐标为（）A . （0，0）B . （1，）C . （2，2）D . （ ,- ）12. （2分） (2018高二下·盘锦期末) 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2016高三上·杭州期中) （2x﹣）4 的展开式中的常数项为________，系数和为________．14. （2分）(2017·朝阳模拟) 已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F．设这两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点P的横坐标是________；该双曲线的渐近线方程为________．15. （1分）(2018·茂名模拟) 若实数满足约束条件则的最大值是________．16. （1分） (2019高一上·怀仁期中) 若函数满足对定义域中的任意两个不相等的都成立，则a的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2019高一上·昌吉月考) 在中，角所对的边分别为，且满足， .（1）求的面积；（2）若，求、的值.18. （10分） (2016高二上·杭州期末) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面APC，AB=2 ，AP=PC=CB=2．（1）求证：AP⊥平面PBC；（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．19. （15分） (2018高二下·定远期末) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：附：0.0500.0100.0013.841 6.63510.828（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计的概率；（2）填写下面联表，并根据列联表判断是否有％的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量箱产量（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.20. （10分） (2017高二上·广东月考) 如图，已知椭圆，过点，离心率为，左、右焦点分别为、．点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线、斜率分别为、．①证明：；②问直线上是否存在一点，使直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．21. （10分） (2015高三上·承德期末) 已知函数φ（x）= ，a＞0（1）若函数f（x）=lnx+φ（x），在（1，2）上只有一个极值点，求a的取值范围；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，且x1≠x2，都有＜﹣1，求a的取值范围．22. （10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线C与曲线C'的极坐标的方程；（2）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．23. （10分）(2017·民乐模拟) 若函数f（x）=|x﹣1|+|2x﹣a|（a＞0）的最小值为2．（1）求实数a的值；（2）若u，v，w∈R+，且u+v+w=a，证明：u2+v2+w2≥2a．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
内蒙古自治区锡林郭勒盟2024届高三下学期5月模拟考试理科数学试题
内蒙古自治区锡林郭勒盟2024届高三下学期5月模拟考试理科数学试题一、单选题1．设集合{1}A x x =<∣，且A B ⋂=∅，则集合B 可以为（ ） A ．{}24xx =∣ B ．{1}x x >∣ C ．{1}y y >-∣ D ．{03}xx <<∣ 2．设不等式210x y --<表示的平面区域为M ，则（ ） A ．M 在直线210x y --=的上方 B ．M 在直线210x y -+=的上方 C ．M 在直线210x y --=的下方 D ．M 在直线210x y -+=的下方3．抛物线228y x =-的焦点坐标为（ ） A ．()0,14-B ．()0,7-C ．()14,0-D ．()7,0-4．在菱形ABCD 中，50ABD ∠=o ，则向量AD u u u r 与DC u u ur 的夹角为（ ）A ．50oB ．130oC ．80oD ．100o5．已知{}n a 为等比数列，10a >，且324a a >，则{}n a 的公比q 的取值范围是（ ） A ．()4,+∞B ．()()1,00,4-UC ．()0,4D ．()(),04,-∞⋃+∞6．已知函数()lg(1)f x x =-，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的定义域为(,1)-∞ B ．()f x 的值域为RC ．(1)(4)1f f -+-=D ．()2y f x =的单调递增区间为(0,1)7．已知()()()0.6827,220.9545,33P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-≤≤+=-≤≤+=-≤≤+=0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量Y （单位：克）服从正态分布()600,4N ，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ） A ．286B ．293C ．252D ．2468．在空间直角坐标系中，已知(0,3,0)(0,0,0)(4,0,0)(0,3,2)A B C D ，，，，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．29πB ．28πC ．32πD ．30π9．已知曲线4M =，圆22:(5)1N x y -+=，若A ，B 分别是M ，N 上的动点，则AB 的最小值是（ ）A ．2B ．C ．3D ．210．某地博物馆所展示的甲骨文十二生肖图如图所示，其中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，若从图中每行任意选取1个生肖，则所选的3个生肖中至少有1个属于六畜的概率为（ ）A ．29110 B ．34C ．2932 D ．7811．设函数()f x 的定义域为(),11y f x =-+R 为奇函数，()2y f x =-为偶函数，若()2024f =1，则()2f -=（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．3-12．已知函数()()ln e xf x x xg x x ==，，若存在()1210,,1e x x ∞⎛⎫∈∈-- ⎪⎝⎭，，使得()1f x =()2g x ，则212x x 的最大值为（ ）A ．1eB ．24e C ．39e D ．416e二、填空题13．在复数范围内，方程416x =的解集为.14．若一组数据12124,4,,4x x x L 的中位数为16，方差为64，则另一组数据12121,1,,1x x x ---L 的中位数为，方差为.15．在四面体ABCP 中，平面ABC ⊥平面PAC ，PAC △是直角三角形，43PA PC AB BC ====，，则二面角A PC B --的正切值为．16．将函数2π()sin (00)3f x x x ωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭，的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且123a =，则ω=，n S =．三、解答题17．已知P 是ABC V 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ∠∠∠θ====. (1)若π,24BC θ==AC ； (2)若π3θ=，求tan BAP ∠.18．设函数()f x 的导函数为()(),f x f x ''的导函数为()(),f x f x ''''的导函数为()f x '''.若()00f x ''=，且()00f x '''≠，则()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点.(1)判断曲线6y x =是否有拐点，并说明理由；(2)已知函数()535f x ax x =-，若f ⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭为曲线()y f x =的一个拐点，求()f x 的单调区间与极值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，2,4,,,AD PA BC E F G ===分别为,,PA BC CD 的中点.(1)在答题卡的图中作出平面EFG 截四棱锥P ABCD -所得的截面，写出作法（不需说明理由）；(2)若PA ⊥底面,ABCD AB =EFG 与PB 交于点M ，求异面直线CM 与EG 所成角的余弦值.20．已知函数()4,0,5444, 1.5x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩随机变量(),(01)B n p p ξ~<<，随机变量K f n ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，K 的期望为()g p . (1)当3n =时，求13g ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)当10n =时，求()g p 的表达式.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为点(3,2)P -在C 上.设直线l 与C 交于A ，B 两点（异于点P ），直线AP 与BP 的斜率之积为13.(1)求C 的方程；(2)证明：直线l 的斜率存在，且直线l 过定点.22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为24cos (0)ρθρ=>，曲线M 的极坐标方程为cos =a ρθ．(1)若曲线C 上一点的极角为π3，求该点的极径；(2)若曲线C 与曲线M 有公共点，求a 的取值范围． 23．已知函数6()7f x x x=+-． (1)当25x <<时，求()f x 的最大值； (2)求使6()7f x x x=+-成立的x 的取值范围．。
内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学(文科)试题
一、单选题二、多选题1.函数在区间[2，8]上的值域为A ．(-∞，1]B ．[2，4]C ．[1，3]D ．[1， +∞)2.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，点分别是的中点，，，则（ ）A ．三棱锥的体积为16B ．三棱锥的表面积为C ．球的表面积为D ．球的体积为3. 已知，，则“”是“与”的夹角为锐角的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件4.双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为A ．2B．C．D．【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程求双曲线的离心率或离心率的取值范围5. 2024年1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月每月都是31天，2月是29天，其余月份是30天，从2024年2月、4月、6月、8月、10月、12月中任取两个月份，则所取的两个月份的天数之和不小于60的概率为（ ）A．B．C．D．6. 已知的内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c，若，，，则的面积为（ ）A．B．C．D．7.已知，若为纯虚数，则（ ）A．B．C ．2D ．38. 若直线与圆相切，则实数的值为（ ）A．B．C．D．9.已知无穷等差数列的前项和为，，，则（ ）A ．数列单调递减B ．数列没有最小值C ．数列单调递减D ．数列有最大值10.函数，则（ ）A．，使得在上递减B ．，使得直线为曲线的切线C．，使得既为的极大值也为的极小值内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题三、填空题四、解答题D ．，使得在上有两个零点，且11. 已知函数，其中实数，点，则下列结论正确的是（ ）A ．必有两个极值点B ．当时，点是曲线的对称中心C ．当时，过点可以作曲线的2条切线D ．当时，过点可以作曲线的3条切线12. 已知函数函数，则下列结论不正确的是（ ）A ．若，则恰有2个零点B．若，则恰有4个零点C ．若恰有3个零点，则的取值范围是D ．若恰有2个零点，则的取值范围是13. 不等式的解集是__________.14.已知函数在上单调函数，则的最大值是______.15. 甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若，则的最大值是_________；的取值范围是___________．16. 已知函数．（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．17. 已知O 为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若，直线与C 交于点A ，B，直线与C交于点，，点A ，在第一象限，记直线与的交点为G ，直线与的交点为H ，线段AB 的中点为E ．①证明：G ，E ，H 三点共线；②若，过点H 作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值．18. 已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，．（1）求，的标准方程；（2）是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同的两点，，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．19. 已知椭圆的焦距为且过点．(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线与椭圆的下半部分交于两点，直线分别交于点，，证明：．20. 如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱上，E是侧棱的中点．(1)若，证明：BE∥平面；(2)若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小．①平面；②P为的中点．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21. 为了解某地区某种产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）若每吨该农产品的成本为千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）参考公式：，，.。
内蒙古2025届高考数学五模试卷含解析
内蒙古2025届高考数学五模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．32B ．105C ．155D ．632．已知函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为12,x x ，则12x x +=（ ） A ．34π B ．23π C ．3π D ．6π 3．已知向量()3,2AB =，()5,1AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．35D ．19255．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-6．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,47．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R8．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．31-B ．21-C ．512- D ．212- 9．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()UA B =（ ）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+11．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P12．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x a x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年内蒙古赤峰市高三5月模拟考试试题文科数学试题-含答案
1
的图像向右平移
个单位长度得到函数 g(x) 的
2
8
图像，下列结论正确的是
A. g(x) 是最小正周期为 2 的偶函数
B. g(x) 是最小正周期为 4 的奇函数
C. g(x) 在 , 2 上单调递减
D.
g
(
x)
在
0,
2
上的最大值为
2 2
10．已知椭圆 C :
x2 a2 9
y2 a2
1，F1、F2 是其左右焦点，若对椭圆 C 上的任意一点 P ，
.
15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广
三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，
宽 3 丈，长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛．已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，1 丈为 10
尺，则该粮仓的高是________尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内,若使这个圆柱
则下列结论中正确的是 A.该家庭 2019 年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半
B.该家庭 2019 年教育医疗的消费额是 2015 年教育医疗的消费额的 1.5 倍
C.该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的六倍
D.该家庭 2019 年生活用品的消费额与 2015 年生活用品的消费额相当
13. 设 f (x) 在 R 上是奇函数,且 f (1 x) f (1 x) ,当 x (0,1) 时, f (x) = x3 ,则
f (7)=
.
2
文科数学试卷 第 3 页 共 8 页
14. 已知非零向量 a,b 满足 b =2 a ，且 b a a ，则 a 与 b 的夹角为
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内蒙古高考数学模拟试卷（5月份）（三）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·临川模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足i•z=（1﹣2i）2 ，则|z|的值为（）
A . 2
B . 3
C .
D . 5
2. （2分）已知y=f(x)是定义在R上的函数，且对任意，都有，又，则等于（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2019高二下·拉萨月考) 若且，则实数m的值为（）
A . 1或﹣3
B . ﹣1
C . ﹣3
D . 1
4. （2分） (2019高一上·长沙月考) 已知函数（其中，为常数），若，
则的值为（）
A . 31
B . 17
C . -17
D . 15
5. （2分） (2020高二下·成都月考) 已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线的长是（）
A .
B .
C .
D . 6
6. （2分）已知数列{an}满足a1=0,，则a20=（）
A . 0
B .
C .
D .
7. （2分）某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
8. （2分）从一个不透明的口袋中找出红球的概率为，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为（）
A . 5个
B . 8个
C . 10个
D . 15个
9. （2分） (2016高一下·漳州期末) 实数x，y满足的约束条件，则z=2x+y的最小值为（）
A . ﹣5
B . ﹣3
C . 3
D .
10. （2分） (2017高三上·荆州期末) 已知O，F分别为双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的中心和右
焦点，点G，M分别在E的渐近线和右支，FG⊥OG，GM∥x轴，且|OM|=|OF|，则E的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高一上·长宁期中) 若a、b、c∈R，则下列四个命题中，正确的是（）
A . 若a＞b，则ac2＞bc2
B . 若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C . 若a＞b，则
D . 若a＞|b|，则a2＞b2
12. （2分） (2016高一上·辽宁期中) 下列说法正确的是（）
A . 对于任何实数a，都成立
B . 对于任何实数a，都成立
C . 对于任何实数a，b，总有ln（a•b）=lna+lnb
D . 对于任何正数a，b，总有ln（a+b）=lna•lnb
二、填空题 (共4题；共6分)
13. （1分）(2017·苏州模拟) 如图中流程图的运行结果是________．
14. （2分）用1、5、9、13中任意一个数作分子，4、8、12、16中任意一个数作分母，可构成________个不同的分数？可构成________个不同的真分数？
15. （1分） (2019高二上·莆田月考) 中，，，，则的面积为________．
16. （2分）对于各项均为整数的数列{an}，如果ai+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”．不论数列{an}是否具有“P性质”，如果存在与{an}不是同一数列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：
①b1 ， b2 ， b3 ，…，bn是a1 ， a2 ， a3 ，…，an的一个排列；
②数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}具有“变换P性质”．
下面三个数列：
①数列{an}的前n项和；
②数列1，2，3，4，5；
③1，2，3， (11)
具有“P性质”的为________ ；具有“变换P性质”的为________
三、解答题 (共8题；共70分)
17. （15分） (2016高二上·桂林开学考) 设数列{an}的前n项和为Sn ．已知a1=1， =an+1﹣ n2
﹣n﹣，n∈N* ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足an﹣an﹣1=bna ，求数列{bn}的n前项和Tn；
（3）是否存在实数λ，使得不等式λa ﹣ +a + ≥0恒成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
18. （5分） (2019高三上·江西月考) 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．
I.求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
II.求随机变量的分布列和期望．
19. （10分） (2015高二上·天水期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，点E为棱PC的中点．AD=DC=AP=2AB=2．
（1）证明：BE⊥平面PDC；
（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AD﹣C的余弦值．
20. （10分） (2020高二上·贵阳月考) 已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，并且经过点M .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求椭圆C上的点到焦点距离的最小值
21. （5分）设a∈R，函数f（x）=x2e1﹣x﹣a（x﹣1）．当a=1时，求f（x）在（， 2）内的极大值.
22. （10分） (2016高二上·扬州开学考) 如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．
（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求| |的最小值；
（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求的取值范围．
23. （5分） (2016高二上·南昌期中) 设抛物线y=mx2（m≠0）的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程．
24. （10分）(2017·莆田模拟) 已知函数f（x）=|x+a2|+|x﹣a﹣1|．
（1）证明：f（x）≥ ；
（2）若f（4）＜13，求实数a的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共8题；共70分)
17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
19-1、
19-2、20-1、20-2、
21-1、
22-1、22-2、
23-1、24-1、
24-2、。