内蒙古2020年4月鄂尔多斯市高考模拟考试文科数学(含答案)
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
又 2x12 ax1 2 0 ， 2 x22 ax2 2 0
∴ ax1 2x12 2 ， ax2 2 x22 2
∴ f ( x2 ) f (x1) ( x22 ax2 2ln x2) ( x12 ax1 2ln x1)
[ x22 (2 x22 2) 2ln x2 ] [ x12 (2 x12 2) 2ln x1]
（ 1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（ 2）若点 P 的极坐标为 2, ， PM PN 5 2 ，求 a 的值 .
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
已知函数 f x 2x 1 2x 3.
（ 1）解不等式 f x 6 ;
（ 2）记 f x 的最小值是 m , 正实数 a,b 满足 2ab+a 2b m , 求 a 2b 的最小值 .
0.001
10.828
19．（本试题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中 , 底面 ABCD 为四边形， AC BD , BC CD , PB PD , 平面 PAC 平面
PBD , AC 2 3, PCA 30 , PC 4.
(1) 求证： PA 平面 ABCD ； (2) 若四边形 ABCD 中， BAD 120 , AB BC , M 为 PC 上
R ，使得
x
2 0
-
x0
1
0 ”的否定是 _________ .
4
14. 在区间（ 0， 4）内任取一实数 t ，则 log 2(t 1） 1 的概率是 _____.
15. 已知 △ABC 中， AB
5 ， AC
7，
ABC
2 ，则该三角形的面积是
________.
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2}，B={x|x2<4}，则A∩B=()A. {−2,−1,0，1，2}B. {0,1，2}C. {1,2}D. {1}2.i是虚数单位，复数z=1−i在复平面上对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量m⃗⃗⃗ =(λ+1,1),n⃗=(λ+2,2)，若(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⊥(m⃗⃗⃗ −n⃗ )，则λ=()A. −4B. −3C. −2D. −14.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则cos∠AOB=()A. 125B. 325C. 15D. 7255.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是()A. 若m//α，m//n，则n//αB. 若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC. 若m⊥α，m//β，则α⊥βD. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β6.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=20，S20=15，则S30=()A. 10B. −30C. −15D. 257.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 5 D. 528.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要9.函数f(x)=1x−lnx−1的图象大致是()A. B.C. D.10.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如10≡4(mod6).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的(中国剩余定理)，执行该程序框图，则输出的n等于()A. 17B. 16C. 15D. 1311.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A. √5B. √52C. √5+1 D. √5+1212.设a是函数f(x)=2x−log12x的零点，若x>a，则()A. f(x 0)=0B. f(x 0)>0C. f(x 0)<0D. f(x 0)的符号不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=x 3−ln x ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为________．14. 外地务工人员小明准备回家乡创业，他从当地银行贷款9万元作为创业基金，并在当地承包了一块300亩的耕地，每年承包费用20万元(此笔费用可在获得收益后再支付)，计划种植甲、乙两个品种的蔬菜．当年种植乙两种蔬菜的成本分别是600元/亩和200元/亩，预计当年种植甲、乙两个品种的蔬菜除去种植成本后分别带来3000元/亩和2000元/亩的收益，则合理分配资源后，当年能带来的最大利润是________万元．(利润=总收益−承包费用)15. 在三棱锥A −BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为√22，√32，√62，则该三棱锥外接球的表面积为______． 16. 已知数列{a n }的通项公式为a n ={1n ,n =1,2(12)n ,n ≥3，n ∈N ∗，其前n 项和为S n ，则n →∞lim S n =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．(Ⅰ)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；(Ⅱ)若在A 类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．18.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca+b +sinAsinB+sinC=1；(1)求B；(2)若b=√2，求a2+c2的取值范围．19.如图，在四棱锥A−BCDE中，CD⊥平面ABC，BE//CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．(Ⅰ)证明：EM//平面ABC；(Ⅱ)若CD=2，求四棱锥A−BCDE的体积．20.已知定点A(−3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−1，记动点M的9轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21.已知函数f(x)=(x+1)lnx−x+1．(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范围；(Ⅱ)证明：(x−1)f(x)≥0．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =5cosαy =4sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2−4ρcosθ+3=0.(1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ|的最小值．23. 已知f(x)=|x +1|+|x −2|．(1)求不等式f(x)≤x +4的解集；(2)若f(x)的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a +b +c =m ，求证：1a+b +1b+c +1c+a ≥m 2．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={1,2}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A∩B={1}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．由已知求得z的坐标得答案．解：复数z=1−i在复平面上对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限．故选：D．3.答案：B解析：解：m⃗⃗⃗ +n⃗=(2λ+3,3),m⃗⃗⃗ −n⃗=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3=0，∴λ=−3．故选：B．直接利用向量的数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题．4.答案：D解析：本题考查了二倍角公式及其应用和解三角形的实际应用，考查了学生处理问题的能力，属于中档题．由题目所给弧田面积公式求出矢=1，设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，列出方程组求出d=4，r=5，从而得到cos∠AOD=dr =45，再由cos∠AOB=2cos2∠AOD−1，计算得结论．解：如图，由题意可得：AB =6，弧田面积S =12(弦×矢+矢×矢)=12×(6×矢+矢×矢)=72平方米．解得矢=1(米)或矢=−7(米)(舍)，设半径为r 米，圆心到弧田弦的距离为d 米，则{r −d =1r 2=9+d 2，解得d =4(米)，r =5(米)， ∴cos∠AOD =d r =45， ∴cos∠AOB =2cos 2∠AOD −1=3225−1=725．故选D ．5.答案：C解析：解：由m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，知：在A 中，若 m//α，m//n ，则 n//α或n ⊂α，故A 错误；在B 中，若 m ⊥α，n ⊥α，则 由线面垂直的性质得n//m ，故B 错误；在C 中，若 m ⊥α，m//β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；在D 中，若α⊥β，m ⊂α，则 m 与β相交、平行或m ⊂β，故D 错误．故选：C ．在A 中，n//α或n ⊂α；在B 中，由线面垂直的性质得n//m ；在C 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D 中，m 与β相交、平行或m ⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.答案：C。
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(含答案解析)
2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.若复数是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，且，则A. B. C. 1 D. 24.如图是来白古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，已知以直角边AC，AB为直径的半圆的面积之比为，记，则A. B. C. D.5.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是A. 若，，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 21B. 22C. 11D. 127.已知抛物线C：的焦点为F，A、B是抛物线上两个不同的点，若，则线段AB的中点到y轴的距离为A. 5B. 3C.D.8.在关于x的不等式中，“”是“恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.函数的图象大致是A. B.C. D.10.如图程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理．把运算“正整数N除以正整数m所得的余数是n”记为“”，例如执行该程序框图，则输出的n等于A. 16B. 17C. 18D. 1911.已知双曲线C：的焦距为2c，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线C的右支于点P，若线段的中点在圆O：上，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数为奇函数，曲线在点处的切线方程为______．14.某牧草种植基地2019年种植A、B、C三种牧草共50亩，种植比例如图所示．该基地计划在2020年扩大A品种和C品种的种植面积，同时保持B品种的种植面积不变，这样B品种的种植面积比例下降为若C品种的种植面积比例保持不变，那么2020年，C品种的种植面积是______亩．15.在三棱锥中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的表面积为______．16.设函数，点，为坐标原点，若向量，设，且是与的夹角，记为数列的前n项和，则______，______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、煤炭三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到85分及其以上的单位被称为“A类”环保单位，未达到85分的单位被称为“B类”环保单位．现通过分层抽样的方法确定了这三类行业共20个单位进行调研，统计考评分数如下：畜牧类行业：85，92，77，81，89，87；化工类行业：79，77，90，85，83，91；煤炭类行业：87，89，76，84，75，94，90，88．Ⅰ计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数；Ⅱ若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．18.设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．Ⅰ求B；Ⅱ若是钝角三角形，且，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，已知，，，，，点M是线段PB的中点．Ⅰ证明：平面PAD；Ⅱ求四面体MPAC的体积．20.已知在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点，连线的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线E．Ⅰ求曲线E的方程；Ⅱ已知点，过原点O且斜率为的直线l与曲线E交于C，D两点点C在第一象限，求四边形MCAD面积的最大值．21.已知函数．Ⅰ求在区间上的零点个数其中为的导数；Ⅱ若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若点P在曲线上，点Q在曲线上，求的最小值及此时P点的坐标．23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ若a、b、c均为正实数，且满足，m为的最小值，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：，复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：向量，，且，，解得．故选：A．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为：，，由面积之比为得：，即，在中，，故．故选：D．根据两半圆的面积比，可求出AC，AB之比，从而求出，再进一步借助于三角公式求解即可．本题考查三角函数的公式变换，以及给值求值问题解法，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．5.答案：B解析：解：m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故B正确；在C中，若，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则与相交或平行，故D错误．故选：B．在A中，与相交或平行；在B中，由面面平行的判定定理得；在C中，与相交或平行；在D中，与相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．6.答案：A解析：解：由等差数列的性质可得：，，成等差数列，，解得．故选：A．由等差数列的性质可得：，，成等差数列，即可得出．本题考查了等差数列求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：由抛物线的定义可知，，，，线段AB的中点到y轴的距离为．故选：D．先由抛物线的定义知，于是可得的值，再利用中点坐标公式即可得解．本题考查抛物线的定义、中点坐标公式，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：在关于x的不等式中，当时，，“”“恒成立”，当时，，“恒成立”“”，“”是“恒成立”的充要条件．故选：C．当时，，“”“恒成立”，当时，，“恒成立”“”，由此能求出“”是“恒成立”的充要条件．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查不等式的性质的求法，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：定义域为，故排除A；，故排除C；，故排除D．故选：B．由函数的定义域及特殊点的值，运用排除法可以得到答案．本题考查由函数解析式找函数图象，通常从特殊点，单调性，奇偶性等角度运用排除法求解，属于基础题．10.答案：B解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2，被5除余2，最小两位数，故输出的n为17，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．11.答案：C解析：解：如图，设线段的中点为Q，连接OQ，由题意可得，又直线的斜率为1，则轴，得，则，由OQ为的中位线，可得，则，得．故选：C．由题意画出图形，结合已知可得轴，分别求得与，再由双曲线的定义列式求解离心率．本题考查圆与双曲线的综合、三角形中位线定理，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数与方程的综合应用，指数函数与对数函数的性质，考查数形结合思想，属于中档题．利用换元法设，则方程等价于，根据指数函数和对数函数的图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令，则方程等价于，由选项知，则，所以由，得，则关于x的方程有且只有一个实数根等价于关于x的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；当时，要使直线与的图象只有一个交点，则只需要当时，直线与的图象没有交点，所以，即，解得，综上所述，实数a的取值范围是，故选：B．13.答案：解析：解：因为为奇函数，当时，且为奇函数，是偶函数，是奇函数，所以要使是奇函数，只需即可，所以．故，，，所以切线为，即．故答案为：．易知函数的定义域为R，根据是奇函数，可得，然后再求导数，进一步求出切点处的导数和函数值，代入点斜式即可求出切线．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，要注意抓住切点满足的两个条件列方程求解，属于基础题．14.答案：15解析：解：某牧草种植基地2019年种植A、B、C三种牧草共50亩，种植比例如图所示．则B品种2019年的种植面积为亩，该基地计划在2020年扩大A品种和C品种的种植面积，同时保持B品种的种植面积不变，这样B品种的种植面积比例下降为．年种植总面积为：亩，品种的种植面积比例保持不变，年，C品种的种植面积是亩．故答案为：15．先求出B品种2019年的种植面积为亩，再求出2020年种植总面积为：亩，由此能求出2020年，C品种的种植面积．本题考查2020年C品种种植面积的求法，考查饼图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：三棱锥中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c由题意得：，，，解得：，，，所以球的直径为：，它的半径为，球的表面积为：，故答案为：．三棱锥中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的长宽高，转化为对角线长，即可求解外接球的表面积．本题是基础题，考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．16.答案：解析：解：由函数，点，向量，所以；．故答案为：，．利用向量的加法，结合函数解析式，即可得出结论本题考查了平面向量的综合应用问题，也考查了等比数列的求和运算问题，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意得，抽取的畜牧、化工、煤炭三类行业单位个数之比为3：3：4，由分层抽样的定义，有：畜牧行业的单位个数为，化工行业的单位个数为，煤炭行业的单位的个数为，该辖区畜牧、化工、煤炭这三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80．Ⅱ记选出的2个单位中既有“A类“环保单位，又有“B类”环保单位为事件M，这2个单位的考核数据情形有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位包含的基本事件有8个，分别为：，，，，，，，，选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．解析：Ⅰ由分层抽样的定义，能求出该辖区畜牧、化工、煤炭这三类行业中每类行业的单位个数．Ⅱ记选出的2个单位中既有“A类“环保单位，又有“B类”环保单位为事件M，利用列举法能求出选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ，可得：，，，由，．Ⅱ由题意可得：，可得，，，不妨令，可得，，即的取值范围是．解析：Ⅰ由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求cos B的值，进而可求B的值．Ⅱ由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由题意，不妨令，可得，结合正弦函数的性质即可求解的取值范围．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19.答案：Ⅰ证明：取PA的中点N，连接MN，有，且，又，，且，得四边形MNDC是平行四边形，．又平面PAD，平面PAD，平面PAD；Ⅱ解：依题意，，，，，又，平面ABCD，，，，平面PAB．又，是C到平面PAB的距离．则．解析：Ⅰ取PA的中点N，连接MN，有，且，结合已知可得且，得四边形MNDC是平行四边形，则再由直线与平面平行的判定得到平面PAD；Ⅱ由已知结合勾股定理得到，，则平面ABCD，有，再由，可得平面则AD是C到平面PAB的距离．然后利用等体积法求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ设，由题意可得，即，整理可得，，所以曲线E的方程为，；Ⅱ设直线l的方程为，联立直线l与椭圆的方程整理可得，解得，，所以，，因为，，，且直线AM的方程：，因为，所以C点直线AM的距离，因为，所以，同理可得点D到直线AM的距离，因为，所以，所以，当且仅当，即取等号，所以四边形MCAD面积的最大值为．解析：Ⅰ设P的坐标，求出直线AP，BP的斜率，再由AP，BP的斜率之积为可得P的轨迹方程，Ⅱ设直线l的方程与曲线E联立求出C，D的坐标，由题意求出线段的值及直线AM的方程，进而求出C，D到直线AM的距离，求出四边形MCAD面积的表达式，由均值不等式求出面积的最大值．本题考查求动点的轨迹方程及直线与椭圆的综合，点到直线的距离公式和四边形面积的表达式，均值不等式的应用，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，其在上是增函数，，，根据函数零点存在定理，使得，故在区间上的零点个数是1个；Ⅱ若关于x的不等式在上恒成立，整理可得，令，即求出函数在上的最小值，，令，则，而，，在上是增函数，，有，从而，在上是增函数，可得；．解析：Ⅰ根据函数零点存在定理即可求出；Ⅱ原不等式可转化为，令，再根据导数和函数最值的关系即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为由于，转换为直角坐标方程为．Ⅱ设点到直线的距离，当时，，即，点P坐标为解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ，当时，恒成立，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；综上，不等式的解集为；Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，当时取得最小值m，又a，b，c为正实数，且，，当且仅当“”时取等号，．解析：Ⅰ将函数化为分段函数的形式，再分别求解，最后取并集得答案；Ⅱ利用Ⅰ，再利用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。
2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试(4月)数学(文)试题(解析版)
2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试（4月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-【答案】C【解析】由题意和交集的运算直接求出A B .【详解】∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<∴AB =1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.2．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算.3．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D【解析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==.由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩，得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4sin 22sin cos 2555ααα==⨯=. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.5．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A 选项，若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβ或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβ或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m α，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ或α与β相交；故D 错；故选B 【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A【解析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.7．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．5B ．3C ．32D ．2【答案】D【解析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离. 【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和.8．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案. 【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立；当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件. 9．函数1ln 1y x x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】借助导数分析()ln 1g x x x =--的单调性，继而分为x →+∞和0x >且0x →两种情况，探究1ln 1y x x =--的取值情况，即可选出正确图像.【详解】解：令()ln 1g x x x =--，0x >且1x ≠，则()'110g x x=-=，解得1x = 当01x <<时，()'110g x x=-<，则此时()ln 1g x x x =--递减； 当1x >时，()'110g x x=->，则此时()ln 1g x x x =--递增. 当x →+∞ 时，ln 1x x --→+∞ ，故此时()0f x > 且()0f x →，排除C,D. 当0x >且0x →时，ln x →-∞，则ln 1x x --→+∞，故此时()0f x > 且()0f x →.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的图像.在选择函数的图像时，可借助函数的定义域、奇偶性、对称性排除几个错误选项，另外，还可以代入特殊点进行排除.10．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可. 【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出16n = ，则()161mod3≡不符合题意，排除； 若输出17n =，则()()172mod3,172mod5≡≡，符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C 1D ．1【答案】C【解析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122PF AF ===，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即22c a -=，即1c a ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【解析】利用换元法设()t f x =，则等价为()0f t =有且只有一个实数根，分0,0,0a a a <=> 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.【详解】解：设()t f x = ，则()0f t =有且只有一个实数根.当0a < 时，当0x ≤ 时，()103xf x a ⎛⎫=⋅< ⎪⎝⎭，由()0f t =即13log 0t =，解得1t =，结合图象可知，此时当1t =时，得()1f x = ，则13x =是唯一解，满足题意； 当0a =时，此时当0x ≤时，()103xf x a ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，此时函数有无数个零点，不符合题意；当0a > 时，当0x ≤ 时，()[)1,3xf x a a ⎛⎫=⋅∈+∞ ⎪⎝⎭，此时()f x 最小值为a ，结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.二、填空题13．若函数32()(1)2f x a x ax x =+++为奇函数，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______. 【答案】520x y --=【解析】由奇函数，可知()()11f f -=-，从而可求出0a =，求出函数的导数，即可求出切线的斜率，由点斜式，可写出切线的方程. 【详解】解：由函数32()(1)2f x a x ax x =+++为奇函数可知，()()11f f -=- ，即()()1212a a a a -++-=-+++，解得0a =，即3()2f x x x =+.则()13f =，()'232f x x =+，所以()'15f =.则()351y x -=- ，整理得520x y --=.故答案为: 520x y --=. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了导数的几何意义，考查了直线方程.若已知函数的奇偶性，求参数的值，一般都是代入特殊值，列关于参数的方程进行求解；若判断函数的奇偶性，则一般结合函数的图像或奇偶性的定义，判断()(),f x f x - 的关系即可. 14．某牧草种植基地2019年种植、、A B C 三种牧草共50亩，种植比例如图所示.该基地计划在2020年扩大A 品种和C 品种的种植面积，同时保持B 品种的种植面积不变，这样B 品种的种植面积比例下降为10%.若C 品种的种植面积比例保持不变，那么2020年，C 品种的种植面积是_____亩.【答案】15【解析】由题意，求出2019年三种牧草的种植面积，由2020年B 品种的种植面积比例下降为10%，可求出2020年总共占地150亩，从而可求C 品种的种植面积. 【详解】解：2019年A 种面积500.630⨯=亩，B 种面积500.315⨯=亩，C 种面积500.15⨯=亩.则由题意知，2020年，扩大后，三种牧草总共占地150.1150÷=亩 由于C 品种的种植面积比例保持不变即为10%，则15010%15⨯=亩. 故答案为:15. 【点睛】本题考查了饼形图.本题的关键是，求出2020年三种牧草总的种植面积.15．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB AC AD 、、两两垂直，ABC 、ACD 、ADB △、A BCD -的外接球的表面积为______. 【答案】20π【解析】由已知面积可求三条侧棱的长，根据侧棱两两垂直，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，由三条棱的长可求出球的半径，进而可求球的表面积. 【详解】解：由题意知，121212ABC ACD ADB S AB AC S AD AC S AB AD ⎧=⋅=⎪⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪=⋅=⎪⎩，解得AB AC AD ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩由侧棱两两垂直可知，三棱锥和以AB AC AD 、、为棱的长方体的外接球相同，球心为长方体体对角线的中点.则三棱锥A BCD -的外接球的半径22R ===所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为2420S R ππ==. 故答案为: 20π. 【点睛】本题考查了球表面积的求解，考查了几何体外接球问题.在求几何体的外接球时，通常有三个做题思路，一是转化为长方体的外接球，求体对角线即为直径，但此种思路局限性较大；二是根据几何性质，设出球心和半径，列出关于半径的方程求解即可；三是建立坐标系.三、双空题 16．设函数()2x x f x =，点()*(,())n A n f n n N ∈，0A 为坐标原点，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，设(1,0)i =，且n θ是n a 与i 的夹角，记n S 为数列{}tan n θ的前n 项和，则3tan θ=_____，n S =______.【答案】18 112n - 【解析】由向量加法性质可知0,2n n n n a A A n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意知12t 2an n nnnn θ==，从而可求3tan θ的值，由等比数列的求和公式可求出n S . 【详解】解：由向量的加法法则可知011210,2n n n n n n a A A A A A A A A n -⎛⎫=+++== ⎪⎝⎭.由(1,0)i =，且,2n n n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭在第一象限，所以tan n θ为直线0n A A 的斜率，由题意知，12t 2an n n n nn θ== ，所以31tan 8θ=. 设tan ,n n b n N θ*=∈，则111,2n n b n N *++=∈ ，所以1121,22n n n n b n N b *++==∈ . 则{}n b 是以12 为首项，12为公比的等比数列，即1112211,1212nn nS n N *⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-∈-. 故答案为: 18;112n -. 【点睛】本题考查了向量的加法法则，考查了等比数列的求和公式，考查了直线斜率的求解.本题的关键是将夹角的正切值转化为直线的斜率.求数列的和时，常用的思路有公式法、裂项相消、错位相减、分组求和等.本题注意，应首先先利用等比数列的定义证明{}tan n θ为等比数列，再结合等比数列求和公式求解.四、解答题17．为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、煤炭三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到85分及其以上的单位被称为“A 类”环保单位，未达到85分的单位被称为“B 类”环保单位.现通过分层抽样的方法确定了这三类行业共20个单位进行调研，统计考评分数如下： 畜牧类行业：85，92，77，81，89，87 化工类行业：79，77，90，85，83，91 煤炭类行业：87，89，76，84，75，94，90，88 （1）计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数；（2）若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选出的这两个单位中既有“A 类”环保单位，又有“B 类”环保单位的概率. 【答案】（1）60、60、80；（2）815【解析】（1）求出三类行业的个数之比，结合分层抽样的定义可求出每类行业的单位个数.（2）列举出六个单位中随机抽取两个所有的组合情况，即可得到总的事件个数及既有“A 类”环保单位，又有“B 类”环保单位的组合个数，结合古典概型即可求概率. 【详解】解：（1）由题意得，抽取的畜牧、化工、煤炭三类行业单位个数之比为3:3:4. 由分层抽样的定义，有畜牧类行业的单位个数为32006010⨯=， 化工类行业的单位个数为32006010⨯=，煤炭类行业的单位个数为42008010⨯=， 故该辖区畜牧、化工、煤炭三类行业中每类行业的单位个数分别为60、60、80. （2）记选出的这2个单位中既有“A 类”环保单位，又有“B ”环保单位为事件M .这2个单位的考核数据情形有(85,92)，(85,77)，(85,81)，(85,89)，(85,87)，(92,77)，(92,81)，(92,89)，(92,87)，(77,81)，(77,89)，(77,87)，(81,87)，(89,87)，(81,89)共15种.其中符合的事件M 的考核数据情形有(85,77)，(85,81)，(92,77)，(92,81)，(77,89)，(77,87)，(81,89)，(81,87)共8种，故所求概率8()15P M =. 【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型.在求古典概型概率时，一般采用列举法，写出所有的基本事件，然后确定总的基本事件数和符合题意的基本事件数，即可求出概率. 18．设ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，已知2cos cos cos b B a C c A =+.（1）求B ；（2）若ABC 是钝角三角形，且b =a c +的取值范围.【答案】（1）3π；（2） 【解析】（1）由正弦定理对2cos cos cos b B a C c A =+进行边角互化，结合三角形的内角和定理可得2sin cos sin B B B =，可求出1cos 2B =，从而可求出B . （2）由正弦定理可知2sin a A =，2sin c C =，由三角恒等变换可求()23sin 30a c A +=+︒，不妨设90120A ︒<<︒，结合三角函数的性质，可求出a c+的取值范围. 【详解】（1）解：由题设知，2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，即2sin cos sin()B B A C =+，所以2sin cos sin B B B =，即1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=.（2）解：由题设知，32sin sin sin 60a c A C ===︒，即2sin a A =，2sin c C =， 所以()2sin 2sin 2sin 2sin 1203sin 3cos a c A C A A A A ︒+=+=+-=+()23sin 30A =+︒，不妨令9012012030150A A ︒<<︒⇒︒<+︒<︒，所以()323sin 303A <+︒<，即a c +的取值范围是(3,3). 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角恒等变换，考查了求三角函数的最值.若已知的式子中既有边又有角的三角函数值，一般结合正弦定理和余弦定理进行边角互化.本题第二问的关键是结合正弦定理和三角形的内角和定理，用A 表示a c +.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，2PA AB AD ===，1DC =，AD AB ⊥，22PB PD ==，点M 是线段PB 的中点.（1）证明：//CM 平面PAD ； （2）求四面体MPAC 的体积. 【答案】（1）见解析；（2）23【解析】（1）取PA 的中点N ，连接MN ，通过证明MN DC //且MN DC =，证明四边形MNDC 是平行四边形，从而证明//CM DN ，即可证出线面平行. （2）通过边的关系及线面垂直，可证AD 是C 到平面PAM 的距离，求出PAMS即可求出四面体MPAC 的体积 【详解】（1）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有//MN AB ，且2MN AB =//MN DC ∴且MN DC =，所以四边形MNDC 是平行四边形.//CM DN ∴，又DN ⊂平面PAD ，故//CM 平面PAD .（2）解：依题意知：2228PA AB PB +==，2228PA AD PD +==， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又因为AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，AD PA ⊥，AB PA A ⋂=，DA ∴⊥平面PAB ，又//CD AB AD ∴是C 到平面PAM 的距离.则1111222233223C PAM PAMV AD S -=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥体积的求解.证明线面平行，由判定定理知可证明线线平行，常用的方法有：三角形的中位线、平行四边形对边平行等.证明线线垂直时，常用的方法有：等腰三角形中三线合一、勾股定理、矩形的临边垂直，菱形的对角线垂直等.20．已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(0,1)A ，(0,1)B -连线的斜率之积为14-，记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知点(2,0)M ，过原点O 且斜率为(0)k k >的直线l 与曲线E 交于,C D 两点（点C 在第一象限），求四边形MCAD 面积的最大值. 【答案】（1）221(0)4x y x +=≠；（2）22【解析】（1）设(, )P x y ，写出动点P 与两定点(0,1)A ，(0,1)B -连线的斜率，由已知，可求出,x y 的方程，即可求出曲线E 的方程.（2）写出直线l 的方程，与曲线E 的方程联立，可求出交点,C D 的坐标；求出直线AM的方程，即可求出,C D 到AM 的距离，从而可求出()1212MCAD S AM d d =+=. 【详解】解：（1）设(, )P x y ，14AP BP k k ⋅=-，()11104y y x x x -+∴⋅=-≠，化简得：2214x y += 又0x ≠，∴动点P 的轨迹方程为221(0)4x y x +=≠（2）设直线l 的方程为(0)y kx k =>，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22144k x +=，C x ∴=，D x =，C y ∴=，D y =(0,1)A ，(2,0)M ，∴直线AM 的方程为220x y +-=.∴点C 到直线AM的距离1d ==同理：点D 到直线AM的距离2d =，因为()221214k k +>+，且0k >所以12d d ==()121222MCAD S AM d d ∴=+===≤，当且仅当14k k=，即12k =时等号成立.∴四边形MCAD面积的最大值为【点睛】本题考查了曲线方程的求解，考查了点到直线的距离，考查了直线的方程，考查了直线与曲线的位置关系，考查了基本不等式.本题的易错点是在求曲线方程时，忽略斜率一定存在，即0x ≠这一条件.求曲线方程一般的做题思路是设出动点坐标，由题意条件列出关于动点坐标的方程，即可求出；对于一些题目，也可结合椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义，先判断出动点的轨迹，再进行求解. 21．已知函数2()2x f x e x x =+-.（1）求()f x '在区间[0,1]上的零点个数（其中()f x '为()f x 的导数）；（2）若关于x 的不等式23()(2)12f x x a x ≥+-+在[1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1个；（2）32a e ≤-【解析】（1）求出()22xf x e x +'=-，由单调性的性质可知()f x '在[]0,1上是增函数，从而结合零点存在定理，可判断()f x '在区间[0,1]上的零点个数.（2）参变分离得到2112x e x a x --≤在[1,)+∞上恒成立，令2112()x e x g x x--=，通过导数可以证明()g x 在[)1+∞上是增函数，从而可求出min 3()(1)2g x g e ==-，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意知()22x f x e x +'=-，因为,2xy e y x ==在[]0,1上是增函数， 所以()f x '在[]0,1上是增函数，由(0)10210f =+-=-<'，(1)220f e e =+-=>'，根据零点存在定理，0[0,1]x ∃∈使()00f x '=，故()f x '在区间[0,1]上的零点个数是1个.（2）若关于的不等式23()(2)12f x x a x ≥+-+在[1,)+∞上恒成立， 整理得2112x e x a x --≤在[1,)+∞上恒成立，令2112()x e x g x x--=，则()22222111(1)1(1)1122()2xx x x ex x e x x e x x e g x x x x ⎛⎫------+ ⎪-+⎝⎭===-'， 令()1xh x e x =--，则()1x h x e '=-，而[1,)x ∈+∞，所以()0h x '> 所以()h x 在[1,)+∞上是增函数，即()(1)20h x h e ≥=->，有1x e x >+从而22(1)11(1)(1)111()0222x x e x x g x x x -+-++=->-=>'， 则()g x 在[)1+∞上是增函数，可得min 3()(1)2g x g e ==-.所以32a e ≤-.【点睛】本题考查了零点存在定理，考查了函数单调性的性质，考查了运用导数求函数的单调性，考查了函数最值的求解.本题的难点在于第二问中，通过放缩判断()0g x '>.判断函数单调性时，可结合函数图像、导数或者单调性的性质.若()()()f x g x h x =+ 且()(),g x h x 都是增（减）函数，则()f x 也是增（减）函数；若()()()f x g x h x =-，且()g x 是增函数，()h x 是减函数，则()f x 是增函数；若()()()f x g x h x =-，且()g x 是减函数，()h x 是增函数，则()f x 是减函数.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【答案】（1）2213x y +=；40x y ++=（2，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】（1）消去曲线1C 参数方程的参数，求得曲线1C 的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程.（2）设出P 的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【详解】（1）消去α得，曲线1C 的普通方程是：2213xy +=；把cos x ρα=，sin y ρα=代入得，曲线2C 的直角坐标方程是40x y ++= （2）设,sin )P αα，||PQ 的最小值就是点P 到直线2C 的最小距离.设d ==在56πα=-时，sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，d =32α=-，1sin 2α=-，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题. 23．已知函数()|21||1|f x x x =-++ （1）解不等式()3f x ≥；（2）若a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=，m 为()f x 的最小值，求证：22232b c a a b c ++≥. 【答案】（1）{|1x x -或1}x （2）证明见解析【解析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，由此求得不等式()3f x ≥的解集. （2）由（1）求得()f x 最小值m ，由此利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，()3f x 恒成立，解得1x <-； 当112x -时，由()3f x ，解得1x =-； 当12x >时，由()3f x 解得1x 所以()3f x 的解集为{|1x x -或1}x（2）由（1）可求得()f x 最小值为32，即32a b c m ++== 因为,,a b c 均为正实数，且32a b c ++=222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()a b c ≥++=++（当且仅当12a b c ===时，取“=”） 所以222b c a a b c a b c++≥++，即22232b c a a b c ++≥.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.。
2020年内蒙古鄂尔多斯一中高考数学模拟试卷(文科)(有解析)
2020年内蒙古鄂尔多斯一中高考数学模拟试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={1,4，5}，N={0,3，5}，则M∩N=()A. {1,4}B. {0,3}C. {0,1，3，4，5}D. {5}2.已知λ∈R，a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,1)则“λ=2015”是“(λa⃗ )⊥b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件3.设i是虚数单位，复数1+ii=()A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i4.若函数f(x)为奇函数，已知当x<0时,f(x)=2−x−2，则f(2)=()A. −2B. −1C. 0D. 25.若数列{a n}的通项公比是a n=(−1)n·(3n+1)，则a1+a2+⋯+a11=()A. 15B. 19C. −19D. −166.函数f(x)=x2−1|x|的图像大致为()A. B.C. D.7.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，若f(x)在[0,2π]恰有3个最值点，则ω的取值范围为()A. [98,138) B. [98,138] C. [98,118) D. (78,118]8. 如图1是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为a 1，a 2，a 3，......，a 20，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是( )A. 12B. 8C. 9D. 119. 如图，点P 为正方形ABCD 对角线BD 上的点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2，则该正方形的边长为( )A. 4√2B. 4C. 2√2D. 210. 一个长方体共顶点的三个面的面积分别是√2，√3，√6，则这个长方体的体对角线的长是 ( )A. 2√3B. 3√2C. 6D. √611. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx −y +4k =0与曲线y =√9−x 2交于A ，B 两点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则k =( )A. √33B. √22C. 1D. √312.已知函数f(x)={2x, x≥2x2−3, x<2，若关于x的方程f(x)=k有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A. (−3,1)B. (0,1)C. (−2,2)D. (0,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(x,2)，b⃗ =(1,−1)，且a⃗在b⃗ 方向上的投影为√2，则x的值是______ ．14.已知数列{a n}的前n项和S n=n(n+1)+2，其中，则a n=_______．15.在四面体中，，且，该四面体外接球的表面积为．16.如图，已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在PF1上的切点为Q，若PQ=1，则双曲线的离心率是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，已知c=13，cosA=513(1)若a=36，求sin C的值(2)若△ABC的面积为6，分别求a、b的值．18.某单位有职工600人，为提高职工的人身安全，该单位计划租用专车接送本单位职工．把该单位职工的家与单位之间的距离分为6组，制成如下频率分布直方图(假设这600名职工的家与单位的距离分布比较均匀，将频率视为概率)．(1)按分层抽样的方法，抽取50名职工代表征求对接送专车的设站建议，求距离在区间[20,25)，[25,30]上应抽取的人数；(2)现从(1)中抽取的距离在区间[20,30]上的职工中，随机抽取2人，求这2人来自不同组的概率；(3)已知A，B，C三种型号的出租车的座位数及租赁价格如下表所示，假设每辆车每天只能接送一次职工，如果只租用两种型号的出租车，请确定租车方案，使得该单位每天的租车费用最少．车型A B C座位数544917费用/(元/天)60055032019. 如图，三棱锥P −ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA =90°，PB =BC =CA =2，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF =FA ． (Ⅰ)求证：平面PAC ⊥平面BEF ； (Ⅱ)三棱锥A −BFC 的体积．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于A ，B 两点，|AB|=3． (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)过圆x 2+y 2=127上任意一点作圆的切线交椭圆E 于M ，N 两点，O 为坐标原点，问：OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21. 已知函数f (x )=lnx +ax −2,a ∈R.(1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为2x +y −3=0，求a 的值；(2)求函数y =f (x )的单调区间；(3)若曲线y =f (x )都在直线(a +1)x +y −2(a −1)=0的上方，求正实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−6+5cosαy =5sinα(α为参数)(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (Ⅱ)若点(x,y)是圆C 上的动点，求x +y 的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|x +1|．(1)求不等式f(x)<3的解集;(2)若二次函数y =−x 2−2x +m 与函数y =f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵M={1,4，5}，N={0,3，5}，∴两集合M、N只有一个公共元素：5，∴M∩N={5}，故选：D．由交集定义即得结果．本题考查集合间的交集运算，属基础题．2.答案：A解析：解：若(λa⃗ )⊥b⃗ ，在(λa⃗ )⋅b⃗ =0，即λ(1,2)⋅(−2,1)=0恒成立，则“λ=2015”是“(λa⃗ )⊥b⃗ ”的充分不必要条件，故选：A根据向量垂直的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量垂直的等价关系是解决本题的关键．3.答案：D解析：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．=(1+i)·(−i)=1−i．解：1+ii故选D.4.答案：A解析：本题主要考查了奇函数的性质f(−x)=−f(x)的简单应用，属于基础题．由已知可得，结合已知有f(2)=−f(−2)=−(22−2)=−2，即可求解；解：因为函数为奇函数，所以f(−x)=−f(x)因为x<0时,f(x)=2−x−2，所以f(2)=−f(−2)=−(22−2)=−2故选A5.答案：C解析：本题考查了数列递推，找到规律是解题的关键，解：由a n=(−1)n·(3n+1)可知，a1=−4,a2=7,a3=−10,...,a11=−34，所以相邻两项的和为3，所以(a1+a2)+⋯+(a9+a10)+a11=3×5−34=−19,故选C6.答案：D解析：本题考查函数图象的作法，属于基础题.根据函数的性质排除即可．解：因为函数的定义域为x≠0,x∈R，所以排除A，B，因为f(x)=f(−x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，故选Ｄ．7.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，属中档题．可得，x∈[0,2π]，则，可得，由此求解即可．解：， 令，x ∈[0,2π]，则，要使f(x)在[0,2π]上恰有3个最值点，则由正弦函数的图像可得∴98⩽ω<138．故选A ．8.答案：B解析：本题考查茎叶图和程序框图的循环结构，根据茎叶图和程序框图知，该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数，由此求出输出的n 值即可．解： 根据茎叶图知，这20名同学的成绩依次为a 1，a 2，…，a 20， 分析程序框图知，该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数， 由茎叶图，知成绩大于或等于100的人数为8， 由此知输出的结果是8． 故选B ．9.答案：B解析：解析：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算和二次函数的单调性，属于中档题．设该正方形的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系．利用向量的坐标运算、数量积运算和二次函数的单调性即可得出．解：设该正方形的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系． 设BP⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−λ)(a,0)+λ(0,a)=(a −λa,λa)．∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0)−(a −λa,λa)=(λa,−λa)． ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa(a −λa)−λ2a 2=−2λ2a 2+λa 2=−2a 2(λ−14)2+18a 2≤18a 2，当且仅当λ=14时取等号．∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2，∴18a 2=2，解得a =4． 故选：B ．10.答案：D解析：本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，是基础题， 设出长方体的长宽高，利用面积公式求出长宽高，然后求出对角线的长． 解：设长方体长宽高为x ，y ，z ， 则xy =√6，yz =√3，xz =√2， ∴x =√2，y =√3，z =1，∴长方体的对角线长为√2+3+1=√6， 故选D ．11.答案：C解析：本题考查了直线与圆的位置关系和向量的数量积，属于较难题．解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用．联立{kx −y +4k =0y =√9−x 2，得(1+k 2)x 2+8k 2x +16k 2−9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出k ． 解：联立{kx −y +4k =0y =√9−x 2,得(1+k 2)x 2+8k 2x +16k 2−9=0，∵直线kx −y +4k =0与曲线y =√9−x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴Δ=16k 4−4(1+k 2)(16k 2−9)>0， 解得−3√77<k <3√77，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−8k 21+k 2，x 1x 2=16k 2−91+k 2，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 1,−y 1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1)， ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 12−x 1x 2+y 12−y 1y 2=2，解得k =1． 故选C ．12.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键． 求出分段函数在各自范围上的取值范围，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可． 解：当x ≥2时，f(x)=2x ∈(0,1]， 当x <2时，f(x)=x 2−3≥−3， 作出函数f(x)的图象如图：若方程f(x)=k 有三个不相等的实数根， 则0<k <1， 故选：B ．13.答案：4解析：解：向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(1,−1)，且a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |=x−2√2=√2，解得x =4，故答案为：4．由条件利用a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|b ⃗ |，计算求得x 的值．本题主要考查向量的投影计算公式，属于基础题．14.答案：{4,(n =1)2n,(n ≥2)解析：本题主要考查由数列的前n 项和求通项公式，属于基础题．分n =1和n ≥2两种情况求a 1=S 1和a n =S n −S n−1，再作结论即可． 解：当n =1时，a 1=S 1=1×(1+1)+2=4， 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n (n +1)+2−[(n −1)·n +2]=2n ，验证，当n =1时，不适合上式，则a n ={4,(n =1)2n,(n ≥2)．故答案为{4,(n =1)2n,(n ≥2)．15.答案：解析：由题意可知：△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，又，所以可知四面体ABCD 的外接球半径为12AC ，可求外接球半径。
内蒙古2020年4月鄂尔多斯市高考模拟考试文科数学试题
2020 年鄂尔多斯市高考模拟考试
文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。本试卷满分
150 分，考试时间 120 分钟。 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
6．设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 S2＝3，S4＝10，则 S6＝
A．21
B．22
C．11
D．12
7．已知抛物线 C : y2 6x 的焦点为 F，A、B 是抛物线上两个不同的点，若|AF |+|BF|=8，
则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
A．5
B．3
C．32+2x+1＞0 中，“a＞1”是“ax2+2x+1＞0 恒成立”的
为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、 煤炭三类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到 85 分及 其以上的单位被称为“A 类”环保单位，未达到 85 分的单位被称为“B 类”环保单位．现 通过分层抽样的方法确定了这三类行业共 20 个单位进行调研，统计考评分数如下：
13．若函数 f (x) (a 1)x3 ax2 +2x 为奇函数，曲线 y f (x) 在点(1，f（1）)处的切
线方程为________________. 14．某牧草种植基地 2019 年种植 A、B、C 三种牧草共 50 亩，
种植比例如右图所示.该基地计划在 2020 年扩大 A 品种和 C 品种的种植面积，同时保持 B 品种的种植面积不变，这样 B 品种的种植面积比例下降为 10%. 若 C 品种的种植面积比 例保持不变，那么 2020 年，C 品种的种植面积是 亩.
内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文(PDF)
高三下学期第一次模拟考试文科数学一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．）1．设集合M ＝{（x ，y ）|⎩⎨⎧+-==2x y x y }，N ＝{x |x 2﹣3x +2≤0}，则M ∩N ＝（）A ．∅B ．{2}C ．{1}D ．{1，2}2．若b a ,为平面向量，则”“b a =是”“||||b a =的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知复数(3)13i z i +=-，i 为虚数单位，则下列说法正确的是()A.iz =|| B.iz = C.12=z D.z 的虚部为i-4.已知定义在[]m m 21,5--上的奇函数)(x f ，满足0>x 时，12)(-=x x f ，则)(m f 的值为（）A.-15B.-7C.3D.155．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，{a n }满足a 1＝1，且，为奇数为偶数⎩⎨⎧+-=--n a n a a n n n ,22,1211则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．10C ．12D ．226.若函数)(x f y =的大致图像如图所示，则函数的解析式可以是（）xx f D x x f C x x f B xx f A xx xx x x x x -----=+=-=+=22)(.22)(.22)(.22)(.7．已知),2||,0()cos()(R x x x f ∈<>+=πϕωϕω，两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当32π=x 时，函数)(x f 取得最小值，则φ的值为（）A ．3π-B ．3πC ．6πD ．6π-8.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A ．6B ．10C ．7D ．169.已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅的最大值是（）A.B. C.4D.810.有一个长方形木块，三个侧面积分别为8,12,24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（）A.2B.22 C.4D.2411.已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，)2,0(A ，，20||||22=+OA OB 若平面内点P 满足3=,则|PO |的最大值为（）A.7B.6C.5D.412．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-++=20,02,132)(23x aex x x x f x ，若存在实数m ，使得方程m x f =)(有三个相异实根，则实数a 的范围是（）A ．),1[2+∞eB ．1,0[2e C ．]2,(-∞D ．)2,1[2e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知向量b a ,满足),1(),20(m b m a ==，，且a 在b 方向上的投影是552，则实数m ＝．14．数列{a n }满足31=a 且对于任意的n ∈N *都有21+=-+n a a n n ，则39a ＝15．在四面体ABCD 中，△ABD 与△BDC 都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为．16.双曲线()2222:10,0-=>>x y C a b a b的左、右焦点分别为()12,0-F 、()22,0F ，M 是C右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2∆MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若=PQ ，则C 的离心率为____.三、解答题（共70分.）17.(本小题12分)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =,ABC 的面积为,b c 的值；（2）若sin sin (0)B k C k =>，且C 角为钝角，求实数k 的取值范围.18．(本小题12分)中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：A 方案：由三部分组成（表一）底薪150元工作时间6元/小时行走路程11元/公里B 方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小时计费：（2）行走路程不超过4公里时，按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时，由于各种因素，导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算，行走5.7公里按5公里计算．如表所示：（表二）行走路程（公里）（0，4]（4，8]（8，12]（12，16]（16，20]人数510154525（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资y （单位：元）与日行走路程x （单位：公里）（x ∈N ）的函数关系，（Ⅱ）（i ）现按照分层抽样的方工式从（4，8]、（8，12]共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自（4，8]的概率；（ii ）“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？19.(本小题12分)如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，E 为线段PB 的中点．（1）若F 为线段BC 上的动点，证明：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）若F 为线段BC ，CD ，DA 上的动点（不含A ，B ），PA ＝2，三棱锥A ﹣BEF 的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．20.(本小题12分)如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，2||21=F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于B A ,两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.(1)求椭圆C 的离心率及方程；(2)试问：是否存在定点)0,(0x P ,使得PB PM ⋅为定值？若存在求出0x ,若不存在，说明理由.21.(本小题12分)设函数2)()(,)1ln()(bx x f x g bx ax x f -=++=(1)若1,1-==b a ，求函数)(x f 的单调区间；(2)若曲线)(x g y =在点)3ln ,1(处的切线与直线0311=-y x 平行.(i)求b a ,的值；(ii)求实数)3(≤k k 的取值范围，使得)()(2x x k x g ->对),0(+∞∈x 恒成立.[二选一(本小题10分)：请任选一题作答，并在答题卡上将相应题号涂黑]22．在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数），经过变换⎩⎨⎧='='yy xx 2，得曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 为曲线C 上的动点，且∠AOB ＝2π，证明：22|OB |1|OA |1+为定值23．已知函数.|,||2|)(R x x m x x f ∈+-=（Ⅰ）若不等式2)(m x f ≥对∀x ∈R 恒成立，求正实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为（Ⅰ）中m 的最大值．若正实数a ，b ，c 满足2tabc =，求)1)(1)(1(c b a +++的最小值．。
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(二)
②根据题意得2×2列联表：
满意型
需改进型
合计
女性
15
5
20
男性
5
15
20
合计
20
20
40
由于 ，
查表得 ，
所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关。
20.（1）设 ，则 内，
由余弦定理得 ，化简得 ，解得
故 ，得
所以椭圆 的标准方程为
②“∃x0∈R，使得x －x0>0”的否定是：“∀x∈R，均有x2－x<0”；
③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。）
三、解答题
17.（1）∵ ，∴ .
∴ ，
∴ .
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
（2）∵ 的面积为 ，∴ ，∴ .
由 ， 及 ，得 ，∴ .
又 ，∴
故其周长为 .
18.（1）证明：在左图中，∵四边形 是菱形， ， 是 的中点，
∴ ，
故在右图中， ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
所以 .
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案
（二）
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
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6．设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 S2＝3，S4＝10，则 S6＝
A．21
B．22
C．11
D．12
7．已知抛物线 C : y2 6x 的焦点为 F，A、B 是抛物线上两个不同的点，若|AF |+|BF|=8，
则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
A．5
B．3
C．3 2
D．5 2
8．在关于 x 的不等式 ax2+2x+1＞0 中，“a＞1”是“ax2+2x+1＞0 恒成立”的
A．充分不必要条件
C．充要条件
9．函数 y
1
的图象大致是
x ln x 1
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
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10．右边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.
把运算“正整数 N 除以正整数 m 所得的余数是 n”记
n=14
为“N ≡ n（mod m）”，例如 7 ≡ 1（mod 2）. 执行该
畜牧类行业：85，92，77，81，89，87； 化工类行业：79，77，90，85，83，91； 煤炭类行业：87，89，76，84，75，94，90，88． （Ⅰ）计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数； （Ⅱ）若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选 出的这两个单位中既有“A 类”环保单位，又有“B 类”环保单位的概率. 18．（本小题满分 12 分）
为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、 煤炭三类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到 85 分及 其以上的单位被称为“A 类”环保单位，未达到 85 分的单位被称为“B 类”环保单位．现 通过分层抽样的方法确定了这三类行业共 20 个单位进行调研，统计考评分数如下：
13．若函数 f (x) (a 1)x3 ax2 +2x 为奇函数，曲线 y f (x) 在点(1，f（1）)处的切
线方程为________________. 14．某牧草种植基地 2019 年种植 A、B、C 三种牧草共 50 亩，
种植比例如右图所示.该基地计划在 2020 年扩大 A 品种和 C 品种的种植面积，同时保持 B 品种的种植面积不变，这样 B 品种的种植面积比例下降为 10%. 若 C 品种的种植面积比 例保持不变，那么 2020 年，C 品种的种植面积是 亩.
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15．在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的
面积分别为 6、3 2、3 ，则三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为__________.
16 ． 设 函 数
f
x
x 2x
， 点 An n, f n n N *
， A0 为 坐 标 原 点 ， 若 向 量
设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 2b cos B a cosC c cos A .
（Ⅰ）求 B；
（Ⅱ）若△ABC 是钝角三角形，且 b 3 ，求 a c 的取值范围.
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19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，已知 AB∥CD，PA = AB = AD = 2，DC = 1，AD⊥AB，
1．已知集合
A
x
x
1 2
，
B
x
|
1
x
0，则
A
B
A．x x 0
B．x
x
1 2
C．x
1
x
1 2
D．x x 1
2．若复数 z 2 i1 i（i 是虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知向量 a = (1, 2 )，b =（4λ, －1），且 a⊥b，则 λ =
D． 2 2 1
log1 x, x 0
12．已知函数
f
(x)
3
a
1 3
x
,
x
0
，若关于
x
的方程
f[
f
(x)]
0 有且只有一个实数
根，则实数 a 的取值范围是
A． (,0) (0,1) C． (,0)
B． (,0) (1， ) D． (0，1) (1， )
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
C． 3 5
D． 4 5
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5．已知 m，n 是两条不重合的直线，α，β 是两个不重合的平面，下列命题正确的是
A．若 m //，m // ，n //，n // ，则 //
B．若 m // n，m ，n ，则 //
C．若 m n ， m ， n ，则
D．若 m n，m //，n ，则
绝密★启用并使用完毕前
内蒙古鄂尔多斯市2020 年高考模拟考试
文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。本试卷满分
150 分，考试时间 120 分钟。 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
an A0 A1 A1A2 An1An ，设 i 1,0 ，且n 是 an 与 i 的夹角，记 Sn 为数列
tann的前 n 项和，则 tan3
， Sn
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题ห้องสมุดไป่ตู้共 60 分。 17.（本小题满分 12 分）
A．1 4
B．1 2
C．1
D．2
4．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个
半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC. 已知以直角边 AC，
AB 为直径的半圆的面积之比为 1 ，记 ABC ，则 sin 2 4
A． 9 25
B． 12 25
程序框图，则输出的 n 等于
A．16
B．17
C．18
D．19
11．已知双曲线
C：ax22
－
y2 b2
=1
(
a
>
0，b
>
0
)的焦距为
2c，过左焦点
F1
作斜率为
1
的
直线交双曲线 C 的右支于点 P，若线段 PF1 的中点在圆 O: x2 y2 c2 上，则该双
曲线的离心率为
A． 2
B． 2 2
C． 2 1