第三章 泊松过程

即60分钟内平均到达车站的乘客数为30位。
随机过程
§3.1 泊松过程概念
例4 设顾客依泊松过程到达某商店，平均每小时到达
4人。已知商店上午9：00开门，试求：至9：30仅到 一位顾客而11：30时总计已到达5位顾客的概率。
§3.1 泊松过程概念
思考 设{N(t), t∈[0,+∞)}是一强度为λ的泊松过程，对
§3.1 泊松过程概念
一维分布
定理 设{N(t), t∈T=[0,+∞)}是一强度为λ的泊松过程，
则对任意固定的t >0, N(t)服从泊松分布π(λt )，即 (t )k t
P( N(t ) k) k! e , k 0,1,2,
证明：略。
注 该定理指明了泊松过程的一维分布，即在每个固定
则称随机过程{N(t),t≥0}为伴随着随机质点流的计数过程。
随机过程
9 December 2015
随机过程
§3.1 泊松过程概念
泊松过程是一类特殊的计数过程，它是研究 随机质点流计数过程的基本数学模型之一。在通 信工程、服务行业、生物学、物理学、天文学和 地质学等领域都有着广泛的应用，许多问题都可 以用泊松过程或者以它为基础构造随机过程来描 述，因此泊松过程具有很大的理论价值和应用价 值，是一类重要的随机过程。
对0 t1 t2 tn ,
P{ N ( t1 ) k1 , N ( t 2 ) k2 , , N ( t n ) kn }
P{N(t1) N(0) k1, N(t2 ) N(t1) k2 k1,, N(tn ) N(tn1) kn kn1}
§3.1 泊松过程概念
[泊松过程的定义1]
定义 设{N(t), t∈T=[0,+∞)}为一计数过程，若满足条件: 零初值性 (1) N (0) 0;
(2)对任意的s≥t ≥0, △t >0,增量N(s+△t )－N(t+△t) 与N(s)－N(t)具有相同的分布函数；
增量 平稳 性或 齐次 性
(3)对任意的正整数n,任意的非负实数0≤t0≤t1≤··· ≤ tn,增量N(t1)－N(t0) , N(t2)－N(t1) , ··· , N(tn)－N(tn-1) 相互独立； 增量独立性 (4)对于足够小的时间△t ， P( N(t ) 1) t o(t ), P( N(t ) 0) 1 t o(t ) 普通性 P( N(t ) 2) o(t ), （ 0 是常数） 则称{N(t), t∈T=[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
思考 试给出是计数过程而不是泊松过程的例子。
9 December 2015
随机过程
9 December 2015
随机过程
§3.1 泊松过程概念
[泊松过程的定义2]
§3.1 泊松过程概念
泊松过程的样本曲线是一条阶梯曲线。
N(t)
5 4 3 2 1 t1 t2 t3 t4 t5 t6
定义 设{N(t), t∈T=[0,+∞)}为一计数过程，若满足条件: 零初值性 (1) N (0) 0;
则计数过程{N(t), t∈[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
9 December 2015
随机过程
9 December 2015
随机过程
§ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.1 泊松过程概念
注 在(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔内 出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而出 现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的高阶 无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
(2) P{ N(5) N(3) k} P{ N(2) k}
9 December 2015


其中，k 0,1, 2,
(4 2)k e 4 2 8k e 8 k! k!
随机过程
(2) E ( N (60)) 60 30
9 December 2015
时刻t，N(t)服从泊松分布。 下面考察增量N(t1,t2)=N(t2)－N(t1) (0≤t1<t2)的分布： 由增量平稳性，N(t2)－N(t1)与N(t2－t1)同分布， 利用定理， P ( N ( t1 , t 2 ) k ) P ( N ( t 2 t1 ) k )
[ ( t 2 t1 )]k ( t2 t1 ) e , k 0,1, 2, k!
9 December 2015
随机过程
9 December 2015
(t ) t (tei )k t tei t t (ei 1) e e e e e k! k! k 0 随机过程
§3.1 泊松过程概念
例2 设粒子按平均率为4个/分钟的泊松过程到达某计数
i
1024 10 (4 0.5)1 e 2 (4 2)4 e 8 e 0.0155 1! 4! 3
随机质点流 质点(或事件)陆续地随机到达(或随机发生)，
则形成一个随机质点流(随机点过程)。
(2) 对任意两时刻0 t1 t2，应有N (t1 ) N (t2 );
随机质点流的强度 通常称单位时间内平均出现的质点
个数为随机质点流的强度，记为λ。
9 December 2015
(3) 对任意两时刻0 t1 t2，增量N (t1 , t2 ) N (t2 ) N (t1 ) 等于在时间间隔[t1 , t2 )内出现或到达的随机质点个数。
9 December 2015
9 December 2015
随机过程
随机过程
《随机过程》
1
2015/12/9
§3.1 泊松过程概念
例1 设N(t)为[0 , t)时段内某电话交换台收到的呼叫次
数，t∈[0 , +∞)，N(t)的状态空间为{0 , 1 , 2 ,···}， 且具有如下性质： (1)N(0)=0,即初始时刻未收到任何呼叫； (2)在[t , s)这段时间内收到的呼叫次数只与时间间 隔s－ t有关，而与时间起点t 无关； (3)在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫 次数相互独立；
§3.1 泊松过程概念
一、泊松(Poisson)过程的定义
对于一随机质点流{X(n),n=1,2,…}，令N(t)表示 在时间段[0,t)(t≥0)内随机质点出现（或到达）的个 数，则{N(t),t∈T=[0,+∞)}是一个随机过程。 【计数过程】若随机过程{N(t),t≥0}满足如下条件：
(1) N ( t ) 0, 并取非负整数值；
器，N(t)表示在[0,t)内到达计数器的粒子个数，试求： (1)N(t)的均值、方差、自相关函数和自协方差函数； (2)在第3分钟至第5分钟之间到达计数器的粒子个数的 概率分布。
§3.1 泊松过程概念
例3 设到达某汽车站的乘客数为一泊松过程，平均每10
分钟到达5位乘客，试求： (1)在20分钟之内到达汽车站至少有10位乘客的概率； (2)60分钟内平均到达车站的乘客数。
λ=4位/小时的泊松过程，则所求概率为：
P{ N (0.5) 1, N (2.5) 5}
P{ N (0.5) 1, N (2.5 0.5) 4} P{ N (0.5) 1} P{ N (2) 4}
步骤: (1) 验证零初值性；
(2) 验证增量的独立性；
(3) 验证增量的分布为 ( ( t2 t1 ))， 或增量的特征函数为e ( t2 t1 )[ e
(2)N(t)是独立增量过程；
增量独立性
(3)对任意的t1< t2 ∈[0,+∞)} , 对应的增量N(t1 , t2)=N(t2) －N(t1)服从参数为λ(t2－t1)的泊松分布, 即
[(t t )]k P(N(t1, t2 ) k) 2 1 e(t2t1 ) , k 0,1,2, （ 0） k!
N (t , ) eik
k 0 k

k e t t1 k ( t 2 t1 ) k
n
( t n t n 1 ) k n k n 1 k1 ! ( k 2 k1 )! ( k n k n 1 )!
k1
N (t,) N(t ) () E(eiN(t ) )
§3.1 泊松过程概念
例1 设N(t)为[0 , t)时段内某电话交换台收到的呼叫次
数，t∈[0 , +∞)，N(t)的状态空间为{0 , 1 , 2 ,···}， 且具有如下性质： (4)在足够小的时间间隔△t内，
P(t时间间隔内无呼叫) P( N (t ) 0) 1 t o(t ) P(t时间间隔内有一次呼叫) P( N (t ) 1) t o(t ) P(t时间间隔内收到2次以上呼叫) P( N (t ) 2) o(t )
DN (t ) D( N(t )) t
2 2 2 N (t ) E[ N (t )] t (t )
P { N ( t1 ) N (0) k1 } P { N ( t 2 ) N ( t1 ) k 2 k1 } P { N ( tn ) N ( t n 1 ) kn kn 1 }
2015/12/9
泊松过程
第三章
泊松过程
§3.1 泊松过程概念 §3.2 随机质点的到达时间与时间间隔 §3.3 复合泊松过程与非平稳泊松过程
§3.1 泊松过程概念
引例 商场接待的顾客流；
车站的乘客流； 通信中已编码信号的误码流； 经过我国上空的流星流； 放射性物质放射出的粒子流； 要求在机场降落的飞机流，等等。
§3.1 泊松过程概念
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设{N(t), t∈T=[0,+∞)}是一强度为λ的泊松过程，则 1、均值函数 2、方差函数 3、均方值函数 4、自相关函数