深度解析层次分析法全过程
2020年注册咨询工程师深度解析层次分析法全过程—Jack·Wu
层次分析案例应用背景资料:某企业在扩大企业自主权后，委托某专业咨询机构分析如何合理利用企业利润。
负责该项目的咨询工程师从Bl:进一步调动职工劳动积极性、B2:提高企业技术水平、B3:改善职工物质与文化生活三个方面设计问卷调查表，通过问卷调查法得出可供选择的方案有:P1：发奖金;P2：扩建集体福利事业;P3：办职工业余技校;P4：建图书馆、俱乐部;P5：引进新设备。
企业决策层按照调查结果，采用两两对比法，依据企业实际情况给出以下评价：1.B2比B1明显重要；2.B3比B1稍微重要；3.B2比B3稍微重要；基于B1调动职工积极性的目标下的评价7.P1比P5强烈重要；8.P2比P3稍微重要；9.P2比P4既同样重要又稍微重要；10.P2比P5明显重要；5、若已知B2、B3目标下的评价结果，作为咨询工程师，运用定量分析方法给出方案的优先顺序？6、简述咨询机构运用层次分析法的优缺点有哪些？第一问：暗地卷烟（基础知识不多说）；第二问：层次分析法的步骤：①建立层次结构模型；②构造比较判断矩阵；③单准则下层次排序和单准则下一致性检验；④总排序和总排序下一致性检验。
A—B第一步：单准则下的①权重向量和②最大特征值计算，并进行③一致性检验一、权重向量的求解二、最大特征值的求解定义：给定某一矩阵A，寻找一个常数λ和非零向量ω，使得A·ω=λ·ω即A·ω==λ·A-B A·ω==下一步依据高中向量运算公式即：A=λD B=λE C=λF =λ·=故：λ=1/3*(A/B+B/E+C/D)综上得λmax =1/3*(0.3182/0.1047+1.9354/0.6370+0.7847/0.2583)=3.0385B1-P 的计算过程不重复，λmax =5.079211/51/3A —B51331/310.1047ωA —0.63700.258311/51/351331/310.10470.63700.25830.10470.63700.2583A B CD E FλD λE λF二、单准则下的一致性检验首先我们来简单了解一下一致性检验的含义：由矩阵A-B通过和法或者根法求解得到权重向量ω，整个计算过程没有对矩阵做质变，只是简单的归一化形变。
层次分析法步骤及案例分析
多层次分析法把人的思维过程层次化、数量化，并运用数学
分析、决策、预报或控制提供定量的依据。十分适用于具有 定量的、或定量定性兼有的决策分析；它尤其适合于人的定 性判断起重要作用、决策结果难于直接精确计量的场合，是 一种十分有效的系统分析和科学决策方法。 3.原理
目前，权属确定的方法主要采用专家咨询的经验判断法。
而且权数的基本能确定已由个人经验转向专家集体决策。
在处理数据时一般用算术平均值带白哦评委们的集中意见。
公式为：
n a ij
i1 n
j=1,2,3,...m
式中，n为评为数量； m为评价指标总数；
a j 为第j个指标的权属平均值；
a ji 为第i个评委给第j个指标权数 的打分值
征值有以下关系：
n
i nmax
i2
上述结论知道，当判断矩阵不完全一致时，相应的判断矩 阵的特征值也发生变化，因此我们引入判断矩阵最大特征 值以外的其余特征根的负平均值，作为衡量判断矩阵偏离 一致性的指标，即用
CImaxn
n1
CI值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大： CI越小，表明判断矩阵一致性越好。
1 2 3 4 7 1/3 1 3 2 5
B1 1/5 1/3 1 1/2 1 1/4 1/2 2 1 3
1/7 1/5 1/2 1/3 1
1 1/7 1/3 1/5
B2 753
1 1/5 1/ 2
5 1 3
3 11/3
1 1 3 3
层次分析法经典案例
层次分析法经典案例层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种常用的多准则决策方法，被广泛应用于企业管理、工程项目评估、市场调研等领域。
本文将通过一个经典案例，介绍层次分析法的基本原理和应用过程。
一、案例背景某企业计划购买新设备，以提升生产效率和质量。
然而，在众多可选设备中，如何选择最适合企业发展的设备成为了业主面临的难题。
为了解决这一问题，业主决定应用层次分析法进行设备选择。
二、层次分析法基本原理层次分析法基于一个重要思想，即将复杂的决策问题拆解为具有层次结构的多个因素，并通过层次化的比较和综合分析，最终得出决策结果。
1. 构建层次结构首先，我们需要将决策问题划分为不同的层次，并构建层次结构。
在这个案例中，可以将设备选择问题划分为三个层次：目标层、准则层和备选方案层。
目标层代表企业的最终目标，即实现高效生产；准则层包括影响设备选择的各种准则，如设备价格、性能指标、售后服务等；备选方案层包括具体的设备选项。
2. 建立判断矩阵接下来，我们需要对不同层次的因素进行两两比较，建立判断矩阵。
通过专家主观判断，给出两个因素之间的相对重要性，采用1-9的尺度，其中1代表两者具有相同重要性，9代表一个因素相对于另一个因素极端重要。
比如，在准则层中，设备性能指标对设备价格的重要性为6。
3. 计算权重向量利用判断矩阵，我们可以计算出每个层次的权重向量。
通过对判断矩阵进行归一化处理，可获得各因素的权重。
权重向量表示了各因素对当前决策的贡献程度，可作为后续分析的依据。
例如，计算准则层中各因素的权重向量。
4. 一致性检验为了保证判断矩阵的合理性，我们需要进行一致性检验。
通过计算一致性指标和一致性比率，评估判断矩阵是否存在较大的一致性问题。
若一致性比率超过一定阈值，需要检查和修正判断矩阵。
5. 优先级排序最后，结合各层次的权重，我们可以进行优先级排序，得出对不同备选方案的排序结果。
根据排序结果，我们可以选择最合适的备选方案。
层次分析法
一、概念概述（一）层次分析法(Analytic Hierarchy Process 简称AHP) 是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
它是一种将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
它不仅可以直接用于多目标、多层次、难于完全用定量方法进行分析决策的系统工程问题，而且也是多目标决策问题中解析地确定各项指标权重的一种有效方法。
它将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法。
陈永安.基于层次分析法的高校中层干部绩效考评指标体系设计[J].龙岩学院学报2010(4):1 （二）层次分析法，即Analytic Hierarchy Process，简称AHP ,是由Satty提出的一种多准则决策方法，该种方法具有定量和定性相结合处理各种决策因素的特点，再加上其具有简洁、灵活以及系统等方面的优点，致使其被广泛的应用在经济、社会以及电网等众多领域中。
层次分析法的原理表现为:建立清晰的层次结构，建立方案属性决策表，以此分析复杂的问题，然后引入测度理论，经过比较后，用相对标度把人的判断标准进行量化处理，形成判断矩阵，通过求解判断矩阵的权重，计算出决策方案的综合权重并排序。
刘华诚.层次分析法在城市电网规划中的应用[J].企业技术开发2014(5)：61（三）层次分析法(analytic hierarchy process, AHP)将多种因素层次化，并逐层比较其关联因素，为分析和预测事物的发展提供依据。
层次分析法需要首先对复杂系统所包含的各类因素进行分析，并将这些因素按逻辑顺序进行分组，以形成有序的逐级层次结构。
然后针对每一层中各因素的相对重要性进行比较，建立判断矩阵。
通过计算该矩阵的最大特征值及其相应的特征向量，得到下一层次各要素对上一层次某要素的重要性次序，以建立相应的权重向量。
段若晨，王丰华.采用改进层次分析法综合评估500 kV 输电线路防雷改造效果[J].2014（01）：133（四）层次分析法在解决问题时，首先对问题所涉及的各因素进行分类，全部因素分为目标层、准则层、方案层(部分文献中也称作措施层)，找出相互关系，构造一个有序的递阶层次结构，然后通过决策者对各因素的重要程度比较判断，计算各决策方案在不同准则及总准则下的相对重要程度，最后得出决策方案的优劣排序。
层次分析法步骤解析—根法、和法、幂法
层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。
它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。
这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。
AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。
这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。
一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。
（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。
（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。
典型的递阶层次结构如下：总目标m一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
（2）整个结构不受层次限制。
（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。
（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。
二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij)m×m。
层次分析法解题过程
根据组合权向量 进行方案…
根据问题的性质和目标， 将问题分解为不同的组成 因素，并根据因素间的相 互关联影响以及隶属关系 将因素按不同的层次聚集 组合，形成一个多层次的 分析结构模型。
对同一层次的各元素关于 上一层次中某一准则的重 要性进行两两比较，构造 两两比较判断矩阵。
通过判断矩阵计算被比较 元素的相对权重，并对判 断矩阵进行一致性检验。
层次分析法解题过程
目录
Contents
• 层次分析法简介 • 建立层次结构 • 构造判断矩阵 • 层次单排序 • 层次总排序 • 层次分析法应用案例
01
层次分析法简介
定义与特点
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种定性与定量相结合的多准则决策 分析方法，主要用于解决结构较为复杂、决策准则较多且不易量化的决策问题。
层次的分析结构模型。
根据专家意见或用户需求， 对同一层次中各因素的相对 重要性进行两两比较，并给 出判断值，形成判断矩阵。
通过一定的计算方法（如特 征根法、和积法等）计算出 判断矩阵的最大特征值对应 的特征向量，即为权向量。
为了确保判断矩阵的一致性，需要进 行一致性检验。通过计算一致性指标 CI和随机一致性指标RI，可以得出一 致性比率CR=CI/RI。如果CR小于0.1， 则认为判断矩阵的一致性可以接受；
定义与特点
所需定量数据信息较少
层次分析法在解决问题时，不需要大量的定量数据信息，只需要对决策因素进 行两两比较和排序即可。
强调决策者的判断和决策能力
层次分析法在解决问题时，需要决策者对决策因素进行两两比较和排序，因此 需要决策者具备一定的判断和决策能力。
应用领域
层次分析法步骤解析—根法、和法、幂法
层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty 提出的。
它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。
这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。
AHP 十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。
这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。
一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。
（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。
（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。
典型的递阶层次结构如下：m 一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
（2）整个结构不受层次限制。
（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。
（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。
二、构造比较判断矩阵设有m 个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m 个目标两两进行比较，把第i 个目标（i=1,2,…,m ）对第j 个目标的相对重要性记为a ij ，(j=1,2,…,m)，这样构造的m 阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，准则1准则2 准则3 准则m 1子准则1子准则2 子准则3子准则m 2方案1 方案2 方案3 方案n总目标简称判断矩阵，记作A=(a ij )m ×m 。
层次分析法案例与步骤
层次分析法实例与步骤下面结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点.【案例】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。
除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素,即是多准则决策问题,考虑运用层次分析法解决.1。
建立递阶层次结构应用AHP解决实际问题,首先明确要分析决策的问题,并把它条理化、层次化,理出递阶层次结构.AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：●目标层(最高层）：指问题的预定目标；●准则层（中间层)：指影响目标实现的准则；●措施层(最低层）：指促使目标实现的措施；通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的,即目标层只有一个元素。
然后找出影响目标实现的准则,作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多,这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素(受上一层元素支配），不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。
在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是明显的。
最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层).明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构在市政工程项目决策问题中,市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。
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层次分析案例应用
背景资料:
某企业在扩大企业自主权后，委托某专业咨询机构分析如何合理利用企业利润。
负责该项目的咨询工程师从Bl:进一步调动职工劳动积极性、B2:提高企业技术水平、B3:改善职工物质与文化生活三个方面设计问卷调查表，通过问卷调查法得出可供选择的方案有:P1：发奖金;P2：扩建集体福利事业;P3：办职工业余技校;P4：建图书馆、俱乐部;P5：引进新设备。
企业决策层按照调查结果，采用两两对比法，依据企业实际情况给出以下评价：1.B2比B1明显重要；2.B3比B1稍微重要；3.B2比B3稍微重要；基于B1调动职工积极性的目标下的评价
7.P1比P5强烈重要；8.P2比P3稍微重要；9.P2比P4既同样重要又稍微重要；10.P2比P5明显重要；
5、若已知B2、B3目标下的评价结果，作为咨询工程师，运用定量分析方法给出方案的优先顺序？
6、简述咨询机构运用层次分析法的优缺点有哪些？
第一问：暗地卷烟（基础知识不多说）；
第二问：层次分析法的步骤：
①建立层次结构模型；②构造比较判断矩阵；
③单准则下层次排序和单准则下一致性检验；④总排序和总排序下一致性检验。
A—B
第一步：单准则下的①权重向量和②最大特征值计算，并进行③一致性检验一、权重向量的求解
二、最大特征值的求解
定义：给定某一矩阵A，寻找一个常数λ和非零向量ω，使得A·ω=λ·ω
即A·ω=
=λ·
A-B A·ω=
=
下一步依据高中向量运算公式
即：A=λD B=λE C=λF =λ·=
故：λ=1/3*(A/B+B/E+C/D)
综上得λmax =1/3*(0.3182/0.1047+1.9354/0.6370+0.7847/0.2583)=3.0385B1-P 的计算过程不重复，λmax =5.0792
1
1/5
1/3A —B
51331/3
1
0.1047
ωA —0.6370
0.2583
11/51/351331/3
1
0.10470.63700.2583
0.1047
0.6370
0.2583
A B C
D E F
λD λE λF
二、单准则下的一致性检验
首先我们来简单了解一下一致性检验的含义：
由矩阵A-B通过和法或者根法求解得到权重向量ω，整个计算过程没有对矩阵做质变，只是简单的归一化形变。
所以，我们可以简单的认为（权重向量ω）是（矩阵A-B）在无权重干预情况下的归一化评分，且这个评分按照线性代数理论：特征值之和等于对角线元素之和，记为3ω（这个想要了解为什么的可以私聊我）。
其次我们要深刻的认识一下新向量（A·ω），它完全区别于（矩阵A-B）或（权重向量ω），可以解释为：新向量（A·ω）表示A矩阵在权重干预后的科学评价结果，这个结果相对（矩阵A-B）或（权重向量ω）已经更加接近于真实的评价结果。
在没有求解λ
max
之前这是两个独立的评价结果。
至此我们就得出A矩阵的两种得分，即3ω和（A·ω）。
现在假设我们在构造判断矩阵时，思维标准是一致的，那么可以认为3ω和（A·ω）这两个评分无限接近，则3ω≈（A·ω）。
结合A·ω=λ·ω，可以得出λ≈3且λ≥3。
上述条件满足的时候，我们判定A矩阵具有满意的一致性。
那么λ与3是怎样接近为最满意？根据上诉λ≈3且λ≥3，我们令CI=λ
max
-n表示两者的偏差数值，偏差越小说明一致性越高。
为了评价这个偏差数值的满意程度，必须引入相对
指标的概念，我们根据1000次随机判断矩阵算出λ
max
，求得平均一致性指标λ，计算平均偏差数值，带入公式CI’=λ-n记为RI’，CI’/RI’=CR’的比值称为一致性比例，即CR’
=（λ
max
-n）/（λ-n）。
我们认为10%的相对偏差表示可以接受，故CR’＜0.1可作为一致性检验的标准。
但是还要注意的是，层析分析法中的矩阵秩应满足n
min
≥1，为满足这个要求，我们将分母同时除以（n-1）作为约束条件。
最终公式为
CR=（（λ
max
-n）/（n-1））/RI（常数）
对于矩阵A-B，已求得λ
max
=3.0385，查表得RI=0.58，求得CR=0.0332
对于矩阵B1-P，已求得λ
max
=5.0792，查表得RI=1.12，求得CR=0.0177
所以，A-B层次和B1-P层次单独排序的CR均＜0.1，符合满意一致性要求。
第二步：各单准则结合下的总排序，并进行一致性检验
上述我们分别求得了A-B，B1-P,B2-P,B3-P的特征向量
ωA=（0.10470.63700.2583）T
ωB1=（0.49560.23190.08480.13740.0503）T
ωB2=（00.05530.56500.11750.2622）T
ωB1=（0.37500.37500.12500.12500）T
这里我们要明确三点：
①四个特征向量可以看做为四个归一化评分；
②如果某个准则元素对上一层元素无支配关系，则记为0分，不可不记；
③总排序无非还是下一层次对上一层次的单准则排序及一致性检验。
转化图示为：
第一步：模型建立
第二步：构造判断矩阵A—B
B1—P B2—P B3—P
0.495600.3750
0.23190.05530.3750
（A-B）—（B-P）0.08480.56500.1250
0.13740.11750.1250
0.05030.26220
第三步：层侧总排序，即求权重向量（归一化评分）
W=（A-B）—（B-P）矩阵*ωA
0.495600.3750
0.23190.05530.3750
=0.08480.56500.1250*（0.10470.63700.2583）T
0.13740.11750.1250
0.05030.26220
=（0.14880.15640.40110.12150.1723）T
以上向量即为P1-P5在总目标层次下的权重
第四步：层次总排序一致性检验
单层次一致性检测时，计算一致性指标时不用考虑上层次影响。
但总排序时为了消除层与层之间比较尺度累加的差异，我们必须对从上往下对CI和RI进行纠偏,且CI偏差应累计。
即CI k=CI k-1·ωk-1RI k=RI k-1·ωk-1总偏差比例=CR k+CR k-1
CIA=(0.01980.0390)T RIA=(1.120.90)T
求得CIB-P=CIA*ωA=0.0269向量计算省略
RIAB-P=RIA*ωA=0.923向量计算省略
总偏差比例=CR k+CR k-1=0.0332+0.0269/0.932=0.0624<0.1
由此，总排序一致性通过。
权重排序为（0.14880.15640.40110.12150.1723）
第六问：P18-19页略。