《函数的单调性、奇偶性》复习教案高品质版

《函数的单调性、奇偶性》复习教案高品质版

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

《函数的单调性、奇偶性》复习教案

一、函数的单调性

一、函数的增减性即函数的单调性直观的说：

在某区间上，增函数⇔ 图象上升

减函数⇔图象下降

二、函数的增减性即函数的单调性准确的说：

设函数y=f(x)的定义域为A,区间D ⊆A.区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2，

（1）x 1

即[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212

()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； （2）x 1

即[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212

()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 单调性：注意，只要一说起单调函数，一定存在单调区间，并且判断单调性不能跨区间进行讨论。

三． 证明函数f(x)在区间M 上具有单调性的方法：

定义法 ； 图像法； 性质

1.函数)(x f 在定义域上是单调函数，且)(x f ＞0，那么在同一定义域上，)(x f y -=、)(1x f y =与()y f x =单调性相反；a x f y +=)(

、y =与()y f x =单调性相同

2.对于两个函数而言：

增函数+增函数=增函数 增函数-减函数=增函数

减函数-增函数=减函数 减函数+减函数=减函数

四、证明函数f(x)在区间M 上具有单调性的方法：利用定义

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 五、单调性应用

类型一 函数的最值问题

若函数y=f （x ）在闭区间[a ，b]上是单调函数，则函数y=f （x ）在[a ，b]上一定有最大、小值。

①若y=f （x ）在[a ，b]上是单调递增函数，则y=f （x ）的最大值是f （b ），最小值是f （a ）；

②若y=f （x ）在[a ，b]上是单调递减函数，则y=f （x ）的最大值是f （a ），最值是f （b ）

③函数y=f(x)在区间[a ，b]上递增，在区间[b ，c]上单调递减,则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；

④如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上递减，在区间[b ，c]上递增,则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

例1：求下列函数的值域

(1) y=2x-3 , ∈x [-3,5] (2) y=5-6x, ∈x

[-1,2]

(3)21y x =-+

(3)1y x =+例：已知：函数

(1) 判断f(x)在[3，5]上的单调性，并证明；（2）求f(x)在[3，5]上的最值。

（1）解 f(x)在[3，5]上是减函数

证明：任取两个值x 1、x 2∈[3，5]，且x 1＜x 2．

2

1)(-+=x x x f

121221************(1)(2)(1)(2)3()()()22(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x f x f x x x x x x x +++--+---=-==------ ∵x 1、x 2∈[3，5]，且x 1＜x 2．∴ x 2-x 1>0,12(2)(2)x x -->0

∴1212()()0()()f x f x f x f x ->>即∴f(x)在[3，5]上是减函数

（2）∵f(x)在[3，5]上是减函数∴

max min ()(3)4()(5)2f x f f x f ==== 类型二 已知单调性求参数值或取值范围

例：函数,2)1(2)(2+-+=x m x x f 当[)∞∈,4x 时是增函数，(]4,∞-∈x 时是减函数，求m 值。 分析：由题意知对称轴412

)1(2=-=--=m m x 所以 3-=m 4：（1）函数2)1(2)(2+-+=x m x x f 在区间)4,(-∞ 上是减函数，求实数m 的取值范围。

(2)已知2)1(2)(2+-+=x m x x f 在区间[)+∞,4是增函数，求m 的取值范围。 类型三 利用函数的单调性解不等式

(1) 由函数的单调性的定义知：

已知数y =f （x ）在定义域的某个区间为增函数，若x 1＜x 2，则f （x 1）＜f （x 2），

反之，若f （x 1）＜f （x 2）时，则x 1＜x 2。

(2) 当y= f （x ）在定义域某个区间上为减函数时，若x 1＜x 2，则f （x 1）＞f （x 2），

反之，若f （x 1）＞f （x 2）则有x 1＜x 2。

例:函数f(x)在(0, +∞)上是减函数,比较f(a 2

－a+1)与f(34)的大小. 解: a 2－a+1=212a ⎛⎫- ⎪⎝

⎭+34≥34>0 又因为f(x)在(0, +∞)上为减函数. 所以f(a 2－a+1)≤f(34

) 注意:本题的关键是利用函数在(0, +∞)上单调性.

例3.已知f(x)在它的定义域[－17，+∞）上是增函数,且f(3)=0,试解不等式

f(7x －5)<0。