1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件
合集下载
高中物理 1.4 阻尼振动 受迫振动课件
❖ 答案 不变．周期与振幅无关．
预习导学
❖ 二、受迫振动
❖ 1．驱动周力期：性
的外力．
❖ 2．受迫振动：驱系动统力在 动．
作用下的振
驱动力
❖ 3 ． 振 动 稳 定 后 受 迫 振 没动有的 周 期 总 等 于 的周期，受迫振动稳定后的频率与物体的固 有频率 等于关系．
❖ 三、共振
共振
❖ 驱动力的频率
预习导学 课堂讲义 对点练习
[探背景]
第4讲 阻尼振动 受迫振动
本文选自《汉字王国》。该书以图文并茂的形式讲述中国文字的起源和特点，
选取 200 多个与人的生活有关的字进行细致的讲解，如与人的身体、住房、器
皿、丝和麻、家畜、农具、车船、道路等有关的字，同时分析和描述中国人的
生活方式和风俗习惯，从而使人加深对文字的理解，把学术性与趣味性熔于一
这会让孩子们学习语文、学习国语的积极性、自觉性和趣味性，得到空前推进
和提升，正如歌曲《中国话》所唱到的，“最爱说的话永远是中国话，字正腔圆
落地有声说话最算话；最爱写的字是先生教的方块字，横平竖直堂堂正正做人
要像它”。高考语文分数增加，可以让祖国语言文字自豪感、民族文化自豪感、
民族文化自信力，得到现代化的继承和发扬光大。
【答案】 (1)清楚 (2)清晰
预习导学 课堂讲义 对点练习
第4讲 阻尼振动 受迫振动
第 4 步辨熟语——于细微处细斟酌 请判断下列加点的成语使用是否正确。 (1)这里的森林遭到严重破坏，由于经济贫困，群众生态保护意识淡薄，过 度开发，导致土壤严重流失，沙漠化的土地荒．无．人．烟．。( ) 理由：
预习导学 课堂讲义 对点练习
第 3 步用词语——送你一双慧眼
第4讲 阻尼振动 受迫振动
预习导学
❖ 二、受迫振动
❖ 1．驱动周力期：性
的外力．
❖ 2．受迫振动：驱系动统力在 动．
作用下的振
驱动力
❖ 3 ． 振 动 稳 定 后 受 迫 振 没动有的 周 期 总 等 于 的周期，受迫振动稳定后的频率与物体的固 有频率 等于关系．
❖ 三、共振
共振
❖ 驱动力的频率
预习导学 课堂讲义 对点练习
[探背景]
第4讲 阻尼振动 受迫振动
本文选自《汉字王国》。该书以图文并茂的形式讲述中国文字的起源和特点，
选取 200 多个与人的生活有关的字进行细致的讲解，如与人的身体、住房、器
皿、丝和麻、家畜、农具、车船、道路等有关的字，同时分析和描述中国人的
生活方式和风俗习惯，从而使人加深对文字的理解，把学术性与趣味性熔于一
这会让孩子们学习语文、学习国语的积极性、自觉性和趣味性，得到空前推进
和提升，正如歌曲《中国话》所唱到的，“最爱说的话永远是中国话，字正腔圆
落地有声说话最算话；最爱写的字是先生教的方块字，横平竖直堂堂正正做人
要像它”。高考语文分数增加，可以让祖国语言文字自豪感、民族文化自豪感、
民族文化自信力，得到现代化的继承和发扬光大。
【答案】 (1)清楚 (2)清晰
预习导学 课堂讲义 对点练习
第4讲 阻尼振动 受迫振动
第 4 步辨熟语——于细微处细斟酌 请判断下列加点的成语使用是否正确。 (1)这里的森林遭到严重破坏，由于经济贫困，群众生态保护意识淡薄，过 度开发，导致土壤严重流失，沙漠化的土地荒．无．人．烟．。( ) 理由：
预习导学 课堂讲义 对点练习
第 3 步用词语——送你一双慧眼
第4讲 阻尼振动 受迫振动
1.4有阻尼的受迫振动解析
F0 it c k x x x e m m m
其中， 0
k m
系统的无阻尼固有频率；
系统的阻尼比；
c 2 km
i (t ) x ( t ) Ae 设非齐次方程的特解，即稳态响应：
2 A 2 e i (t ) i 2 0 Ae i (t ) 0 Aei (t )
2. s＝1处，即 不同
区间单调上升的曲线；
1 0 2 时，共振，
的曲线共交于一点。
3. 小阻尼 0
s 1
0
时，激励力与位移同相； 时，激励力与位移反相；
s 1
,
l 例题：已知等效质量m且可简化于杆长 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3 F (t ) F0 sin t ，水平位置平衡，试求： 1. 动力学微分方程；
第四节 有阻尼的受迫振动
一．
定义：
受迫振动：有阻尼的系统在外界控制的持续激 励作用下所产生的振动。 激励：外界力、基座运动所产生的惯性力。 响应：激励所引起的系统的振动状态。
非自治系统：显含时间变量的系统。
二．
有阻尼受迫振动
受激励力存在使得动力学方程成为非齐次方程：
cx kx F0 eit m x
9 F0 4c 9k sin t m m ml
(2)
0
9k k =3 m m
2c m
3F0 B k
2c 0 3 mk
9F 4c 9k 0 sin t m m ml
当 n时 振幅（最大摆角)
Amax B 3F0 3 mk 9F0 2 2kl 2c 4cl
2.
s＝1（接近共振），且
阻尼振动受迫振动ppt课件
在阻尼振动中，振动系统的机械能减小，即动能和势能之和减小．但在一段较短的时间 内，动能和势能不一定都减小，关键是要看动能与势能之间是如何转化的．
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
1．(多选)弹簧振子在振动过程中振幅逐渐减小，这是由于( ) A．振子开始振动时振幅太小 B．在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量 C．动能和势能相互转化 D．振子的机械能逐渐转化为内能
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
[特别提醒] (1)振幅的大小表征一个振动系统总机械能的大小，当振动过程有介质阻力做功时，机械 能转化为内能，机械能减少，振幅减小． (2)物体做受迫振动时，驱动力的频率与物体的固有频率相差越小，受迫振动振幅越大， 驱动力的频率等于物体的固有频率时振幅最大．
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
4 阻尼振动 受迫振动
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
[课标解读] 1.知道阻尼振动，知道自由振动和阻尼振动的区别.2.掌握受迫振动的概 念，理解受迫振动的振幅与驱动力的频率之间的关系.3.理解共振的原因，掌握产生共振 的条件．
教科版物理 ·选修3-4
要点一 对阻尼振动的理解
1．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动． 实际的振动系统不可避免地要受到摩擦力和其他阻力作用(即受到阻尼的作用)，将一部分 机械能转化为其他形式的能量，导致振动的总能量不断减小，因而振动的振幅也不断减 小．
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
2．影响振幅减小的因素 振幅减小的快慢跟振动所受的阻尼有关，阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼越小，振幅 减小得越慢．当阻尼很小时，在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可认为是等 幅振动． (1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小决定． (2)物体做无阻尼振动，并不一定指它不受阻尼，而是指它在振动过程中保持振幅不变． (3)物体做阻尼振动时，振幅虽然不断减小，但振动的频率仍由振动系统的结构特点所决 定，并不会随振幅的减小而变化．例如用力敲锣，由于锣受到阻尼作用，振幅越来越小， 锣声减弱，但音调不变．
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
1．(多选)弹簧振子在振动过程中振幅逐渐减小，这是由于( ) A．振子开始振动时振幅太小 B．在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量 C．动能和势能相互转化 D．振子的机械能逐渐转化为内能
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
[特别提醒] (1)振幅的大小表征一个振动系统总机械能的大小，当振动过程有介质阻力做功时，机械 能转化为内能，机械能减少，振幅减小． (2)物体做受迫振动时，驱动力的频率与物体的固有频率相差越小，受迫振动振幅越大， 驱动力的频率等于物体的固有频率时振幅最大．
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
4 阻尼振动 受迫振动
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
[课标解读] 1.知道阻尼振动，知道自由振动和阻尼振动的区别.2.掌握受迫振动的概 念，理解受迫振动的振幅与驱动力的频率之间的关系.3.理解共振的原因，掌握产生共振 的条件．
教科版物理 ·选修3-4
要点一 对阻尼振动的理解
1．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动． 实际的振动系统不可避免地要受到摩擦力和其他阻力作用(即受到阻尼的作用)，将一部分 机械能转化为其他形式的能量，导致振动的总能量不断减小，因而振动的振幅也不断减 小．
教科版物理 ·选修3-4
返回导航 上页
下页
2．影响振幅减小的因素 振幅减小的快慢跟振动所受的阻尼有关，阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼越小，振幅 减小得越慢．当阻尼很小时，在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可认为是等 幅振动． (1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小决定． (2)物体做无阻尼振动，并不一定指它不受阻尼，而是指它在振动过程中保持振幅不变． (3)物体做阻尼振动时，振幅虽然不断减小，但振动的频率仍由振动系统的结构特点所决 定，并不会随振幅的减小而变化．例如用力敲锣，由于锣受到阻尼作用，振幅越来越小， 锣声减弱，但音调不变．
1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件
F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1： 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)
2013-2014学年高二物理配套课件：1.4 阻尼振动 受迫振动（教科版选修3-4）
心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振
筛，筛子在做自由振动时，20 s内完成了10次全振动．在某
电压下电动偏心轮转速是36 r/min，已知如果增大电压可以
使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周
期，那么，要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是
( )．
A．提高输入电压
B．降低输入电压
D．物体在周期性外力作用下振动，它的振动频率最终等于驱
动力频率
解析 物体在周期性外力作用下的振动叫做受迫振动，选项C对， B错；这个周期性的外力应当能给振动物体补充能量，而阻力不行， 选项A错；受迫振动的频率最终等于驱动力频率，选项D对． 答案 CD
对共振现象的理解
【典例2】 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏
借题发挥 只有正确理解阻尼振动，才能解答本题．做阻尼振动 的物体，由于克服阻力做功，所以机械能会逐渐减少，但在机械 能减少的过程中，动能和势能还会交替变化．
【变式1】
下列说法中正确的是
( )．
A．有阻力的振动叫做受迫振动
B．物体振动时受到外力作用，它的振动就是受迫振动
C．物体在周期性外力作用下的振动叫做受迫振动
对简谐运动、阻尼振动与受迫振动的理解 【典例1】 如图1-4-3所示是一个弹簧振子做阻尼振动的振动图像，
曲线上A、B两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是 ( )．
图1-4-3
A．振子在A时刻的动能等于B时刻的动能 B．振子在A时刻的势能等于B时刻的势能 C．振子在A时刻的机械能等于B时刻的机械能 D．振子在A时刻的机械能大于B时刻的机械能 解析 由于弹簧振子做阻尼振动，所以A时刻的机械能大于B时刻 的机械能，选项C错、D对；由于弹簧的弹性势能与弹簧的形变量 (即位移)有关，所以选项B对；振子在A时刻的动能大于B时刻的动 能，选项A错． 答案 BD
【正式版】阻尼振动受迫振动共振PPT
T 2 2 m
K
由于振动系统要不断克服阻力作功，所以要逐渐
损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止。
1.阻尼振动方程（低速）
以弹簧一维振动为例
振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，
与其方向相反。
v
fr
v
dx dt
F弹, f x
FF弹frk xv ma o x
d2x mdt2
k
x
dx dt
弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
阻尼振动受迫振动 共振
一、阻尼振动
实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和阻 力共同作用的振动叫阻尼振动。
•当物体低速运动时，阻力 f cv
弹簧、单摆振动过程，受到的阻力与速度正比反向。
•当物体高速运动时，阻力 f cv2
子弹运动、卫星发射过程，受到的阻力与速度平方正
比反向。 • 无阻尼的自由振动 • 谐振子的阻尼振动
2 在受迫振动中，振子因外力对它作功而获得能量，同时又因有阻尼而损耗能量。
第二项为策动力产生的周期振动。
dx dx 受迫振动方程---二阶常系数非齐次微分方程
2
2 xhco ts 2 0 在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫力------策动力。
弹簧、单摆振动过程，受到的阻力与速度正比反向。
d d22 xtm d dx t m kxH mcop st
k H 2
临界阻尼情况是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中。
令 2 , , h 两项都衰减，不是周期振动。
0
m m m 受迫振动方程---二阶常系数非齐次微分方程
受迫振动可以看成是两个振动合成的。
有阻尼系统受迫振动 振动力学课件
0
kl
k m2
l2 l
C
c
l
1
k m
l2 (1 ) l l2 1 2 l2 0
l 1
1 0
1 0
2 2
2
2k m
1 0
2 2
l2
l
2
l
1(1)
0
1 1
l2
l
2
l 1
11(2)
0
1
(1) l
1
(2)
1 l
1
1
l 1
1 l
本征值问题： M2 CP K 0
有非零解的充要条件： M 2 CP K 0
一般粘性阻尼系统的特征方程
2n 个特征值： 1, 2 , , 2n 实数或复数
一般粘性阻尼系统的特征方程 M 2 CP K 0
2n 个特征值： 1, 2 , , 2n 实数或复数
相对应，2n 个特征向量: 1 , 2 , , 2n
例题：
质量为3m、长为 的刚性板左端用铰链支承于地面，右端通过支
架支承于浮船支架的刚度系数为k，粘阻尼系数为c，浮船的质量为m。
水浪引起简谐激励力 （作业题4.21）
F上0 s，in作t用于浮船。求板的最大摆动角度。
解：两个自由度系统 , x
J k l xl c l x
mx k l x F0 sint c(l x)
M的、线K性组合，属于精确对角化矩阵,在实际中
证明：
Cp TC T M K T M T K
Mp Kp
对角阵
2. 弱非对角矩阵
忽略 C矩p 阵中的全部非对角元素 C p C pi
Cpij 0
但 C p相ij 对 C较P小j ，
4_1_4阻尼、受迫振动
ω = ω0
此时速度振幅达到极大值： 此时速度振幅达到极大值：υ max
tan = 2 βω ω 02 ω 2
h = 2β
h h π π cos ω t cos( ω t + ) = 则： υ = 2β 2β 2 2
= π 2
受迫振动的速度表达式： 受迫振动的速度表达式：υ = ω A sin( ω t + )
即 其中， 其中，A =
2 (ω 0 ω 2 ) 2 + ( 2 βω ) 2
驱动力 f = H cosωt
x = A cos(ωt + )
h
（稳态解） 稳态解）
2 βω tan = 2 ω0 ω 2 ( π < < 0 )
其中， 其中， A =
2 (ω 0 ω 2 ) 2 + ( 2 βω ) 2
阻尼振动(damped vibration) §1.6 阻尼振动
一、阻尼 阻尼(damping) 阻尼 阻尼：减小振动系统振幅， 阻尼：减小振动系统振幅， 即消耗振动系统能量的原因。 即消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类： 阻尼种类： 摩擦阻尼：因受摩擦阻力而消耗能量； 摩擦阻尼：因受摩擦阻力而消耗能量； 滑动摩擦、气体阻力、液体阻力等。 如，滑动摩擦、气体阻力、液体阻力等。 辐射阻尼：振动以辐射的形式消耗能量。 辐射阻尼：振动以辐射的形式消耗能量。 乐器的声波辐射、电磁辐射等。 如，乐器的声波辐射、电磁辐射等。 实际中， 实际中， 常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来处理。 常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来处理。
二、阻尼振动的动力学方程 1. 阻力 对于在流体(液体 气体)中运动的物体 液体、 中运动的物体， 对于在流体 液体、气体 中运动的物体， 当物体速度较小时， 速度。 当物体速度较小时，阻力 ∝ 速度。
此时速度振幅达到极大值： 此时速度振幅达到极大值：υ max
tan = 2 βω ω 02 ω 2
h = 2β
h h π π cos ω t cos( ω t + ) = 则： υ = 2β 2β 2 2
= π 2
受迫振动的速度表达式： 受迫振动的速度表达式：υ = ω A sin( ω t + )
即 其中， 其中，A =
2 (ω 0 ω 2 ) 2 + ( 2 βω ) 2
驱动力 f = H cosωt
x = A cos(ωt + )
h
（稳态解） 稳态解）
2 βω tan = 2 ω0 ω 2 ( π < < 0 )
其中， 其中， A =
2 (ω 0 ω 2 ) 2 + ( 2 βω ) 2
阻尼振动(damped vibration) §1.6 阻尼振动
一、阻尼 阻尼(damping) 阻尼 阻尼：减小振动系统振幅， 阻尼：减小振动系统振幅， 即消耗振动系统能量的原因。 即消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类： 阻尼种类： 摩擦阻尼：因受摩擦阻力而消耗能量； 摩擦阻尼：因受摩擦阻力而消耗能量； 滑动摩擦、气体阻力、液体阻力等。 如，滑动摩擦、气体阻力、液体阻力等。 辐射阻尼：振动以辐射的形式消耗能量。 辐射阻尼：振动以辐射的形式消耗能量。 乐器的声波辐射、电磁辐射等。 如，乐器的声波辐射、电磁辐射等。 实际中， 实际中， 常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来处理。 常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来处理。
二、阻尼振动的动力学方程 1. 阻力 对于在流体(液体 气体)中运动的物体 液体、 中运动的物体， 对于在流体 液体、气体 中运动的物体， 当物体速度较小时， 速度。 当物体速度较小时，阻力 ∝ 速度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0.25 0.375
0.5
max
2
1
1 2
0
1
1 2 2 0
0
1
1
2
s
3
（6）当 1 , 1 结论：振幅无极值
2
max
1
2
Q
Q为系统的品质因数
阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭
三、稳态响应的特性
以s为横坐标 (s曲) 线
(s) tan1 2 s
1 s2
相频特性曲线
（1）当s<<1（ ）0
拍的周期：
0
x(t )
B 2
sin
0t
图形包络线：
0 B
B
2
sin
0t
2
0
B
2
sin 0t
t
2 0
阻尼自由振动 x(t) e0t Asin(dt )
x(t)
B
2
sin
0t
cos0t
当 0
x(t)
B
2
sin
0t
cos0t
B
2
0t
cos0t
1 2
B0t
c
os0t
随 t 增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形。
F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
B 1 s2
cos t
mx kx F0 sin t 的全解：
x(t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
相同
不同
mx kx F0 sin t 的全解：
x(t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
考虑零初始条件，有：
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应
&x& c x& k x F0 eit mm m
&x& 20x& 02x B02eit
0
k m
c
（系统的阻尼比）
2 km
B F0 静变形 k
设非齐次方程的特解，即稳态响应：
x(t) Aei(t ) x(t) iAei(t ) x(t) A e2 i(t )
（2）当s>>1（ 0）
激振频率相对于系统固有频率很高
0 结论：响应的振幅很小 x(t) B ei(t )
（3）在s>>1，s<<1领域
(s)
对应于不同值对应于不同值,曲线 5
0 0.1
较为密集，说明阻尼的影响不显著 4
结论：系统可以按无阻尼情况考虑 3
x
B 1 s2
eit
2 1
0.25 0.375
s 系统的频率比； 0
A B系统的稳态响应的实振幅；
A B= F0
1
m (1 s2 )2 (2 s)2
(s) A 系统的振幅放大因子，它是关于频率比的函数（系统的幅频特性）； B
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
(s) 系统的响应与激励的相位角，它是关于频率比的函数（系统的相频特性）。
x(t)
B 1 s2
(sint
s
sin 0t)
若激励频率与固有频率十分接近 s 1 0
令： s 1 2 ε 小量
s 1 2 代入：
x(t)
B 1 s2
(sint
s
sin 0t)
1
(4
B 2
4
1)
(sin
t
s
sin
0t)
B
4
(s in t
s sin 0t)
B
4
[sin(1
2 )0t
sin 0t]
m m ml
(2)
0
9k =3 k mm
2c
m
2c 0 3 mk
B F0 kl
当 0时 振幅（最大摆角)
&& 4c & 9k 9F0 sint
m m ml
Amax
B
s1
B
2
F0 3 mk 2kl 2c
3F0 4cl
m k
s 0
质点的振幅
B
l 3
Amax
3F0 4c
m k
2 2c
(s) arctan 2 s 1 s2
arctan
3 mk 9k m
1
2 9k m
四、受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生,系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 。
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
mx cx kx kAsin t
x x1 Asin t
c
k
m
其稳态响应为：x kA
1
sin(t )
k (1 s2 )2 (2 s)2
cx m kx1 x
s
0
,
0
k, m
2
c, km
arctan
2 s
1 s2
mx
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
tan
1
2 s
1 s2
A2ei(t )
i20 Aei(t )
02 Aei(t )
F0 k
02eit
即
A2
i20 A
A02
F0 k
0ei
欧拉公式： ei(t ) cos(t ) i sin(t )
A(02
2)
i2A0
F0 k
02 (cos
i
sin )
s
0
A(02
2)
F0 k
02
cos
2 A0
F0 k
s
0
B F0 k
tg 1
2s
1 s2
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
x(t)
e 0t
(x0
cosd t
x0
0 x0 d
sin d t)
初始条件响应
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
X ：稳态响应的复振幅
x& i Xeit &x& -2 Xeit
-m2 X ic X kX F0
X k-m2 ic F0
X
F0
k-m2 ic
X H ()F0
H ()
1
复频响应函数
k m 2 ic
振动微分方程：
x
2
0
Байду номын сангаас
x
2 0
x
B
2 0
e
it
0
k m
c
2 km
B F0 k
相位差 0
位移与激振力在相位上几乎相同;
（2）当s>>1（ ）0
（3）当
s
位移与激振力反相;
1 0 共振时的相位差为
2，与阻尼无关.
ω/ω0＜1时响应同相， ω/ω0＞1时响应反相。
x(t) B 1 s2 eit
例题3：已知等效质量m且可简化于杆长l 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3
B
4
(s in 0t
cos20t
cos0t
sin
20t
sin 0t)
B
4
cos0t
sin
20t
B
4
cos0t
2sin 0t
cos0t
B
2
sin
0t
cos0t
s 0
x(t)
B
2
sin 0t
cos0t
可看作频率为 但0 振幅按
B
2
si规n 律0缓t 慢变化的振动。
这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”。
例： 计算初始条件，以使 mx kx F0 cost
的响应只以频率 振动。
解：
全解：
x(t)
c1
cos 0t
c2
sin
0t
B 1 s2
cos t
B
由 x(0) x0
c1 x0 1 s2
求一阶导数：
x(t)
c10
sin
0t
c20