阻尼振动受迫振动共振汇总
556阻尼振动受迫振动和共振
2 0
k m
C 2m
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
固有角 频率
3、讨论
x(t)
•情况1：欠阻尼 2 02
t
x(t) Aet co s(t )
02 2
欠阻尼
阻力使周期增大 这种情况称为欠阻尼
由初始条件决定A和初相位 0 ,设
t 0, x (0) x0 , v t0 v0
即有： x0 Acos v0 A sin A cos
d2x dt 2
2
dx dt
02x
f
c o s pt
当 2 02 时，其解为：
x(t) A0et cos( 02 2t ) Acos(pt )
经过足够长的时间，称为定态解：
x(t ) Acos( pt )
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，也叫共 振吸收。
3、共振的危害及其应用 •危害
•应用
•钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果； •收音机利用电磁共振进行选台；
•核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和 医疗诊断等。
•防止
•改变系统的固有频率或外力的频率； •破坏外力的周期性； •增大系统的阻尼； •对精密仪器使用减振台。
A
x02
(v0
2
x0 )2
tg0
v0 x0 x0
情况2：过阻尼
2 02
x(t) C1e(
C e 2 02 )t
(
2
2 02 )t
x(t)
积分常数由初始条件来
决定，这种情况称为过 阻尼。
物理-阻尼振动 受迫振动和共振
大学物理阻尼、受迫、共振、机械波
§3-5 频谱分析（不讲）§3-6阻尼振动 受迫振动 共振（了解）一、阻尼振动简谐振动是一种理想情况，实际上阻尼是不可消除的。
机械能将会损耗，其振幅不断衰减。
这种振幅随时间不断衰减的振动叫阻尼振动。
设阻力与物体的速度成正比r dxf v dt γγ=-=-dxF kx dtγ=--合22d x d xk x m d t d tγ--= 220d x d x kx d t m d t mγ++= 令2mγβ=，20k mω= （β——阻尼系数） 220220d x dx x dt dtβω++= 特征方程为22020λβλω++=1,2λβ=-弱阻尼即 0βω 时1,2i λββω=-±=-± ()00cos t x A e t βωϕ-=+其中ω=Ox特征：振幅随时间指数衰减，圆频率比固有圆频率小，周期比固有周期长。
二、受迫振动对弱阻尼的系统施加持续的周期性外力作用 （称为策动力）⇒ 受迫振动 0c o s F F p t = 0c o s dxF kx F pt dtγ=--+合 202c o s d x d xk x F p t m d t d tγ--+= 202c o s F d x d x k x p t d t m d t m mγ++=令2mγβ=，20k m ω=， 00F f m= 220022cos d x dx x f pt dt dtβω++= 该非齐次方程的解为()()00cos cos t x A e t A pt βωϕϕ-=+++ 衰减项 稳定相经过足够长的时间后，稳定解为 ()c o s x A p t ϕ=+稳定受迫振动得频率等于策动力的频率。
2A =受迫振动的振幅与系统的初始条件无关！三、共振2A =当阻尼和策动力幅值不变时，受迫振动的振幅是策动力圆频率 p 的函数，它有一个极大值 —— 共振 由0dAdp= 可得r p =A第4章机械波波动：振动在空间的传播过程叫做波动。
机械振动中的阻尼振动与受迫振动
机械振动中的阻尼振动与受迫振动在机械系统中，振动是一种普遍存在的现象，它包含着阻尼振动和受迫振动两种类型。
阻尼振动是指系统在一定的阻尼作用下运动的周期性减弱振动，而受迫振动是指系统受到外部力的作用而发生周期性振动。
本文将探讨机械振动中的阻尼振动和受迫振动的特点及其应用。
一、阻尼振动阻尼振动是指振动系统在受到阻力的作用下产生的振动。
阻尼力可以分为粘性阻尼、干摩擦阻尼和液体摩擦阻尼等不同形式。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率也逐渐减小。
阻尼振动的主要原因是能量的损失。
当机械系统受到阻尼力的作用时，振动系统的机械能会逐渐转化为热能而损失。
这导致振动幅度逐渐减小，最终停止振动。
例如，摆钟在受到空气阻力的影响下，其摆动幅度会逐渐减小，最终停止。
阻尼振动的应用广泛。
在机械工程中，阻尼振动常常被用于减震和能量吸收的装置设计。
例如，在车辆的悬挂系统中使用减震器，可以有效地缓解车辆行驶中的颠簸感。
同时，阻尼振动还常用于物体的减振和抗震设计，例如建筑物中的隔震装置。
二、受迫振动受迫振动是指振动系统在外部力的作用下产生的振动。
外力可以是周期性的，也可以是非周期性的。
受迫振动的特点是振幅和频率与外力的频率相关。
外力对振动系统的影响可以分为共振和强迫两种情况。
共振是指外力的频率接近或等于振动系统的固有频率时，振动幅度会显著增大。
强迫是指外力的频率与振动系统的固有频率有一定的差别，但仍然能引起系统振动。
受迫振动在实际生活中有许多应用。
例如，在音乐中，乐器的共振现象使得乐器能够产生特定的音调。
另外，受迫振动还在工程领域中有着广泛的应用，如振动筛、振动输送机等。
它们利用外力作用产生振动，以完成特定的分选和输送任务。
三、阻尼振动与受迫振动的关系阻尼振动与受迫振动是机械振动中两种常见的振动类型，它们在某些情况下可以相互转化。
当受迫振动系统存在阻尼时，会产生阻尼振动。
此时，外力的频率与振动系统的固有频率相同或接近时，阻尼振动的幅度会受到外力的影响，产生共振效应。
5-5阻尼振动 受迫振动 共振
两项都衰减，都不是周 期振动（如单摆放在粘 滞的油筒中摆到平衡位 置须很长时间）。
不能往复运动。
o
7
t
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
3.临界阻尼振动
0
2 ( 2 0 )t
由通解
x c1e
c2e
2 ( 2 0 )t
2 02 0
乐器、收音机…… 共振现象的危害:马达底座共振……
16
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
小号发出的声波足以使酒杯破碎
17
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
共振现象的危害
1940 年华盛顿的塔科 曼悬索大桥建成
同年7月的一场大风引 起桥的共振使桥摧毁
本节 18 结束
通解 三
x c1e
2 ( 2 0 )t
c2e
2 ( 2 0 )t
三种阻尼振动
1.欠阻尼振动—阻尼很小
0
2 0 2
2
2 0
为虚数，令
通解
xe
t
(c1e
it
c2e
it
)
3
i 1
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
一 阻尼振动
简谐振动是无阻尼的自由振动，无能量损失，振 幅不变。
阻尼：消耗振动系统能量的原因。
在流体中运动的物体受到的阻力称为粘滞力。 当物体低速运动时，阻力
f r v
：阻力系数
弹簧、单摆振动过程，受到的空气阻力与速度成正 比且反向。 当物体高速运动时，阻力
大学物理阻尼振动受迫振动共振概论
2） 物 体 振 动 具有准周期性(来回振动一次所需时
间却是一定的。准周期：
T 2 2
2 0
2
x o
Ae t t
欠阻尼振动
过阻尼：
即
2
2 0
02 2
是一个虚数，没有物理意义。这表明物体不能完成一 个周期运动，将缓慢回到平衡位置
特点：物体不再作来回振动，而是逐渐靠近并停止 在平衡位置。
临界阻尼：
即
2
2 0
特点：对应振子刚好从准周期振动转变为非周期 运动的临界状态。物体从运动到静止在平衡位置 所经历的时间最短
x
a： <0
b
b： >0 c： =0
c
O
t
a
阻尼振动
2．受迫振动（Forced Oscillation)
2.1 受迫振动 振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。
dx dt
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
(
2m
,
0
k) m
( 为阻尼系
数, 0为固有 频率.)
为二阶常系数齐次微分方程。
欠阻尼： 即 0 x A0et cos(t 0 )
特点：
其中
2 0
2
。
1）物 体 在 平 衡 位 置 附 近 来 回 振 动 ，振 幅 不 断 衰 减 ：
A(t) A0et
4－5 阻尼振动 受迫振动 共振
1．阻尼振动(Damped Oscillation)
1.1 阻尼振动：物体在振荡过程中因受阻力的作用 而使能量不断损失，振幅不断减小的振动。
1.2 阻尼振动的定量分析F F弹 FrFra bibliotekFrv
阻尼振动 受迫振动 共振
阻尼振动
受迫振动
共振
一、无阻尼振动（等幅振动） 所有的简谐振动都是无阻尼振动.
二、阻尼振动（减幅振动）
dx 阻力: f dt
dx F合 F弹力 f kx dt
d x dx m 2 kx dt dt
上页 下页
2
d 2 x dx k x0 2 dt m dt m
阻尼振动中欠阻尼情况下的解
A
h 2 2 2 4 2 2 0
1 2
2 arctan 2 2 0
上页 下页
四、共振 1、共振：受迫振动的振幅达到最大值的现象叫共振.
2 2 2、条件： r 0 2
弱阻尼情况下:
0
k 令 m
2 0
2
2
m
——阻尼振动的微分方程
d x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
1、 0
阻尼作用较小——欠阻尼
t
x A0e
cos( t )
上页 下页
x
A
O
t
A
上页
下页
2、 0
阻尼作用较大——过阻尼
2 ( 2 0 )t
x C1e
3、 0
C2 eBiblioteka 2 ( 2 0 )t
——临界阻尼
t
x C1 C2t e
x
x
o
t
o
上页
t
下页
x
A
O
t
A
上页
下页
三、受迫振动 驱动力:
2
F驱动力 F0 cos t
阻尼振动和受迫振动的动力学
阻尼振动和受迫振动的动力学振动是物体在围绕平衡位置上下运动的一种现象。
当物体受到外力的作用时，它可能出现阻尼振动或受迫振动。
本文将分别讨论这两种振动的动力学特征。
1. 阻尼振动阻尼振动指的是物体在受到阻尼力的影响下进行振动。
阻尼力是由于摩擦或阻力而产生的一种力。
一般而言，阻尼力与物体的运动速度成正比。
在阻尼振动中，振幅会逐渐减小，直到最终趋于零。
这是因为阻尼力的作用导致了振动能量的损失。
阻尼振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，m为物体的质量，x为物体的位移，t为时间，c为阻尼系数，k为弹簧的劲度系数。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得出振动的解析解。
2. 受迫振动受迫振动是指物体在受到外力周期性作用下进行振动。
外力的周期性作用可能是恒定的或变化的。
受迫振动的一个典型例子是在谐振子中。
谐振子是一个具有弹簧和质量的系统，当受到周期性驱动力时，谐振子会在特定的驱动频率下展现出共振现象。
共振是指外力频率与谐振子固有频率相同或接近时的现象。
受迫振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/d t + k * x = F0 * sin(ω * t)其中，F0为驱动力的振幅，ω为驱动力的角频率。
通过求解这个方程，可以得到受迫振动的解，包括相位和幅频特征。
3. 动力学特征比较阻尼振动和受迫振动在动力学特征上有一些区别。
首先，阻尼振动的振幅会随时间逐渐减小，直到最终停止。
而受迫振动在存在共振现象时，振幅可能会增大甚至无限增大。
其次，阻尼振动的频率与振幅无关，而受迫振动的频率会对振幅产生明显的影响。
当驱动力的频率接近谐振子的固有频率时，振幅会显著增加。
最后，阻尼振动和受迫振动在相位上也略有不同。
在阻尼振动中，振动的相位随着时间的推移而发生改变。
而在受迫振动中，振动的相位与驱动力的相位存在一定的差距。
综上所述，阻尼振动和受迫振动都是振动的一种形式，但它们在动力学特征上有一些差别。
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一 阻尼振动动力学方程
现象：振幅随时间减小
原因：阻尼
阻力系数
动力学分析： 阻尼力 Fr v
kx v ma
m
d2x 动
1
§9.6 阻尼振动
m
d2x dt 2
dx dt
kx
0
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
0
k m
2
m
固有角频率 阻尼系数
第九章 振 动
2
二、 阻尼振动的运动特征
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
§9.6 阻尼振动
1. 欠阻尼状态 0
x(t) Aet cos 't
' 02 2
T' 2 T 2
'
振幅为 Ae t 随时间的推移，呈指数递减， 越大，振动衰减越快；
越小， 振幅衰减越慢。
第九章 振 动
02 x
f0 cost
xt Aet cos 't A0 cost
x A0 cos(t )
A0
f
(02 2 ) 4 22
dA0 0
d
位移共振条件：驱动力的圆频率为
02 2 2
第九章 振 动
9
§9.7 受迫振动 共振
共振频率
r 02 2 2
共振频率
A
小阻尼
共振振幅
f
Ar 2 02 2
3
§9.6 阻尼振动
2. 过阻尼状态 0
x C e C e 2 02 t 1
2 02 t 2
随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不 是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来， 即过阻尼状态。
第九章 振 动
4
3. 临界阻尼状态 0
A0 2 cost cos sin t sin
2 A0 sin t cos cost sin
A0
2
0
cos
t
cos
sin
t
sin
f0 cos t
A0 f0
02 2 2 4 2 2
tg
2 02 2
;
第九章 振 动
8
§9.7 受迫振动 共振
三 共振
d2x dt 2
2
dx dt
共振现象 及应用
阻尼 0
大阻尼
o
0
第九章 振 动
10
x C1 C2 et
§9.6 阻尼振动
此种状态，由于阻力较前者小，质点移开平衡位 置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来。
应用：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想） 电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。
第九章 振 动
5
§9.7 受迫振动 共振
振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫受迫振动。
一、受迫振动的动力学方程
m d2x dt 2
dx dt
kx
F0
cos t
驱动力
0
k m
2
m
f0
F0 m
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
f0 cost
第九章 振 动
6
二、受迫振动运动特征
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
f0
cos t
x t Aet cos 't A0 cost
受迫振动方程的解：由二项之和组成：
第一项表示阻尼振动随着时间的增加而趋于零；
第二项是周期振动。
随着时间的增加，第一项的阻尼振动衰减掉了，经一段时间后系统达到稳
定状态 x A0 cos( t ) 。
不是简谐振动。（因为不是系统固有的频率，而是策动力的频率）
第九章 振 动
7
下面来确定 A0和 ：