阻尼振动和受迫振动

•第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。 •第二项为策动力产生的周期振动。
开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后， 只作 受迫振动，振动频率为策动力的频率。
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经过足够长的时间，称为定态解：
x(t) Ap cos( pt 0 )
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
1.5 简谐振动的能量 §2 谐振子的阻尼振动
• 无阻尼的自由振动
• 谐振子的阻尼振动
§3 谐振子的受迫振动 共振 • 谐振子的受迫振动 • 共振
§4 简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
x1(t ) Acos(1t )
x2 (t ) Acos(2t )
x(t)
C1 , C2 是由初始条件 决定的积分常数。
t
临界阻尼

2


2 0
称之为临界阻尼情况。它是振动系统
刚刚不能作准周期振动，而很快回到
平衡位置的情况，应用在天平调衡中。
是从有周期性因子 02到无 2周期性的临界点。
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x
欠阻尼 过阻尼
临界阻尼
o
t
三种阻尼振动比较
14
§3 谐振子的受迫振动 共振 3-1 谐振子的受迫振动
振同 动频
( A1 cos1 A2 cos2 ) cost。 率
( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t
合振幅 Acos cost Asin sint
Acos(t )
25
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
A1 cos1 A2 cos2
讨论一：
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。

当 A1 A2 称为干涉相长。
A 2A1
A A2 A1
28
讨论二：

2 1 (2k 1)
k 0,1,2, A2
A | A1 A2 |
h
Ap
(
2 0

p2
)2

4
2
p2
0

arctg
2p

2 0

p2
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在受迫振动中，振子因外力对它作功而获得能量， 同时又因有阻尼而损耗能量。受迫振动开始时，前者 大于后者，从而振动逐渐加强，随着振动加强，损耗 能量增多，直到获得能量恰好补偿损耗的能量时，达 到稳定状态。
强调：无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动，从 运动学角度看，都是简谐振动。但从动力学角度看二 者有本质的区别：线性振子是保守的孤立系统，系统 机械能守恒，有其自身的固有频率；而受迫稳态振动 是开放的耗散系统，它不断从策动力源吸收能量，同 时又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的频率振动。 并且受迫振动的振幅、初位相只由振动系统和外力性 质决定，而与初始条件无关。
x(t ) C1e( 2 02 )t C2e( 2 02 )t
两项都衰减，不是周期振动。
其中C1，C2是积分 常数，由初始条件
x(t)
来决定，这种情况 称为过阻尼。
t
无振动发生。
过阻尼
12
（3）如果
2


2 0
方程的解：
x(t) (C1 C2t)e t
10
由初始条件决定A和初相位 0,设
t 0, x (0) x0 ,
即有：x0 Acos 0
dx dt t0 V0
V0 Asin0 A cos0
x(t)
A
x02

(V0
x0 2
)2
,
t
tg0


V0 x0 x0
欠阻尼
11
（2）阻尼较大时， 2 02 方程的解：
CAIUPS
在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫
力------策动力。这种在周期性处力作用下进行的振动叫
受迫振动。阻尼力： fr v x
设强迫力 f H cos pt
d2x dt 2

2
dx dt
02 x

h cos
pt
令
2 0

k ;
m

；h
A A1
当 A1 A2时，A 0称为干涉相消。
讨论三： 一般情况：
2 1 k


A2
A
A1
| A1 A2 | A | A1 A2 |
29
4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成
为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频 率振动的合成。其振动表达式分别为：
24
§4 简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成
结论：
•• 代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位
x1(t ) A1 cos(t 1) x2 (t ) A2 cos(t 2 )
的仍 简然 谐是
x(t) x1(t) x2 (t)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
可见：
2 1 2k
A A1 A2
合振幅最大。
k 0,1,2,
A A2 A1
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•• 几何方法 Y
A

A2
A2 sin 2

2
A1
1
A1 sin1
* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
* 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。
这些结论同样适用于任何简谐振动。
5
1.6 相图
坐标和速度组成的坐标系，称为相空间。
在相空间中，用每一点表示运动状态，可得出相图。
Ek
1 2
mV2

1 2
k 2 A2
sin2 (0t
9
x Ae t cos(t )
振幅项 Aet 随时间周期性衰减。 x
•周期因子 cos(t )
Ae t
振动周期
T 2
o
02 2
t
2 T
02 2
无阻尼时
2
T0 0 T T0 有阻尼时，周期慢长。
阻力使周期增大 这种情况称为欠阻尼
0)
• 简谐振动的势能：
f弹性力 kx
dEp dx
Ep

1 2
kx2

1 2
kA2
c os2 (0t
0 );
2
• 简谐振动的总能量：
E Ek Ep

1 2
kA2[sin2 (0t
0
)

cos2 (0t
0 )]

1 2
kA2
E 1 kA2
Ek
Ep
2
A o
陆果一书讨论阻尼弹簧振子的相图。p168
21
通常称 Ap与p的关系曲线为频率响应曲线。
当 Ap max(Ap ) / 2 时，即相对振幅为 0.707 (即相对强度为1/2) 处曲线宽度，定义为共振 峰的宽度 或共振带宽。可证明在弱阻尼的情
况下，共振带宽为： p p 2
Ap
Ap / 2

0 )
Ep

1 2
kx2

1 2
kA2
cos2 (0t

0 );
V
E 1 m V 2 1 kx2 1 kA2
2
2
2
o
x
简谐振动在相空间中的轨迹为椭圆。
V 2 x2
a2 b2 1
6
§2 谐振子的阻尼振动
2-1 无阻尼的自由振动T 2 2 m
2-2 谐振子的阻尼振动
7
以弹簧一维振动为例
F F弹 fr ma
dx fr v dt
v F弹 , f
x ox
弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
mx kxx 阻尼振动微分方程
令：
02

k m
;
2m
mx kx x
称 0为振动系统的固有角频率，称为阻尼系数 8
http://222.30.32.13/jpkc/index.aspx
1
1.5 简谐振动的能量 • 简谐振动的动能：
km X
ox
x(t) Acos(0t 0 )
以水平的弹簧振子为例
0 k / m
Ek
1 2
mV2

1 2
m A202
sin2 (0t

0 )

1 2
k A2
sin 2 (0t
d2 dt
x
2

2
dx dt

02
x

0
为二阶常系数齐次微分方程。
x c e c e 通解
( 2 02 )t 1
( 2 02 )t 2
（1）阻尼较小时，
2


2 0
为虚数，令

02 2
x e t (c1e it c2e it )
x(t ) Aet cos(t 0 )
18
讨论：
p

0
,
Ap