阻尼受迫振动

合集下载

大学物理学-阻尼振动与受迫振动

v
弹性力
粘滞阻力: f r v
粘滞阻力
x
dx
d 2x
kx
m 2
dt
dt
令k / m 0 , / m 2
2
d2x
dx
2

2

0 x 0
2
dt
dt
大学物理学
k （固有频率）
0
m

（阻尼系数）
2m
章目录
节目录
上一页
下一页
4.3 阻尼振动与受迫振动
4.3 阻尼振动与受迫振动
一、阻尼振动
振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
大学物理学
章目录
节目录
上一页
下一页
4.3 阻尼振动与受迫振动
1. 阻尼振动的微分方程
弹性力:
F kx
(以液体中的水平弹簧振子为例)
阻尼＝0
阻尼较小
pr 02 2 2
阻尼较大
共振振幅 :
Ar
大学物理学
f0
2 02 2
O
p
0
共振曲线
章目录
节目录
上一页
下一页
4.3 阻尼振动与受迫振动
2. 速度共振
受迫振动的速度的振幅出现极大值的现象
v pA sin( pt )
大学物理学
章目录
节目录
r

d2x
k

x0
2
2
dt
m J r

5.4阻尼振动和受迫振动

2 p
2 2 0 p
稳态时振动物体速度：
dx A p cos( p t ) dt 2
式中
m A p
f p
2 2 2 2 (0 p ) 4 2 p
在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。
在小阻尼条件下 ( 0 ) ，微分方程的解为:
2
x Ae
t
cos(t )
2 2 其中 0
x Ae
其中 A 和
t

cos(t )
t
为积分常数,由初始条件决定。上式中的
余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；e 反映了阻尼对振幅的影响。
对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为:
x A0e
衰减项
t
cos(t ) A cos( pt )
Hale Waihona Puke 稳态项经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。
x A cos( pt )
f ( ) 4
2 0 2 2 p 2 2 p
A
tg
共振的应用和防止应用
共振筛防止
共鸣箱
1.队或火车过桥时要放慢速度或便步走 2.在振动物体底座加防振垫 3.装修剧场、房屋时使用吸声材料等
2、共
振
对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。
A
f
2 2 2 2 (0 p ) 4 2 p
dA 0 dp
共振频率

阻尼振动受迫振动

汇报人：
感谢观看
阻尼系数：影响阻尼振动的衰减速度
质量：影响阻尼振动的频率和振幅
刚度：影响阻尼振动的频率和振幅
外力：影响阻尼振动的频率和振幅
阻尼振动的应用场景
汽车悬挂系统：减少振动提高舒适性
建筑结构：提高抗震性能保护建筑物
机械设备：减少振动提高设备寿命和精度
航空航天：提高飞行稳定性减少振动对设备的影响
03
受迫振动
受迫振动的产生条件
存在外力作用
外力频率与系统固有频率接近或相等
系统具有足够的阻尼
系统处于临界状态或临界附近
受迫振动的应用场景
航空航天：用于控制飞机、火箭等飞行器的振动提高飞行器的稳定性和安全性
机械工程：用于控制机械设备的振动提高设备的稳定性和可靠性
建筑工程：用于控制建筑物的振动提高建筑物的抗震性能和舒适性
在实际应用中阻尼振动和受迫振动都可以用来分析振动系统的稳定性、响应特性等。
区别
阻尼振动：物体在受到外力作用下由于阻尼作用振动逐渐减小直至停止的过程。
受迫振动：物体在受到周期性外力作用下产生与外力频率相同的振动。
阻尼振动的特点：振动逐渐减小直至停止振动频率与外力频率无关。
受迫振动的特点：振动频率与外力频率相同振动幅度与外力大小有关。
受迫振动的定义
受迫振动的振幅和相位取决于系统的固有频率和阻尼。
受迫振动可以分为谐振和非谐振两种情况。
受迫振动是指系统在外部周期性力的作用下产生的振动。
受迫振动的频率等于外部力的频率。
受迫振动的特点
振幅：与驱动力的振幅成正比
频率：与驱动力的频率相同
相位：与驱动力的相位相同
阻尼：受迫振动的阻尼与驱动力的阻尼无关
,

阻尼振动与受迫振动

，可以推出��0 =
2�� 1−��
2
= ，是阻尼振动振幅衰减到原来 ��−1 需要
，是系统共振锐度或频率选择性的量度。
��
6. 对数缩减率Λ =
=
2�� 1−�� 2
，定义为衰减阻尼振动中相邻两
�� 0 �� 、 ��
=
�� 2 �� 2��
2 ��2 0 −��
3. 阻尼振动周期�� = 4. 时间常数�� = 的时间。 5. 品质因素�� ≡
1 2�� 2�� 1 ��
2 小阻尼(�� 2 − ��0 < 0)时，阻尼振动运动方程的解为 2
�� = �� exp −�� cos
2 ��0 − �� 2 �� + �� 2
由上式可知，阻尼振动角频率 �� = ��2 0 − �� ，而周期为 �� =
[2]
即 �� 2 �� 2 + �� + �� = �� cos �� 它和弹簧支座固定、摆轮受周期外力矩�� cos ��作用时运动方程在形式上完全一致，等效外激励力矩的振幅为�� ，则对应的稳态解振幅和相位差分别为 �� = �� 2 0

§14阻尼振动受迫振动

课堂练习
2.如图所示演示装置，一根张紧的水平
绳上挂着四个单摆，让b摆摆动，其余各
摆也摆动起来，可以发现（ CD ）
A. a 摆摆动周期最短
B. c 摆摆动周期最长
C.各摆摆动的周期均与b摆相同
D. d 摆振幅最大
3.两个弹簧振子，甲的固有频率为f，乙的固有频率为4f，当它们均在频率为2f的驱动力作用下做受迫振动时，则（）C A、甲的振幅较大，振动频率为f B、乙的振幅较大，振动频率为4f C、甲的振幅较大，振动频率为2f D、乙的振幅较大，振动频率为2f
二、受迫振动
1．驱动力：周期性的外力． 2．受迫振动：系统在驱动力作用下的振动．思考：弹簧振子做自由振动的频率是怎样的？弹簧振子在驱动力作用下做受迫振动，稳定后弹簧
振子的振动频率又怎样？
3．振动稳定后受迫振动的频率总等于驱动力的频率，受迫振动稳定后的频率与物体的固有频率无关系．
§1.4阻尼振动受迫振动
问题设计
在研究弹簧振子和单摆振动时，我们强调忽略阻力的影响，它们做的振动都属于简谐运动.在实验室中让一个弹簧振子振动起来，经过一段时间它将停止振动，你知道是什么原因造成的吗？答案阻力阻碍了振子的运动，使机械能转化为内能.
阻尼振动实例同学荡秋千，由于受到空气的阻尼作用，
课堂练习
1. 如图所示，是用来测量各种发动机转速的转速计原理图。在同一铁支架NM上焊有固有频率依次为80Hz、60Hz、40Hz、20Hz的四个钢片a、 b、c、d。将M端与正在转动的电动机接触，发现b钢片振幅最大，则a、b、c、d此时振动频率
约为6__0_H__z____ ，电动机转速3为6_0_0_____r/min 。

阻尼振动与阻尼受迫振动.

2
dx dt
02 x
Байду номын сангаас
h cost
则上述方程的解为：
x(t) A0e t cos t 0 阻尼振动（暂态解） B cos t 受迫振动（定态解）
3. 稳定状态的振动表达式
x
受迫振动系统达到稳定时应做与驱动力频率相同的谐振动。其表达式为：
x Acos(t )
t
用旋矢法可求出上式的A和
讨论
求极限： dA 0
d
（1）位移共振(振幅取极值)
0
0
0
0
共振频率 : 共振振幅 :
r
Ar
02
h
2 02
2
2
2
共振相位 :
arctan
02 2 2
（振幅共振曲线）
10
第17章振动
（2）速度共振 (速度振幅A取极值)
vm
h ( 2 02 )2 4 2 2
共振频率 : 0
6
第17章振动
x Acos(t )
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
h cost
x Acos(t )
d2x dt 2
A 2
cos(t
dx
dt π)
A
cos(t
π) 2
A 2 cos(t π) 2 A cos(t π )
2
02 A cos(t ) h cost
7
第17章振动
台北101大厦定楼神球
18
第17章振动
上海环球金融中心风阻尼器
19
第17章振动
阻尼越小，越接近谐振动，阻尼越大，“周期”越长。 2) 过阻尼运动

1.4阻尼振动受迫振动

四、振动图象的实际运用
心电图仪
地震仪
AC
二、简谐运动的表达式

由图像知道振动物体离开平衡位置的位移可以用 X=Asin(ωt+φ)来表示因为 ω=2π/T f=1/T 所以
物体从不同的位置振动，φ值不同。 ωt+φ叫相位，φ叫初相位。
怎样结合图像写表达式

观察三角函数的正弦值的大小在四个象限中随着夹角大小变化的关系，和四个象限中正弦值的正负。
三、简谐运动的相位与相位差的物理意义

用单摆演示当两个摆长与振幅都一样的单摆在振动步调总一致时，我们就说它们的相位相同，振动相同；当它们的位移总相反时，我们可以从振动表达式推知它们的相位一定相差π；两个单摆的振动步调不相同就是因为它们具有相位差。所以用来描述简谐运动的物理量有：周期、频率、相位与相位差。

2 、导入：那么如果用位移图象来表示简谐运动位移与时间的关系，形状又如何呢？
方案一：在水平弹簧振子的小球上安
置一支记录用的笔，在下面放一条白纸带，当小球振动时，沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，笔就在带上画出一条振动图线。
实验演示

点击下图观看实验演示
一、由实验可了解到情况：
1、振动图象（如图）
x/m
x/cm
0
t/s
O
t/s
二. 受迫振动
周期性作用于系统的外力, 叫做驱动力。物体在周期性外力作用下的振动,叫做受迫振动。受迫振动的特点: 受迫振动的频率由驱动力的频率决定，与物体自由振动时的固有频率无关.
请观察下列运动是受迫振动吗？
三. 共振
1. 定义：驱动力的频率接近物体的固有频率时,受迫振动的振幅增大,等于固有频率时,振幅最大, 这种现象叫做共振.

阻尼振动与阻尼受迫振动

台北101大厦定楼神球
18
第17章振动
上海环球金融中心风阻尼器
19
第17章振动
阻尼越小，越接近谐振动，阻尼越大，“周期”越长。 2) 过阻尼运动
当阻尼较大 2 02 或 1 其解为：
x(t) c1e
2 02
t
c2e
2 02
t
3
第17章振动
特点是运动没有周期性，经过相当长的时间物体才能回到平衡位置。
3) 临界阻尼运动
若 2 02或 1
A 2 cos(t π) 2 A cos(t π )
2
02 A cos(t ) h cost
画任意时刻旋矢图
A2 2 A
h
02 A
得
A2
(2)2
h2
(02
2 )2
arctg
2 02 2
位移与驱动力的相位差
驱动力初相为零
8
第17章振动
结论: 受迫振动的振幅 A 及受迫振动与驱动力的相位
设驱动力按余弦规律变化即 F H cost
由牛顿第二定律有
m
d2x dt 2
kx
dx dt
H
cos t
弹性力阻尼力
kx
dx dt
周期性驱动力
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
h cost
F H cost
其中 02 k / m
5
/ 2m
第17章振动
h H /m
d2x dt 2
14
第17章振动
共振现象的应用: 我国古代就有大量的应用: 天坛的回音壁黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演
工程上的的应用簧频计

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

(2)共振振Байду номын сангаас :
Ar = 2δ
h ω02 − δ 2
若δ << ω0 则ω r ≈ ω 0
Ar ≈ h/(2δω0) 称尖锐共振
δ =0
δ3 δ1 > δ2 > δ3 δ2
δ1
ω0
ω
H.M.Qiu
1
§20.4 阻尼振动
一、阻尼 —— 消耗振动系统能量的原因
二、阻尼振动的振动方程、表达式和振动曲线
1、阻力对在流体（液体、气体）中运动的物体，
当物体速度较小时，阻力和速度成正比
fr
=
− γυ
=
−γ
dx dt
γ : 阻力系数
2、振动方程在阻力作用下的弹簧振子:
m
d2x dt 2
=
−γ
dx dt
−
kx
H.M.Qiu
§20.5 受迫振动共振
一、受迫振动 ——在外来策动力作用下的振动
如: 策动力作用下的弹簧振子
m
d2x dt 2
=
−kx − γ
dx dt
+
f
d2x d t2
+
2δ
dx dt
+ ω02 x
=
h cos ωd t
策动力 f =F0cosωdt
ω0 =
k , δ = γ , h=F0 m 2m m
( ) ( ) x = A0e−δ t cos ω02 − δ 2 t + ϕ0 + Acos ωd t + ϕ
随时间很快衰减为零
等幅振动
稳态解：
x=Acos(ωdt+ϕ)
稳态时系统振动频率等于驱动力的频率
H.M.Qiu
二、共振
∗位移共振
在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象
(1)共振频率 : ωr = ω02 − 2δ 2
阻尼系数 :δ = γ 2m
固有频率 : ω0 =
k m
( ) ( ) δ
<
ω
时
0
：x
t
= A0e−δ t cos ω t + ϕ0
ω=
ω
2 0
−
δ
2
振幅特点? 周期特点?
H.M.Qiu
阻尼振动
三、过阻尼、欠阻尼和临界阻尼
1、欠阻尼 δ < ω0
x
2、过阻尼 δ > ω0
3、临界阻尼 δ = ω0 o t