物理-阻尼振动 受迫振动和共振
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大学物理学-阻尼振动与受迫振动
v
弹性力
粘滞阻力: f r v
粘滞阻力
x
dx
d 2x
kx
m 2
dt
dt
令k / m 0 , / m 2
2
d2x
dx
2
2
0 x 0
2
dt
dt
大学物理学
k （固有频率）
0
m
（阻尼系数）
2m
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4.3 阻尼振动与受迫振动
4.3 阻尼振动与受迫振动
一、 阻尼振动
振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
大学物理学
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4.3 阻尼振动与受迫振动
1. 阻尼振动的微分方程
弹性力:
F kx
(以液体中的水平弹簧振子为例)
阻尼＝0
阻尼较小
pr 02 2 2
阻尼较大
共振振幅 :
Ar
大学物理学
f0
2 02 2
O
p
0
共振曲线
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4.3 阻尼振动与受迫振动
2. 速度共振
受迫振动的速度的振幅出现极大值的现象
v pA sin( pt )
大学物理学
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r
d2x
k
x0
2
2
dt
m J r
物理 第6章 振动2(阻尼与受迫振动及振动合成)
10
（3）共振的危害与利用
危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，……
利用：超声清洗、音箱设计、振荡电路、核磁共 振……
塔科马海峡桥的倒塌
11
§6.6 同一直线上同频率简谐运动的合成 1. 分振动: x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) 2. 合振动: x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
故所求的合振动表达式为
4 x 5 cos( 2t ) 5
cm
21
（2）当 3 1 2k
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相同时，合振动的振幅最大， 由于 1 故
3 2k
(k 0,1,2,)
当 3 1 (2k 1)
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相反时，合振动的振幅最小， 由于 1 故 3 (2k 1) 即
(k 0,1,2,)
3 2k
(k 0,1,2,)
22
§6.7 同一直线上不同频率简谐运动的合成 x1 A1 cosω1 t 1. 分振动: x2 A2 cosω2t A2 A 2. 合振动: x x1 x2 当 (ω2 ω1 ) t 2kπ 3
时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 振幅
振动能量E： E
A A0e
t
E0 e
2 t
( E A2 )
时间常量
1 2
（振动系统的能量减 小到起始能量的1/e时 所经过的时间）
（时间常量内振动 次数的2倍）
稳定受迫振动的运动方程65受迫振动共振驱动力的角频率受迫振动的振幅由系统的固有频率w阻尼系数以及驱动力幅h决定对一定的振动系统改变驱动力的频率w当驱动力频率为某一值时振幅会达到极大值特点
（3）共振的危害与利用
危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，……
利用：超声清洗、音箱设计、振荡电路、核磁共 振……
塔科马海峡桥的倒塌
11
§6.6 同一直线上同频率简谐运动的合成 1. 分振动: x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) 2. 合振动: x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
故所求的合振动表达式为
4 x 5 cos( 2t ) 5
cm
21
（2）当 3 1 2k
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相同时，合振动的振幅最大， 由于 1 故
3 2k
(k 0,1,2,)
当 3 1 (2k 1)
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相反时，合振动的振幅最小， 由于 1 故 3 (2k 1) 即
(k 0,1,2,)
3 2k
(k 0,1,2,)
22
§6.7 同一直线上不同频率简谐运动的合成 x1 A1 cosω1 t 1. 分振动: x2 A2 cosω2t A2 A 2. 合振动: x x1 x2 当 (ω2 ω1 ) t 2kπ 3
时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 振幅
振动能量E： E
A A0e
t
E0 e
2 t
( E A2 )
时间常量
1 2
（振动系统的能量减 小到起始能量的1/e时 所经过的时间）
（时间常量内振动 次数的2倍）
稳定受迫振动的运动方程65受迫振动共振驱动力的角频率受迫振动的振幅由系统的固有频率w阻尼系数以及驱动力幅h决定对一定的振动系统改变驱动力的频率w当驱动力频率为某一值时振幅会达到极大值特点
17.3 阻尼振动与阻尼受迫振动
对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式。 对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式。 1) 阻尼振动 β 2 < ω02 或 Λ = β / ω0 < 1 当阻尼较小， 当阻尼较小，即当 解
2
2 特征方程： 特征方程： λ 2 + 2 βλ + ω0 = 0
x(t ) = A0 e
−β t
cos (ω t + ϕ0 )
2
7 第17章 振 动
π Aω cos(ω t + ϕ + π ) + 2 β Aω cos(ω t + ϕ + ) 2 + ω 02 A cos(ω t + ϕ ) = h cos ω t
2
当ϕ = 0
2 h2 = (2β Aω )2 + (ω0 A − ω 2 A)2
A ω
2
2 β Aω
2 0
β = γ / 2m ω02 = k / m
3. 振动表达式和振动曲线 如果能振动起来（欠阻尼情况） 如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？ 上述方程的解是什么形式呢？
2 第17章 振 动
d x dx 2 + 2β + ω0 x = 0 2 特征根为： 特征根为： λ = − β ± β 2 − ω0 dt 2 dt
2
2
ω共振 = ω − 2β
2 0
2
的情况下， 在弱阻尼即β << ω 0的情况下， 弱阻尼即
当ω = ω 0 时，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振 共振现象 •普遍 普遍 •有利有弊 有利有弊 •160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 年前 •几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 几十年后 •1940年 美国 桥 大风 流速 年
2
2 特征方程： 特征方程： λ 2 + 2 βλ + ω0 = 0
x(t ) = A0 e
−β t
cos (ω t + ϕ0 )
2
7 第17章 振 动
π Aω cos(ω t + ϕ + π ) + 2 β Aω cos(ω t + ϕ + ) 2 + ω 02 A cos(ω t + ϕ ) = h cos ω t
2
当ϕ = 0
2 h2 = (2β Aω )2 + (ω0 A − ω 2 A)2
A ω
2
2 β Aω
2 0
β = γ / 2m ω02 = k / m
3. 振动表达式和振动曲线 如果能振动起来（欠阻尼情况） 如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？ 上述方程的解是什么形式呢？
2 第17章 振 动
d x dx 2 + 2β + ω0 x = 0 2 特征根为： 特征根为： λ = − β ± β 2 − ω0 dt 2 dt
2
2
ω共振 = ω − 2β
2 0
2
的情况下， 在弱阻尼即β << ω 0的情况下， 弱阻尼即
当ω = ω 0 时，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振 共振现象 •普遍 普遍 •有利有弊 有利有弊 •160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 年前 •几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 几十年后 •1940年 美国 桥 大风 流速 年
大学物理阻尼、受迫、共振、机械波
§3-5 频谱分析（不讲）§3-6阻尼振动 受迫振动 共振（了解）一、阻尼振动简谐振动是一种理想情况，实际上阻尼是不可消除的。
机械能将会损耗，其振幅不断衰减。
这种振幅随时间不断衰减的振动叫阻尼振动。
设阻力与物体的速度成正比r dxf v dt γγ=-=-dxF kx dtγ=--合22d x d xk x m d t d tγ--= 220d x d x kx d t m d t mγ++= 令2mγβ=，20k mω= （β——阻尼系数） 220220d x dx x dt dtβω++= 特征方程为22020λβλω++=1,2λβ=-弱阻尼即 0βω 时1,2i λββω=-±=-± ()00cos t x A e t βωϕ-=+其中ω=Ox特征：振幅随时间指数衰减，圆频率比固有圆频率小，周期比固有周期长。
二、受迫振动对弱阻尼的系统施加持续的周期性外力作用 （称为策动力）⇒ 受迫振动 0c o s F F p t = 0c o s dxF kx F pt dtγ=--+合 202c o s d x d xk x F p t m d t d tγ--+= 202c o s F d x d x k x p t d t m d t m mγ++=令2mγβ=，20k m ω=， 00F f m= 220022cos d x dx x f pt dt dtβω++= 该非齐次方程的解为()()00cos cos t x A e t A pt βωϕϕ-=+++ 衰减项 稳定相经过足够长的时间后，稳定解为 ()c o s x A p t ϕ=+稳定受迫振动得频率等于策动力的频率。
2A =受迫振动的振幅与系统的初始条件无关！三、共振2A =当阻尼和策动力幅值不变时，受迫振动的振幅是策动力圆频率 p 的函数，它有一个极大值 —— 共振 由0dAdp= 可得r p =A第4章机械波波动：振动在空间的传播过程叫做波动。
第1章 1.5 受迫振动与共振
【答案】 5∶2 Ⅰ
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6.如图 1-5-7 所示，在曲轴 A 上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可 以带动弹簧振子上下振动.问：
图 1-5-7
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(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测 得振子在 10 s 内完成 20 次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各 是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
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振动物体的机械能不 由产生驱动力的物体 振动物体获得的
振动能量
变
提供
能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机械运转时底座发生 共振筛、声音的共
的振动
鸣等
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2.共振曲线的理解和应用 (1)两坐标轴的意义 纵轴：受迫振动的振幅，如图 1-5-4 所示.横轴：驱动力频率.
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•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 4:42:57 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
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6.如图 1-5-7 所示，在曲轴 A 上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可 以带动弹簧振子上下振动.问：
图 1-5-7
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(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测 得振子在 10 s 内完成 20 次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各 是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
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振动物体的机械能不 由产生驱动力的物体 振动物体获得的
振动能量
变
提供
能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机械运转时底座发生 共振筛、声音的共
的振动
鸣等
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2.共振曲线的理解和应用 (1)两坐标轴的意义 纵轴：受迫振动的振幅，如图 1-5-4 所示.横轴：驱动力频率.
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•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 4:42:57 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
阻尼振动受迫振动共振
2 0
2
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t ( 0)
3
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
三种阻尼的比较
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
4
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
二 受迫振动
m d2 x C dx kx F cos t
dt 2 dt
p
驱动力
k
0
m
2 C m f F m
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
f
cospt
5
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
f
cospt
驱动力的 角频率
（2）速度共振(速度振幅取极值)
vm B
f
(2 02 )2 4 22
共振频率 : 0
共振速度振幅 :
vm
f
2
9
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
• 160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 • 几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 • 1940年 美国 桥 大风 流速
10
x
A et 0
cos(t
)
Acos(pt
)
A
f
阻尼振动与受迫振动教案
实际演示：利用共振演示仪演示不同频率下的共振
三、共振的危害与应用
1、共振的危害与防止
例1、（图片说明）１８世纪中叶，法国昂热市附近一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。
例3、（图片说明）微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。
四、思考
对于一个振动系统，如果其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。
在受迫振动中，位移也在做一个类似于简谐振动的周期性振动
3、知道共振的应用和防止的实例。
教学重点
1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。
2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。
教学难点
1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区别。
2、共振发生的条件。
教学方法
1、多媒体课件与黑板板书相结合。
2、图片举例，了解共振的应用和防止；
3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。
振动方程
振动特点
特征量
无阻尼简谐振动
等幅振动
机械能守恒
初始条件
系统自身性质
阻尼振动
减幅振动
能量不断衰减
初始条件
阻尼因子
系统自身性质
受迫振动
等幅振动，
需要外界不断补充能量
与策动力的幅值、
频率及阻尼因子有关
1、在张紧的水平绳上挂7个单摆，先让D摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、D、G三摆的摆长相同，则下列判断正确的是
三、共振的危害与应用
1、共振的危害与防止
例1、（图片说明）１８世纪中叶，法国昂热市附近一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。
例3、（图片说明）微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。
四、思考
对于一个振动系统，如果其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。
在受迫振动中，位移也在做一个类似于简谐振动的周期性振动
3、知道共振的应用和防止的实例。
教学重点
1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。
2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。
教学难点
1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区别。
2、共振发生的条件。
教学方法
1、多媒体课件与黑板板书相结合。
2、图片举例，了解共振的应用和防止；
3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。
振动方程
振动特点
特征量
无阻尼简谐振动
等幅振动
机械能守恒
初始条件
系统自身性质
阻尼振动
减幅振动
能量不断衰减
初始条件
阻尼因子
系统自身性质
受迫振动
等幅振动，
需要外界不断补充能量
与策动力的幅值、
频率及阻尼因子有关
1、在张紧的水平绳上挂7个单摆，先让D摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、D、G三摆的摆长相同，则下列判断正确的是
大学物理(下册) 9.5阻尼振动 受迫振动 共振
A
( 0)
2 2 b.过阻尼： 0 2 2 c.临界阻尼： 0
x
o c
b
三种阻尼的比较
t
a
9.5.2 受迫振动
共振
受迫振动：施加周期性外力作用的振动；
周期性外力有时不可避免：周期性阵风作用下建筑物 发生的振动，桥樑由于火车行驶而引起的振动等。受 迫振动在电磁学、机械工程等领域均有重要应用。
此时系统作弱阻尼运动，对应解为：
x Ae
t
cos(t 0 )
(7)
振幅 角频率
A、0为积分常量，由初条件确定；并且 其中： 有：
02 2
(8)
c.讨论： 1.(6)式的解由两部分组成：
t Ae 衰减项： “振幅”；
x
A
O
阻尼振动位移时间曲线
Ae t
最后得：
d2 x dx 2 +2 +0 x 0 2 dt dt
(6)
d2 x dx 2 +2 +0 x 0 2 dt dt
注：1.上式是阻尼振动微分方程；
(6)
2.固有角频率 振动系统确定；
阻尼系数 振动系统、介质性质确定； b.方程的求解与讨论 微分方程理论：根据方程系数数值的相对大小 关系，(6) 式有三种解，对应三种运动状态： 1.阻尼力较小时： 0 弱阻尼；
9.5 阻尼振动
受迫振动
共振
介绍两种接近客观实际较复杂的振动。
9.5.1 阻尼振动(Damped Oscillation) 1.阻尼振动：谐振动为等幅振动。而实际振动总要 受到阻力影响，振动过程中振幅不断减小。振幅随 时间变化因阻力而减小阻力是复杂的，故提出 许多阻尼力模型。当物体运动速度不太大时有：
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阻尼动是实际振动系统中常见的一种振动形式，它是在弹性恢复力与阻尼力共同作用下产生的。与简谐振动不同，阻尼振动考虑了实际系统中存在的摩擦阻尼和辐射阻尼等因素。根据阻尼大小的不同，阻尼振动可以分为弱阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况。在弱阻尼条件下，振动系统表现出振幅逐渐衰减的准周期运动特性；而过阻尼则导致物体无法完成一个完整的周期运动，只能缓慢地趋向于平衡位置。临界阻尼则恰好处于这两种状态之间，是物体由准周期运动向非周期运动转变的临界点。阻尼振动的这些特性在实际应用中具有重要意义，例如在阻尼天平、灵敏电流计等设备中，通过合理利用临界阻尼，可以使指针尽快稳定下来，从而提高测量的准确性和效率。