全微分及其应用
全微分及其应用
根据一元函数微分学中增量与微分的关系,
进一步
f ( x + Δx, y ) − f ( x, y ) = f x ( x, y )Δx + o(Δx)
f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ) = f y ( x , y ) Δ y + o ( Δ y )
这里f(x+△x, y)-f(x, y)与f(x, y+△y)-f(x, y)分别称为函数z=f(x, y) 在点(x, y)处对x与对y 的偏增量， fx(x, y) △x 与 fy(x, y) △y 分别 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处对x与对y的偏微分。 称
2 2
y yz 例2. 计算函数 u = x + sin + e 的全微分。 2 ∂u 1 y ∂u ∂u 解: = cos , =1, y eyz = ∂y 2 2 ∂z ∂x
1 y cos dy + ze yz d y + y e y z d z d u = 1⋅ d x + 2 2
y ⎛1 yz ⎞ = dx + ⎜ cos + ze ⎟ dy 2 ⎝2 ⎠
Δ z = A Δx + B Δy + o( ρ ) , ρ = (Δx) 2 + (Δy ) 2
其中A , B 不依赖于Δx , Δy , 仅与 x , y 有关, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， △x+B△y称为函数 f(x, y)在点 (x, y)的全微分, A 记作
z −1
∂z ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ = z ⋅ ⎜ xy + ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ y⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ∂y
《全微分及其应用》课件
统计学中的应用
全微分在统计学中有重要的应用，如数据拟合、 回归分析等。
总结
全微分在实际中的重要性
全微分是解决实际问题的数学工具，对于 许多领域的研究与应用具有重要意义。
进一步探究的方向
全微分是一个广阔而深奥的领域，可以有 更多的研究和应用方向值得深入探索。
全微分的充要条件以及性质
全微分的存在与函数的偏导数连续性相关， 具有一些重要性质。
求解全微分
1
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束最优化问题的方法，也可以用于求解全微 分的相关问题。
2
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本公式，用于计算全微分。
应用
工程问题中的应用
全微分在工程领域中有广泛的应用，如优化设 计、控制系统等。
《全微分及其应用》PPT 课件
全微分及其应用是一门重要的数学课程，本PPT课件将介绍全微分的定义、性 质、求解方法以及实际应用，帮助您深入了解这一概念。
引言
全微分是微积分中的核心概念之一，在许多应用领域中起着重要作用。本节将介绍全微分的定义 以及相关概念，并为后续内容打下基础。
ห้องสมุดไป่ตู้质
几何意义
全微分对应着曲面的切平面，具有重要的 几何意义。
全微分及其应用
常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。
高数7-3(全微分及其应用)
全微分
xy
f
(
x,
y
)
x2 y2
x2 y2 0 .
在点(0,0)处有
0
x2 y2 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点 P(x,y) 沿直线 y x趋近于(0,0),
x y
则
(x)2 (y)2
4
全微分
dz Ax By z Ax By o( )
注 全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比 高阶无穷小.
可微与偏导数存在，连续有何关系呢？ 微分系数 A=? B=?
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
5
全微分
由下面的定理来回答：
x0
(x)2
sin x
1 (x)2
同样, f y (0,0) 0
z Ax By o( ),
其中A、B仅与x 、y有关, 而不依赖于x、y,
(x)2 (y)2 , 则称函数 z f ( x, y)在点
( x, y)处 可微分,Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)处的 全微分.记作 dz, 即
dz Ax By.
函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 这函数在D内的 可微函数.
令f x ( x 1x, y y) f x ( x, y) 1 其中1 0(x 0, y 0)
12
全微分
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时,2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
9.4 全微分及其应用
全增量： 全增量： 定义: 定义 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点 x , y ) 在定义域 的内点( 处全增量 可表示成
∆ z = A∆x + B ∆y + o(ρ ) ,
其中 A , B 不依赖于∆ x , ∆ y , 仅与 x , y 有关， 不依赖于∆ 有关， 则称函数 f ( x, y ) 在点 x, y) 可微，A ∆ x + B ∆ y 称为函数 f (x, y) 在点( 可微， 全微分, 在点 (x, y) 的全微分 记作
= x + yx ∆x + x ln x∆y
y y
y−1
取 x = 1, y = 2, ∆x = −0.01, ∆y = 0.01 则
0.99
2.01
= f (0.99,2.01)
= 1 + 2 × (−0.01) + 0 × 0.01 = 0.98.
内容小结 1. 微分定义:
∆z =
+ o ( ρ)
在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微.
证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂ y
= [ f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] + [ f (x, y + ∆y) − f (x, y)]
= f x (x +θ1∆x, y + ∆y)∆x + f y (x, y +θ2∆y)∆y = [ f x (x, y) + α ]∆x + [ f y ( x, y) + β ]∆y
全微分的实际应用举例
全微分的实际应用举例
全微分的实际应用举例有：
1. 在物理学中，全微分可以用于描述物体的位移。
例如，当一个物体在空间中进行自由落体运动时，其位移可以通过全微分来描述。
2. 在经济学中，全微分可以用于描述生产函数和边际效应。
例如，当某个企业的生产函数发生微小变化时，可以利用全微分来计算其边际效益的变化。
3. 在化学中，全微分可以用于描述化学反应的速率。
例如，当各种反应物的浓度发生微小变化时，可以利用全微分来计算反应速率的变化。
4. 在生物学中，全微分可以用于描述生物体的生长变化。
例如，当一个生物体的体积发生微小变化时，可以利用全微分来计算其生长速率的变化。
5. 在工程学中，全微分可以用于描述工程系统的稳定性。
例如，在控制系统中，全微分可以用于描述系统的输入和输出之间的关系，并帮助分析系统的稳定性和响应速度。
全微分的应用及举例
全微分的应用及举例
全微分是微积分中的概念，它是指一个多元函数在某一点处的微小变化，可以用该点的偏导数以及自变量的微小变化来描述。
全微分可以应用于多个实际问题中，以下是一些常见的例子：
1.求出曲线的弧长
当我们想要求曲线的弧长时，可以使用全微分来计算。
我们可以将曲线表示为函数y=f(x)，并使用以下公式来计算弧长：
L = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx
其中dy/dx 是函数f(x) 的导数。
可以看出，这个公式就是对函数f(x) 的全微分进行积分得到的。
2.计算温度/压力的变化
当物体温度或压力发生微小变化时，可以使用全微分来计算其变化量。
例如，对于理想气体，温度和压力可以表示为函数T(V,P) 和P(V,T)，可以使用以下两个公式计算它们的微小变化量：
dT = (∂T/∂V) dV + (∂T/∂P) dP
dP = (∂P/∂V) dV + (∂P/∂T) dT
其中(∂T/∂V)、(∂T/∂P)、(∂P/∂V)、(∂P/∂T) 分别为函数T(V,P) 和P(V,T) 在某一点处的偏导数。
3.计算多元函数的极值
求多元函数的极值时，可以使用全微分的概念。
设多元函数为f(x,y)，则当(∂f/∂x)=0 和(∂f/∂y)=0 时，该函数在某一点处取得极值。
这个过程利用了全微分的定义和二元函数的最值定理。
高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)
第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。
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?z
lim
?A? ,
?x? 0
?x
?x
同理可得 B ? ?z . ?y
说
偏导存在不是函数可微的充分条件
明 一元函数可微等价于可导。
而多元函数偏导存在不能推出可微。
例如
f
(x,
y)
?
? xy
? ?
x
2
?
y2
,
x 2 ? y 2 ? 0,
? ?
0,
x2 ? y2 ? 0
f (x，y)在点P0处偏导存在，但 f(x，y)在点P0处 不连续。所以 f (x，y)在点P0处一定不可微。
函数可微 偏导数连续
三、全微分的计算
方法：
（1）先求fx(x,y)、fy(x,y),判断f (x,y)的可微性。 (利用充分条件）
（2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy
几类微分： (i) P(x,y)处的微分； （ ii）P0(x 0,y0)处的微分； （iii）P0(x 0,y0)处且 dx ，dy给定时的微分
例1.（1）计算z = x2y+y3的全微分；
（2）计算z = x2y+y3在点(2，1)处的全微分；
（3）计算z = x2y+y3在点(2，1)处相应于
⊿x=0.1，⊿y=－0.1 时的全微分。
解 (1) ?z ? 2 xy , ?z ? x 2 ? 3 y 2
?x
?y
dz ? 2 xydx ? ( x 2 ? 3 y 2 )dy
二元函数
对x 和对 y 的偏增量
二元函数
对 x 和对 y 的偏微分
⊿z=f (x+⊿x，y+⊿y)－f (x，y)
(1)
叫做函数在点 (x，y)对应于自变量增量⊿ x、⊿y 的全增量。
2．全微分的定义
定义 如果函数 z ? f ( x , y)在点( x , y)的全增量 ? z ? f ( x ? ? x , y ? ? y) ? f ( x , y)可以表示为
du ? ?u dx ? ?u dy ? ?u dz. ?x ?y ?z
函数z ? f ( x , y)的偏导数?z 、?z 在点( x , y)连续， ?x ?y
则该函数在点( x , y)可微分．
证明 ? z ? f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x , y) ? [ f ( x ? ? x , y ? ? y) ? f ( x , y ? ? y)] ? [ f ( x , y ? ? y) ? f ( x , y)],
2. 函数可微的充分条件
定理 2（函数可微的充分条件） 如果函数 z ? f ( x , y)
的偏导数 ?z 、 ?z 在点( x , y)连续，则该函数在点 ( x , y) ?x ?y
可微分．
说
(1) 习惯上，记全微分为
明
dz ? ?z dx ? ?z dy.
?x ?y
(2) 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
?z
?z
(2)
? 4,
?7
? x (2,1)
?y (2,1)
dz ? 4dx ? 7dy
(3) 当⊿x=0.1，⊿y=－0.1时，
? z ? A? x ? B? y ? o(? )， 其中 A, B 不依赖于 ? x , ? y 而仅与 x , y有关，
? ? (? x )2 ? (? y)2 ，则称函数 z ? f ( x , yபைடு நூலகம்在点
( x , y)可微分， A? x ? B? y 称为函数 z ? f ( x , y )在 点( x , y)的全微分，记为dz，即 dz ? A? x ? B? y.
? f x ( x, y)? x ? ?1? x 其中?1 为? x , ? y 的函数,
且当 ? x ? 0, ? y ? 0时，?1 ? 0. 同理 f ( x , y ? ? y) ? f ( x , y)
? f y ( x , y)? y ? ? 2? y, 当? y ? 0时，?2 ? 0 ,
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f (x ? ?x, y ? ?y) ? f (x, y ? ?y) ? f x ( x ? ? 1? x , y ? ? y)? x (0 ? ? 1 ? 1)
? f x ( x, y)? x ? ?1? x （依偏导数的连续性）
f (x ? ? x, y ? ?y) ? f (x, y ? ?y)
Ch7-3 全微分及其应用
一、全微分的概念 二、函数可微的条件 三、微分的计算 四、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的概念
1．增量、全增量及偏微分
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x ? ? x, y) ? f ( x, y) ? f x ( x, y)? x
f ( x , y ? ? y) ? f ( x , y) ? f y ( x, y)? y
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则 称这函数在 D 内可微分 .
说 如果函数 z ? f ( x , y)在点( x , y)可微分, 明 则函数在该点连续.
事实上 ? z ? A? x ? B? y ? o( ? ), lim ? z ? 0
?? 0
二、函数可微的条件
1. 函数可微的必要条件
P?( x ? ? x , y ? ? y) ? P 的某个邻域
? z ? A? x ? B? y ? o( ? ) 总成立,
当? y ? 0时，上式仍成立， 此时 ? ? | ? x |,
f ( x ? ? x , y) ? f ( x, y) ? A ?? x ? o(| ? x |),
f (x ? ?x, y) ? f (x, y)
? z ? f x ( x , y)? x ? ?1? x ? f y ( x, y)? y ? ?2? y
?
?1? x ? ?2? y ?
?
?1 ? ?2
? ???? 0? 0,
故函数 z ? f ( x , y)在点( x , y) 处可微.
3. 多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导存在
定理 1（可微的必要条件） 如果函数 z ? f ( x , y) 在点( x , y)可微分，则该函数在点 ( x , y)的偏导数 ?z 、 ?z 必存在，且函数 z ? f ( x , y)在点( x , y)的 ?x ?y 全微分 dz ? ?z ? x ? ?z ? y．
?x ?y
证明 如果函数z ? f ( x , y)在点P( x , y)可微分,