n81[1]3全微分
全微分的定义及计算
Ax o ( x )
z xz lim A x x 0 x z B , 因此有 同样可证 y
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 ! xy 2 2 , x y 0 2 2 x y 反例: 函数 f ( x, y ) 2 2 0, x y 0
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z Ax B y
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y o( )
所以函数 在点 可微.
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推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 .
例如, 三元函数 u f ( x, y, z ) 的全微分为 u u u d u x y z x y z 习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
P69 :1(2),(4),(8); 5；6（3）；7.
第四节 目录
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若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
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常微分方程 第五讲：全微分方程
x y
cos(t)
.
/ cot(t)
d y cos(t)d t,
从而 y sin t C .
故得原方程参数形式的解
x
y
cos(t) sin (t)d t C
.
(t为参数)
西 南
上式消去参数得通积分 x 2 (y C )2 1.
科
技
大
学
理
学
院
32
例2： 求方程x3 y '3 3xy ' 0的通解.
若方程（1）不含 x，即 F( y, y/ ) 0, 则完全类似求解。
例3：解方程y - ( y ')5 - ( y ')3 y ' 5 0.
u M 2x(1 x2 - y ), (*) x
u N x2 - y. (**) y 先就（*）两端对x积分（视y为常数）有
西
u(x, y) 2x(1 x2 - y )dx ( y)
南
科 技 大
x2
2
(x2
3
y)2
(
y).
学
3
理
学
院
7
再利用（**）（视x为常数）有
1
(x2 y)2 '( y) x2 y , 即 '( y) 0， 于是 ( y) C.
则称（1）为全微分方程或恰当方程，u (x ,y )
称为（1）的一个原函数。
例如
xdx ydy 0,
u (x ,y )
1 (x 2
2
y 2 ),
西
南 科
使得d u (x ,y ) xd x yd y , 是全微分方程，
技
大 学 理
u (x ,y ) 是方程的一个原函数。
全微分
有些同学以为：由于 d z f x( x, y ) dx f y( x, y ) dy ,
所以当 f ( x, y ) 可偏导时，f ( x, y ) 一定可微。
这是错误的！
2013-8-21
定理2(可微的充分必要条件) 如果函数 z f ( x, y )
在点 ( x, y ) 处可偏导，则 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微的 充分必要条件为
x y 0,
2
2
, x y 0
2 2
x y 0
2 2
解： f ( x, 0) f ( 0, y ) 0, 故 f x(0, 0) f y(0, 0) 0 ,
x 0 y 0
lim
z f x(0, 0)x f y(0, 0)y (x) (y )
由全微分定义
z f x( x, y ) x f y( x, y ) y o( )
dz
可知当
即
及
较小时, 有近似等式:
z d z f x( x, y ) x f y( x, y ) y
f ( x x, y y ) f ( x, y ) f x( x, y ) x f y( x, y ) y
2013-8-21
二、函数可微的必要条件和充分条件
定理1(可微的必要条件) 如果函数 z f ( x, y ) 在点
( x, y ) 处可微，则
⑴ f ( x, y )在点 ( x, y ) 处连续； ⑵ f ( x, y )在点 ( x, y ) 处可偏导；且
A f x( x, y ), B f y( x, y ),
规定： dx x, dy y , 则
全微分基本公式
全微分基本公式全微分基本公式是微积分中的重要概念，它用于描述函数的局部变化。
全微分基本公式基于一阶偏导数的概念，通过对函数的每个自变量求偏导数，得到该函数的全微分。
在本文中，我们将介绍全微分的基本公式以及它的应用。
全微分基本公式的表达式是dF = ∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy + ∂F/∂z dz，其中dF表示函数F的全微分，∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z分别是函数F 对自变量x、y、z的偏导数，dx、dy、dz则分别表示自变量x、y、z的微小增量。
全微分基本公式的含义是，一个函数在某一点上的微小增量可以由所有自变量的偏导数和微小增量的乘积的和来表示。
在函数的全微分中，各个自变量的微小增量dx、dy、dz可以表示函数在相应自变量上的局部变化。
这意味着，通过将函数的局部变化分解为各个自变量的局部变化，并乘以相应的偏导数，我们可以对函数的整体变化有一个更详细的了解。
全微分基本公式的一个重要应用是估计函数的近似变化。
通过将函数的全微分与各个自变量的微小增量相乘，我们可以得到函数变化的近似量。
这在实际问题中经常被使用，特别是在工程和自然科学领域。
另一个重要的应用是在多元函数的最值问题中。
通过研究函数的全微分，我们可以找到函数取得最大值或最小值的条件。
这是因为，在最值点上，函数的微小增量应该接近于零，即dF ≈ 0。
通过求解这个方程组，我们可以得到最值点的坐标。
全微分基本公式还有其他一些重要的性质。
例如，全微分具有可加性，即如果函数F可以表示为多个函数的和，那么它的全微分也可以表示为这些函数的全微分的和。
这个性质可以简化函数的微分计算，并使得我们能够更方便地研究函数的性质。
总结起来，全微分基本公式是微积分中的重要概念，用于描述函数的局部变化。
它通过求函数对每个自变量的偏导数，并将其与自变量的微小增量相乘，得到函数的全微分。
全微分基本公式具有估计函数近似变化和求解函数最值问题的应用，并具有可加性等重要性质。
高等数学：第六讲 全微分
若函数在区域 D 内yy0各点都可微，则称此函数在D 内可微.
01 全微分的定义
由可微定义可知
因此
lim Δz lim[(AΔx BΔy) o(ρ)] 0
Δx0
Δx0
Δy0
Δy0
lim
Δx0
f
( x0
Δx, y0
A fx(x0 , y0 ) B f y(x0 , y0 )
02 全微分的性质
性质2 （全微分存在的充分条件）
如果函数 z f (x, y) 在点P(x, y)处的两个偏导数 fx(x, y)、f y(x, y) 为连续函数，那么 z f (x, y) 在点 P(x, y) 处可微，且
dz
量与全微分. 解 由定义知全增量为
Δz f (x0 Δx, y0 Δy) f (x0, y0 )
z z
dz
x x0 y y0
Δx Δy. x y
Δz (2 0.02)2 (1 0.01)2 22 (1)2 0.1624
z 2xy2 z 2x2 y
x
y
z x
x2 4
y 1
Δy)
f (x0,
y0 )
Δy0
即 函数 z f (x, y) 在点(x0, y0 )可微
函数在该点连续.
连续是可微的必要条件， 或者说不连续必不可微.
02 全微分的性质
性质1 （全微分存在的必要条件）
设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 可微，则该函数在此点
的两个偏导数 fx(x0, y0 )、f y(x0, y0 ) 必存在，且有
内容小结
全微分与链式法则
xy
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例5. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求
w. x
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
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8.3.3 一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③Fy (x0 , y0 ) 0,
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
第八章
8.3.1、全微分 8.3.2、链式法则
8.3.1、全微分
一元函数 y = f (x) 的微分
y f (x x) f (x) Ax o(x) 常数A与△x 无关,仅与x 有关
f (x)x dy 对 z f (x, y)
关于△x 的高阶无穷小
f (x x, y) f (x, y) fx (x, y)x
§8.3全微分
有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分(简称可微),
称Ax+By为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记为dz,
即
dz = Ax + By
函数z=f(x, y)若在某区域D内各点处处可微分, 则 称函数z=f(x, y)在D内可微分.
22
dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
例3: 试证函数
f
(
x,
y)
xysin
1 x2 y2
( x, y) (0,0)
0
( x, y) (0,0)
在点(0, 0)处连续且偏导数存在, 但偏导数在点(0, 0)处
不连续, 而函数 f(x, y)在点(0, 0)处可微.
=[ f(x+x, y+y) – f(x, y+y)]
+[ f(x, y+y) – f(x, y)]
对第一个方括号内的表达式在以 x 和 x+x 为端
点构成的区间内应用拉格朗日中值定理(此时将y+y
视为常量), 得
f(x+x, y+y) – f(x, y+y)
= fx(x+1x, y+y)x ( 0<1<1 ) = fx(x, y)x + 1x (依偏导数的连续性) 其中, 1为x→0, y→0时的无穷小量. 同理, f(x, y+y) – f(x, y)
所求全微分为: dz e2dx 2e2dy.
例2: 计算函数 u x sin y e yz 的全微分.
全微分定义公式范文
全微分定义公式范文全微分是微分学中的一个概念，它可以理解为函数在其中一点处的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
全微分的定义公式如下：设函数f(x,y)在点(x0,y0)处可导，则函数f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分df(x0,y0)定义为：df(x0,y0) = fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy其中，fx(x0,y0)表示函数f(x,y)对自变量x的偏导数，fy(x0,y0)表示函数f(x,y)对自变量y的偏导数，dx和dy分别表示自变量x和y的微小变化量。
在全微分中，dx和dy被称为自变量的微分量，它们是独立的，即dx 和dy之间没有直接的关系。
全微分df(x0,y0)表示函数f(x,y)在点(x0,y0)处对自变量x和y的微小变化的累加效果。
全微分的定义公式可以用几何语言来解释。
在二维平面上，我们可以将自变量x和y看作是平面上的两个坐标轴，函数f(x,y)则表示平面上的一个曲面。
在点(x0,y0)处的切平面上，存在与切平面相切的线性逼近面，这个线性逼近面的方程可以用全微分来计算。
具体地，对于切平面上的任意一点(x0+dx, y0+dy)，函数f(x,y)的值可以近似地表示为：f(x0+dx, y0+dy) ≈ f(x0,y0) + df(x0,y0)而当dx和dy足够小时，df(x0,y0)可以近似地表示为全微分df(x0,y0)。
因此，函数f(x,y)在点(x0,y0)处的切平面方程可以近似地表示为：z = f(x0,y0) + df(x0,y0)这个线性逼近面可以用全微分来描述函数在该点处的局部变化情况。
总结起来，全微分的定义公式是df(x0,y0) = fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy，它表示了函数f(x,y)在点(x0,y0)处对自变量x和y的微小变化的累加效果。
全微分的几何解释是函数在该点处的切平面的线性逼近面方程。
全微分在微积分和物理学等学科中有着广泛的应用，可以用于描述函数的局部变化、函数的一阶线性逼近、多元函数的导数等问题。
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f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)
2
8.3 全 微 分
回忆
一元函数的全微分 y f ( x)
y f ( x x) f ( x) A x o(x)
Ax By o()
lim z 0, x0
lim f ( x, y) x x x0
x x0
y y y0
y0
lim
x0
f
( x0
x,
y0
y)
y y0
y0
lim[z
x0
f
( x0 ,
y0 )]
f ( x0 , y0 )
y0
f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续.
6
8.3 全 微 分
A f ( x x, y) f ( x, y)
lim
x0
x
z , x
同理可得 B z . y
8
8.3 全 微 分
z z
dz x y x y
f x ( x, y)x
f y ( x, y)y
三元函数全微分
u f ( x, y, z),
记为
du u dx u dy u dz. x y z
成立(其中A是与x无关的常数),
则称函数 y f ( x)在点x 可微,
dy A x f ( x)dx
3
8.3 全 微 分
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中A, B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分，则该函数在点( x, y) 的偏导数z 、
x z 必存在，且函数z f ( x, y)在点( x, y) 的全微分 y
为
dz z x z y． x y
可微与偏导数存在有何关系呢？ 微分系数 A=? B=?
0
lim
x0 y0
f
(0 x,0
y) f (0,0) 0x 0y
lim
x0 y0
f (x, y)
lim
[(x)2
(y)2 ]
sin (x)2
1 (y)2
x 0 y0
(x)2 (y)2
13
8.3 全 微 分
lim
[(x)2
(y)]2
sin
(x)2
1
(y)2
x0 y0
(x)2 (y)2
lim 0
(x)2
(y)2
sin
(x)2
1
(y)2
lim
0
sin
1
2
0
所以, 函数f(x,y)在原点(0,0)可微.
dz f x (0,0)x f y (0,0)y 0 x 0 y
14
8.3 全 微 分
注意
一元函数可导 可微
多元函数各偏导数存在 全微分存在
问题：多元函数的各偏导数存在并不能保 证全 微分存在，满足什么条件就可微了 呢？
8.3 全 微 分
8.3 全 微 分
total differentiation
全微分的定义 全微分在近似计算中的应用 小结 思考题 作业
第8章 多元函数微分法及其应用
1
8.3 全 微 分
全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的某邻域内 有定义，并设P( x x, y y)为这邻域内的
1.判定f x ( x, y)、f y ( x, y)是否存在，
若不存在，则不可微， 否则转下一步；
2.判定 lim z fx ( x, y)x f y ( x, y)y 是否等于0，
x 0
y0
若为0，则可微，否则不可微，
11
8.3 全 微 分
例
函 数f
(
x,
y)
(
x2( x, y)在点( x, y) 可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x, y) 的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
4
8.3 全 微 分
dz Ax By
注
z Ax By o( )
全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
9
8.3 全 微 分
说明 z f (x, y)在( x, y)处可微 z Ax By o( ) z f x ( x, y)x f y ( x, y)y o( )
z f x ( x, y)x f y ( x, y)y 0 (当 0)
10
8.3 全 微 分
判定z f (x, y)在(x, y)处可微的步骤：
15
8.3 全 微 分
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
在原点(0,0)是否可微.
解 1.判定f x (0,0)、f y (0,0)是否存在，
f (0 x,0) f (0,0)
fx
(0,0)
lim
x0
x
lim
[(x)2
(0)2
]sin
[(x
)
1 2
(0)2 ]
x0
x
0
同理, f y (0,0) 0
12
7
8.3 全 微 分
证 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
z f ( x x, y y) f ( x, y) 总成立, Ax By o( )
当y 0时，上式仍成立， 此时 | x |,
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
8.3 全 微 分
f x (0,0) 0 f y (0,0) 0
f
( x,
y)
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
2.判定lim z f x (0,0)x f y (0,0)y 是否为0，
0
lim z f x (0,0)x f y (0,0)y ( (x)2 (y)2 )
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比 高阶无穷小.
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
可微与连续有何关系呢？
5
8.3 全 微 分
必要条件1 如果函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 可微分,
则函数在该点连续.
可微 连续 不连续 不可微
证明 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )