全微分和应用
全微分及其应用
根据一元函数微分学中增量与微分的关系,
进一步
f ( x + Δx, y ) − f ( x, y ) = f x ( x, y )Δx + o(Δx)
f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ) = f y ( x , y ) Δ y + o ( Δ y )
这里f(x+△x, y)-f(x, y)与f(x, y+△y)-f(x, y)分别称为函数z=f(x, y) 在点(x, y)处对x与对y 的偏增量， fx(x, y) △x 与 fy(x, y) △y 分别 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处对x与对y的偏微分。 称
2 2
y yz 例2. 计算函数 u = x + sin + e 的全微分。 2 ∂u 1 y ∂u ∂u 解: = cos , =1, y eyz = ∂y 2 2 ∂z ∂x
1 y cos dy + ze yz d y + y e y z d z d u = 1⋅ d x + 2 2
y ⎛1 yz ⎞ = dx + ⎜ cos + ze ⎟ dy 2 ⎝2 ⎠
Δ z = A Δx + B Δy + o( ρ ) , ρ = (Δx) 2 + (Δy ) 2
其中A , B 不依赖于Δx , Δy , 仅与 x , y 有关, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， △x+B△y称为函数 f(x, y)在点 (x, y)的全微分, A 记作
z −1
∂z ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ = z ⋅ ⎜ xy + ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ y⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ∂y
全微分及其应用
常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。
高数7-3(全微分及其应用)
全微分
xy
f
(
x,
y
)
x2 y2
x2 y2 0 .
在点(0,0)处有
0
x2 y2 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点 P(x,y) 沿直线 y x趋近于(0,0),
x y
则
(x)2 (y)2
4
全微分
dz Ax By z Ax By o( )
注 全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比 高阶无穷小.
可微与偏导数存在，连续有何关系呢？ 微分系数 A=? B=?
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
5
全微分
由下面的定理来回答：
x0
(x)2
sin x
1 (x)2
同样, f y (0,0) 0
z Ax By o( ),
其中A、B仅与x 、y有关, 而不依赖于x、y,
(x)2 (y)2 , 则称函数 z f ( x, y)在点
( x, y)处 可微分,Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)处的 全微分.记作 dz, 即
dz Ax By.
函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 这函数在D内的 可微函数.
令f x ( x 1x, y y) f x ( x, y) 1 其中1 0(x 0, y 0)
12
全微分
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时,2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数变量之间的微小变化关系。
全微分的计算可以使用泰勒展开、导数定义和偏导数等方法。
本文将介绍全微分的计算公式和应用。
一、一元函数的全微分设函数y = f(x)在点(x0, y0)处可微分。
此时，函数f(x)在x0附近可以用其局部线性近似代替。
根据导数的定义，可得到函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)。
函数f(x0)的全微分df表示函数f(x)在x0附近的微小变化量，可以通过以下公式计算：df = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，dx表示自变量x的微小变化量。
二、二元函数的全微分对于二元函数z = f(x, y)，如果在点(x0, y0)处可微分，那么z在(x0, y0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy其中，∂f/∂x表示函数f(x, y)对x的偏导数，∂f/∂y表示函数f(x, y)对y的偏导数，dx表示自变量x的微小变化量，dy表示自变量y的微小变化量。
需要注意的是，在计算二元函数的全微分时，要先对函数进行偏导数运算，然后与自变量的微小变化量相乘，再将结果相加。
三、多元函数的全微分对于多元函数z = f(x1, x2, ..., xn)，如果在点(x1^0,x2^0, ..., xn^0)处可微分，那么z在(x1^0, x2^0, ..., xn^0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1表示函数对变量x1的偏导数，∂f/∂x2表示函数对变量x2的偏导数，dx1表示自变量x1的微小变化量，dx2表示自变量x2的微小变化量，以此类推。
四、全微分的应用例如，在概率论与统计学中，我们常常需要计算函数的期望和方差。
对于连续型随机变量，若已知其概率密度函数f(x)和函数g(x)，可以通过全微分的公式计算函数g(x)的期望和方差。
9.4 全微分及其应用
全增量： 全增量： 定义: 定义 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点 x , y ) 在定义域 的内点( 处全增量 可表示成
∆ z = A∆x + B ∆y + o(ρ ) ,
其中 A , B 不依赖于∆ x , ∆ y , 仅与 x , y 有关， 不依赖于∆ 有关， 则称函数 f ( x, y ) 在点 x, y) 可微，A ∆ x + B ∆ y 称为函数 f (x, y) 在点( 可微， 全微分, 在点 (x, y) 的全微分 记作
= x + yx ∆x + x ln x∆y
y y
y−1
取 x = 1, y = 2, ∆x = −0.01, ∆y = 0.01 则
0.99
2.01
= f (0.99,2.01)
= 1 + 2 × (−0.01) + 0 × 0.01 = 0.98.
内容小结 1. 微分定义:
∆z =
+ o ( ρ)
在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微.
证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂ y
= [ f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] + [ f (x, y + ∆y) − f (x, y)]
= f x (x +θ1∆x, y + ∆y)∆x + f y (x, y +θ2∆y)∆y = [ f x (x, y) + α ]∆x + [ f y ( x, y) + β ]∆y
全微分的实际应用举例
全微分的实际应用举例
全微分的实际应用举例有：
1. 在物理学中，全微分可以用于描述物体的位移。
例如，当一个物体在空间中进行自由落体运动时，其位移可以通过全微分来描述。
2. 在经济学中，全微分可以用于描述生产函数和边际效应。
例如，当某个企业的生产函数发生微小变化时，可以利用全微分来计算其边际效益的变化。
3. 在化学中，全微分可以用于描述化学反应的速率。
例如，当各种反应物的浓度发生微小变化时，可以利用全微分来计算反应速率的变化。
4. 在生物学中，全微分可以用于描述生物体的生长变化。
例如，当一个生物体的体积发生微小变化时，可以利用全微分来计算其生长速率的变化。
5. 在工程学中，全微分可以用于描述工程系统的稳定性。
例如，在控制系统中，全微分可以用于描述系统的输入和输出之间的关系，并帮助分析系统的稳定性和响应速度。
全微分的应用及举例
全微分的应用及举例
全微分是微积分中的概念，它是指一个多元函数在某一点处的微小变化，可以用该点的偏导数以及自变量的微小变化来描述。
全微分可以应用于多个实际问题中，以下是一些常见的例子：
1.求出曲线的弧长
当我们想要求曲线的弧长时，可以使用全微分来计算。
我们可以将曲线表示为函数y=f(x)，并使用以下公式来计算弧长：
L = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx
其中dy/dx 是函数f(x) 的导数。
可以看出，这个公式就是对函数f(x) 的全微分进行积分得到的。
2.计算温度/压力的变化
当物体温度或压力发生微小变化时，可以使用全微分来计算其变化量。
例如，对于理想气体，温度和压力可以表示为函数T(V,P) 和P(V,T)，可以使用以下两个公式计算它们的微小变化量：
dT = (∂T/∂V) dV + (∂T/∂P) dP
dP = (∂P/∂V) dV + (∂P/∂T) dT
其中(∂T/∂V)、(∂T/∂P)、(∂P/∂V)、(∂P/∂T) 分别为函数T(V,P) 和P(V,T) 在某一点处的偏导数。
3.计算多元函数的极值
求多元函数的极值时，可以使用全微分的概念。
设多元函数为f(x,y)，则当(∂f/∂x)=0 和(∂f/∂y)=0 时，该函数在某一点处取得极值。
这个过程利用了全微分的定义和二元函数的最值定理。
高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)
第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。
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❖可微分与连续
偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续.
这是因为, 如果zf(x, y)在点(x, y)可微, 则
zf(xx, yy)f(x, y) AxByo(),
于是
lim z 0 ,
0
从而
lim f (xx, y y) lim [ f (x, y)z] f (x, y) .
dz z x z y . >>> x y
❖应注意的问题
偏导数存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.>>>
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❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续.
❖可微分的必要条件
如果函数zf(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导
数
z x
、
z y
必定存在,
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设 uf (x, y, z), 则 du u dx u dy u dz . x y z
例例3 计算函数 u xsin y eyz 的全微分. 2
解 因因为为 u 1 , u 1 cos y zeyz , u yeyz ,
x y 2 2
z
所以 所以 du dx(1 cos y zeyz)dy yeyzdz . 22
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二*、全微分在近似计算中的应用
当函数zf(x, y)在点(x, y)的两个偏导数fx(x, y), fy(x, y)连续, 并且|x|, |y|都较小时, 有近似等式
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y ,
即
f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y .
可表示为
z Ax By o() ( (x)2 (y)2 ) ,
其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数zf(x, y) 在点(x, y)可微分, 而AxBy称为函数zf(x, y)在点(x, y)的全 微分, 记作dz, 即
dzAxBy. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分.
f(x, yy)f(x, y) ——函数f(x, y)对y的偏增量
fx(x, y)x
fy(x, y)y ❖全增量
————函数f(x, y)对x的偏微分 ————函数f(x, y)对y的偏微分
zf(xx, yy)f(x, y).
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❖全微分的定义 如果函数zf(x, y)在点(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y)
且函数 zf(x, y)在点(x, y)的全微分为
dz
z x
xz yBiblioteka y.❖可微分的充分条件
如果函数
zf(x
,
y)的偏导数
z x
、
z y
在点(x,
y)连续,
则函数在该点可微分.
以上结论可推广到三元及三元以上函数.
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❖叠加原理
按着习惯, x、y分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的 微分, 这样函数zf(x, y)的全微分可写作
所以
f(xx, yy) f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y x yyx y1xx yln x y,
(1.04)2.02 1221210.0412ln10.02 1.08.
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我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.
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zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大
到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例5 计算(1.04)2.02的近似值. 解 设函数 f(x, y)x y. 显然, 要计算的值就是函数在 x1.04, y2.02时的函数值f(1.04, 2.02). 取x1, y2, x0.04, y0.02. 因为
的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,
则有
V r2h.
已知r20, h100, r0. 05, h1, 根据近似公式, 有
VdV VrrVhh 2rhrr2h 2201000.05202(1)
200 (cm3), 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3.
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(x,y)(0,0)
0
因此函数zf(x, y)在点(x, y)处连续.
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❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续.
❖可微分的必要条件
如果函数zf(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导
数
z x
、
z y
必定存在,
且函数 zf(x, y)在点(x, y)的全微分为
§8.3 全微分及其应用
一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用
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一、全微分的定义
❖偏增量与偏微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有
f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, f(xx, y)f(x, y) ——函数f(x, y)对x的偏增量
例1 计算函数zx2yy2的全微分.
解解 因因为为 z 2xy , z x2 2y ,
x
y
所以
dz2xydx(x22y)dy.
例2 计算函数zexy在点(2, 1)处的全微分.
解 因为 z yexy , z xexy ,
x
y
所以
z x
x2 y1
e2
,
z y
x2 y1
2e2
,
dze2dx2e2dy.
dz
z x
dx
z y
dy
.
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为
二元函数的微分符合叠加原理.
叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如uf(x, y, z)的全
微分为
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz
.
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设 zf(x, y), 则 dz z dx z dy . x y