大学物理 高斯定理上课讲义
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大学物理 静电场2-高斯定理、环路定理
S
S′ SS r
q
29
证明：
ΦE=
∫S E ⋅ dS=
1
ε0
∑qi
S内
设真空中有一点电荷q，在q 的电场中，
(3) 若球面S 或任意曲面S′不包围电荷q
穿入的
穿出的
S′ S
电场线
电场线
q
Φ=E ∫S′E′ ⋅ dS=′ ∫S E ⋅ dS = 0
即:曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献
30
证明：
ΦE=
将电荷qo从a点移动到b点, 电场力作功 A=？
q rb
.b 在任意点c, qo的位移dl ,
ra r
a.
r +dr c dl
qo
dl F
α
受电场力 F = qoE 元功为 dA= F ⋅ dl
dA = q0E .dl = Fdl cosα =Fdr dl cosα = dr
=A ∫ F ⋅ dr = ∫ qoEdr
P.dE
ΦE
=ε1o
∫V
ρ dV =
q
εo
方向为 er
E oR
r ≤ R ΦE= ∫S E ⋅ dS= E ⋅ 4πr2
ρ= q 4 πR3
ΦE
=ε1o
∫V
ρdV
=
ρ εo
4 3
πr 3
3
方向为 er
r 点电荷的电场在 r→0 时, E→∞.
35
∫ 例11.无用限高长斯圆定柱理棒求面体的均电匀场带分电布的,已知Φ线=E体面电电∫S荷E荷⋅d密密S 度度ε10λρσl。λdl
S内
高斯定理的意义：
——电磁场的基本方程之一
反映电场的基本性质
S′ SS r
q
29
证明：
ΦE=
∫S E ⋅ dS=
1
ε0
∑qi
S内
设真空中有一点电荷q，在q 的电场中，
(3) 若球面S 或任意曲面S′不包围电荷q
穿入的
穿出的
S′ S
电场线
电场线
q
Φ=E ∫S′E′ ⋅ dS=′ ∫S E ⋅ dS = 0
即:曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献
30
证明：
ΦE=
将电荷qo从a点移动到b点, 电场力作功 A=？
q rb
.b 在任意点c, qo的位移dl ,
ra r
a.
r +dr c dl
qo
dl F
α
受电场力 F = qoE 元功为 dA= F ⋅ dl
dA = q0E .dl = Fdl cosα =Fdr dl cosα = dr
=A ∫ F ⋅ dr = ∫ qoEdr
P.dE
ΦE
=ε1o
∫V
ρ dV =
q
εo
方向为 er
E oR
r ≤ R ΦE= ∫S E ⋅ dS= E ⋅ 4πr2
ρ= q 4 πR3
ΦE
=ε1o
∫V
ρdV
=
ρ εo
4 3
πr 3
3
方向为 er
r 点电荷的电场在 r→0 时, E→∞.
35
∫ 例11.无用限高长斯圆定柱理棒求面体的均电匀场带分电布的,已知Φ线=E体面电电∫S荷E荷⋅d密密S 度度ε10λρσl。λdl
S内
高斯定理的意义：
——电磁场的基本方程之一
反映电场的基本性质
大学物理课件高斯定理
§ 5 电场线和电通量
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
电通量高斯定理ppt课件
+
h +o
E λ 2πε0r
+
x+
y
23
大学物理
例:无限长均匀带电圆柱面的电场分布，已知r, , 正电
解: 分析场源的对称性
取一合适的高斯面
S1
e
E ds
s
E ds E ds E ds S3
s1
s2
s3
S2
E
s2
E dS
E 2r l
qi
r<R
No Image
(5)静电场：有源场，无旋场，保守场， 引入电势.
e
E dS
1
s
0
qi
大学物理
qi 0 e 0
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,所以 正电荷是静电场的源头。
qi 0 e 0
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以 负电荷是静电场的尾。
14
课堂讨论
大学物理
●q ●q
（2）任意两条电力线不相交。(E是唯一的)。
大学物理
二、电通量
通过电场中任一给定截面的电场线的总数称为 通过该截面的电通量或E通量，用符号Φe表示
在匀强场中(平面)
在非匀强场中(曲面)
S
S
E
S/
E
E
S
e ES
e E S
e ES cos
de
E dS
e
4
E
S
dS
大学物理
电场中的任意闭合曲面S、非均匀电场强度E的通量
1．立方体边长
位于中 心
q
a，求
e
q
6 0
过每一面的通量
位于一顶点
大学物理课件：磁场的高斯定理
上页
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思考问题！！
求穿过旋转曲面的磁通量， 是否可以通过求穿过平面圆的
磁通量来求呢？
为什么？
BB
上页
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例1 在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S,S 边线所在平面的法线方向的单位矢量n和B的夹角为
,如图所示，则通过半球面S的磁通量为
-B r2cos
将半球面和圆面组成一个闭 合面，则由磁场的高斯定理知， 通过此闭合面的磁通量为零。
对闭合曲面来说,我们规定取向外的方向为法线的正方向。
这样：
磁力线穿入： 0 磁力线穿出： 0
上页
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二、.磁场的高斯定理
由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲 面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即
sB dS 0
——称为磁场的高斯定理。
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电 荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场是有源场。而在磁场中,磁力线的连续性 表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场 是无源场。
3）磁力线不相交
上页
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2. 磁通量
磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过
该曲面的磁通量。
m
B dS
s
BdS cos
s
dS
B
在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。
说明
（1）对于有限曲面
B dS
dS
对于闭合曲面 SB dS
（2）磁通量是标量，其正负由角确定。与电场中一样，
磁场的高斯定理
一、.磁感应线 、磁通量
1.磁感应线(磁力线)
为了形线。
规定：1) 2)
大方小向：：垂磁直力B线的磁切单感线位应方面强向积度为上B磁的穿感大过应小的强磁度力B线的条方数向为
大学物理--静电场高斯定理PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
S
dS
qi
E
i
4 0r 2
过场点旳高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
i
r>R qi Q
i
r< R E 0
r>R
E
Q
4 0r 2
怎样了解面内场强为0 ?
过P点作圆锥
P
dq1
dq2
则在球面上截出两电荷元
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0 r12
dlr1 0dl0
dl
当然 也
dl0 r0
r 射线长为
r1
d
dl1
一般旳定义：线段元dl 对某点所张旳平面角
d
dl0
dl
cos
rr
单位：弧度
r 平面角 d dl0 dl cos
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张旳立体角：
r1
drlr1 0dl0
dl
dS
锥体旳“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r1
ds r
l
Eds
例3 金属导体静电平衡时,体内场强到处为0
求证: 体内到处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
E dS 0 由高斯定理
S
qi dV 0
i
V
体积元任取
0
证毕
d 4 0
dq2
在P点场强
dE2
dS2 4 0 r22
d 4 0
dE1 dE2
方向 如图
方向 如图
例2 均匀带电旳无限长旳直线 线密度
对称性旳分析
大学物理电场 高斯定理(老师课件)
3. 守恒性--电荷守恒定律
在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在系统 中的正、负电荷的代数和始终保持不变。 4. 相对论不变性---电量是相对论 不变量 电量与带电体的运动状态无关，与参考系无关。
二、库仑定律 (Coulomb`s Law)
库仑(1736 ~ 1806)
法国工程师、物理学家。 1777年开始研究静电和 磁力问题，发明扭秤。 1779年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂 的科学理论。1785--1789年，用扭秤测量静 电力和磁力，导出著名的库仑定律。
2 1
dEy dE P dEx
1
Y
a r
O
2
x
dx
X
讨论：均匀带电细棒为无限长时 1 0，2
Ex 0
λ Ey E 方向垂直于棒！ 2 0 a 2πε0 r
长直均匀带电细棒的场具有圆柱面对称性！
例10.3 求均匀带电圆环轴线上的场强。 解：在圆环上任取电荷元 dq ,它在P点的场强 dq ˆ dE r dq 2 4πε0 r r dE R P 考虑对称性 X x O
4 0 r
2
er
Ex dEx cos d 4 0 a
2 1
(sin 2 sin 1 ) 4 0 a E y dEy sin d 4 0 a (cos1 cos 2 ) 4 0 a
F
q 0 Q 3q
0
3F
试验电荷必须： 电量充分小 线度足够小
大小：等于单位正电荷在该点所受的电场力 方向：与正电荷在该点所受力的方向相同 单位： N/C ； V/m
F 定义： 电场强度 E q
1) E E r E x yz
大学物理高斯定理课堂PPT
由高斯定理知 E
q
2 0lr
（1）当r<R 时， q0
E0
.
25
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
ql
E
2 0r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
l
E Er 关系曲线
2 0 R
r1
0
R
r
.
26
高斯简介 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天 文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线, 这些曲线与电场强度 E 之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场 强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小 相等。
.
1
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
由电场线的连续性可知，穿 过 S的电场线都穿过同心球 面 S ，故两者的电通量相等， 均为 q ε 0 。
结论说明，单个点电荷包围 在任意闭合曲面内时，穿过 该闭曲面的电通量与该点电 荷在闭曲面内的位置无关。
.S
S
q •
S
电场线
S'
q+
r
10
③不包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量恒为零．
由于电场线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 量应该相等。所以当闭合曲面 无电荷时，电通量为零。
斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定
律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生的
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
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无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
①待求场强的场点应在此高斯面上，
整个闭合曲面的电通量为
en
en
en
E
e=SEdS
三、高斯定理
高斯简介
1、内容
静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值等于该
曲面所包围的所有电荷电量的代数和 q i 除以 ε0 ，
与闭曲面外的电荷无关．
1
数学表达式: e SEdS0 i qi
2、静电场高斯定理的验证 ①包围点电荷的同心球面S的电通量都等于 q ε 0 ②包围点电荷的任意闭合曲面S的电通量都等于q ε 0
二、电场强度通量
1、定义
在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称 为穿过该面的电通量，用 e 表示。
(1)匀强电场中的电通量
E与平面S垂直时
e＝ES
E与平面S 有夹角θ时
引入面积矢量
SSen
e＝EScos
Φe＝E S
E
en
S
S
(2)非均匀电场的电通量
面元dS d eEdS
e EdS
S
n
dS
大学物理 高斯定理
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
E＝ dN dS
可见,电场线密集处电场强度大,电场线稀疏处电 场强度小
2、几种典型的电场线分布 负点电荷
正点电荷
+
+
等量异号点电荷
+2q q
++ ++ + + + + +
E＝
q 4 0r
2
结果表明：均匀带电 球面外的电场分布象 球面上的电荷都集中 在球心时所形成的点
++ + +
+
+
+R
+r
++ + +
q
+ +
+
q E+
4 0 R 2
r2
电荷在该区的电场分
布一样。
0
R
r
Er 关系曲线
高斯定理的应用
例2、求球面半径为R,带电为q均匀带电球体的场 强分布。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
对于包围点电荷q的任意封闭曲面
可在外或内作一以点电荷为中 心的同心球面 S ,使 S 内只有点 电荷，如图所示。
由电场线的连续性可知，穿 过 S的电场线都穿过同心球 面 S ，故两者的电通量相等， 均为 q ε 0 。
结论说明，单个点电荷包围 在任意闭合曲面内时，穿过 该闭曲面的电通量与该点电 荷在闭曲面内的位置无关。
E
S
将曲面分割为无限多个面元 d S,由于面元很小， 所以每一个面元上场强可以认为是均匀电场 ,
2、电通量的正负
•非闭合曲面: 电通量的结果可正可负，完全取决于
面元 与d S 间的E 夹角 :
2时 , e0 2时 , e0
•闭合曲面:规定取外法线方向 (自内向外) 为正。因此有:
电场线由内向外穿出: e 0,为正 电场线由外向内穿入: e 0,为负
电荷体密度为 3q 4R2
作同心且半径为r的高斯面
a.rRSE时E，dS4Eq40qrr4322r3 0qRqr33
r
E＝
q
4
r 0R
3
R
b.rR时， q q
n
E = Ei i1
SHale Waihona Puke q k1 q k2q2
q
q1
k
qn
通过闭合曲面S的电通量为
n
e=SEdSSEi dS i1
根据③，不包围在闭合曲面内的点电荷对闭合曲 面的电通量恒为0，所以
k
e
i1
k
SEi dS
qi
i1 0
当把上述点电荷换成连续带电体时
e
E
dS
dq
0
3、关于高斯定理的说明
•高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理； •高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比 库仑定律更为广泛；
•高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
电通量计算
四、高斯定律应用举例
当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定 理能比较方便求出场强。求解的关键是选取适当的 高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
S
S
q •
S
电场线
S'
q+
r
③不包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量恒为零．
由于电场线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 量应该相等。所以当闭合曲面 无电荷时，电通量为零。
q
④点电荷系的电通量等于在高斯 面内的点电荷单独存在时电通量 的代数和。
设 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，
同时面外也有多个电荷qk+1-qn 利用场强叠加原理
不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场
3、电场线的性质 •电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远）， 终止于负电荷（或终止于无穷远） •任何两条电场线都不能相交。 •非闭合曲线
4、关于电场线的几点说明 •电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在； •电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况; •电场线图形可以用实验演示出来。
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
SE d S E 4r2
q
0
q
E 4 0 r 2
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
++ + + q
+ +
Rr
+ +
+
+
+
+
+++ +
高斯定理的应用
rR时，高斯面包围电荷q，
•通过任意闭合曲面的总通量只取决于面内电荷的代数和，而
与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关.但电荷的空间分布
会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；
•高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产
生的，并非只有曲面内的电荷确定；
•当闭合曲面上各点 E =时0，通过闭合曲面的电通量
不一定成立.
反之e , 0
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到 积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和， 最后由高斯定理求出场强。
高斯定理的应用
高斯定理的应用举例
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电球体的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场 4.均匀带电无限长直线的电场 5. 均匀带电无限长圆柱面的电场 6. 均匀带电球体空腔部分的电场