第4讲二进制乘法
二进制乘法
二进制乘法引言在计算机科学中，二进制乘法是一种重要的计算方法。
它是基于二进制表示的数字进行运算的一种方式，常用于逻辑门电路设计、计算机算术运算以及编程中。
本文将介绍二进制乘法的基本原理、计算方法和应用场景，并提供一些示例来帮助读者更好地理解和应用二进制乘法。
二进制乘法的基本原理二进制乘法实际上是将两个二进制数相乘的方法。
与十进制乘法类似，二进制乘法也是通过逐位相乘和相加的方式进行计算的。
二进制数由0和1组成，表示为二进制位。
在二进制乘法中，我们将乘数和被乘数的每一位逐个相乘，并将结果相加得到最终的乘积。
二进制乘法的计算方法以下是一种常用的二进制乘法计算方法：1.准备两个二进制数，即乘数和被乘数。
保证乘数和被乘数位数相同，不足的部分用0填充。
2.从乘数的最低位（即最右边）开始，逐个乘以被乘数的每一位。
如果乘数位上的数字为1，则将被乘数乘以2的乘数位的位置数次方。
3.将每一个乘积相加，得到最终的乘积。
以下是一个例子，展示了如何进行二进制乘法：乘数: 1011被乘数: 1101011 <- 乘数x 110 <- 被乘数----------------1011 <- 乘数的最低位为1，乘以被乘数，得到被乘数本身+ 0000 <- 乘数的次低位为0，乘以被乘数，得到0+ 1011 <- 乘数的次高位为1，乘以被乘数，得到被乘数的四倍----------------= 10001010 <- 二进制乘法的结果二进制乘法的应用场景二进制乘法广泛应用于计算机科学和数字逻辑电路设计中。
下面列举了二进制乘法的一些常见应用场景：•逻辑门电路设计：二进制乘法在逻辑门电路的设计中非常重要。
通过多个逻辑门的组合，可以实现二进制乘法运算。
•计算机算术运算：在计算机中，二进制乘法常用于数字的乘法运算。
计算机通过电路和算法实现二进制乘法运算，可以进行高效的数字计算。
•编程：在编程语言中，二进制乘法可以用于位运算和数值计算。
二进制乘除法运算法则
二进制乘除法运算法则一、引言二进制乘除法运算是计算机中常见的运算方式之一。
在计算机中，所有的数据都是以二进制的形式存储和运算的。
了解二进制乘除法运算法则对于理解计算机运算原理和编程语言都非常重要。
本文将详细介绍二进制乘除法运算的法则和相关概念。
二、二进制乘法运算法则1. 乘法运算的基本概念二进制乘法运算是指将两个二进制数进行相乘的操作。
在二进制乘法运算中，每一位的乘积是通过将对应位置上的两个二进制位相乘得到的。
如果乘积超过了1，需要将进位保存并加到高位上。
2. 乘法运算的步骤（1）将两个乘数写在竖式中的上方。
（2）从低位开始，将乘数的每一位与被乘数的每一位相乘，得到乘积，并写在竖式中。
（3）如果乘积超过了1，需要将进位保存并加到高位上。
（4）将所有的乘积相加，得到最终的结果。
3. 举例说明以二进制数1011乘以二进制数1101为例进行说明：1011x 1101------0000（进位）10111011 （乘积）------10001111三、二进制除法运算法则1. 除法运算的基本概念二进制除法运算是指将一个二进制数除以另一个二进制数的操作。
在二进制除法运算中，需要找到一个最大的数作为除数，将被除数从高位开始逐步减去除数，直到被除数小于除数。
每一次减法运算都会得到一个商位和一个余数。
2. 除法运算的步骤（1）将被除数和除数写在竖式中的上方。
（2）从高位开始，将被除数减去除数，得到商位和余数，并写在竖式中。
（3）将余数左移一位，并将下一位被除数加到余数上。
（4）重复上述步骤，直到所有的位都计算完毕。
3. 举例说明以二进制数1001101除以二进制数11为例进行说明：111-----------11 |100110111--1010--0000--00四、总结二进制乘除法运算是计算机中常见的运算方式之一。
二进制乘法运算通过将对应位置上的两个二进制位相乘得到乘积，并将进位保存并加到高位上，最后将所有的乘积相加得到最终的结果。
二进制的乘法
二进制的乘法在计算机科学中，二进制是一种十分重要的基础概念。
而在二进制中进行乘法运算也是常见的操作。
本文将探讨二进制的乘法运算方法及其应用。
一、二进制概述二进制是一种由0和1组成的数字系统。
与我们熟悉的十进制不同，二进制采用了“逢二进一”的原则。
每一位上的数值表示的是2的幂次方。
例如，二进制数1011，可以表示为：(1 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0) = 11二、二进制的乘法运算与十进制的乘法原理类似，只不过运算的基数变成了2。
下面我们以两个二进制数的乘法为例，来介绍一种简单而常用的计算方法——“逐位相乘法”。
例子：1011× 110步骤一：将被乘数（1011）的末位与乘数（110）的每一位相乘，并记录结果。
```1 0 1 1× 1 1 0----------1 0 1 1（末位）1 0 1 1----------1 1 0 1 0```步骤二：将被乘数的次低位与乘数的每一位相乘，并记录结果。
```1 0 1 1（次低位）× 1 1 0----------1 1 0 1（次低位）1 1 0 1----------1 0 1 1 0 0```步骤三：将被乘数的次高位与乘数的每一位相乘，并记录结果。
```1 0 1 1（次高位）× 1 1 0----------1 0 1 1（次高位）1 0 1 1----------1 1 0 1 0 1 0```步骤四：将被乘数的最高位与乘数的每一位相乘，并记录结果。
```1 0 1 1（最高位）× 1 1 0----------1 0 1 1（最高位）1 0 1 1----------1 1 0 1 0 1 0 1```步骤五：将所有结果相加。
```1 0 1 1（次高位）1 1 0 1（次低位）1 1 0 1（末位）+ 1 0 1 1（最高位）-----------------1 1 1 1 1 0 1 0```因此，二进制数1011乘以二进制数110等于二进制数1111010。
第4讲二进制乘法
（4）展开为部分积的累加和形式：
[XY]补 = X补(0.Y1Y2……Yn)+[-X]补Y0 = X补(0.Y1Y2……Yn)-X补Y0 = X补(-Y0+2-1 Y1+2-2 Y2+……+2-nYn) = X补 -Y0+(Y1-2-1Y1)+(2-1 Y2-2-2 Y2)+……
+(2-(n-1)Yn-2-n Yn) = X补 (Y1-Y0)+2-1(Y2-Y1)+2-2(Y3-Y2)+……
11.0101 11.1010 + 00.0000 11.1010 11.1101 + 11.0101 11.0010 11.1001 + 11.0101 10.1110 11.0111
1101
初值[z0]补=0 Y4=1，+[x]补
1110
→1位，得[z1]补，乘数同时→1位 Y3=0，加[0]补
解：因为乘数y<0，需要校正。[-X]补 =00.1011
部分积
乘数
说明
00.0000 + 11.0101
11.0101 11.1010 + 00.0000
11.1010 11.1101 + 11.0101
11.0010 11.1001 + 11.0101
10.1110 11.0111 + 00.1011 00.0010
1101
初值[z0]补=0 Y4=1，+[x]补
1110
→1位，得[z1]补，乘数同时→1位 Y3=0，加[0]补
0111
→1位，得[z2]补, 乘数同时→1位 Y2=1，+[x]补
《小学奥数二进制》课件
在算法设计中，二进制数的特性常常被用来优化算法效率和降低计算复 杂度。
03
数学逻辑
在数理逻辑中，二进制数常常被用来表示逻辑值和进行逻辑运算。
在日常生活中的应用
开/关状态
在日常生活中，许多设备或系 统的状态可以用二进制数来表 示，如开关的状态（开/关）、 音量调节（高/低）等。
加密通信
在通信中，二进制数可以用来 表示加密信息，因为二进制数 的简单运算规则和易于处理的 特性使得加密和解密过程变得 相对简单。
例如，在解决一些关于二进制数的组合问题时，我们可以通 过归纳法总结出不同组合方式的规律，从而快速得出答案。
演绎法
演绎法是一种从一般到特殊的推理方 法，在解决奥数二进制问题时，演绎 法可以帮助我们从已知的一般规律推 导出特殊情况下的结论。
例如，在解决一些关于二进制数的逻 辑推理问题时，我们可以通过演绎法 推导出符合逻辑的结论，从而快速得 出答案。
05
奥数二进制问题实例解析
实例一：二进制数的规律问题
总结词
通过观察二进制数的变化规律，找出数 列中隐藏的数学关系。
VS
详细描述
这类问题通常会给出一些二进制数列，如 1010, 1101, 1110等，要求找出数列中数 字变化的规律，并预测下一个数字。解决 这类问题需要细心观察数列中数字的变化 ，找出隐藏的数学关系。
总结词
将二进制数的知识应用于实际问题中，解决 实际问题。
详细描述
这类问题通常会以实际生活场景为背景，如 “一个密码锁的密码由三个二进制数字组成 ，请问有多少种可能的组合方式？”解决这 类问题需要将二进制数的知识应用于实际问 题中，通过数学运算和逻辑推理，找出符合
实际情况的答案。
二进制乘法规则
二进制乘法规则二进制乘法是指在二进制数系统中进行乘法运算的规则。
在二进制数系统中，只有0和1两个数字，因此乘法的运算规则也与十进制数系统中的乘法规则有所不同。
在二进制乘法中，乘数和被乘数的每一位都可以是0或1。
乘法的结果是两个二进制数相乘的积。
下面我们来详细介绍二进制乘法的规则。
1. 乘法表我们可以根据乘法表来进行二进制乘法运算。
乘法表列出了0和1相乘的结果，如下所示：0 × 0 = 00 × 1 = 01 × 0 = 01 × 1 = 1根据乘法表，我们可以得出以下结论：- 0乘以任何数都等于0；- 1乘以任何数都等于这个数本身。
2. 单位进位在二进制乘法中，当两个二进制数的位数不同时，需要进行单位进位的操作。
单位进位是指将进位的数值加到下一位的操作。
例如，当乘数为1时，被乘数的每一位都需要乘以1，并将结果相加。
如果某一位的乘积大于1，就需要进行进位操作。
3. 乘法运算步骤下面我们来看一个具体的例子来说明二进制乘法的运算步骤。
假设有两个二进制数：1011和110。
我们将乘数和被乘数对齐，如下所示：1 0 1 1× 1 1 0然后，从右到左，将乘数的每一位与被乘数相乘，并将结果写在相应的位置上：1 0 1 1× 1 1 0__________0 0 0 0 （0 × 1）1 0 1 1 （1 × 1，不需要进位）1 0 1 1 （1 × 0，不需要进位）+____________1 1 1 0 1 0 （结果）我们将所有结果相加得到最终的乘积。
在这个例子中，最终的乘积为111010。
4. 乘法规则总结通过以上例子，我们可以总结出二进制乘法的规则：- 乘数的每一位与被乘数相乘，并将结果写在相应的位置上；- 如果某一位的乘积大于1，就需要进行进位操作；- 将所有结果相加得到最终的乘积。
需要注意的是，在二进制乘法中，进位是非常重要的。
(完整版)五年级奥数__二进制问题_讲义
专题二二进制问题知识要点用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示所有整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。
除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一分，60分时1小时。
还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。
它们和十进制计数法的道理实质是一样的。
现代计算机上大多用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，……。
为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。
任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的=9×103+7×102+5×101+8×100（注：100=1）。
乘积的和的形式，如9758（10）任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1 2的次方数的乘积的和的形式，如110101（2）×20典例评析化成二进制例1 将139（10）【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。
但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。
《二进制数的运算》课件
仔细核对运算步骤：在进行二进制数运算时，需要仔细核对运算步骤，确保每一步的运算都正确无误，避免因为运算步骤错误而导致结果不正确。
添加标题
避免溢出错误：在进行二进制数运算时，需要注意溢出问题，确保运算结果不会超出二进制数的表示范围，避免因为溢出错误而导致结果不正确。
添加标题
避免进位错误：在进行二进制数运算时，需要注意进位问题，确保每一位的运算结果都正确无误，避免因为进位错误而导致结果不正确。
二进制数的加法规则：0+0=0，0+1=1，1+1=0，进位为1
二进制数的减法规则：0-0=0，0-1=1（借位），1-1=0
二进制数的乘法规则：0*0=0，0*1=0，1*1=1
二进制数的除法规则：除法相当于连续减法，如10除以2等于5，等于5次2减去1的结果
二进制数运算在计算机科学中的重要性 * 计算机内部数据表示的基础 * 计算机程序运行的基本原理
二进制数的基数为2
二进制数的表示形式为0和1
二进制数的运算速度比十进制数更快
二进制数的运算规则为“逢二进一”
二进制数的基数是2
二进制数可以表示计算机中的所有信息
二进制数的运算规则是逢二进一
二进制数只有0和1两个数字
二进制数的运算规则
二进制数的加法规则
0+0=0, 1+0=1, 1+1=10
二进制数的进位规则
总结与回顾
二进制数的定义：二进制数是一种以0和1为基本符号的数制系统
二进制数的特点：二进制数的运算规则简单，易于实现，适合计算机内部运算
二进制数的应用：在计算机科学中，二进制数被广泛应用于计算机内部的数据表示和运算
二进制数与十进制数的转换：了解二进制数与十进制数的转换方法，方便我们在不同数制之间进行转换
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符号位
校正法
❖ 当乘数y为正时，可按类似原码乘法的规则进 行运算。
❖ 当乘数为负时，把乘数的补码[y]补去掉符号位， 看成一个正数与[x]补相乘，然后加上[-x]补进 行校正。
按补码进行运算
❖ 按补码规则移位：右移补1，第二符号位一起移 ❖ “乘数的补码[y]补去掉符号位，当成一个正数与[x]补相
步数 条件 操作
A
00.0000
1） Cn=1 +B + 00.1101
00.1101
00.0110
2） Cn=1 +B + 00.1101
01.0011
3）×00..1101C10n11=0
B C
+0
1101
4）00101001Cn=1 +B
1101
00.1001 + 00.0000
00.1001 00.0100 + 00.1101 01.0001 00.1000
1 00101原 1 11011补
2. 末位恒置1（原码、补码） 例. 保留4位尾数： 0 00100原
1 00101原 1 11011补
0 0010原 1 0011原 1 1110补
0 0011原 1 0011原 1 1101补
1 定点数乘法运算
乘法 部分积累加、移位。
1 原码一位乘法
每次用一位乘数去乘被乘数。
(8) A．或
B．与
C．异或
D．分别取反后再进行或
2 补码一位乘法 1.算法分析
X补 = X0.X1X2……Xn
（1）Y为正：Y补 = 0.Y1Y2……Yn [XY]补 = X补[0.Y1Y2……Yn]
（2）Y为负：Y补 = 1.Y1Y2……Yn [XY]补 = X补[0.Y1Y2……Yn]+[-X]补
数符不变（单：符号位不变；双：第一符号
位不变）
空位补0（右移时第二符号位移至尾数最高位）
5.负数补码移位规则
（1）单符号位 ： （2）双符号位：
1 1011 左移 1 0110 右移 1 1011 右移 1 1101
11 0110 左移 10 1100 右移 11 0110 右移 11 1011
（3）移位规则
11.0101 11.1010 + 00.0000 11.1010 11.1101 + 11.0101 11.0010 11.1001 + 11.0101 10.1110 11.0111
数符不变（单：符号位不变；双：第一符号
位不变）。
空位补0
4.正数补码移位规则
（1）单符号位 ： （2）双符号位：
0 0111 左移 0 1110 右移 0 0111 右移 0 0011
（3）移位规则
00 0111 左移 00 1110 左移 01 1100 右移 00 1110 右移 00 0111
数位数有关）。
改进：将一次相加改为分步累加、移位。
（2）分步乘法
每次将一位乘数所对应的部分积与原部分 积的累加和相加，并移位。 设置寄存器：
A：存放部分积累加和、乘积高位 B：存放被乘数 C：存放乘数、乘积低位 设置初值： A = 00.0000 B = X = 00.1101 C = Y = .1011
数符不变（单：符号位不变；双：第一符号
位不变）
空位补0（右移时第二符号位移至尾数最高位）
3.负数原码移位规则
（1）单符号位 ： （2）双符号位：
1 0101 左移 1 1010 右移 1 0101 右移 1 0010
11 0110 左移 10 1100 右移 11 0110 右移 11 0011
（3）移位规则
乘”——y仍然是补码
符号位参与运算，自动生成——与原码的不同之处 考虑到运算时可能出现绝对值大于1的情形（但此
刻并不是溢出），故部分积和被乘数取双符号位。
例 已知：[x]补=1.0101，[y]补=0.1101，求：[x·y]补。
解：因为乘数y>0，不用校正。
部分积
乘数
说明
00.0000 + 11.0101
3.运算规则
（1）操作数、结果用原码表示； （2）绝对值运算，符号单独处理； （3）被乘数(B)、累加和(A)取双符号位； （4）乘数末位(Cn)为判断位，其状态决定
下步操作； （5）作n次循环（累加、右移）。
习题
❖ 在进行原码乘法时，乘积的符号位是由被乘 数的符号位和乘数的符号位通过__(8C)__运算 来获得的。
计算机组成 原理
第4讲
二进制乘法运算
要求： 掌握原码一位乘法 理解补码一位乘法
0 移位操作 1 定点数一位乘法
2.正数原码移位规则
（1）单符号位 ： （2）双符号位：
0 0111 左移 0 1110 右移 0 0111 右移 0 0011
（3）移位规则
00 0111 左移 00 1110 左移 01 1100 右移 00 1110 右移 00 0111
对于负数，三种机器数移位后符号位均不变。 ❖ 如果负数的原码左移时，高位丢1，结果出错；
低位丢1，影响精度。 ❖ 如果负数的补码左移时，高位丢0，结果出错；
低位丢1，影响精度。 ❖ 如果负数的反码左移时，高位丢0，结果出错；
低位丢0，影响精度。
舍入方法
1. 0舍1入（原码、补码） 例. 保留4位尾数： 0 00100原
1.算法分析 X原
Y原
例. 0.1101×1.1011
乘积 P = X × Y 积符 SP= SX SY
（1）手算 0.1101
×0.1011
1101
1101 001111
上符号：1.10001111
问题：1）加数增多（由乘数位数决定）。
2）加数的位数增多（与被乘数、乘
数符不变（单：符号位不变；双：第一符号
位不变）。
左移空位补0
右移空位补1（第二符号位移至尾数最高位）
不同码制机器数算术移位后的 空位添补规则
正数 负数
码制 原码、补码、反码
原码 补码
反码
添补代码
0 0 左移添0 右移添1 1
不同码制机器数算术移位
对于正数，三种机器数移位后符号位不变，如果左 移时最高数位丢1，结果“出错”；如果右移时最 低数位丢1，影响精度。
0.[10X0Y0]1原11=1X原×Y原 = 1.10001111
C Cn .1011 1.101 11.10 111.1 1111
2.算法流程
0 A、X B、Y C、0 CR
Cn = 1 ？ N
Y
1/2（A+0）
1/2（A+B） A，C
A，C
CR + 1 CR
N CR = n ？ Y
SX + SY SP